24. De cuong on tap toan Giai tich 12 hoc ki 2

Thaygiaongheo - Video - Tài liệu học tốn THPT

CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

I. NGUYÊN HÀM
1. Khái niệm nguyên hàm
 Cho hàm số f xác đònh trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu:
F '( x )  f ( x ) , x  K

 Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:
 f ( x )dx  F ( x )  C , C  R.
 Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất
  f '( x )dx  f ( x )  C
   f ( x )  g( x )dx   f ( x )dx   g( x )dx
  kf ( x )dx  k  f ( x )dx (k  0)
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

ax
 C (0  a  1)
ln a
  cos xdx  sin x  C

  0dx  C

  a x dx 

  dx  x  C
  x dx 


x 1
 C,
 1

(  1)

1

 x dx  ln x  C

1
sin(ax  b)  C (a  0)
a



1

 sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C (a  0)

.

1 a mx  n
mx  n
a
dx

.
C


m ln a

C

1

1
dx  tan(ax  b )  C
a
cos (ax  b)
2

.


Tài liệu ơn thi học kì 2 – Giải Tích 12



.


 1

.  (ax  b) dx  1 (ax  b)
a  1

1

dx  tan x  C
cos2 x
1
 
dx   cot x  C
sin 2 x
1
  eax  b dx  eax  b  C , (a  0)
a
1
1
 
dx  ln ax  b  C
ax  b
a



  e x dx  e x  C
  cos(ax  b)dx 

  sin xdx   cos x  C

1

1
dx   cot(ax  b)  C
a
sin (ax  b)
2

1


Thaygiaongheo - Video - Tài liệu học tốn THPT
4. Phương pháp tính nguyên hàm
a) Phương pháp đổi biến số
Nếu  f (u)du  F (u)  C và u  u( x ) có đạo hàm liên tục thì:

 f u( x ) .u '( x)dx  F u( x)  C
b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:
 udv  uv   vdu

VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.
Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
– Nắm vững phép tính vi phân.
Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) f ( x )  x 2 –3 x 
d) f ( x ) 

b) f ( x ) 

( x 2  1)2
x

2

g) f ( x )  2 sin 2
k) f ( x ) 

1
x

x
2
1

2x4  3
x

2

c) f ( x ) 

x 1
x2
1

e) f ( x )  x  3 x  4 x

f) f ( x ) 

h) f ( x )  tan 2 x

i) f ( x )  cos2 x

l) f ( x ) 

x



2
3

x

cos 2 x

m) f ( x )  2sin 3 x cos 2 x
sin x.cos2 x

e x 
n) f ( x )  e x  e x – 1
o) f ( x )  e x  2 
p) f ( x )  e3 x 1

2 
cos x 

Bài 2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
2

2

sin x.cos x

a) f ( x )  x 3  4 x  5;

3  5x 2
;
x
x3  1
e) f (x )=
;
x2
c) f ( x ) 

g) f ( x )  sin 2 x.cos x;
i) f ( x ) 

F (1)  3

b) f ( x )  3  5 cos x;

F (e)  1

d) f ( x ) 

F (2)  0

f) f ( x )  x x 

 
F '   0
3

h) f ( x ) 

x3  3x 3  3x  7
2

( x  1)

2

;

F (0)  8

x2  1
;
x

F ( )  2

F (1) 
1
x

;

3x 4  2 x3  5

x2
x

k) f ( x )  sin2 ;
2

3
2

F (1)  2

; F (1)  2

  
F  
2 4

Bài 3. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:

Tài liệu ơn thi học kì 2 – Giải Tích 12

2


Thaygiaongheo - Video - Tài liệu học tốn THPT
 
a) f ( x )  x sin x; F    3
2
c) f ( x )  ln x;
F (2)  2

b) f ( x )  x cos x; F ( )  0
d) f(x) = (x + 4).ex ; F(2) = 5

2 x 2  5x  2
; F(4) = 1
x 3
1
g) f(x) = 2xlnx ; F(1) = -1
h) f(x) = 3x2 -  4e x ; F(1) = 4e
x
2
x
1
i) Tính đạo hàm của hàm số : y =
(ln x  ) , từ đó suy ra 1 nguyên hàm G(x) của f(x) = x(2 –
2
2
lnx), biết G(1) = 2
Bài 4. Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
 F ( x )  (4 x  5)e x
 F ( x )  tan 4 x  3 x  5
a) 
b)

x
5
3
 f ( x )  (4 x  1)e
 f ( x )  4 tan x  4 tan x  3
 F ( x )  ( x  3).e x
c) 
và tìm một nguyên hàm G(x) của f(x) biết G(2) = 5

x
 f ( x )  ( x  4).e
e) f(x) = sin(

 
2
) = -2
 ) ; F(
2 6
3

f) f(x) =

VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm

 f ( x)dx

bằng phương pháp đổi biến số

 Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) = g  u( x ) .u '( x ) thì ta đặt t  u( x )  dt  u '( x )dx .
Khi đó:

 f ( x )dx

=  g(t )dt ,

trong đó  g(t )dt dễ dàng tìm được.

