TÓM tắt KIẾN THỨC TOÁN 11
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3 MB, 37 trang )
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
ro
up
s/
Ta
iL
ie
uO
nT
hi
D
ai
H
oc
0
1
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Lưu hành nội bộ
Điều chỉnh, bổ sung năm 2011
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
ro
up
s/
Ta
iL
ie
uO
nT
hi
D
ai
H
oc
0
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC .................................................................... 4
1. Độ và radian .......................................................................................... 4
2. Các hệ thức cơ bản ................................................................................. 4
3. Các hệ quả cần nhớ ................................................................................ 4
4. Các cung liên kết ................................................................................... 5
5. Các công thức biến đổi ........................................................................... 6
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ............................................................................ 8
1. Các hàm số lượng giác ........................................................................... 8
2. Tập xác định của hàm số ........................................................................ 9
3. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số ..................................... 9
4. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số ................................................................... 9
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ........................................................... 10
1. Phương trình lượng giác cơ bản............................................................ 10
2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác ............................ 12
3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx ........................................... 12
4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx .............................. 13
5. Phương trình đối xứng, phản đối xứng ................................................. 13
6. Phương trình lượng giác khác............................................................... 13
ĐẠI SỐ TỔ HỢP ....................................................................................... 14
1. Phép đếm ............................................................................................. 14
2. Hoán vị ................................................................................................ 14
3. Chỉnh hợp ............................................................................................ 14
4. Tổ hợp ................................................................................................. 15
5. Cách phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp ...................................................... 15
NHỊ THỨC NEWTON .............................................................................. 15
1. Khai triển nhị thức Newton .................................................................. 15
2. Tam giác Pascal ................................................................................... 15
3. Giải phương trình................................................................................. 16
XÁC SUẤT................................................................................................. 16
DÃY SỐ...................................................................................................... 17
1. Tính đơn điệu của dãy số ..................................................................... 17
2. Tính bị chặn của dãy số ........................................................................ 17
CẤP SỐ CỘNG.......................................................................................... 18
1. Định nghĩa ........................................................................................... 18
2. Tính chất.............................................................................................. 18
3. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng .............................................. 18
CẤP SỐ NHÂN .......................................................................................... 18
1. Định nghĩa ........................................................................................... 18
1
MỤC LỤC
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
1
: 0987. 503.911
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
ro
up
s/
Ta
iL
ie
uO
nT
hi
D
ai
H
oc
0
2. Tính chất.............................................................................................. 18
3. Tổng n số hạng đầu tiên ....................................................................... 18
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ......................................................................... 19
1. Định nghĩa ........................................................................................... 19
2. Tính chất.............................................................................................. 19
3. Một số giới hạn cơ bản ......................................................................... 19
4. Cách tìm giới hạn ................................................................................. 19
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ ........................................................................ 20
HÀM SỐ LIÊN TỤC ................................................................................. 22
1. Xét tính liên tục của hàm số y f ( x ) tại x0 ........................................ 22
2. Tìm m để hàm số y f ( x ) liên tục tại điểm đã chỉ ra .......................... 22
3. Chứng minh phương trình có nghiệm ................................................... 22
ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ........................................................................ 22
1. Bảng các đạo hàm ................................................................................ 22
2. Các qui tắc tính đạo hàm ...................................................................... 23
3. Đạo hàm cấp cao.................................................................................. 23
TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG........................................................ 23
CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG.................................... 26
I. Các phép biến hình ............................................................................... 26
II. Vẽ ảnh của một hình qua phép biến hình ............................................. 27
III. Tìm phương trình của ảnh .................................................................. 27
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG........................................................ 28
1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ........................................................ 28
2. Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) ............................. 28
3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng............................................................ 28
4. Tìm thiết diện ...................................................................................... 29
QUAN HỆ SONG SONG ........................................................................... 29
I. Các định nghĩa...................................................................................... 29
II. Các tính chất ....................................................................................... 29
III. Chứng minh hai đường thẳng song song ............................................. 30
IV. Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng ................................. 30
V. Chứng minh hai mặt phẳng song song ................................................. 31
VI. Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau ............................................ 31
QUAN HỆ VUÔNG GÓC.......................................................................... 31
I. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc ............................................... 31
II. Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng .................................. 32
III. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc ............................................... 32
GÓC ........................................................................................................... 33
1. Góc giữa hai đường thẳng a, b ......................................................... 33
1
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
2
: 0987. 503.911
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
ro
up
s/
Ta
iL
ie
uO
nT
hi
D
ai
H
oc
0
2. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)........................................ 33
3. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)................................................... 33
KHOẢNG CÁCH ...................................................................................... 33
1. Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a .......................................... 33
2. Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P)........................................... 33
3. Khoảng cách giữa đường thẳng a // (P) ................................................. 34
4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) // (Q) ........................................... 34
5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ...................................... 34
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC ............................................... 34
1. Định lí cô sin ....................................................................................... 34
2. Định lí sin ............................................................................................ 35
3. Công thức tính diện tích tam giác ......................................................... 35
4. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông .............................................. 36
1
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
3
: 0987. 503.911
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
1. Độ và radian:
180
1
(rad); 1(rad )
180
0
(rad ) ;
cos
sin
iL
ie
sin 0
Ta
k , k Z
2
s/
1
cos2
* cot
uO
sin
cos 0 ;
cos
* sin 2 cos2 1, ;
* tan
nT
2. Các hệ thức cơ bản:
* 1 tan 2
0
hi
D
ai
180
0
H
oc
0
1
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1
( k , k Z)
sin 2
k
* tan .cot 1
, k Z .
