KHOẢNG CÁCH GÓC CỰC HAY giải chi tiết

Chủ đề 7.3. KHOẢNG CÁCH – GÓC
TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
① Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a là MH ,
với H là hình chiếu của M trên đường thẳng a .
Kí hiệu: d ( M ,a) = MH .

M

a

α

H
M

② Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( a ) là MH , với
H là hình chiếu của M trên mặt phẳng ( a ) .

(

H

α

)

Kí hiệu: d M , ( a ) = MH .
③ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng
cách từ một điểm bất kì thuộc đường này đến đường kia.

d ( a,b) = d ( M ,b) = MH

b
a

M
H

α

( M Î a)

④ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( a ) song song với

a

M

nhau là khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đường a đến
mặt phẳng ( a ) :

H

α

dé

a, a ù= d é
M , a ù= MH ( M Î a)
ê
ê
ë ( )ú
û
ë ( )ú
û
⑤ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ
A
một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
α
dé
a , b ù= d é
a, b ù= d é
A, b ù= AH a Ì ( a ) , A Î a
ê
ê
ê
ë( ) ( ) ú
û
ë ( )ú
û
ë ( )ú
û

(

B

a

)

β

H

K

⑥ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
- Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a,b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy gọi
là đường vuông góc chung của a,b . IJ gọi là đoạn vuông góc chung của a,b .
c
a
I
a
I
β

J

J
b
α
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai
đường thẳng đó.
b

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng
a. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d cho trước
Các bước thực hiện:
Bước 1. Trong mặt phẳng ( M ,d) hạ MH ^ d với H Î d .
Bước 2. Thực hiện việc xác định độ dài MH dựa trên hệ thức lượng trong tam giác, tứ giác,
đường tròn, …

α

M

a

M
a

A

d

d

H

A

M
I

K

H K

 Chú ý:
• Nếu tồn tại đường thẳng a qua A và song song với d thì:
d ( M ,d) = d ( A,d) = AK

( A Î d) .
d ( M ,d)
MI
=
• Nếu MA Ç d = I , thì:
AI
d ( A,d)
b. Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( a )

.

β O
∆

α

Các bước thực hiện:

O

d

H

Bước 1. Tìm hình chiếu H của O lên ( a ) .

H

α

- Tìm mặt phẳng ( b) qua O và vuông góc với ( a ) .
- Tìm D = ( a ) Ç ( b) .
- Trong mặt phẳng ( b) , kẻ OH ^ D tại H.

⇒ H là hình chiếu vuông góc của O lên ( a ) .

A

Bước 2. Khi đó OH là khoảng cách từ O đến ( a ) .

O

I
α

 Chú ý:
• Chọn mặt phẳng ( b) sao cho dễ tìm giao tuyến với ( a ) .
• Nếu đã có đường thẳng d ^ ( a ) thì kẻ Ox / / d cắt ( a ) tại H.

(

) ( )
d ( O, ( a ) )
OI
=
Nếu OA cắt ( a ) tại I thì:
AI
d ( A,( a ) )

• Nếu OA/ / ( a ) thì: d O,( a ) = d A, ( a ) .
•

α

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
• Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a,b
 Trường hợp a ⊥ b:

⇒ AB là đoạn vuông góc chung.

O

A

H

K

b

- Dựng mặt phẳng ( a ) chứa a và vuông góc với b tại B.

- Trong ( a ) dựng BA ⊥ a tại A.

H

α

B

a
A

K


 Trường hợp a và b không vuông góc với nhau.
Cách 1: (Hình a)
- Dựng mp ( a ) chứa a và song song với b.
- Lấy điểm M tùy ý trên b dựng MM′ ⊥ (α) tại M′
- Từ M′ dựng b′ // b cắt a tại A.
- Từ A dựng AB / / MM ¢ cắt b tại B.