Chú ý: Sau khi tính  g(t )dt theo t, ta phải thay lại t = u(x).

 Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau:
f(x) có chứa
2

a x

Cách đổi biến

x  a sin t ,

2

hoặc

x  a cos t ,

x  a tan t ,

a2  x 2

hoặc

x  a cot t ,



t
2
2
0t 



 t
2
2
0t 


Bài 1. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1):

dx

a)  (5 x  1)dx

b)

d)  (2 x 2  1)7 xdx

e)  ( x 3  5)4 x 2 dx

g)



x 2  1.xdx

k)  sin 4 x cos xdx

h)



(3  2 x )5



3x 2
3

5  2x
sin x
l) 
dx
cos5 x

Tài liệu ơn thi học kì 2 – Giải Tích 12

dx

c)



f)



i)



m)

5  2xdx
x

dx
x 5
dx
2

x (1  x )2



tan xdx
cos2 x

3


Thaygiaongheo - Video - Tài liệu học tốn THPT
x

n)



e dx

o)  x.e x

x

e 3

2

1

dx

p)

ln3 x
dx
r) 
 x dx
ex  1
Bài 2. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2):
dx
dx
a) 
b) 
(1  x 2 )3
(1  x 2 )3
q)

d)
g)





dx

e)  x 2 1  x 2 .dx

4  x2

x 2 dx
1 x

h)

2



dx



s)



c)



f)



e

x

x

dx

etan x
cos2 x

dx

1  x 2 .dx

dx
1  x2

i)  x 3 x 2  1.dx

2

x  x 1

VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

 P ( x ).e
u
dv

x

dx

 P( x).cos xdx

 P( x).sin xdx

 P( x).ln xdx

P(x)
cos xdx

P(x)
sin xdx

lnx
P(x)

P(x)
x

e dx

Bài 1. Tính các nguyên hàm sau:

 x.sin xdx
d)  ( x 2  2 x  3) cos xdx

b)  x cos xdx

c)  ( x 2  5)sin xdx

e)  x sin 2 xdx

f)

g)  x.e x dx

h)  x 3e x dx

i)  ln xdx

k)  x ln xdx

l)  ln 2 xdx

m)  ln( x 2  1)dx

n)  x tan 2 xdx

o)  x 2 cos2 xdx

p)  x 2 cos2 xdx

q)  x ln(1  x 2 )dx

r)

a)

2

 x.2

x

dx

 x cos 2 xdx

s)  x lg xdx

VẤN ĐỀ 4 : Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
. f(x) là hàm hữu tỉ: f ( x ) 

P( x)
Q( x )

– Nếu bậc của P(x)  bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức.
– Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x)
thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất đònh).
Chẳng hạn:

1
A
B


( x  a)( x  b ) x  a x  b

Tài liệu ơn thi học kì 2 – Giải Tích 12

4


Thaygiaongheo - Video - Tài liệu học tốn THPT
1
2

( x  m)(ax  bx  c)
1
2

2

( x  a) ( x  b)





A

Bx  C

, với   b2  4ac  0
2
x  m ax  bx  c

A
B
C
D



2
x  a ( x  a)
x  b ( x  b )2

Bài 1. Tính các nguyên hàm sau:

a)

dx
 x( x  1)

d)



dx

x 2  7 x  10
x
g) 
dx
( x  1)(2 x  1)

k)



dx

x ( x 2  1)
Bài 2. Tính các nguyên hàm sau:
a)  sin 2 x sin 5 xdx

b)

dx
 ( x  1)(2 x  3)

e)



h)



l)



dx
x2  6x  9
x
2 x 2  3x  2
dx

dx

x2  1
 2 dx
x 1
dx

f)



i)



x2  4
x3

x 2  3x  2

dx

1  x3

b)  cos x sin 3xdx

cos2 x

c)

dx

d)

 1  sin x cos x dx

e)

 2 sin x  1

g)

1  sin x
 cos x dx

h)

sin3 x
 cos x dx

c)  (tan2 x  tan 4 x )dx

f)

dx

 cos x

l)  cos3 xdx m)  sin4 xdx

II. TÍCH PHÂN
1. Khái niệm tích phân
 Cho hàm số f liên tục trên K và a, b  K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
b

F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là

 f ( x )dx .
a

b

 f ( x )dx  F (b)  F (a)
a

 Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:
b



a

b

b

f ( x )dx   f (t )dt   f (u)du  ...  F (b)  F (a)
a

a

 Ý nghóa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S
của hình thang cong giới hạn bởi đồ thò của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là:

