Đề và đáp án – THPT Quốc gia 2015 – THPT Hùng Vương – Gia Lai

TRƯỜNG THPT

ĐỀ THI KHẢO SÁT

CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

MÔN: TOÁN LỚP: 12
Thời gian làm bài: 180 phút không kể giao đề
Đề thi có 01 trang

y = x 3 + ( 2m - 1) x 2 - m + 1

Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số

( Cm ) , m là tham số thực.

CO
M



a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = -1.

b) Tìm m để đường thẳng y = 2mx - m + 1 và ( Cm ) cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
Câu 2 (1 điểm).

( cos x + sin x )

2

- 3 cos 2 x = 1 + 2 cos x.

b) Giải phương trình log 3 ( x - 2 ) + log
ln 2

Câu 3 (1 điểm). Tính tích phân I =

ò
0

GIA
.

a) Giải phương trình

x + 3 = 1 + log 3 2.

3

2e x - 1
dx.
ex + 1

Câu 4 (1 điểm).

OC

a) Khai triển và rút gọn biểu thức 1 - x + 2(1 - x )2 + ... + n(1 - x )n thu được đa thức
P( x ) = a0 + a1 x + ... + an x n . Tìm a8 , biết rằng n là số nguyên dương thoả mãn

1
7
1
+ 3 = .
2
Cn Cn n

QU

b) Trong kỳ thi tuyển sinh đại học, bạn Thọ dự thi hai môn thi trắc nghiệm Vật lí và Hóa học. Đề
thi của mỗi môn gồm 50 câu hỏi; mỗi câu có 4 phương án lựa chọn, trong đó có 1 phương án đúng,
làm đúng mỗi câu được 0,2 điểm. Mỗi môn thi Thọ đều làm hết các câu hỏi và chắc chắn đúng 45
câu; 5 câu còn lại Thọ chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất để tổng điểm 2 môn thi của Thọ không dưới

PT

19 điểm.

Câu 5 (1 điểm). Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông tại A , AB = 2 a, AC = a. Các
cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 2. Gọi M , H lần lượt là trung điểm của AB và

ITH

uuur 1 uuur
BC , I là điểm thỏa mãn BI = AC. Tính theo a thể tích khối chóp S. ABC và khoảng cách
3

giữa hai đường thẳng MH và SI .

Câu 6 (1 điểm). Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho các điểm A ( 0; 0;1) , B ( 0;1; 0 ) . Viết

TH

phương trình mặt phẳng đi qua các điểm A, B đồng thời cắt trục Oz tại điểm C sao cho tứ diện
OABC có thể tích bằng 1.

Câu 7 (1 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy , cho tam giác ABC có đường trung tuyến

DE

AM và đường cao AH lần lượt có phương trình 13 x - 6 y - 2 = 0, x - 2 y - 14 = 0. Tìm tọa độ
các đỉnh của tam giác ABC biết tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC là I ( -6; 0 ) .
Câu 8 (1 điểm). Giải bất phương trình 2 x + 5 x > 11 +

14
.
x-2

Câu 9 (1 điểm). Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P =

a2
b2
3
+
- ( a + b) 2 .
2
2
( b + c ) + 5bc ( c + a ) + 5 ca 4

­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­HẾT­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­




HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
ĐỀ THI KHẢO SÁT LỚP 12

CO
M

TRƯỜNG THPT CHUYÊN
HÙNG VƯƠNG

Câu
Nội dung
1
a) Khi m = -1 hàm số trở thành y = x 3 - 3 x 2 + 2.
1) Tập xác định: R.

GIA
.