⇒ AB là đoạn vuông góc chung.
Cách 2: (Hình b)
- Dựng mặt phẳng ( a ) ^ a tại O, ( a ) cắt b tại I

b

B

M

A

M'

a

α

b'

(Hình a)

- Dựng hình chiếu vuông góc b′ của b lên ( a )
- Trong mp ( a ) , vẽ OH ⊥ b′ tại H.
- Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B
- Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A.
⇒ AB là đoạn vuông góc chung.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a,b
α
Cách 1. Dùng đường vuông góc chung:
- Tìm đoạn vuông góc chung AB của a,b .

a
A

b
B
b'

O

H

I
(Hình b)

- d ( a,b) = AB

(

)
Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa a và b. Khi đó: d ( a,b) = d ( ( a ) , ( b) )

Cách 2. Dựng mặt phẳng ( a ) chứa a và song song với b. Khi đó: d ( a,b) = d b, ( a )
Cách 3.

3. Phương pháp tọa độ trong không gian
a) Phương trình mặt phẳng ( MNP ) đi qua 3 điểm M ( xM ;yM ;zM ) ,N ( xN ;yN ;zN ) ,P ( xP ;yP ;zP ) :
u
r uuuu
r uuur
+ Mặt phẳng ( MNP ) đi qua điểm M ( xM ;yM ;zM ) có vtpt n = MN Ù MP = ( A;B;C ) có dạng:
A ( x - xM ) + B ( y - yM ) +C ( z - zM ) = 0 Û Ax + By +Cz + D = 0

+ Khoảng cách từ một điểm I ( xI ;yI ;zI ) đến mặt phẳng ( MNP ) :
IH = d ( I ,(MNP )) =

AxI + ByI + CzI + D

uuuu
r uuur uuu
r
MN Ù MP .MI
Công thức tính nhanh: d ( I ,(MNP )) =
uuuu
r uuur
MN Ù MP

(

A2 + B 2 +C 2

)

uuur uuu
r uuur
AB Ù CD .AC
b) Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau AB,CD là: d ( AB,CD ) =
uuur uuu
r
AB Ù CD

(

uuur uuu
r
AB .CD
r
c) Góc giữa hai đường thẳng AB,CD theo công thức: cos( AB,CD ) = uuur uuu

AB . CD
d) Góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( MNP ) :

)


uu
r uuur uuur
uu
r uuuu
r uuur
có vecto pháp tuyến n1 = AB Ù AC ; ( MNP ) có vtpt n2 = MN Ù MP , khi đó:
uu
r uu
r
n1.n2
A1A2 + B1B2 + C 1C 2
Þ ( ABC ) ,( MNP ) ;
cos ( ABC ) , ( MNP ) = uu
r uu
r =
A12 + B12 + C 12 . A22 + B22 + C 22
n1 . n2

( ABC )

(

(

)

e) Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng ( MNP ) :

u
r uuuu
r uuur
r uuur
Tính u = AB và ( MNP ) có vtpt n = MN Ù MP , thì: sin AB,( MNP )

(

)

)

ru
r
u.n
= r u
r Þ AB,( MNP ) ;
u.n

(

)

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
KHỐI CHÓP ĐỀU
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 600 Khoảng

cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:
a
a
3a
3a
A .
B. .
C.
.
D.
.
2
4
4
2
Câu 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Góc
giữa đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng GC
và SA bằng:
a
a 5
a 5
a 2
A.
B. .
C.
.
D.
.
5
5

10
5
Câu 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD.
Góc giữa đường thẳng BG với mặt phẳng (ABCD) bằng:
A. arctan

85
.
17

B. arctan

10
.
17

C. arcsin

85
.
17

D. arccos

85
.
17

Câu 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD.
Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:

A. arccos

330
.
110

B. arccos

33
11

C. arccos

3
.
11

D. arccos

33
22

Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, SA = a 3 . M là trung điểm của cạnh
BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SDM) với (SBC) bằng:
A.

arctan

2 11 .
110

B.

arctan

110 .
11

C.

arctan

2 110 .
33

D.

arctan

2 110 .
11

Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc, AB = a, AC = a 2 và diện tích tam
giác SBC bằng
A.

a 330
.
33

a2 33
. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:
6

B.

a 330
.
11

C.

a 110
.
33

D.