2
3. Các hệ quả cần nhớ:
.c
om
/g
ro
up
* 1 cot 2
cos( k 2 ) cos
cot( k ) cot
bo
ok
sin( k 2 ) sin ;
tan( k ) tan ;
k , k Z
2
cot xác định khi k , k Z
1 sin 1
1 cos 1
w
w
w
.fa
ce
tan xác định khi
1
* sin 4 x cos4 x 1 sin 2 2 x
2
3
* sin 6 x cos6 x 1 sin 2 2 x
4
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
4
: 0987. 503.911
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
II
III
IV
+
+
+
+
+
–
–
–
–
–
+
+
–
+
–
–
a. Cung đối: và
sin( ) sin
cot( ) cot
nT
cos( ) cos ;
tan( ) tan ;
uO
b. Cung bù: và
cos( ) cos
cot( ) cot
iL
ie
sin( ) sin ;
tan( ) tan ;
s/
Ta
2
cos sin
2
cot tan
2
.c
om
/g
ro
sin cos ;
2
tan cot ;
2
up
c. Cung phụ: và
H
oc
0
I
hi
D
ai
Dấu các giá trị lượng giác:
Góc phần tư
GTLG
sin
cos
tan
cot
4. Các cung liên kết:
1
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
ok
d. Cung hơn kém nhau : và
cot( ) cot
sin( ) sin ;
cos( ) cos
.fa
ce
bo
tan( ) tan ;
w
w
w
e. Cung hơn kém nhau
: và
2
2
sin cos ;
2
tan cot ;
2
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
cos sin
2
cot tan
2
5
: 0987. 503.911
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
5. Các công thức biến đổi:
sin(a b) = sina cosb cosa sinb
cos(a b) = cosa cosb sina sinb
tan(a b) =
tan a tan b
1 tan a tan b
cot(a b) =
1 tan a tan b
tan a tan b
hi
D
ai
H
oc
0
nT
b. Công thức nhân đôi:
sin2a = 2 sina.cosa
cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a
tan2a =
uO
cot 2 a 1
2 cot a
iL
ie
cot2a =
up
s/
x
2
om
c. Công thức hạ bậc:
ro
2t
2t
1 t2
;sin
x
;cos
x
1 t2
1 t2
1 t2
/g
tan x
;
Ta
2 tan a
1 tan 2 a
* Công thức tính theo t tan
1 cos2 a
;
2
sin2a =
1 cos2a
;
2
tan2a =
1 cos2 a
1 cos2 a
ok
.c
cos2a =
1
a. Công thức cộng:
Lưu ý:
bo
x
2
x
* 1 cos x 2sin 2
2
d. Công thức biến đổi tích về tổng:
w
w
w
.fa
ce
* 1 cos x 2 cos2
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
6
: 0987. 503.911
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
1
[sin(a b) sin(a b)]
2
1
cosa.cosb = [cos(a b) cos(a b)]
2
1
sina.sinb = [cos(a b) cos(a b)]
2
sinA – sinB= 2cos
AB
AB
sin
2
2
cosA + cosB = 2cos
AB
AB
cos
2
2
cosA – cosB = –2sin
AB
AB
sin
2
2
tan tan =
H
oc
0
hi
D
ai
uO
AB
AB
cos
2
2
ro
up
s/
Ta
iL
ie
sinA + sinB = 2sin
nT
e. Công thức biến đổi tổng về tích:
1
sina.cosb =
om
/g
sin( )
; k , k Z
cos .cos
2
ok
.c
Chú ý:
w
w
w
.fa
ce
bo
* sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4
4
* sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4
4
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
7
: 0987. 503.911
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
f. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt:
cos
1
tan
0
cot
||
1350
3
4
2
2
3
2
1
3
2
3
2
2
2
1
2
2
2
–
0
–
||
3
0
1
1
3
3
1
1
3
3
1
2
2
2
1500
5
6
1
2
1
3
1800
1
1200
2
3
H
oc
0
0
900
2
hi
D
ai
sin
600
3
–
nT
0
450
4
1
–
uO
Góc
300
6
1
2
iL
ie
00
1
3
2
1
3
– 3
0
1
0
||
s/
Ta
ro
y sin x
/g
