54. De thi thu thpt quoc gia nam 2016 tr ng B c Y n Th nh Ngh An

Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT
Trường THPT Bắc Yên Thành
LỚP 12A4
Ngày 05/4/2016

ĐỀ KIỂM TRA NĂNG LỰC THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016

Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

2x  3
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y 
.
x2

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Tìm m để đường thẳng  d  : y  2 x  m cắt (C) tại hai điểm phân biệt và tiếp tuyến của
(C) tại hai điểm đó song song với nhau.
Câu 2 (2,0 điểm)
3
2

a. Giải phương trình sin x  cos 4 x  2   sin 2 2 x  .
b. Giải phương trình x 3  x  2  x 2  1 x  6 .
Câu 3 (2,0 điểm)
10

a. Tính tích phân I 


5

x3  3 x 2  4
dx .
x2

b. Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 1  i  z 2  4  2  i  z  5  3i  0 .
2

2

Tính z1  z2 .
a
2
0
Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với mặt đáy (ABC) góc 60 . Tính theo a thể tích khối chóp
S.ABC và khoảng cách từ điểm B tới mặt phẳng (SAC), biết rằng mặt phẳng (SBC) vuông góc với đáy
(ABC).

Câu 4 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, với AC  ; BC  a .

Câu 5 (2,0 điểm)
a. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A. Biết phương trình
cạnh BC là  d  : x  7 y  31  0 , điểm N(7; 7) thuộc đường thẳng AC, điểm M(2; -3)
thuộc AB và nằm ngoài đoạn AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
b. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x  2 y  z  5  0 và đường thẳng
x  3 y 1 z  3
d:


. Gọi d ' là hình chiếu vuông góc của d lên (P) và E là giao điểm của d

2
1
1
và (P). Viết phương trình đường thẳng d ' . Tìm tọa độ điểm F thuộc (P) sao cho EF vuông góc
với d ' và EF  5 3.
Câu 6 (1,0 điểm) Cho các số thực a, b, c không âm thỏa mãn a 2  b 2  c 2  1 .Chứng minh rằng
1
1
1
9


 .
1  ab 1  bc 1  ca 2

---------------- Hết ---------------Họ và tên thí sinh:…………………………..........
Số báo danh: .........
Cán bộ coi thi không cần giải thích gì thêm. Học sinh KHÔNG ĐƯỢC nhìn bài của nhau.
Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất

1


Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT

BIỂU ĐIỂM CHẤM
ĐỀ THI THỬ TOÁN – NĂM 2016
(Biểu điểm gồm 04 trang)
Câu
Nội dung

1. (1.0 điểm) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
I
(2.0 điểm) * TXĐ: D = R\{2}.
* y' 

7

 x  2

2

 0 . Vậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Điểm

0.25

* Hàm số có tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận ngang y = 2.

0.25

* Bảng biến thiên

0.25

3
2
3
Giao Oy: x  0  y   .
2

Giao Ox: y  0  x   .

0.25

Đồ thị:
2. (1.0 điểm) Tìm m để đường thẳng …
Phương trình hoành độ giao điểm:
2 x 2   m  6  x   2m  3  0 *
2x  3
 2x  m  
x2
 x  2

(d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân
biệt và khác 2.

0.25

0.25

  g  0
2

  m  6   8  2m  3  0  m 2  4m  60  0 (luôn đúng).
 g  2   0

Với điều kiện trên giả sử đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm có hoành độ
x1  x2 . Ta có x1  x2 

6m
.
2

0.5

Tại hai giao điểm kẻ hai tiếp tuyến song song khi và chỉ khi
y '  x1   y '  x2   x1  x2  4  m  2 .
II.
(2.0 điểm)

1. (1.0 điểm) Giải phương trình…
1
1 1
3

Pt(1)  sin x.cos 4 x   cos 4 x    2 sin x   cos 4 x  2   sin x    0
2 2
2
2



cos 4 x  2

 x   6  k 2


sin x   1  sin(  )
 x  7  m 2

2
6


6

Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất

0.25

2


Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT
Mặt khác: x  1  3  2  x  4



 k 2  4  k  0 . Do đó : x  
6
6
7
7
* Với 2 
 m 2  4  m  0 nên x 
6
6

7
Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm x   và x 

thoả mãn (2)
6
6
* với 2  

0. 25

0. 25

2. (1.0 điểm) Giải hệ phương trình…
ĐK: x  0 . Nhận thấy (0; y) không là nghiệm của hệ phương trình. Xét x  0 .
1
x

Từ phương trình thứ 2 ta có 2 y  2 y 4 y 2  1  

1
x

Xét hàm số f  t   t  t t 2  1 có f '  t   1  t 2  1 

0.25

1
 1 (1)
x2
t2
t2 1

 0 nên hàm số đồng

0.25

1
1
biến. Vậy 1  f  2 y   f    2 y  .
x
 x

0.25

Thay vào phương trình (1): x 3  x  2  x 2  1 x  6
Vế trái của phương trình là hàm đồng biến trên  0;  nên có nghiệm duy nhất

0.25

 1
x  1 và hệ phương trình có nghiệm 1;  .
 2

Tính tích phân…
III.
(1.0 điểm)