2a 330
.
33


Câu 6. Cho hình chóp tam giác S . ABC có SA vuông góc với mặt đáy, tam giác ABC vuông cân tại B,
BA = BC = a , góc giữa mp ( SBC ) với mp ( ABC ) bằng 600 . Gọi I là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác SBC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI với BC .
A.

a 3
.

4

B.

a 3
.
2

C.

a 2
.
3

D.

a 6
.
2

Câu 7. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, góc OCB bằng 300 , góc ABO bằng 600
và AC = a 6 . Điểm M nằm trên cạnh AB sao cho AM = 2 BM. Tính góc giữa hai đường thẳng
CM và OA.
A. arctan

93
.
6

B. arctan

31
.
3

B. arctan

93
.
3

D. arctan

31
.
2

Câu 8. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, góc OCB bằng 300 , góc ABO bằng 600
và AC = a 6 . Điểm M nằm trên cạnh AB sao cho AM = 2 BM. Tính góc giữa hai mặt phẳng
(OCM) và (ABC).
A. arcsin

1
35

B. arcsin

34
35

C. arcsin

14
35

D. arcsin

3
7

Câu 9. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Góc giữa đường thẳng AC và mp(OBC)
bằng 600 , OB = a , OC = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh OB. Góc giữa đường thẳng OA
với mặt phẳng (ACM bằng:
3
1
3
1
A. arcsin
.
B. arcsin
.
C. arcsin
.
D. arcsin
.
4 7
7
2 7
2 7
Câu 10. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Góc giữa đường thẳng AC và

mp(OBC ) bằng 600 , OB = a , OC = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh OB . Tính góc giữa
hai mặt phẳng ( AMC ) và ( ABC ) bằng:
A. arcsin

3
32
1
34
.
B. arcsin
.
C. arcsin
.
D. arcsin
.
35
35
35
35
KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI MẶT ĐÁY
Thầy cô xem trong file PDF ở bên dưới

KHỐI CHÓP CÓ MẶT BÊN VUÔNG GÓC MẶT ĐÁY – HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC
Thầy cô xem trong file PDF ở bên dưới
CHỦ ĐỀ LĂNG TRỤ ĐỨNG HÌNH HỘP CHỮ NHẬT- HÌNH LẬP PHƯƠNG
Thầy cô xem trong file PDF ở bên dưới


LĂNG TRỤ XIÊN - GV NGUYỄN THANH SANG

Thầy cô xem trong file PDF ở bên dưới
CHỦ ĐỀ TỔNG HỢP – CÔ KHUYÊN

D. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN 3.5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C A A B D A B C B D A A
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
A D C A C A A D A A C A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
A A C D B A A A B C A D
61 62 63
A D C

13 14 15 16 17 18 19 20
C B A B A B D C
33 34 35 36 37 38 39 40
B A B D B A D B
53 54 55 56 57 58 59 60
C A B A C A C A


II HNG DN GII
KHI CHểP U
Cõu 1. Cho hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC cú cnh ỏy bng a. Gúc gia mt bờn vi mt ỏy bng 600
Khong cỏch t im A n mt phng (SBC) bng:
a
a
3a
3a

A .
B. .
C.
.
D.
.
2
4
4
2
Hng dn gii
S
[Cỏch 1] Phng phỏp dng hỡnh
Gi G l trng tõm tam giỏc ABC, suy ra G l hỡnh chiu
ca S trờn mt phng (ABC). Gi I l trung im ca BC
suy ra gúc gia (SBC) vi (ABC) l gúc SIG.
Tam giỏc ABC u cnh bng a nờn GI =

1a 3 a 3
=
.
3 2
6

ã
Theo bi SIG
= 600 , suy ra

A
a

3
a
0
ã
SG = GI .tanSIG
=
tan60 = .
6
2
G
ỡù AG ầ (SBC ) = I
ùù
Vỡ ớ
nờn d(A,(SBC )) = 3.d(G,(SBC )) .
AI
B
ùù
=3
ùợ
GI
Gi H l hỡnh chiu ca G trờn (SBC) ( H thuc on thng SI). Suy ra
GS .GI
d (G ,(SBC )) =GH =
GS 2 +GI