1. Các hàm số lượng giác:
up
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
y cos x
- TXĐ: D=
- Là hàm số chẳn
- Hàm tuần hoàn với chu kì 2
- Tập giá trị: T 1;1
- Hàm số đồng biến trong
k 2 ; k 2
2
2
- Hàm số nghịch biến trong
3
k 2
k 2 ;
2
2
- Hàm số đồng biến trong
k 2 ; k 2
- Hàm số nghịch biến trong
k 2 ; k 2
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
- TXĐ: D=
- Là hàm số lẻ
- Hàm tuần hoàn với chu kì 2
- Tập giá trị: T 1;1
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
8
: 0987. 503.911
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
k
2
nT
- Có các đường tiệm cận x k
uO
- Có các đường tiệm cận x
- TXĐ: D= \ k
2
- Là hàm số lẻ
- Hàm tuần hoàn với chu kì
- Tập giá trị: T
- Hàm số nghịch biến trong
k ; k
hi
D
ai
- TXĐ: D= \ k
2
- Là hàm số lẻ
- Hàm tuần hoàn với chu kì
- Tập giá trị: T
- Hàm số đồng biến trong
k ; k
2
2
Q x
xác định khi Q x 0
Q x
xác định khi Q x 0
ro
Px
/g
c) y
up
s/
b) y P x xác định khi P x 0
Ta
Px
iL
ie
2. Tập xác định của hàm số:
a) y
1
y cot x
H
oc
0
y tan x
om
d) y sin f x ; y cos f x xác định khi f x xác định.
k
2
f) y cot f x xác định khi f x k
bo
ok
.c
e) y tan f x xác định khi f x
ce
3. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số:
w
w
w
.fa
a) Áp dụng các tính chất của bất đẳng thức, và với mọi x ta có:
1 sin x 1; 1 cos x 1; 0 sin 2 x 1; 0 cos2 x 1
b) Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y a sin x b cos x c
x ta có a 2 b2 ainx b cos x a2 b2
c a2 b2 a sin x b cos x c c a2 b 2
4. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên D.
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
9
: 0987. 503.911
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
H
oc
0
1
x D x D
* Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu
f ( x ) f ( x )
x D x D
* Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu
f ( x ) f ( x )
hi
D
ai
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. Phương trình lượng giác cơ bản:
nT
a) Phương trình sin x m
* Điều kiện có nghiệm: m 1
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
ro
up
s/
Ta
iL
ie
uO
* Tìm góc a sao cho sin a m (sử dụng MTCT: a sin 1 m ). Ta
được: sin x sin a và áp dụng công thức:
u v k 2
sin u sin v
u v k 2 k
u v k 3600
Hay
nếu trong phương trình có cho độ.
0
0
u 180 v k 360
* Trường hợp đặc biệt:
sin u 0 u k
sin u 1 u k 2
2
sin u 1 u k 2
2
* Nếu không phải là giá trị đặc biệt thì có thể sử dụng công thức:
u arcsin m k 2
sin u m
arcsin m
2
u arcsin m k 2 2
* sin u sin u ; cos u sin u ; cos u sin u
2
2
b) Phương trình cos x m
* Điều kiện có nghiệm: m 1
* Tìm góc a sao cho cos a m (sử dụng MTCT: a cos1 m ). Ta
được: cos x cos a và áp dụng công thức:
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
10
: 0987. 503.911
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
u v k 2
cos u cos v
u v k 2
k
u v k 360 0
nếu trong phương trình có cho độ.