10

Tính tích phân : I 



5

10



I


5



10
( x  1)( x  2)2
( x  2) ( x  1)
dx  
dx
x2
x2
5

0.25

x : 5  10
2udu  dx
Đặt u  x  1  u 2  x  1  
,
đổi
cận

:
2
u: 2  3
x  u  1
3



0.25

x3  3 x 2  4
dx
x2

3

0.25
0.25
3

(u 2  3)u.2udu
4
1
du
Ta có : I  
 2. (u 2  4  2 )du  2( u 3  4u ) 32 8 2
2
3
u 1
u 1

2
2
2 u 1
3

62
1
1
62
u 1
I
 4 (

)du   4 ln
3
u 1
3
u 1
2 u 1

3
2

I

62
3
 4 ln
3
2

Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất

3


Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT

IV.
(1.0 điểm)



Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ B tới mặt phẳng (SAC) theo a.
a
- ABC vuông tại A có AC  ; BC  a
2
 B  300 ; C  600 .
Kẻ SH  BC thì SH  ( ABC )
Và các góc SMH, SNH bằng 600, và HM  HN
HN
HM
Ta có : a  BC  BH  CH 

0
sin 30
sin 600

-

 Tính được HM 

(1.0 điểm)

0.25

(3  3)a
3( 3  1)a
; SH 
4
4

1
3a 2
AB. AC 
2
8



S ABC 

-

1
Thể tích VS . ABC  SH .S
3

-

Gọi khoảng cách từ B tới mp(SAC) là h thì h 

ABC 

0.25
0.25

(3  3)a3
32
3VS . ABC
S SAC

(3  3)a
1
(3  3)a 2
 S SAC  SM .AC 
2
2
8
3V
3a
3a
h

. Vậy khoảng cách từ B tới mp(SAC) là
4
S SAC
4
SHM tính được SM 

-

V.

1
1
1
9
ab
bc
ca
3


 



1  ab 1  bc 1  ca 2
1  ab 1  bc 1  ca 2

Ta có

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki

Vậy

0.25

ab

2ab
2ab
 2
 2
.
2
2
1  ab 2a  2b  2c  2ab a  b 2  2c 2

0.25
2

a  b 
a
b
4ab
 2 2 2
.
2
2
2
2
a c b c
a  b  2c
a  b 2  2c 2
2

2

2

ab
1  a2
b2 
  2 2  2 2 .
1  ab 2  a  c b  c 

bc
1  b2
c 2  ac
1  a2
c2 
Tương tự
 

 

,
.
1  bc 2  b 2  a 2 c 2  a 2  1  ac 2  a 2  b 2 c 2  b 2 

Cộng lại ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng khi a  b  c 
VI.

0.25

3
.
3

0.25

0.25

1. (1.0 điểm) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất

4


Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT

(2.0 điểm)

Đường thẳng AB đi qua M nên có phương trình a  x  2   b  y  3  0  a 2  b 2  0 

 AB; BC   450 nên

cos 450 

3a  4b
.

50 a  b
 4a  3b
a  7b
2

0.25

2

Nếu 3a = 4b, chọn a = 4, b = 3 ta được  AB  : 4 x  3 y  1  0 .  AC  : 3x  4 y  7  0 .




Từ đó A(-1; 1) và B(-4; 5). Kiểm tra MB  2 MA nên M nằm ngoài đoạn AB (TM)

0.50

Từ đó tìm được C(3; 4)
Nếu 4a = -3b, chọn a = 3, b = -4 được  AB  : 3 x  4 y  18  0 ,  AC  : 4 x  3 y  49  0

0.25

Từ đó A(10; 3) và B(10;3) (loại)
Nếu không kiểm tra M nằm ngoài AB trừ 0.25 điểm.
2. (1.0 điểm) Viết phương trình mặt phẳng….






0.25

Giả sử nQ là một vecto pháp tuyến của (Q). Khi đó nQ  nP 1; 1; 1
Mặt phẳng (Q) cắt hai trục Oy và Oz tại M  0; a;0  , N  0;0; b  phân biệt sao cho

a  b  0

OM = ON nên a  b  
 a  b  0










 

Nếu a = b thì MN   0; a; a  // u  0; 1;1 và nQ  u nên nQ  u, nP    2;1;1 .
Khi đó mặt phẳng (Q): 2 x  y  z  2  0 và

 Q  cắt Oy, Oz tại

0.25

M  0; 2;0  và

N  0;0;2  (thỏa mãn)










 

Nếu a = - b thì MN   0; a; a  // u  0;1;1 và nQ  u nên nQ  u, nP    0;1; 1 .

0.25

Khi đó mặt phẳng (Q): y  z  0

 Q  cắt Oy, Oz tại

M  0;0;0  và N  0;0;0  (loại). Vậy  Q  : 2 x  y  z  2  0 .

0.25

VII.
2
2
Tính
z1  z2 ....
(1.0 điểm)
2

Có  '  4  2  i   2 1  i  5  3i   16 . Vậy phương trình có hai nghiệm phức
z1 

3 5
1 1
 i , z2    i
2 2
2 2
2

2

Do đó z1  z2  9 .
Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất

0.25
0. 5
0.25
5


Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT

Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất

6