2

H
C

I

a 3
.
a
a
= 22 6 2 = , suy ra
a
a
4
+
4 12

3a
.
4
[Cỏch 2] Phng phỏp th tớch.
d(A,(SBC )) = 3.d(G,(SBC )) =

1 1
a3 3
GI
a 3
a2 3
0 a
Ta cú: VS. ABC = . .aa
,
,
suy
ra

.
. .sin60 . =
SI =
=
SD SBC =
3 2
2
24
cos600
3
6
S
a3 3
z
3V
3a
Vy d(A;(SBC )) = S.ABC = 28 = .
SDSBC
4
a 3
6
[Cỏch 3] Phng phỏp ta .
Chn h trc ta Oxyz, vi I O ,
Ox IA,Oy IC;Oz/ / GS. (Hỡnh v).
y
ổ
ử
A
a 3
ữ

x
;0;0ữ
ỗ
Khi ú, A ỗ
,
C
ữ
ỗ
ữ
ỗ 2
ố
ứ
G
I
ử
ổa ữ
ử ổ
a
3
a
ữ
ỗ
Cỗ
0; ;0ữ; S ỗ
;0; ữ
ỗ
ữ, suy ra
ỗ
ố 2 ữ
ứ ỗ

ỗ
2ữ
ố 6
ứ
B


ử uur ổ a ử
uur ổ
ỗa 3 ;0;0ữ
ữ
IA =ỗ
0; ;0ữ
, IC = ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ố
ỗ
2
2 ứ
ố
ứ

uur uu
r uur

ộIC, ISự.IA
ử
uu
r ổ
ờ
ỳ
3a
ỗa 3 ;0; aữ
ữ
IS =ỗ
d(A,(SBC )) = ở uur uỷ
= .
,
suy
ra
u
r
ữ
ỗ
ộIC, ISự
ỗ
2ữ
4
ố 6
ứ
ờ
ỳ
ở
ỷ
Cõu 2. Cho hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC cú cnh ỏy bng a. Gi G l trng tõm tam giỏc ABC. Gúc

gia ng thng SA vi mt phng (ABC) bng 600 . Khong cỏch gia hai ng thng GC
v SA bng:
a
a 5
a 5
a 2
A.
B. .
C.
.
D.
.
5
5
10
5
Hng dn gii
[Cỏch 1] Phng phỏp dng hỡnh
Gi M, N ln lt l trung im ca hai cnh AB v BC. Gi H l hỡnh chiu ca G lờn ng
thng i qua A v song song vi CG. GK l ng cao ca tam giỏc GHS.
a 3
Khi ú, d(GC,SA) = d(GC,(SAH )) = GK . Ta cú: AG =
;
3

ã ,(ABC ) = SAG
( SA
) ã = 60 ị
0

d(GC,SA) = GK =

SG = AG.tan600 = a, GH = AM =

GS.GH
2

GS +GH

2

=

a
, suy ra
2

a 5
.
5
z

S

S

K

K

y

x

H

A

C
G

M
B

H
C

A
G

N
B

[Cỏch 2] Phng phỏp ta .
Chn h trc ta Oxyz, vi G O , Ox GA,Oy/ / NC,Oz GS (Hỡnh v).
ổ
ử ổa 3 a ử
uuu
rổ a 3 a ử
uur

a 3
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
A
;0;0
C
;
;0
S
0;0;
a
GC
; ;0ữ
ỗ
ỗ
(
)
GS
0;0;
a
Khi ú, ỗ
, ỗ
;
, suy ra
,

(
) , ỗỗỗữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ố 3
ứ ố 6 2 ứ
ố 6 2 ứ
uuu
r uuu
r uur
ộGC, ASự.GS
ử
uuu
rổ a 3
ờ
ỳ
a 5
ữ
ở
ỷ
ữ
AS ỗ
;0;
a

d
(
SA
,
GC
)
=
=
ỗ
suy
ra
u
u
u
r
u
u
u
r
ữ
ỗ
ữ
ộGC, ASự
ỗ 3
5
ố
ứ
ờ
ỳ
ở

ỷ


Câu 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD.
Góc giữa đường thẳng BG với mặt phẳng (ABCD) bằng:
85
10
85
.
B. arctan
.
C. arcsin
.
17
17
17
Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Gọi M là trung điểm CD, kẻ GK song song với SO và
cắt OM tại K, suy ra K là hình chiếu của G trên mp(ABCD),
· ,(ABCD) = GBK
·
suy ra BG
.