Tài liệu ơn thi học kì 2 – Giải Tích 12

5


Thaygiaongheo - Video - Tài liệu học tốn THPT
b

S   f ( x )dx
a

2. Tính chất của tích phân
b

0





f ( x )dx  0



b





a

0

a

b

f ( x )dx    f ( x )dx
b

b

a

b

a

a

b

  f ( x )  g( x )dx   f ( x )dx   g( x )dx
a

b

  kf ( x )dx  k  f ( x )dx (k: const)


a



a

c

b

f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx
a

c

b

 Nếu f(x)  0 trên [a; b] thì

 f ( x )dx  0
a

b

 Nếu f(x)  g(x) trên [a; b] thì

b

 f ( x )dx   g( x )dx
a

a

3. Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
b



f  u( x ) .u '( x )dx 

a

u (b )



f (u)du

u (a )

trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)]
đònh trên K, a, b  K.
b) Phương pháp tích phân từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b  K thì:

b

b

xác

b

 udv  uv a   vdu
a

a

Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
b

– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho  vdu dễ tính
a

b

hơn  udv .
a

VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên hàm F(x)
của f(x), rồi sử dụng trực tiếp đònh nghóa tích phân:
b

 f ( x )dx  F (b)  F (a)
a

Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
– Nắm vững bảng các nguyên hàm.

Tài liệu ơn thi học kì 2 – Giải Tích 12

6


Thaygiaongheo - Video - Tài liệu học tốn THPT
– Nắm vững phép tính vi phân.
Bài 5. Tính các tích phân sau:
2

2

a)

b)  ( x 2 

3
 ( x  2 x  1)dx

1

1

2

d)



1

x

1 x

2

2

dx

e)



x

2

1

2

g)  x 2 ( x  1)2 dx

k)

0



4

x3



2

c)


1

x 1
dx

x2

e

2

4
dx
x2

x2  2 x

1

3
 e 3 x 1 )dx
x

f)  ( x 
1

1 1

 x 2 )dx
x x2

2

l)

dx

1

x3  2
 x dx
1

x3  x  1
 x  1 dx
0

m)

Bài 6. Tính các tích phân sau:
2

a)

5

b)

x  1dx



1

d)

2

xdx

dx

e)

1  x2
Bài 7. Tính các tích phân sau:


a)  sin( 2 x 
0


4

d)


0


2

g)

x2  x 2



2

0 3

3x

c)  ( x 2  x x  3 x )dx
1

2

1  x3

dx

f)


2


) dx
6

b)

tan x .dx

e)

2

cos x

dx

h)

 (2sin x  3cosx  x )dx

(tan x  cot x )2 dx

m)

c)

  sin 3x  cos 2 x  dx

2


4

x dx


4


2 1  cos x

 1  cos x dx
 cos

x 2  9dx

0

 3tan

0

4

4

0 x

6


3

3

 1  sin x
0


3

k)



2

0

2

dx

4

f)

i)

 (2 cot

6

2

 sin

2

2

x  5) dx

x.cos2 xdx

0

x dx

0



6

VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
b

Dạng 1: Giả sử ta cần tính  g( x )dx .
a

Nếu viết được g(x) dưới dạng: g( x )  f  u( x ) .u '( x ) thì

b

 g( x )dx 
a

u( b )



f (u)du

u( a )



Dạng 2: Giả sử ta cần tính

 f ( x)dx .


Tài liệu ơn thi học kì 2 – Giải Tích 12

7


Thaygiaongheo - Video - Tài liệu học tốn THPT
Đặt x = x(t) (t  K) và a, b  K thoả mãn  = x(a),  = x(b)


thì

b

b

a

a

 g(t )  f  x(t ) .x '(t)

f ( x )dx   f  x(t ) x '(t )dt   g(t )dt




Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau:
f(x) có chứa

Cách đổi biến


x  a sin t ,
 t
2
2
x  a cos t,
0t 


x  a tan t ,
 t
2
2
x  a cot t ,
0t 

  
a
x
,
t    ;  \ 0
sin t
 2 2
 
a
x
,
t   0;   \  
cos t
2 

a2  x 2

hoặc
a2  x 2

hoặc

x 2  a2

hoặc

Bài 3. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1):
1

x

0 (1  x 2 )3 dx

b)

0

2

ln 2

e)  x 2 1  x 3 dx

f)



ex

ln 2

0

e)

(e x  1)2 .e x dx b)

1e

0

0

x

2x

dx

f)

e

1

x

1



sin xdx



g)

d)  x 1  x 2 dx

2x  1

0

e

2  ln x dx
2x



c)

