de thi hoc sinh gioi mon toan lop 8

Trường em



PHÒNG GD&ĐT VĨNH TƯỜNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ GIAO LƯU HSG LỚP 8 NĂM HỌC 2013-2014
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1: (1,5đ)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 2014x2 + 2013x + 2014.
b) Giải phương trình: (2x - 8)3 + (4x + 13)3 = (4x + 2x + 5)3
Câu 2: (1,5đ)
a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x2 - 2xy + 2y2 - 2x + 6y + 5 = 0.
b) Cho các số a, b, c thỏa mãn: a(a – b) + b(b – c) + c(c – a) = 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = a3 + b3 + c3 - 3abc + 3ab - 3c + 5.
Câu 3: (1,5đ)
a) Cho các số tự nhiên a1, a2, ....., a2013 có tổng bằng 20132014
3
Chứng minh rằng: a13 + a 23 + ..... + a 2013
chia hết cho 3.
b) Tìm số tự nhiên n để n + 18 và n - 41 là hai số chính phương.
Câu 4: (1,5đ)
a) Cho đa thức P(x) = x2 + bx + c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng các đa thức
x4 + 6x2 + 25 và 3x4 + 4x2 + 28x + 5 đều chia hết cho P(x). Tính P(-2).
b) Cho hai số x; y thỏa mãn: x2 + x2y2 – 2y = 0 và x3 + 2y2 – 4y + 3 = 0
Tính giá trị của biểu thức Q = x2 + y2
Câu 5: (2,5đ)
Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình

vuông AMCD, BMEF.
a) Chứng minh rằng: AE ⊥ BC.
b) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động
trên đoạn thẳng AB.
Câu 6: (1,5đ)
a) Cho A là một tập hợp gồm 1008 số nguyên dương phân biệt bất kì, mỗi số không vượt
quá số k. Tìm giá trị lớn nhất của k sao cho trong A có ít nhất một số là bội số của một số khác
cũng thuộc A.
b) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
1
1
1
1
+ 2
+ 2
≤
2
2
2
a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a + 3 2
2

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên học sinh dự thi:………………………………………;SBD:……………


Trường em

PHÒNG GD&ĐT VĨNH TƯỜNG

HD CHẤM GIAO LƯU HSG CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013 -2014

Môn: Toán 8
Câu

Phần

1

a

b

2

a

b

Nội dung trình bày
Ta có: x + 2014x + 2013x + 2014
= x4 – x + 2014x2 + 2014x + 2014
= x(x -1)(x2 + x +1) + 2014(x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 2014)
Đặt 2x – 8 = a, 4x + 13 = b ⇒ 4x + 2x + 5 = a + b
Ta có phương trình: a3 + b3 = (a + b)3

⇔ 3ab(a + b) = 0 ⇔ a = 0; b = 0; a + b = 0
Nếu a = 0 thì 2x – 8 = 0 ⇒ x = 3
Nếu b = 0 thì 4x + 13 = 0 ⇒ 4x = -13 (loại)
Nếu a + b = 0 thì 4x + 2x + 5 = 0 ⇒ 4x + 2x = -5 (loại)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
Ta có: x2 - 2xy + 2y2 - 2x + 6y + 5 = 0
⇔ (x - y – 1)2 + (y + 2)2 = 0
Từ đó suy ra: x - y – 1 = 0 và y + 2 = 0
Vậy x = - 1, y = - 2
Từ a(a – b) + b(b – c) + c(c – a) = 0 suy ra:
(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0 ⇒ a = b = c
4

2

Điểm
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25

0,5
0,25

0,25

2

3

a

1  17 17

Do đó: A = 3a3 -3a3 + 3a2 -3a + 5 = 3  a −  + ≥
2
4
4

17
1
Vậy min A =
⇔a=b=c=
4
2
2014
Ta có: 2013M3 ⇒ 2013
M3
⇒ a1 + a2 + ..... + a2013 M3
3
3
3
Xét hiệu: A = ( a1 + a 2 + ..... + a 2013 ) – (a1 + a2 + ..... + a2013)
3

3

b

2

0,25
0,25

3

= ( a1 − a1 ) + ( a2 − a2 ) + ..... + ( a2013 − a2013 )
3
Dễ thấy a – a = a(a – 1)(a + 1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp
nên chia hết cho 3.
Suy ra: AM 3
3
3
3
Mà a1 + a2 + ..... + a2013 M3 nên a1 + a 2 + ..... + a 2013 M 3
2

0,25

Đặt n + 18 = a và n - 41= b (a, b ∈ N)
Suy ra: a2 – b2 = 59
⇒ (a – b)(a + b) = 59
a − b = 1
a = 30
Do a, b ∈ N và 0 ⇒
a + b = 59 b = 29
⇒ n = 882