2) Sự biến thiên:
* Giới hạn tại vô cực: Ta có lim y = -¥ và lim y = +¥.
x ®-¥

x ®+¥

Điểm

0,25
0,25

éx = 0
* Chiều biến thiên: Ta có y ' = 3 x 2 - 6 x; y ' = 0 Û ê
.
ëx = 2
Suy ra :

( -¥; 0 ) , ( 2; + ¥ ) ;

( 0; 2 ) .
* Cực trị:

OC

hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

nghịch biến trên khoảng

* Bảng biến thiên:

y'

+

0

+¥

2

–

0

0,25

+

+¥

2

y

-2

ITH

-¥

3) Đồ thị:

0

-¥

PT

x

QU

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yC Đ = 2, hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = -2.

y

DE

TH

2

0,25
O

2

x

-2

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm
x 3 + ( 2m - 1)x 2 - m + 1 = 2mx - m + 1

(*)

0,25

Û x3 + ( 2m - 1) x 2 - 2 mx = 0
Û x = 0; x = 1 hoặc x = -2m .

0,25



Yờu cu bi toỏn tng ng vi phng trỡnh ( * ) cú ba nghim phõn bit

0,25

1
tha món bi toỏn.
2
a) Phng trỡnh ó cho tng ng vi
sin 2 x + cos 2 x + 2 sin x.cos x - 3 cos 2 x = 1 + 2 sin x

0,25

Do ú m ạ 0 v m ạ -

0,25

CO
M

2

sin 2 x - 3 cos 2 x = 2 sin x

log 3 ( x - 2 )( x + 3 ) = log 3 6

x 2 + x - 12 = 0 x = 3 hoc x = -4 .
So sỏnh vi iu kin, thu c nghim: x = 3.
t e x = t ị e x d x = dt.
i cn: x = 0 ị t = 1, x = ln 2 ị t = 2.

0,25

0,25
0,25

TH

ỡn 3
ỡn 3
1
7
1
ù
+ 3 = ớ 2
n = 9.
7.3 !
1 ớ 2
2
+
=
Cn Cn n
n
5

n
36
=
0
ợ
ù n( n - 1) n( n - 1)( n - 2 ) n
ợ

0,25

Suy ra a8 l h s ca x8 trong khai trin biu thc 8(1 - x )8 + 9(1 - x )9 .
H s ca x8 trong khai trin biu thc 8(1 - x )8 l 8C88 , h s ca x8 trong khai

DE

4

= 3 ln 3 - 4 ln 2.
a) Ta cú

0,25

ITH

2

= ( 3 ln ( t + 1) - ln t )|1

0,25

0,25
0,25

( 2t - 1) dt = 2 ổ 3 - 1 ử dt
ũ1 ỗố t + 1 t ữứ
t + 1) t
1 (
2

Suy ra I = ũ

0,25

0,25

PT

3

0,25

0,25

QU

( x - 2 )( x + 3) = 6

OC

p

ộ
ờ x = 3 + k2p
ờ
ờ x = 4p + k2p .
ờở
9
3
b) iu kin: x > 2.
Phng trỡnh ó cho tng ng vi
log 3 ( x - 2 ) + log 3 ( x + 3 ) = log 3 6

GIA
.

1
3
sin 2 x cos 2 x = sin x
2
2
p
ộ
ờ 2 x - 3 = x + k 2p
pử
ổ
sin ỗ 2 x - ữ = sin x ờ
3ứ
ố
ờ 2 x - p = p - x + k 2p
ờở
3

trin biu thc 9(1 - x )9 l 9C98 . Suy ra a8 = 8.C88 + 9.C98 = 89.

b) Bn Th c khụng di 19 im khi v ch khi trong 10 cõu tr li ngu
nhiờn c hai mụn Lớ v Húa bn Th tr li ỳng ớt nht 5 cõu.
1
3
Xỏc sut tr li ỳng 1 cõu hi l , tr li sai l . Ta cú:
4
4
5

ổ1ử
Xỏc sut Th tr li ỳng 5 trờn 10 cõu l C ỗ ữ
ố4ứ
5
10

ổ1ử
Xỏc sut Th tr li ỳng 6 trờn 10 cõu l C106 ỗ ữ
ố4ứ

6

5

ổ3ử
.ỗ ữ ;
ố4ứ
4

ổ3ử
.ỗ ữ ;
ố4ứ

0,25

0,25



7

8

æ1ö
Xác suất Thọ trả lời đúng 8 trên 10 câu là C108 ç ÷
è4ø

3

æ3ö
.ç ÷ ;
è4ø
0,25

2

æ3ö
.ç ÷ ;

è4ø

9

æ1ö 3
Xác suất Thọ trả lời đúng 9 trên 10 câu là C ç ÷ . ;
è4ø 4
9
10

10

CO
M

æ1ö
Xác suất Thọ trả lời đúng 7 trên 10 câu là C ç ÷
è4ø
7
10

5

OC

S

GIA
.