0
u v k 360
* Trường hợp đặc biệt:
cos u 0 u k
2
cos u 1 u k 2
cos u 1 u k 2
* Nếu không phải là giá trị đặc biệt thì có thể sử dụng công thức:
u arccos m k 2
cos u m
arcsin m
2
u arccos m k 2 2
iL
ie
uO
nT
hi
D
ai
H
oc
0
1
Hay
up
s/
Ta
* cos u cos u ; sin u cos u ; sin u cos u
2
2
c) Phương trình tan x m x k
2
ok
.c
om
/g
ro
* Tìm góc a sao cho tan a m (sử dụng MTCT: a tan 1 m )
Ta được: tan x tan a và áp dụng công thức
tan u tan v u v k
Hay
u v k180 0 nếu trong phương trình có độ.
* Đặc biệt:
tan u 0 u k
k
4
* Nếu m không phải là giá trị đặc biệt có thể sử dụng công thức:
tan u m u arctan m k arctan m
2
2
w
w
w
.fa
ce
bo
tan u 1 u
* tan u tan u ; cot u tan u ; cot u tan u
2
2
d) Phương trình cot x m x k
1
* Tìm góc a sao cho cot a m (sử dụng MTCT: a tan 1 )
m
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
11
: 0987. 503.911
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
hi
D
ai
H
oc
0
Ta được: cot x cot a và áp dụng công thức
cot u cot v u v k
Hay
u v k180 0 nếu trong phương trình có độ.
* Đặc biệt:
cot u 0 u k
2
tan u 1 u k
4
* Nếu m không phải là giá trị đặc biệt có thể sử dụng công thức:
cot u m u arccot m k 0 arccot m
1
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
iL
ie
uO
nT
* cot u cot u ; tan u cot u ; tan u cot u
2
2
2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
a cos2 x b cos x c 0
t = cosx
1 t 1
Ta
Điều kiện
asin x b sin x c 0
Đặt
t = sinx
up
s/
Dạng
2
ro
a tan 2 x b tan x c 0
t = cotx
k ( k Z )
2
x k ( k Z )
x
om
/g
a cot 2 x b cot x c 0
t = tanx
1 t 1
bo
ok
.c
Giải lấy nghiệm t thích hợp sau đó áp dụng phương trình cơ bản.
Chú ý:
cos 2 x 2 cos2 x 1 1 2sin 2 x
sin 2 x 1 cos2 x
w
w
w
.fa
ce
cos2 x 1 sin 2 x
3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
a) Dạng phương trình: a sin x b cos x c
b) Điều kiện có nghiệm: a2 b2 c2
c) Phương pháp giải:
Chia hai về của phương trình cho a2 b2
a
b
c
Ta được phương trình:
sin x
cos x
a 2 b2
a2 b2
a2 b2
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
12
: 0987. 503.911
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
2
a b
2
b
sin
sin x cos sin cos x
2
a b2
c
2
2
. Ta được phương trình:
c
sin x
2
a b2
(*)
H
oc
0
a b
(*) là phương trình dạng cơ bản.
4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx
1
a
Đặt cos
hi
D
ai
a) Dạng: a.sin 2 x b.sinx .cosx c.cos2 x d 1
uO
nT
b) Phương pháp giải:
* Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn hay không?
Lưu ý: cosx = 0 x k sin 2 x 1 sin x 1.
2
* Khi cos x 0 , chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x 0 ta được:
up
s/
Ta
iL
ie
a.tan 2 x b.tan x c d (1 tan 2 x)
* Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:
(a d )t 2 b.t c d 0
5. Phương trình đối xứng, phản đối xứng:
ok
.c
om
/g
ro
a) Dạng: a.(sinx cosx ) b.sinx.cosx c 0
b) Phương pháp giải:
* Đặt: t cos x sin x 2.cos x ; t 2.
4
1
t 2 1 2sin x.cos x sin x.cos x (t 2 1).
2
* Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t.
w
w
w
.fa
ce
bo
Giải phương trình này tìm t thỏa t 2. Suy ra x.
Chú ý:
* cos x sin x 2 cos x 2 sin x
4
4
* cos x sin x 2 cos x 2 sin x
4
4
6. Phương trình lượng giác khác:
Để giải một phương trình lượng giác chưa phải là các dạng quen thuộc
ta cần sử dụng các phép biến đổi lượng giác để đưa phương trình về dạng quen
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
13
: 0987. 503.911
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
hi
D
ai
H
oc
0
thuộc, có thể phân tích phương trình đã cho về dạng phương trình tích hoặc áp
dụng tính chất bất đẳng thức để đưa về hệ phương trình để giải.
Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng:
* Biến đổi phương trình đã cho về một trong các dạng phương trình cơ bản
đã biết (đưa về cùng một cung hoặc cùng một hàm số lượng giác,...).
A 0
* Biến đổi phương trình đã cho về dạng tích: A.B 0
B 0
* Biến đổi phương trình về dạng có thể đặt ẩn số phụ (đối xứng, đặt
x
t tan ,…)
2
1
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
iL
ie
1. Phép đếm:
uO
ĐẠI SỐ TỔ HỢP
nT
ok
.c
om
/g
ro
up
s/
Ta
a) Qui tắc cộng:
Giả sử để hoàn thành hành động (H) ta có thể thực hiện qua các trường
hợp A hoặc B hoặc C ... (mỗi trường hợp đều hoàn thành công việc)
Nếu A có m cách, B có n cách, C có p cách thì có m n p ... cách để
hoàn thành (H).
b) Qui tắc nhân:
Giả sử để hoàn thành hành động (H) ta phải qua nhiều công đoạn (bước)
A, B, C liên tiếp nhau.
Công đoạn A có m cách, công đoạn B có n cách, công đoạn C có p
cách... Khi đó để hoàn thành (H) thì có m.n. p ... cách
2. Hoán vị:
w
w
w
.fa
ce
bo
a) Hoán vị:
Cho tập A có n phần tử, mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của A gọi là một
hoán vị.
b) Số các hoán vị n phần tử: Pn n!
Chú ý: Giai thừa
* n! n. n 1 ...3.2.1
* Qui ước: 0! 1
3. Chỉnh hợp:
a) Chỉnh hợp:
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
14
: 0987. 503.911
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
H
oc
0
Cho tập A có n phần tử, mỗi bộ sắp thứ tự gồm k phần tử lấy trong n
phần tử của A ( k ,0 k n ) gọi là một chỉnh hợp chập k của n.
b) Số các chỉnh hợp chập k của n:
n!
Ank
n. n 1 ... n k 1
n k !
4. Tổ hợp:
uO
Cnk Cnk 1 Cnk11
iL
ie
c) Tính chất: Cn0 Cnn 1
Cnk Cnn k
5. Cách phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp:
nT
hi
D
ai
a) Tổ hợp:
Cho tập A có n phần tử, mỗi tập hợp con gồm k phần tử của A
( k ,0 k n ) gọi là một tổ hợp chập k của n.
n!
b) Số các tổ hợp chập k của n: Cnk
k ! n k !
Ta
* Chỉnh hợp có tính đến thứ tự của k phần tử.
* Tổ hợp không tính đến thứ tự của k phần tử.
up
s/
ro
NHỊ THỨC NEWTON
Cn0 a b Cn1a n 1b Cn2 a n 2 b2 ... Cnk a n k bk ... Cnn 1ab n 1 Cnn bn Số
om
n
/g
1. Khai triển nhị thức Newton:
a b
ok
.c
hạng tổng quát thứ k+1 của khai triển: Tk 1 Cnk a n k b k
bo
2. Tam giác Pascal: (cho biết giá trị của Cnk )
w
.fa
ce
n\k
0
1
2
3
4
5
6
Muốn tìm Cnk
w
w
1
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
0
1
2
3
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
5
10
10
1
6
15
20
ta tìm số ở dòng n, cột k. Ví dụ: C63
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
15
4
5
6
1
5
1
15
6
1
20 (dòng 6, cột 3)
: 0987. 503.911
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
3. Giải phương trình:
Để giải phương trình ta cần đặt điều kiện cho ẩn số và áp dụng công thức
hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp đưa về phương trình đại số để giải.
Chú ý chỉ lấy những nghiệm thỏa mãn điều kiện.
H
oc
0
1
XÁC SUẤT
b) Gieo n đồng tiền thì 2 n
uO
c) Lấy k viên bi trong hộp có n viên bi thì Cnk
nT
hi
D
ai
1. Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không
gian mẫu.
a) Gieo n con súc sắc thì 6 n
iL
ie
d) Hộp 1 có m viên bi, hộp 2 có n viên bi. Lấy k viên ở hộp 1 và h viên ở
hộp 2 thì Cmk Cnh
Ta
2. Một biến cố A liên quan tới phép thử T là A . Biến cố A xảy ra khi
ok
.c
om
/g
ro
up
s/
và chỉ khi kết quả của T thuộc A . Mỗi phần tử của A gọi là kết quả thuận
lợi cho A.