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25


Trường em

4



a

b

Ta có: x4 + 6x2 + 25 chia hết cho x2 + bx + c
⇒ 3x4 + 18x2 + 75 chia hết cho x2 + bx + c
Mà 3x4 + 4x2 + 28x + 5 chia hết cho x2 + bx + c
Suy ra: 14x2 - 28x + 70 chia hết cho x2 + bx + c
hay x2 - 2x + 5 chia hết cho x2 + bx + c
Do b, c ∈ Z nên b = -2, c = 5
⇒ P(x) = x2 - 2x + 5
Vậy P(-2) = 13
2y
Ta có: x2 + x2y2 – 2y = 0 ⇒ x2 = 2 ≤ 1 ⇒ −1 ≤ x ≤ 1
y +1

0,25
0,25
0,25
0,25

(1)

x3 + 2y2 – 4y + 3 = 0 ⇒ x 3 = − 1 − 2 ( y − 1 ) ≤ − 1 ⇒ x ≤ − 1
2

(2)

0,25

Từ (1) và (2) ⇒ x = −1 ⇒ x = 1
2

⇒ y2 − 2 y + 1 = 0 ⇒ y = 1 ⇒ y2 = 1

0,25

V ậy Q = x 2 + y 2 = 1 + 1 = 2

5

a

C

D

I

H
O

E

F

0,25

A

K

M

B

∆AME = ∆CMB (c-g-c) ⇒ ∠EAM = ∠BCM
Mà ∠BCM + ∠MBC = 900 ⇒ ∠EAM + ∠MBC = 900
⇒ ∠AHB = 900
Vậy AE ⊥ BC
b

Gọi O là giao điểm của AC và BD.
∆AHC vuông tại H có HO là đường trung tuyến
⇒ HO =

c

1
1
AC = DM
2
2

⇒ ∆DHM vuông tại H
⇒ ∠DHM = 900
Chứng minh tương tự ta có: ∠MHF = 900
Suy ra: ∠DHM + ∠MHF = 1800
Vậy ba điểm D, H, F thẳng hàng.
Gọi I là giao điểm của AC và DF.
Ta có: ∠DMF = 900 ⇒ MF ⊥ DM mà IO ⊥ DM ⇒ IO // MF
Vì O là trung điểm của DM nên I là trung điểm của DF
Kẻ IK ⊥ AB (K∈AB)
⇒ IK là đường trung bình của hình thang ABFD

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25


Trường em

⇒ IK =

6

a

b

AD + BF AM + BM AB
=
=
(không đổi)
2
2
2

Do A, B cố định nên K cố định, mà IK không đổi nên I cố định.
Vậy đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di
động trên đoạn thẳng AB
Xét các tập hợp Ai (i = 1, 2, 3, ....., 1007), với Ai gồm 1008 số tự
nhiên bắt đầu từ i.
A1 = {1; 2; ..... ; 1008}
A2 = {2; 3; ..... ; 1009}
.....
A1007 = {1007; 1008; ..... ; 2014}
Dễ thấy trong mỗi tập hợp Ai đều có 1008 phần tử và đều có ít nhất
một số là bội của một số khác cùng thuộc Ai

Do đó một tập hợp A bất kì gồm 1008 số tự nhiên phân biệt, số lớn
nhất sẽ không vượt quá 2014.
Ta sẽ chứng minh k = 2014 là số lớn nhất thỏa mãn đề bài.
Thật vậy, giả sử k > 2014 tức là k = 2014 + a (a∈N*). Xét tập hợp
gồm 1008 số tự nhiên không vượt quá k như sau:
A = {1007 + a; 1008 + a; ..... ; 2014 + a}
Ta có: 2014 + a < 2(1007 + a) ⇒ trong A không tồn tại một số nào
là bội của một số khác.
Vậy giá trị lớn nhất của k là 2014.
Ta có: a2 + 2b2 + 3 = (a2 + b2) + (b2 + 1) + 2
Áp dụng BĐT x2 + y2 ≥ 2xy, ta có:
a2 + b2 ≥ 2ab, b2 + 1 ≥ 2b
Suy ra: (a2 + b2) + (b2 + 1) + 2 ≥ 2ab + 2b + 2 = 2(ab + b + 1)
⇒ a2 + 2b2 + 3 ≥ 2(ab + b + 1)
Tương tự: b2 + 2c2 + 3 ≥ 2(bc + c + 1)
c2 + 2a2 + 3 ≥ 2(ca + a + 1)
Do đó:
1
1
1
1

VT ≤ 
+
+
(1)

2  ab + b + 1 bc + c + 1 ca + a + 1 
Mặt khác: Do abc = 1 nên
1

1
1
1
ab
b
+
+
=
+
+
ab + b + 1 bc + c + 1 ca + a + 1 ab + b + 1 b + 1 + ab 1 + ab + b
ab + b + 1
=
=1
(2)
ab + b + 1

Từ (1) và (2) suy ra:

1
1
1
1
+ 2
+ 2
≤
2
2
2
a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a + 3 2

2

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25