A. arctan

(

85

.
17

S

)

Ta có: AO =

a 2
a 10
1
a 10
, SO =
, GK = SO =
,
2
2
3
6

2
a
a 34
vì OK = OM nên OK = , suy ra BK =
.
3
3
6

G
A

D
O

K

B

GK
85
· ,(ABCD) = tan GBK
·
.
tan BG
=
=
BK
17
[Cách 2] Phương pháp tọa độ.

(

D. arccos

)

M
C

æ a 2 ÷
ö
ç0;÷
;0
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với Ox º OC,Oy º OD,Oz º OS . Khi đó, B ç
,
÷
ç
÷
ç
2
è
ø
æ
æ a 10 ö
a 2 a 2 a 10 ö
÷
÷
ç
÷
÷
Gç
;
;
S
0;0;
ç
ç
;

.
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
6
6
6
2
è
ø è
ø
ö a 2
uuu
ræ
a 2 r
ça 2 ; 2a 2 ; a 10 ÷
÷
=
1
;4;
5
=
.n ,
Suy ra BG ç
÷

ç
ç
3
6 ÷
6
6
è 6
ø

(

)

uur æ a 10 ö
a 10
a 10 r
÷
÷
OS ç
0;0;
=
0;0;1
=
.k .
ç
(
)
÷
ç
÷

ç
2 ø
2
2
è
rr
n.k
· ,(ABCD)) = r r = 5 Þ cos(BG
· ,( ABCD)) = 17 Þ tan(BG
· ,(ABCD)) = 85 .
sin(BG
22
22
17
n. k

Xem 8 chuyên đề luyện thi cực hay 2018
Đầy đủ các dạng bài với 2331 BÀI TẬP ( File Word )


Chuyên đề 11

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT
TÍNH BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

( 400 câu giải chi tiết )
8 chuyên đề luyện thi cực hay 2018
Đầy đủ các dạng bài với 2331 BÀI TẬP ( File Word )
Các các thầy cô chú ý xem hướng dẫn bên dưới để xem chi tiết trọn bộ ( đường link
dẫn đến file PDF: http…) có video bản word

Chủ đề 1.1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Chủ đề 1.2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Chủ đề 1.3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Chủ đề 1.4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Chủ đề 1.5. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Nhấn giữ Ctrl + Click chuột
trái vào đường link gạch
Chuyên đề 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ứng dụng của đạo hàm
chân dưới để XEM bản PDF
/>đầy đủ !...

Chuyên đề 22

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT
TÍNH BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

( 180 câu giải chi tiết )
CHỦ ĐỀ 2.1. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
CHỦ ĐỀ 2.2. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Chủ đề 2.3 - ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG
Nhấn giữ Ctrl + Click chuột
trái vào đường link gạch
Chuyên đề 2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ứng dụng của đạo hàm
chân dưới để XEM bản PDF
đầy đủ !...
/>
Chuyên đề 33
( 349 câu giải chi tiết )

Phương trình, Bất PT mũ và logarit


Chủ đề 3.1 LŨY THỪA
Chủ đề 3.2. LOGARIT
Chủ đề 3.3 HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT
Chủ đề 3.4. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Chủ đề 3.5. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Nhấn giữ Ctrl + Click chuột
Chuyên đề 3.Phương trình, Bất PT mũ và logarit
trái vào đường link gạch
chân dưới để XEM bản PDF
/>đầy đủ !...