3. Hai biến cố A, B gọi là xung khắc nếu A, B không đồng thời xảy ra.
4. Hai biến cố A, B gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biế cố
nay không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.
A
5. Xác suất của A là P A
6. A1 , A2 ,..., Ak là các biến cố đôi một xung khắc thì
ce
bo
P A1 A2 ... Ak P A1 P A2 ... P Ak
7. A1 , A2 ,..., Ak là các biến cố độc lập thì
.fa
P A1 A2 ...Ak P A1 P A2 ...P Ak
w
w
w
8. A là biến cố đối của biến cố A thì: P A 1 P A
9. X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là x1 , x 2 ,..., xn
n
a) Kỳ vọng của X là E X xi pi với pi P X xi , i 1,2,3,..., n
i 1
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
16
: 0987. 503.911
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
n
2
b) Phương sai của X là V X xi pi hay
i 1
n
V X x 2 pi 2 trong đó pi P X xi , i 1,2,..., n và E X
1
i 1
H
oc
0
c) Độ lệch chuẩn: X E X
hi
D
ai
DÃY SỐ
* un un 1 thì dãy số un là dãy số tăng.
iL
ie
* un un 1 thì dãy số un là dãy số giảm.
uO
a) Định nghĩa: Cho dãy số un nếu n * ta có:
nT
1. Tính đơn điệu của dãy số:
up
s/
Ta
* Một dãy tăng (hay giảm) gọi là dãy số đơn điệu.
b) Cách xét tính đơn điệu của dãy số:
Để xét tính đơn điệu của một dãy số ta có thể áp dụng tính chất bất đẳng
thức để suy trực tiếp. Hoặc xét hiệu T un 1 un
ro
* Nếu T 0, n * thì un là dãy số tăng.
om
/g
* Nếu T 0, n * thì un là dãy số giảm.
un
1 thì un là dãy số giảm.
un 1
bo
*
un
un 1
ok
.c
Nếu un 0, n ta có thể xét
un
1 thì un là dãy số tăng.
un 1
ce
.fa
*
w
w
w
2. Tính bị chặn của dãy số:
a) Định nghĩa: Cho dãy số un nếu n * ta có:
* M : un M thì dãy số un bị chặn trên.
* m : un m thì dãy số un bị chặn dưới.
* Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy số bị chặn.
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
17
: 0987. 503.911
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
CẤP SỐ CỘNG
1. Định nghĩa:
u là một cấp số cộng nếu n * tồn tại số d sao cho u
n 1
n
hi
D
ai
H
oc
0
1
d: công sai
un : số hạng tổng quát thứ n.
2. Tính chất:
a) Số hạng tổng quát thứ n: un u1 n 1 d
nT
b) un là cấp số cộng un 1 un 1 2un , n 1
3. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng:
2
n 2u1 n 1 d
2
uO
n u1 un
iL
ie
Sn
un d
Ta
s/
CẤP SỐ NHÂN
up
1. Định nghĩa:
u là một cấp số nhân nếu n * tồn tại số q sao cho u
n 1
ro
n
un .q
.c
om
/g
q: công bội
un : số hạng tổng quát thứ n.
2. Tính chất:
ok
a) Số hạng tổng quát: un u1 .qn 1
2
bo
b) un là cấp số nhân un 1 .un 1 un , n 1
ce
3. Tổng n số hạng đầu tiên:
w
w
w
.fa
* q 1 thì Sn n.u1
* q 1 thì Sn u1 .
qn 1
q 1
* CSN lùi vô hạn là CSN có công bội q 1 có tổng S
u1
1 q
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
18
: 0987. 503.911
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
1. Định nghĩa:
a) lim un 0 n, un nhỏ hơn một số dương cho trước nhỏ tùy ý kể từ
H
oc
0
1
một số hạng nào đó trở đi.
b) lim un L lim un L 0
uO
nT
hi
D
ai
c) lim un n, un lớn hơn một số dương cho trước tùy ý kể từ một
số hạng nào đó trở đi.
d) lim un n, un nhỏ hơn một số dương cho trước tùy ý kể từ một
số hạng nào đó trở đi.