æ1ö
Xác suất Thọ trả lời cả 10 câu là C1010 ç ÷ .
è4ø
Cộng các xác suất trên ta suy ra xác suất Thọ được không dưới 19 điểm là 0,0781.

K

M

A

B
I

E

O

QU

C

H

Vì các cạnh bên của hình chóp bằng nhau nên hình chiếu của S xuống (ABC) trùng

PT

với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vì tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác này

0,25

Do đó SH ^ ( ABC ) .

ITH

chính là trung điểm H của BC.

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác ABC ta có BC = 4 a2 + a2 = a 5.
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác SHB ta có SH = 2 a 2 -

5a 2 a 3
=
.
4
2

1
1 a 3 æ1
ö a3 3
(đvtt).
SH .SABC = .
. ç .a.2 a ÷ =
3
3 2 è2
6
ø

TH

Từ đó suy ra VSABC =

0,25

Mặt phẳng chứa SI và song song với MH là (SBI). Do đó
0,25

DE

d ( MH , SI ) = d ( MH , ( SBI ) ) = d ( H , ( SBI ) ) .

Kẻ HO vuông góc với BI tại O thì O chính là điểm đối xứng với trung điểm E của
AC qua H. Kẻ HK vuông góc với SO tại K.
Khi đó HK ^ ( SBI ) .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHO ta có
1
1
1
4
1
7
a 21
=
+
= 2 + 2 = 2 Þ HK =
.
2

2
2
HK
HS
HO
3a
a
3a
7

Vậy d ( MH , SI ) = HK =

a 21
.
7

0,25



6

Gi s C ( 0; 0; c ) suy ra mt phng cn tỡm cú phng trỡnh

x y z
+ + = 1.
1 1 c

0,25
0,25

Ta cú VOABC = OA.OB.OC = 1.1.| c|=| c|.
Theo gi thit, ta cú | c|= 1 c = 1.
Vy cú 2 mt phng tha món bi toỏn l
x + y + z - 1 = 0 hoc x + y - z - 1 = 0 .
Ta im A l nghim ca h phng trỡnh

CO
M

7

0,25
0,25

ỡ x - 2 y - 14 = 0
ỡ x = -4
ớ
ị A ( -4; -9 ) .
ớ
ợ13 x - 6 y - 2 = 0
ợ y = -9

0,25

GIA
.

Gi A' l im i xng vi A qua I. Khi ú im A ' ( -8; 9 ) nm trờn ng trũn
ngoi tip tam giỏc ABC.

Gi K l trc tõm ca tam giỏc ABC. Khi ú t giỏc BKCCA' cú hai cp cnh i din
song song nờn l hỡnh bỡnh hnh. Khi ú KA' v BC ct nhau ti trung im ca mi
ng (l M).
Vỡ

K

v

M

ln

lt

nm

AH

trờn

AM

nờn

gi

s
0,25

OC

ổ 13m - 2 ử
K ( 2 k + 14; k ) , M ỗ m;
ữ.
6
ố
ứ

v

QU

ỡ 2 k + 14 - 8 = 2.m
ỡ k = -1 ỡù K (12; -1)
ù
Vỡ M l trung im ca KA' nờn ớ
ịớ
13m - 2 ị ớ
m
=
2
k
+
9
=
2
.
ợ
ùợ

ợù M ( 2; 4 )
6
uuuur
ng thng BC i qua M v nhn AK lm VTPT nờn BC : 2 x + y - 8 = 0.

