học sinh giỏi 9

P GDTP Thái Nguyên
Trờng THCS Chu Văn An Đề thi học sinh giỏi cấp trờng
Năm học 2008 2009
Môn: Toán
Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề)
Câu 1:
a) Chứng tỏ
5122935

là số nguyên.
b) Cho
(
)
(
)
333
22
=++++
yyxx
.
Tính giá trị của biểu thức: M = x + y
Câu 2:
Giải phơng trình:
a)
1123234
=+++
xxx

b)
213
=++

xx

Câu 3:
Giả sử x; y là những số không âm thoả mãn:
1
22
=+
yx
a) Chứng minh rằng:
21
+
yx
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
yxP 2121
+++=
Câu 4:
Cho tam giác ABC, đờng phân giác AD. Biết AB = c; AC = b ; Góc A bằng 2
( < 45
0
). Chứng minh rằng AD =
cb
bc
+

cos2
.
Câu 5:
Cho tam giác nhọn ABC. Góc A bằng 30
0
. Hai đờng cao BH và CK.

Chứng minh rằng: S
AHK
= 3S
BCHK

G/ V Tổ toán lý trờng THCS Chu văn An
Nguyễn Thị Nga
Đáp án
Câu 1: 2điểm, mỗi ý 1 điểm
a)
15122935
=
là số nguyên
b)
.
( ) ( )
( )( )( ) ( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)

( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
006:21
23333
33333
13333
33333
333
22
2222
22
2222
22
=+=++
+=++
+=+++++
+=++
+=+++++

=++++
yxyx
yyxx
yyyyyyxx
xxyy
xxyyxxxxoC
yyxx
Câu 2: 2điểm, mỗi ý 1 điểm
Giải phơng trình:
a)

1123234
=+++
xxx
Điều kiện
2
3
3

x
( ) ( )
1012323
02323411
22
==++
=+
xxx
xxx
b) Điều kiện
1

x
( )
( )
( )
{
1
01;0321)3(
11)3(
41)3(213
213

032
01
2
2
=
+=+
=+
=++++
=++
=+

x
xxxxx
xxx
xxxx
xx
xx
x
Câu 3: 2điểm, mỗi ý 1 điểm
Giả sử x; y là những số không âm thoả mãn:
1
22
=+
yx
a) Từ
( )
( )
222
22
2

+=++
yxyxyx
dấu bằng đạt đợc khi và chỉ khi
2
1
yx
=
Lại có .
( )
( )
11212
22
2
++=++=+
yxxyxyyxyx
Vậy:
21
+
yx
b)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
yxP 2121
+++=
( ) ( )
( )
( )
2122141421212
22
2
++++=

+++
PyxyxP
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
2
1
2121
2
1
==





+=+
==
yx
yx
yx
Khi đó P đạt giá trị lớn nhất bằng
212
+
Mặt khác, do
0

xy
và
1
+
yx
dấu băng đạt đợc khi và chỉ khi x = 0, y =1 hoặc
y =0, x= 1. Nên có
( ) ( )
( )
2
2
13324421222
+=+++++++=
xyyxyxP
Hay
13
+
P
, suy ra P đạt giá trị nhỏ nhất bằng
13
+
, khi và chỉ khi

[
1y 0, x
1 x0,y
==
==
Câu 4: 2điểm
Gọi diện tích các tam giác lần lợt là S1, S2, S

Ta có

sin.
2
1
1
cADS
=
;

sin.
2
1
2
bADS
=
( )
cbADbADcADSSS
+=+=+=

sin.
2
1
sin.
2
1
sin.
2
1
21

mặt khác

2sin.
2
1
cbS
=
.
Suy ra
( ) ( ) ( )
cb
bc
cb
bc
cb
bc
AD
+
=
+
=
+
=





cos2

sin
cossin2
sin
2sin
Câu 5: 2điểm
BCHKAHK
ABC
AHK
SS
S
S
AC
AK
HKAABC
3
4
3
)30(cos
20
2
=
===







K

H
C
B
A
CB
A
bc

D
S2S1