2. Tính chất:
b) lim un .vn lim un .lim vn
c) lim k .un k .lim un
d) lim
iL
ie
a) lim un vn lim un lim vn
Ta
un lim un
lim vn 0
vn lim vn
up
un vn
lim un 0
lim vn 0
3. Một số giới hạn cơ bản:
s/
e) lim un L lim 3 un 3 L ;lim un L (L 0)
om
/g
ro
f)
1
0
n
0,
q 1
c) lim q n
q 1
,
4. Cách tìm giới hạn:
b) lim n *
e) lim
1
3
n
0
ce
bo
ok
.c
a) lim
w
w
w
.fa
a) Đặt thừa số chung n lũy thừa cao nhất trong cả tử số và mẫu số, sau đó
đơn giản thừa số chung đó rồi áp dụng các tính chất và các giới hạn cơ bản để
tính.
b) Khi trong giới hạn có căn thức ta có thể nhân chia cho biểu thức liên
hợp.
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
19
: 0987. 503.911
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
1. lim u v lim u lim v
xa
xa
x a
2. lim u.v lim u .lim v
xa
x a
1
xa
H
oc
0
u lim u
3. lim x a lim v 0
xa v
v xa
lim
xa
4. lim u
xa
xa
hi
D
ai
lim u lim u 0
xa
/g
ro
up
s/
Ta
iL
ie
uO
nT
g( x ) f ( x) h( x)
5.
lim f ( x ) L
xa
g( x ) lim h( x ) L
lim
xa
x a
1
6. lim f ( x ) lim
0
xa
xa f ( x )
7. Qui tắc tính giới hạn:
lim f ( x )
xa
lim f ( x ).g( x ) ( ) (tùy theo dấu của lim f ( x )
x a
xa
g( x ) L
lim
xa
và L .
8. Hàm số liên tục:
Hàm số y f ( x ) liên tục tại a lim f ( x ) f (a)
xa
bo
xa
ok
.c
om
9. Hàm số y f ( x ) liên tục trong (a; b) và f (a). f (b) 0 thì phương trình
f ( x ) 0 có nghiệm trong (a; b) .
10. Giới hạn một bên:
a) lim f ( x ) x a;
lim f ( x ) x a
xa
.fa
ce
b) Giới hạn vô cực:
f ( x)
f ( x)
f ( x)
lim
khi f (a) 0, g(a) 0 . Phân tích
.
x a g( x )
g( x ) ( x a).g1 ( x )
w
w
w
f (a )
f ( x)
. Ta có: lim
M .()
x
a
g( a )
g( x )
11. Một số dạng vô định:
0
a) Dạng vô định
0
Tính M
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
20
: 0987. 503.911
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GIO KHOA & PP GII TON 11
f (x)
m f (a) g(a) 0
g( x )
Phõn tớch t s v mu s thnh cỏc tha s trong ú cú cha ( x a)
sau ú n gin t v mu cho ( x a) .
Chỳ ý:
* Phng trỡnh ax 2 bx c 0 cú nghim x0 thỡ
Phng phỏp: Tỡm lim
H
oc
0
1
xa
nT
hi
D
ai
c
ax 2 bx c x x 0 ax
x0
* Cng cú th thc hin phộp chia a thc cho ( x x0 )
* Khi trong gii hn cú cn thc ta cú th nhõn chia cho biu thc liờn
Phng phỏp: p dng cỏc cụng thc
uO
hp.
* lim
s/
x
1
0
x x
Ta
* lim x *
iL
ie
b) Dng vụ nh
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
ro
up
neỏu n chaỹn
* lim x n
x
neỏu n leỷ
* Nu tớnh gii hn dng hu t ta t nhõn t x ly tha cao nht c
t s v mu s, n gin v ỏp dng cỏc cụng thc trờn.
Chỳ ý:
b c
x. a 2 khi x
x x
Nu a 0 thỡ ax 2 bx c
b c
x. a x x 2 khi x
c) Dng vụ nh v 0.
0
Phng phỏp: Thc hin phộp bin i a v dng
hoc
0
w
w
GV: NGUYN THANH NHN
21
: 0987. 503.911
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
HÀM SỐ LIÊN TỤC
1. Xét tính liên tục của hàm số y f ( x ) tại x0
H
oc
0
* Tìm lim f ( x ) , khi cần có thể tính giới hạn 1 bên.
x x0
* So sánh f ( x 0 ) và lim f ( x ) để kết luận.