Gi s B ( b; 8 - 2b) . Vỡ I l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC nờn

PT

0,25

ộb = 3
2
2
.
IA = IB 4 + 81 = ( b + 6 ) + ( 2b - 8 ) 5b2 - 20b + 15 = 0 ờ
ởb = 1

ITH

Vi b = 3 ta cú B ( 3; 2 ) . Vỡ C i xng vi B qua M nờn C (1; 6 ) .

0,25

Vi b = 1 ta cú B (1; 6 ) . Vỡ C i xng vi B qua M nờn C ( 3; 2 ) .
iu kin: 0 Ê x ạ 2 .

Bt phng trỡnh ó cho tr thnh

TH

14
7x
2( x - 2 ) + 5 x > 7 +
2( x - 2) + 5 x >
.
x-2
x-2

0,25
(1)

Rừ rng x = 0 khụng tha món bt phng trỡnh (1).
Vi 0 < x ạ 2 bt phng trỡnh (1) tng ng vi

t

x-2
x

DE

8

2( x - 2 )
x

+5>

7 x

.
x-2
0,25

= t . Khi ú bt phng trỡnh tr thnh

ột > 1
7
2t 2 + 5t - 7
2t + 5 >
> 0 t( 2t + 7 )( t - 1) > 0 ờ 7
ờ - < t < 0.
t
t
ở 2

* Vi t > 1 ta cú

x-2
x

> 1 , hay

( x + 1)( x - 2 )
x

> 0 x > 4.

0,25

* Với -

7
7 x-2
< t < 0 ta có - <
< 0 , hay
2
2
x

ìï0 < x < 2
1
Û < x < 2.
í
4
ïî( x + 4 )( 2 x - 1) > 0

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có
a2
³
(b + c)2 + 5bc

0,25

a2
4 a2
=
.

5
9(b + c)2
2
2
( b + c) + (b + c)
4

b2
4b2
³
.
( c + a)2 + 5ca 9( c + a)2

GIA
.

Tương tự, ta có
Suy ra

a2
b2
4 æ a2
b2
+
³
+
ç
( b + c)2 + 5bc ( c + a)2 + 5 ca 9 è (b + c)2 ( c + a)2

ö 2æ a

b ö
+
÷³ ç
÷
ø 9èb+ c c+ aø

æ ( a + b )2
+ c( a + b)
2
2
2 æ a + b + c( a + b) ö
2ç
2
= ç
³
ç
÷
9 è ab + c( a + b) + c2 ø
9 ç ( a + b )2
+ c( a + b) + c2
ç
è
4

ö
÷
÷
÷
÷
ø

=

2 æ 2( a + b) + 4 c( a + b) ö
ç
÷ .
9 è ( a + b)2 + 4 c( a + b) + 4 c2 ø

Vì a + b + c = 1 Û a + b = 1 - c nên
2

2

0,25

QU

2

2

0,25

2

OC

2

2

0,25

PT

2 æ 2(1 - c)2 + 4 c(1 - c) ö 3
8æ
2 ö 3
2
P³ ç
- (1 - c)2 . (1)
÷ - (1 - c) = ç1 9 è (1 - c)2 + 4 c(1 - c) + 4 c2 ø 4
9 è c + 1 ÷ø 4
2

8æ
2 ö 3
Xét hàm số f ( c ) = ç1 - (1 - c)2 với c Î ( 0; 1).
÷
9 è c +1ø 4
16 æ
2 ö
2
3
1.
- ( c - 1);
ç
÷
2
9 è c + 1 ø ( c + 1)

2

ITH

Ta có f '( c) =

1
f '( c) = 0 Û ( c - 1) 64 - (3c + 3)3 = 0 Û c = .
3
Bảng biến thiên:

)

TH

(

c

0

f '( c )

DE

9

1
< x < 2.
4

CO
M

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là x > 4,

–

0,25

1
3

0

1
+

f (c )

Dựa vào bảng biến thiên ta có f ( c ) ³ -

-1
9

1
với mọi c Î ( 0; 1).
9

1

1
Từ (1) và (2) suy ra P ³ - , dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = .
9
3
1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là - .
9

(2)