Chuyên đề 44

Nguyên hàm Tích phân - Ứng dụng

( 410 câu giải chi tiết )
Chủ đề 4.1. NGUYÊN HÀM
Chủ đề 4.2. TÍCH PHÂN

Nhấn giữ Ctrl + Click chuột
Chủ đề 4.3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
trái vào đường link gạch
Chuyên đề 4.Nguyên hàm Tích phân - Ứng dụng ( 410 câu giảichân
chi dưới
tiết ) để XEM bản PDF
đầy đủ !...

/>
CAM KẾT !
8 chuyên đề luyện thi cực hay 2018 ( File Word )
Đầy đủ các dạng bài với 2331 BÀI TẬP giải chi tiết ( chỉ 250k/ 8 CHUYÊN ĐỀ )
** Quà tặng : Bộ 50 đề thi minh họa THPT 2018 – đáp án chi tiết **


- Chế độ chữ : Times New Roman.
- Công thức toán học Math Type Để các thầy cô chỉnh sửa, làm chuyên đề ôn thi, Ngân
hàng câu hỏi …
- Các đáp án A,B,C,D đều căn chỉnh chuẩn
- File không có màu hay tên quảng cáo.
- Về thanh toán: nếu không yên tâm ( sợ bị lừa ): tôi sẽ gửi trước 1 file word chuyên đề
nhỏ bất kì mà thầy cô yêu cầu trong bản PDF xem trước .
Điện thoại hỗ trợ : 0912 801 903

Cảm ơn các thầy cô đã quan tâm

Zalo: 0912 801 903
Nếu Thầy cô chưa xem được nhắn tin “ Xem 8 chuyên đề 12 + địa chỉ gmail
của thầy cô” chúng tôi sẽ gửi 8 chuyên đề bản PDF vào mail để thầy cô tham
khảo

XEM VIDEO bản word: />
Chuyên đề 55

Nhấn giữ Ctrl + Click chuột
trái vào đường link gạch
chân dưới để XEM VIDEO!...

SỐ PHỨC

( 195 câu giải chi tiết )
Chủ đề 5.1. DẠNG ĐẠI SỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC
Chủ đề 5.2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC TRÊN TẬP SỐ PHỨC

CHỦ ĐỀ 5.3 TẬP HỢP ĐIỂM

Nhấn giữ Ctrl + Click chuột
trái vào đường link gạch
chân dưới để XEM bản PDF
đầy đủ !...


Chuyên đề 5. Số Phức ( 195 câu giải chi tiết )
/>
Chuyên đề 66

BÀI TOÁN THỰC TẾ

( 72 câu giải chi tiết )
6.1. LÃI SUẤT NGÂN HÀNG
Nhấn giữ Ctrl + Click chuột
trái vào đường link gạch
chân dưới để XEM bản PDF
đầy đủ !...

6.2 BÀI TOÁN TỐI ƯU

Chuyên đề 6. Lãi suất + bài tập THỰC TẾ ( 72 câu giải chi tiết )

/>
XEM VIDEO bản word: />
Chuyên đề 77

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

( 290 câu giải chi tiết )
CHỦ ĐỀ 7.1. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
CHỦ ĐỀ 7.2. QUAN HỆ VUÔNG GÓC. VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Chủ đề 7.3. KHOẢNG CÁCH – GÓC
CHỦ ĐỀ 7.4. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Chủ đề 7.5. MẶT CẦU – MẶT NÓN – MẶT TRỤ
Nhấn giữ Ctrl + Click chuột
trái vào đường link gạch
chân dưới để XEM bản PDF
đầy đủ !...


Chuyên đề 7. HH không gian ( 290 câu giải chi tiết )
/>
Chuyên đề 88

TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

( 435 câu giải chi tiết )
8.1 : TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
8.2 : PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
8.3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
8.4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
8.5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

8.6: GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH

Nhấn giữ Ctrl + Click chuột
trái vào đường link gạch
chân dưới để XEM bản PDF
đầy đủ !...

Chuyên đề 8. HH tọa độ không gian ( 435 câu giải chi tiết )
/>