Đề thi học sinh giỏi lớp 9, lớp 12 và Tin học trẻ các năm - Phòng Khảo thí và Kiểm định chất lượng giáo dục - Sở Giáo dục và Đào tạo Kiên Giang toan1_deda

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH KIÊN GIANG
−−−−−−−−−−
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 - 2012
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

MÔN : TOÁN HỌC
Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 01/11/2011
(Đề thi có 01 trang)

Bài 1 (5 điểm).
1. Giải bất phương trình sau trên tập số thực :

x 2 − 2 x + 3 + x > x 2 − 6 x + 11 + 4 − x .
2. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực :
2
2
 x + y + 2 y = 7 + 2 xy
 2
2
( x − y )( x − y ) + 13 y + 6 = 13 x
Bài 2 (5 điểm).
Chứng minh rằng sin x >

π

2x

đúng với mọi x ∈ (0; ) .
π
2

Từ đó chứng minh rằng cos x ≤ 1 −

4 x2

π

2

đúng với mọi x ∈ (

−π π
; ).
2 2

Bài 3 (5 điểm).
Cho hình chóp S . ABC có SAC = SCB = ABC = 900 và SA =

25
cm, AB = 4cm, BC = 3cm . Tính thể
4

tích khối chóp S . ABC .

Bài 4 (5 điểm).
Giải phương trình sau trên tập số thực :

3cot 2 x + 2 2 sin 2 x = (2 + 3 2) cos x .

−−−−−−−−−−−−−−−−−−HẾT−−−−−−−−−−−−−−−−−−


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH KIÊN GIANG
---------------------

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TÌNH LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2011 – 2012
-------------------------------

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
MÔN TOÁN
Ngày thi 01/11/2011
(Hướng dẫn chấm này gồm có 03 trang)
BÀI
Bài 1.1
(2,5 điểm)

ĐÁP ÁN

ĐIỂM

Điều kiện : 0 ≤ x ≤ 4 .
BPT đã cho tương đương với BPT
0,5đ

x 2 − 2 x + 3 − x 2 − 6 x + 11 > 4 − x − x

4( x − 2)

⇔

>

−2( x − 2)
4− x + x

1,0đ

x − 2 x + 3 + x − 6 x + 11


4
2
⇔ ( x − 2) 
+
>0⇔ x>2
2
2
4− x + x 
 x − 2 x + 3 + x − 6 x + 11
Kết hợp với điều kiện, nghiệm của BPT đã cho là 2 < x ≤ 4 .
2

Bài 1.2
(2,5 điểm)

Bài 2

(5 điểm)

2

0,5đ
0,5đ

( x − y ) + ( x + y ) − ( x − y ) = 7
Hệ đã cho được viết lại : 
2
( x + y )( x − y ) + 6 = 13( x − y )
2
2
(1)
v + u − v = 7
u = −v + v + 7
Đặt u = x + y, v = x − y ta được hệ  2
⇔ 4 3
2
uv + 6 = 13v
v − v − 7v + 13v − 6 = 0 (2)
v = 1
2
(2) ⇔ (v + 3)(v − 2)(v − 1) = 0 ⇔ v = 2
v = −3
Hệ (1) và (2) có 3 cặp nghiệm : (7 ; 1), (5 ; 2), (−5 ; −3).
7 3
Hệ đã cho có 3 cặp nghiệm : (4;3), ( ; ), (−4; −1) .
2 2
2x

Xét hàm số f ( x) = sin x − .
2

π

Ta có f / ( x) = cos x −

0,5 đ

0,5đ

0,5đ

1,0đ

π

2

và f / ( x) = 0 có duy nhất nghiệm x = x0 ∈ (0; ) .
π
2
x

+

f ( x)

π

x0

0

/

0

2

−

1,0đ

f ( x)

.

1,0đ

0

0

Dựa vào BBT ta có ngay f ( x) = sin x −

2x

π

> 0, ∀x ∈ (0; ) .
π
2

Trang 1


Vì hàm số y = cos x và hàm số y = 1 −
minh cos x ≤ 1 −

4 x2

π

2

4 x2

π2

là các hàm số chẵn nên ta chỉ cần chứng

π

1,0đ

đúng với mọi x ∈ [0; ) .
2

π

2x
4x2
4x2
≥ 0 . Do đó, sin 2 x ≥ 2 ⇔ cos 2 x ≤ 1 − 2 .
Theo trên, ∀x ∈ [0; ) ta có sin x ≥
2
π
π
π
π
4 x2
π
Mặt khác, cos x > 0, ∀x ∈ [0; ) nên ta được cos x ≤ 1 − 2 đúng với mọi x ∈ [0; ) .
2
π
2
Bài 3
(5 điểm)

∆ABC vuông tại B nên AC = AB 2 + BC 2 = 5 .

1,0đ

1,0đ
0,5đ

Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABC).
Vì AC vuông góc đoạn xiên SA nên AC vuông góc hình chiếu HA.

1,0đ

Tương tự, BC ⊥ HC. Suy ra HC song song AB.

1,0đ

Do đó, HCA = CAB . Vì vậy, ∆ACH ∼ ∆BAC .

1,0đ

Vì

AH AC
15
=
nên AH = . Suy ra, SH = SA2 − AH 2 = 5 .
BC BA
4

1
1 1
Ta có VSABC = S ABC .SH = . AB.BC.SH = 10cm3 .
3
3 2

1,0đ

0,5đ

S

C

H

A

Bài 4
(5 điểm)

B

ĐK sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ . Đặt t = cos x , −1 < t < 1

0,5đ

PT đã cho trở thành :

1,0đ

2 2t 4 + (2 + 3 2)t 3 − (4 2 − 3)t 2 − (2 + 3 2)t + 2 2 = 0

Vì t = 0 không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho t 2 ta được
2 2(t 2 +

1
1
) + (2 + 3 2)(t − ) + 3 − 4 2 = 0 (1)
2
t
t

Trang 2

0,5đ


Đặt y = t −

1
1
ta được t 2 + 2 = y 2 + 2
t
t

0,5đ

3

y
=
−

2
(1) trở thành 2 2 y 2 + (2 + 3 2) y + 3 = 0 ⇔ 
2

 y = − 2

1,0đ

Với y = −

3
1
π
ta được t = −2 (loại ) và t = ⇔ x = ± + k 2π
2
2
3

0,5đ

Với y = −

2
2
π
ta được t = − 2 ( loại ) và t =
⇔ x = ± + m 2π
2
2
4

0,5đ

Vậy nghiệm PT là x = ±

π
3

+ k 2π và x = ±

HẾT

Trang 3

π
4

+ m2π .

0,5đ