2. Tìm m để hàm số y f ( x ) liên tục tại điểm đã chỉ ra
nT
hi
D
ai
x x0
Phương pháp:
* Tính f (a) và tìm lim f ( x )
1
* Tính f ( x 0 ) (nếu f ( x 0 ) không tồn tại thì hàm số không liên tục)
xa
uO
* Hàm số liên tục tại x a lim f ( x ) f (a) . Từ điều kiện này tìm m,
xa
iL
ie
khi cần có thể tìm giới hạn 1 bên.
3. Chứng minh phương trình có nghiệm:
ro
up
s/
Ta
Phương pháp:
* Đặt f ( x ) là vế trái của phương trình, f ( x ) liên tục trong D.
* Tìm hai số a, b D sao cho f (a). f (b) 0 thì phương trình có nghiệm
x (a; b)
om
/g
.c
ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
ok
1. Bảng các đạo hàm:
Hàm số hợp y f (u), u g( x )
y / x y / u .u / x
ce
bo
Hàm số y f ( x )
(C )' 0 C: hằng số
.fa
( x )/ 1
w
w
w
x
/
1
2 x
/
/
1
u'
2
u
u
1
1
2
x
x
x
/
2u 'u
/
u
.x 1
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
u
/
.u 1 .u '
22
: 0987. 503.911
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
Hàm số y f ( x )
Hàm số hợp y f (u), u g( x )
/
/
sin x cos x
cos x sin x
sin u u '.cos u
cos u u '.sin u
1
1 tan 2 x
2
cos x
/
cot x sin12 x
2. Các qui tắc tính đạo hàm:
tan u
u'
cos2 u
/
cot u sinu2 'u
/
H
oc
0
/
hi
D
ai
tan x
/
1
/
nT
Cho các hàm số u, v, w lần lượt có đạo hàm u / , v / , w/ . Ta có:
/
/
uO
a) u v w u/ v / w/
/
iL
ie
b) u.v u / v uv / Hệ quả: C.u C .u/ (C: hằng số)
/
up
s/
Ta
u u / v uv /
c)
v2
v
d) u u( x ) có đạo hàm theo x là ux/ , y f (u) có đạo hàm theo u là yu/ thì
/g
ro
hàm số y f [u( x )] có đạo hàm theo x là y x/ yu/ .ux/
3. Đạo hàm cấp cao:
om
* Đạo hàm của y / gọi là đạo hàm cấp 2, kí hiệu y / /
.c
* Đạo hàm của y / / gọi là đạo hàm cấp 3, kí hiệu y / / /
ok
* Đạo hàm của đạo hàm cấp n 1 gọi là đạo hàm cấp n, kí hiệu y ( n )
bo
4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
ce
- Đạo hàm của hàm số y f x tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến
- Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại điểm x0 thì tiếp tuyến của đồ thị
w
w
w
.fa
của đồ thị hàm số đó tại điểm M 0 x0 ; y0 .
hàm số tại điểm M 0 x0 ; y0 có phương trình là:
y y0 f ' x 0 x x 0
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
23
: 0987. 503.911
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG
Dạng 2: Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x x0 thuộc (C)
hi
D
ai
Phương trình tiếp tuyến có dạng: y y0 f ' x 0 x x 0
H
oc
0
Có 7 dạng sau:
Dạng 1: Tiếp tuyến tại điểm M x0 ; y0 C (với y0 f x 0 )
1
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y f x :
Tìm y0 f x 0 và f ' x 0
-
Viết phương trình tiếp tuyến dạng: y y0 f ' x 0 x x 0
nT
-
uO
Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của
(C) và trục tung thì x0 0
iL
ie
Dạng 3: Tiếp tuyến tại điểm có tung độ y y0 thuộc (C)
Giải phương trình f x y0 tìm x x0
-
Tìm f ' x 0
-
Viết phương trình tiếp tuyến dạng: y y0 f ' x 0 x x 0
up
s/
Ta
-
.c
om
/g
ro
Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của
(C) và trục hoành thì y0 0
Dạng 4: Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
- Tính y ' f ' x . Giải phương trình f ' x k tìm nghiệm x x0
Tính y0 f x 0
-
Viết phương trình tiếp tuyến dạng: y y0 f ' x 0 x x 0
bo
ok
-
w
w
w
.fa
ce
Dạng 5: Tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y ax b
- Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d nên hệ số góc k của tiếp
tuyến bằng a (tức là ktt a , viết như dạng 4)
Dạng 6: Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: y ax b
-
Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d nên ktt .a 1 ktt
1
a
(viết như dạng 4)
Dạng 7: Tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: y ax b một góc
, 0 90
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
24
: 0987. 503.911
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