1

xdx

0

g)

dx

4  5 ln x
dx
x


2 ecos x
0

c)

e

1 e
Bài 4. Tính các tích phân sau :
0

a) 

1

1

19
 x(1  x) dx

a)

ln 2

0

4e

1

h)

1

ex

2

d)  e x (1 

dx
ex  1

1

x

x

1  3 ln x ln x
dx
x



dx

h)

dx

n)

e

1

e x
)dx
x

1  ln x
dx
x

i
i)

e ln x

1

x

dx

k)

1

0

1

2

xe x dx

m)



1

1

0 1 e

x



1

0 1

x2

dx

Bài 3 . Tính các tích phân sau :

3

1)

2
2 x
 (cos x  sin 4 )dx
0

4

2)

5

3)

1


3

x 2  3x  3
4) 
dx
x 1
2



x 2  3 x dx

2

5)

 sin



3

3

dx
2

x 4

2

x.cos xdx

0

Tài liệu ơn thi học kì 2 – Giải Tích 12

6)

2x  3
dx
x 1
1



8


Thaygiaongheo - Video - Tài liệu học tốn THPT

3


2

7)

 sin 3 x.sin 7 xdx

8)

0



1



x 4




4

1
4

sin x

 tan

11)

14)

dx

17)

2

sin x
 1  3 cos x dx
0

 sin
0

2

dx

2

xdx

0


2

x
4

0

2

16)

9)


2

1  ln x
dx
x

2

13)

 cos x.cos3 xdx
0

e 3

10)


6

5

12)

3
0

x2
1  x3


6

x.cos xdx

 cos

15)

5

dx

xdx

0

ln 2 3 x

2

sin x
 e .sin 2 xdx

18)

e



e

0

0

1
dx

x

VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
b

x
 P ( x).e dx
a

u
dv

b

b

b

 P ( x).cos xdx

 P ( x).sin xdx

 P( x).l n xdx

P(x)
cos xdx

P(x)

sin xdx

lnx
P(x)

a

P(x)
x

e dx

a

a

Bài 2. Tính các tích phân sau:

4

a)


2

 x sin 2 xdx
0

2

b)  ( x  sin 2 x) cos xdx
0


3

1

x
 (1  x .e ) dx

d)

e)

0


4

x
 xe dx

h)

0

1

2

cos xdx

0

1

f)  ( x  2)e 2 x dx
0

3

 x ln xdx

1

2

2

k)  (2 x 3  ln x)dx

x

e

ln 2

g)



x tan 2 xdx

c)

i)  ln( x 2  x)dx
2

l)  ( x  1) cos xdx
0

Bài 2 : Tính các tích phân sau :
5



1)

 x.cos3 xdx
0


0

3)

 (e

2


4

ln 2

x.tan xdx



2)  2 x ln( x  1)dx

5)



0

Tài liệu ơn thi học kì 2 – Giải Tích 12

(e x  1)2 dx

cos x

4)

 x )sin xdx

0



6)

 x(1  cos x )dx
0

9


Thaygiaongheo - Video - Tài liệu học tốn THPT

2

7)

e

 (1  sin x ).cos xdx

8)

0



x 2  ln x
x2

1

2

9)  ( x  1)e2 x dx

dx

0

VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trò tuyệt đối
Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) rồi sử dụng công thức phân
đoạn để tính tích phân trên từng đoạn nhỏ.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
2

a)



2

b)

x  2 dx

0

3

d)





2

x 2  x dx

c)

0

4

x 2  1 dx

e)

3



x

2

 2 x  3 dx

0

x 2  6 x  9dx

1

VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác.
Bài 1. Tính các tích phân sau:

4


4

a)  sin 2 x. cos xdx

b)  tan xdx

0



 sin x cos



f)  cos 2 3 x

0

0

4

0


2


2

h)  sin 3 x cos xdx

xdx

0

sin x

 1  3 cos x dx
0

e)  sin 2 xdx

d)  sin 3 xdx

g)

c)

0


2


2


2

i)

 sin x cos xdx
0

0

III. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình phẳng
 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thò (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Trục hoành.
– Hai đường thẳng x = a, x = b.
b

là:

S   f ( x ) dx

(1)

a

 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thò của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Hai đường thẳng x = a, x = b.

Tài liệu ơn thi học kì 2 – Giải Tích 12

10


Thaygiaongheo - Video - Tài liệu học tốn THPT
b

là:

(2)

S   f ( x )  g( x ) dx
a

Chú ý:
b

 Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:



b

f ( x ) dx 

a

 f ( x )dx

a

 Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trò tuyệt đối của hàm số dưới dấu
tích phân. Ta có thể làm như sau:
Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm
được 2 nghiệm c, d (c < d).
Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:
b



a

c

d

b

f ( x ) dx   f ( x ) dx   f ( x ) dx   f ( x ) dx
a

c

c

=



d

d

f ( x )dx 



a

b

f ( x )dx 

c

 f ( x )dx
d

(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)
 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thò của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d])
– Hai đường thẳng x = c, x = d.
d

S   g( y )  h( y ) dy
c

2. Thể tích vật thể
 Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm các
điểm a và b.
S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bò cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có
hoành độ x (a  x  b). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].
b

Thể tích của B là: V   S( x )dx
a

 Thể tích của khối tròn xoay:
Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:
(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b)
sinh ra khi quay quanh trục Ox:
b

V    f 2 ( x )dx
a

Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung
quanh trục Oy:
(C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d
d

là:

V    g2 ( y )dy
c

Tài liệu ơn thi học kì 2 – Giải Tích 12

11


Thaygiaongheo - Video - Tài liệu học tốn THPT
VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng
Bài 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

ln x
1
, y  0, x  , x  e
x
e

1) y  x 2  4 x  6, y  0, x  2, x  4

2) y 

1  ln x
, y  0, x  1, x  e
x
1
5) y  ln x, y  0, x  , x  e

e
7) y = x2 -2 , y = -3x + 2

4) y  x 3  x và y = x – x2

3) y 

9) y = x2 -12x + 36 , y = 6x – x2
11) y = x4 – 2x2 + 2, y = 2
13) y = x +2 và y = x2 + x – 2
15) y = 2 – x2 và y = -x

6) y  x 3 , y  0, x  2, x  1
8) y = x2 – x + 3 , y = 2x + 1
1
10) y = lnx, x = , x = e , y = 0
e
2
12 ) y = x + 2x, x –y +2 = 0
14) y = 4 –x2 và x = 3
16) y = x3 – 1 và x = 2

VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể
Bài 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh
trục Ox:

1
1) y  sin x , y  0, x  0, x 
2) y  x 3  x 2 , y  0, x  0, x  3
4

3

3) y  sin 6 x  cos6 x , y  0, x  0, x 
4) y  x , x  4
2
5) y  x 3  1, y  0, x  1, x  1
7) y 

x2
x3
, y
4
8

6) y  x 2 , y  x
8) y   x 2  4 x , y  x  2



,x
4
2
2
2
11) y  x  4 x  6, y   x  2 x  6

10) ( x  2)2  y 2  9, y  0

13) y = 3x – x2 , y = 0

14) y = sin

9) y  sin x , y  cos x , x 

12) y  ln x , y  0, x  2

19) y = -x2 + 1, y = 0

x

, y = 0, x = 0, x =
2
4

16) y = tanx, y = 0, x = 0, x =
4
3
18) y = sinx, y = 0, x = 0, x =
4
20) y = xlnx, y = 0, x = e

21) y = (e +1)x, y = ( 1 + ex)x

22) y  x , y  0, x  3

15) y = cosx, y = 0, x = 0 , x = 
17) y = lnx, y = 0, x = e

23) y  x ln x , y  0, x  1, x  e

Tài liệu ơn thi học kì 2 – Giải Tích 12

12


Thaygiaongheo - Video - Tài liệu học toán THPT

IV. SỐ PHỨC
I. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC
1. Một số phức là một biểu thức có dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i thoả mãn i2
= -1. Ký hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi.
i được gọi là đơn vị ảo
a được gọi là phần thực. Ký hiệu Re(z) = a
b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi, ký hiệu Im(z) = b
Tập hợp các số phức ký hiệu là C.
*) Một số lưu ý:
- Mỗi số thực a dương đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0.
- Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.
- Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
2. Hai số phức bằng nhau.
Cho z = a + bi và z’ = a’ + b’i.
a  a '
b  b '

z = z’ ( 

3. Biểu diễn hình học của số phức.
Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ độ Oxy.
Ngược lại, mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z = a + bi.
4. Phép cộng và phép trừ các số phức.

Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:

z  z '  (a  a ')  (b  b')i

z  z '  (a  a ')  (b b')i
5. Phép nhân số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:

zz '  aa 'bb' (ab ' a ' b)i
6. Số phức liên hợp.
Cho số phức z = a + bi. Số phức z = a – bi gọi là số phức liên hợp với số phức trên.
Vậy z = a  bi = a - bi
Chú ý: 10) z = z (z và z gọi là hai số phức liên hợp với nhau.
20) z. z = a2 + b2
*) Tính chất của số phức liên hợp:
(1): z  z
Tài liệu ôn thi học kì 2 – Giải Tích 12

13


Thaygiaongheo - Video - Tài liệu học toán THPT
(2): z  z '  z  z '
(3): z.z '  z.z '
(4): z. z =

a 2  b 2 (z = a + bi)

7. Môđun của số phức.
Cho số phức z = a + bi. Ta ký hiệu z là môđun của số phư z, đó là số thực không âm

được xác định như sau:
uuuuuv

- Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, thì z = OM = a 2  b 2
- Nếu z = a + bi, thì z =

z.z = a 2  b 2

8. Phép chia số phức khác 0.
Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a 2+b 2 > 0)
Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 của số phức z ≠ 0 là số
z-1=
Thương

1
1
z 2 z
2
a b
z
2

z'
của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau:
z

z'
z '.z
 z . z 1  2
z

z

Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó cũng có đầy đủ tính chất giao
hoán, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường.

II. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
1. Cho số phức z (0. Gọi M là một điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Số đo
(radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu là Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z.
Như vậy nếu (là một acgumen của z, thì mọi acgumen đều có dạng:
(+ 2k, k (Z.
2. Dạng lượng giác của số phức.
Xét số phức z = a + bi (0 (a, b (R)
Gọi r là môđun của z và (là một acgumen của z.
Ta có: a = rcos, b = rsin(
z = r(cos(+isin), trong đó r > 0, được gọi là dạng lượng giác của số phức z (0.
z = a + bi (a, b (R) gọi là dạng đại số của z.
3. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác.
Nếu z = r(cos(+isin)
Tài liệu ôn thi học kì 2 – Giải Tích 12

14


Thaygiaongheo - Video - Tài liệu học toán THPT
z' = r’(cos’ +isin’) (r ≥ 0, r’ ≥ 0)
thì: z.z’ = r.r[cos((+’) +isin((+’)]
z' r'
  cos( '  )  i sin( '  )  khi r > 0.
z r

4. Công thức Moivre.
[z = r(cos(+isin)]n = rn(cos n(+isin n)
5. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác.
Cho số phức z = r(cos(+isin) (r>0)



r  cos  isin 
2
2


Khi đó z có hai căn bậc hai là:




và - r  cos  isin  =
2
2









r  cos      isin     

2

2



MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN.
DẠNG 1: TÌM SỐ PHỨC, PHẦN THỰC, PHẦN ẢO, MODUN
Bài 1: Cho số phức z thõa mãn: (1+i)z +(3- i) z = 2 – 6i. Tìm phần thực, phần ảo và mô đun của
z
Bài 2: Tìm phần ảo của số phức z biết: z  ( 2  i )2 (1  2i )
3

1  3i 
Bài 3: Cho số phức z thõa: z 

Tìm mô đun của số phức: z  iz

1 i
Bài 4: Tìm số phức z thõa mãn: z  2 và z2 là số thuần ảo
2

Bài 5: Tìm các số phức z biết: z 2  z  z
Bài 6: Tìm mô đun của số phức z, biết: (2 z  1)(1  i )  ( z  1)(1  i )  2  2i
Bài 7: Tìm số phức z, biết: z 

5i 3
1  0
z

 1 i 3 
Bài 8: Tìm phần thực và phần ảo của số phức: z = 

 1 i 
Bài 9: Tìm số phức z biết: z  (2  3i ) z  1  9i

3

Bài 10: Cho số phức z thõa mãn: (1+i)(z –i) + 2z = 2i. Tìm phần thực, phần ảo, mô đun của số
phức:
a) w =

z  2z 1
z2

b) w = 1 + z + z2
Bài 11: Cho số phức z thõa: z + (2 + i) z = 3 + 5i. Tìm phần thực, phần ảo, mô đun của z
Bài 12: Cho số phức z thõa: 2 z  3(1  i ) z  1  9i . Tìm phần thực, phần ảo, mô đun của z
Bài 13: Cho số phức z thỏa:

5( z  i )
2
 2  i . Tìm mô đun của số phức: w = 1 + z + z
z 1

Tài liệu ôn thi học kì 2 – Giải Tích 12

15

Thaygiaongheo - Video - Tài liệu học toán THPT
2(1  2i )
Bài 14: Cho số phức z thõa: (2  i ) z 
 7  8i . Tìm môn đun của số phức: w = z + 1+i
1 i
Bài 15: Cho số phức z thõa; (3z  z )(1  i)  5 z  8i  1 . Tìm mô đun của z

Bài 16: Cho số phức z =

3 1
2
3
2
 i . Tính các số phức sau: z ; z ; ( z ) ; 1 + z + z
2 2

Bài 17: Tìm số phức liên hợp của số phức: z  (1  i )(3  2i ) 
Bài 18: Tìm mô đun của số phức: z 

1
3 i

(1  i )(2  i )
1  2i

Bài 19: Tìm các số thực x, y thoả mãn: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i
Bài 20: Tính: i105 + i23 + i20 – i34
Bài 21: Tìm cặp số thực x,y thõa mãn phương trình: (x + 2i)2 = -3x + 2yi
Bài 22: Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất thỏa mãn: iz  3  z  2  i
2

2

Bài 23: Tìm số phức z thỏa mãn: z  2 z.z  z  8 và z  z  2
Bài 24: Cho số phức z thỏa mãn: z  3i  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z
Bài 25: tìm số phức z có phần thực dương, phần ảo là số thực âm thỏa mãn;
z  1 và z 2  ( z )2  3
Bài 26: Tìm số phức z khác 0 thỏa: z  1  2i  z  1  2i và z2 + 3iz là số thuần ảo
2

Bài 27: Cho số phức z thỏa: z  2 z  3(1  2i) . Tính z  z  z
Bài 28: Tìm số phức z thỏa mãn: z  3i  1  iz và z -

3

9
là số thuần ảo
z

z  2i
là số ảo
z 2
z  2i
z 7
Bài 30: Cho số phức z thỏa; z + 1 =
. Tính
z2
z i
 z 1
 z i 1


Bài 31: Tìm số phức z thoả mãn hệ: 
 z  3i  1
 z  i
 z  2i  z
Bài 32; Tìm số phức z thỏa: 
 z  i  z  1

Bài 29: Tìm số phức z thỏa: z  z  2  2i và

Bài 33: Tìm số phức z thỏa nãm |z-(2+i)|= 10 và z. z =25
Chú ý:
Để tính toán bài này, ta chú ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ đó suy ra luỹ thừa của đơn
vị ảo như sau:
Ta có: i2 = -1; i3 = -i; i4 = i3.i = 1; i5 = i; i6 = -1…
Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được: i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = -1; i4n+3 = -i; (n (N*
Vậy in ({-1;1;-i;i}, (n (N.
Tài liệu ôn thi học kì 2 – Giải Tích 12

16


Thaygiaongheo - Video - Tài liệu học toán THPT
1

n
n

Nếu n nguyên âm, in = (i-1)-n =     i  .
i

Như vậy theo kết quả trên, ta dễ dàng tính được:
i105 + i23 + i20 – i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 – i4.8+2 = i – i + 1 + 1 = 2
16

Bài 21: Tính số phức sau: a) z = (1+i)

15

8

 1 i 
 1 i 
b) z = 
 

 1 i 
 1 i 

Bài 22: Cho hia số phức: z1 = 2 – 3i và z2 = 2 + 5i. Tìm phần thực, phần ảo, mô đun của số
phức:
a) 3z1 – 2z2

b) 2 z1 - 3z2

c)

z1 2 z2

z2
z1

d) 3z12 – 4 z22

DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ MODUN CỦA SỐ PHỨC VÀ BIỂU
DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC
Trong dạng này, ta gặp các bài toán biểu diễn hình học của số phức hay còn gọi là tìm tập
hợp điểm biểu diễn một số phức z trong đó số phức z thoả mãn một hệ thức nào đó (thường là
hệ thức liên quan đến môđun của số phức). Khi đó ta giải bài toán này như sau:
Giả sử z = x+yi (x, y (R). Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm
M(x;y). Ta có: OM =

x2  y 2 = z

Sử dụng dữ kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp điểm M.
Lưu ý:
-

Với số thực dương R, tập hợp các số phức với z = R biểu diễn trên mặt phẳng phức là
đường tròn tâm O, bán kính R.

-

Các số phức z, z < R là các điểm nằm trong đường tròn (O;R)

-

Các số phức z, z >R là các điểm nằm ngoài đường tròn (O;R)

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:
a) z  (3  4i )  2

b) z  2i  z  1

c) z  3i  2

d) z  2i  2 z  1

e) z  i  (1  i ) z

f) z  1  i =2

g) 2  z  1  i

h) 2  z  z  2

i) z  4i  z  4i  10

k) |z + z +3|=4

l) |z + z + 1 - i| = 2

m) 2|z-i|=|z- z +2i|

n) z  2i  1  2 z  i  1

o) z  3  2i  2 z  1  2i

Bài 2: Cho z1 = 1+i; z2 = -1-i. Tìm z3 (C sao cho các điểm biểu diễn của z1, z2, z3 tạo thành tam
giác đều.
Tài liệu ôn thi học kì 2 – Giải Tích 12

17


Thaygiaongheo - Video - Tài liệu học toán THPT
Chú ý: Để giải bài toán này ta cần chú ý đến kiến thức sau:
Giả sử M1(x1;y1) biểu diễn số phức z1 = x1 + y1 i
Giả sử M2(x2;y2) biểu diễn số phức z2 = x2 + y2 i
Khi đó khoảng cách giữa hai điểm M1M2 bằng môđun của số phức z1 – z2.
Vậy: M1M2 = |z1 – z2| =

2

 x1  x2    y1  y2 

2

DẠNG 3: TÌM CĂN BẬC 2 CỦA SỐ PHỨC
Cho số phức w = a + bi. Tìm căn bậc hai của số phức này.
Phương pháp:
+) Nếu w = 0 (w có một căn bậc hai là 0
+) Nếu w = a > 0 (a (R) (w có hai căn bậc hai là

a và - a

+) Nếu w = a < 0 (a (R) (w có hai căn bậc hai là

ai và - ai

+) Nếu w = a + bi (b (0)

Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) là một căn bậc hai của w (z2 = w ((x+yi)2 = a + bi
 x2  y 2  a
 2 xy  b

(

Để tìm căn bậc hai của w ta cần giải hệ này để tìm x, y. Mỗi cặp (x, y) nghiệm đúng
phương trình đó cho ta một căn bậc hai của w.
Chú ý: Có rất nhiều cách để giải hệ này, sau đây là hai cách thường dùng để giải.
Cách 1: Sử dụng phương pháp thế: Rút x theo y từ phương trình (2) thế vào pt (1) rồi
biến đổi thành phương trình trùng phương để giải.
Cách 2: Ta biến đổi hệ như sau:
 x 2  y 2  2  a 2
 x2  y 2  a

 x2  y 2  a 
2

(  2 xy   b 2
  x 2  y 2  a 2  b2

 2 xy  b
 2 xy  b
 xy  b / 2




Từ hệ này, ta có thể giải ra x2 và y2 một cách dễ dàng, sau đó kết hợp với điều kiện
xy=b/2 để xem xét x, y cùng dấu hay trái dấu từ đó chọn được nghiệm thích hợp.

Nhận xét: Mỗi số phức khác 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau.
Ví dụ: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:
1) 4 + 6 5 i

2) 3 + 4i

3) -1-2 6 i

4) -5 + 12i

DẠNG 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2
Cho phương trình bậc hai: Az2 +Bz +C = 0 (1) (A, B, C (C, A (0)
Phương pháp:
Tài liệu ôn thi học kì 2 – Giải Tích 12

18


Tính (= B2 – 4AC

Thaygiaongheo - Video - Tài liệu học toán THPT

*) Nếu ((0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z1 =

B  
B  
, z2 =
2A
2A

(trong đó (là một căn bậc hai của ).
*) Nếu (= 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép: z1 = z2 = 

B
2A

Bài 1: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1) z2 + 2z + 5 = 0
2) z2 + (1-3i)z – 2(1 + i) = 0
3) 8z2 - 4z + 1 = 0
4) z4 + z2 - 6 = 0
5) 3z2 + 2z +7 = 0
6) 2z4 +5z2 + 2 = 0
7) z2 + (2 – i)z – 2i = 0
8) z 3 – 1= 0
9) z3 + 8 = 0
10) 8z3 – 1 = 0
11) z4 – 16 = 0
12) z4 + 16 = 0
13) z4 + 4 = 0
14) z3 -3iz2 - 3z + 2i = 0
15) z3 + 3iz2 -3z -9i = 0
16) z 2  2 3iz  4  0
17) z2 + 3(1 +i)z +5i = 0
18) 4z2 -2z -i 3 =0
19) z2 +3(1+i)z – 6 -13i = 0
20) z3 -3z2 +4z – 2 = 0
21) z4 + 2z3 +5z2 +4z -12 =0
22) z3 = 18 + 26i, trong đó z = x + yi; x,y (Z
23) z4 – 4z3 +7z2 – 16z + 12 = 0

24) (z2 + 3z +6)2 + 2z(z2 + 3z +6) – 3z2 = 0
25) z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = 0

Tài liệu ôn thi học kì 2 – Giải Tích 12

19


Thaygiaongheo - Video - Tài liệu học toán THPT
Bài 2: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình: z2 – 2z + 5 = 0. Tính giá trị của
biểu thức
P = z12  z22
Bài 3: Tìm số thực a, b sao cho: 2 z 3  9 z 2  14 z  5  (2 z  1)( z 2  az  b)
Áp dụng giải phương trình sau: 2 z 3  9 z 2  14 z  5  0
Bài 4: Tìm số thực a, b sao cho: z 4  4 z 2  16 z  16  ( z 2  2 z  4)( z 2  az  b)
Áp dụng giải phương trình: z 4  4 z 2  16 z  16  0
Bài 5: Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 –i và tích của chúng bằng 5(1-i)
Bài 6: Cho phương trình: z4 -2z3 – z2 – 2z + 1 = 0 (1)
a) Bằng cách đặt y = z +

1
hãy đưa phương trình về dạng: y2 – 2y – 3 = 0.
z

b) Từ đó giải phương trình (1)

Tài liệu ôn thi học kì 2 – Toán Giải tích 12

20