Mật mã và an toàn thông tin Mật mã Hill

1.1.5 Mật mã Hill


Mật mã này được phát minh vào năm 1929 bởi Lester S. Hill. Cho một số nguyên
m
dương m và định nghĩa P = C = (Z26) . Ý tưởng của thuật toán là lấy m tổ
hợp tuyến tính của m kí tự chữ cái trong một phần tử văn bản gốc , theo đó sản
xuất m kí tự chữ cái trong một phần tử văn bản mã.


Hình 1.6 Mật mã Hill

Cho m là một số nguyên dương cho trước. Cho P =
C = (Z26)m và cho
K = {các ma trận m m có nghịch đảo trên Z26 }
Cho một khóa K, chúng ta định nghĩa
eK(x) = xK
và
dK(y) = yK-1 , với K là ma trận nghịch đảo của
K, ở đây tất cả các phép toán được thực hiện trong Z26
-1







Định nghĩa 1.5
Định thức của ma trận 2  2 A = (ai,j) là giá trị
det A = a1,1a2,2 – a1.2a2,1

Nhận xét: Định thức của một ma trận vuông m  m có thể được tính bởi các phép toán cơ
bản, xem trong các sách đại số tuyến tính.




Hai đặc tính quan trọng của định thức là det Im = 1 và qui tắc nhân
det(AB) = det A  det B.






Ví dụ 1.5



-1
K =



Giả sử chúng ta muốn mã hóa văn bản july. Chúng ta có 2 phần của văn bản mã là: (9,20)
(tương ứng ju) và (11,24) (tương ứng ly). Chúng ta tính như sau:





(9,20)

Giả sử khóa là K=
Từ việc tính toán ta thu được

11 8 

÷
3
7



 7 18 

÷
23
11



= (99 + 60, 72 + 140) = (3,4)

và
(11,24)

= (121 + 72, 88 + 168) = (11,22).

11 8 


÷
 3 7

11 8 

÷
 3 7




Ví dụ: nếu m = 2 chúng ta có thể viết một phần tử văn bản là x = (x1,x2) và một
phần tử mật mã là y = (y1,y2), ở đây y1, y2 là một tổ hợp tuyến tính của x1 và
x2. Chúng ta có thể có:




y1 = 11x1 + 3x2




Tất nhiên ta cũng có thể viết dưới dạng ma trận như sau:

y2 = 8x1 + 7x2
(y1,y2) = (x1, x2)

11 8 


÷
3
7






Do đó, mã hóa của july là DELW . Để giải mã, Bob sẽ tính toán như sau:



(3,4)

= (9,20)

 7 18 

÷
23
11






Và



Do đó, văn bản thu
7 được
18 là đúng.

(11,22)

= (11,24).




÷
23
11






Trong trường hợp tổng quát, chúng ta sẽ lấy ma trận K m m là khóa. Nếu đầu vào ở hàng i
và cột j của K là ki,j thì chúng ta viết K=(ki,j). Cho x = (x1,…xm) ∈ P và K ∈ K, chúng ta
tính y = eK(x) = (y1, ….ym) như sau:




(y1,y2, …,.ym) = (x1,x2,….,xm)

Cách viết khác y = xK

 k1,1 k1,2 ... k1,m 

÷
k
k
...
k
2,2
2, m ÷
 2,1
 M M M M÷

÷
÷
k
k
...
k
m
,1
m
,2
m
,
m





Chúng ta nói rằng văn bản mã thu được từ văn bản gốc bằng phép biến đổi tuyến tính.
Chúng ta phải xem xét việc giải mã sẽ được thực hiện như thế nào, làm thế nào để tính x
từ y. Những người đã học đại số tuyến tính sẽ nhận ra rằng chúng ta sử dụng ma trận
-1
-1
nghịch đảo K để giải mã. Văn bản mã được giải mã sử dụng công thức x = yK trong
mod 26.




Một ma trận số thực K có nghịch đảo nếu và chỉ nếu định thức của nó là khác không. Tuy
nhiên, một điều quan trọng cần nhớ rằng chúng ta đang làm việc vượt quá Z26. Kết quả
liên quan tới mục đích của chúng ta là một ma trận K có nghịch đảo moldulo 26 nếu và
chỉ nếu gcd(det K, 26) =1.


1.1.6 Mật mã hoán vị


Tất cả hệ thống mật mã chúng ta thảo luận về sâu xa nó bao hàm sự thay thế: văn bản
gốc được thay thế bởi văn bản mã khác. Ý tưởng của mật mã hoán vị là giữ nguyên văn
bản gốc nhưng thay đổi vị trí của chúng bằng cách sắp xếp lại chúng. Mật mã hoán vị
(còn được gọi là mật mã chuyển đổi vị trí) đã được sử dụng trong hàng trăm năm. Trong
thực tế, sự khác biệt giữa mật mã hoán vị và mật mã thay thế đã được chú ý rất sớm từ
năm 1563 bởi Giovanni Porta. Một định nghĩa hình thức được cho trong hình 1.7



Hình 1.7 Mật mã hoán vị

Cho m là một số nguyên dương cho trước. Cho P
= C = (Z26)m và cho K gồm tất cả các hoán vị của
{1,…,m}. Cho một khóa (nghĩa là một hoán vị)
chúng ta định nghĩa

eπ ( x1 ,..., xm ) = ( xπ (1) ,..., x π ( m )
Và

dπ ( y1 ,..., ym ) = ( yπ −1 (1) ,..., y π −1 ( m )

ở đây

π

−1

π

là hoán vị nghịch đảo từ

.






Ví dụ 1.6
Cho m = 6 và khóa là hoán vị được cho như sau:

1
3


2
5

π
4

3
1

6
-1

Khi đó ta có hoán vị nghịch đảo

5
4

6
2

5

6

2

4

là

1

2

3

4

3

6

1

5

π


Giả sử chúng ta có văn bản
Shesellsseashellsbytheseashore

trước tiên chúng ta nhóm văn bản đã cho thành các nhóm, mỗi nhóm 6 chữ cái
Shesel | lsseas | hellsb | ythese | ashore

Bây giờ mỗi nhóm gồm 6 chữ cái là sắp xếp tùy ý hoán vị

1 2 3 4
Vì thế3văn bản5đã mã 1
hóa là: 6

5
π4

6
2

ELSEHS | SSLASE | LBHSEL | HEYSTE | HEARSO

ELSEHS | SSLASE | LBHSEL | HEYSTE | HEARSO

kết quả như sau:




Văn bản đã mã hóa có thể được giải mã tương tự như cách đã mã hóa, sử dụng hoán vị
-1
nghịch đảo



Trên thực tế, mật mã hoán vị là trường hợp đặc biệt của mật mã Hill. Cho một hoán vị của
của tập hợp {1,…,m}, chúng ta có thể định nghĩa ma trận hoán vị (kết hợp) m m, K = (ki,j)
với

π

π

π



k j,i =



(một ma trận hoán vị là một ma trận mà mọi hàng và cột đều chứa chính xác một giá trị “1”
và các vị trí khác đều chứa giá trị “0”. Một ma trận hoán vị có thể thu được từ một ma trận
đồng nhất bằng cách hoán vị các hàng và cột.)

π

neu j=π (i)
1

0 truonghopkhac


1.1.7 Mật mã dòng


Trong hệ thống mật mã chúng ta đã tìm hiểu vấn đề này, văn bản với các phần tử kế tiếp là
mật mã sử dụng khóa K. văn bản mã xâu y thu được như sau:





y = y1y2…=eK(x1)eK(x2)…
Hệ thống mật mã kiểu này thường được gọi là mật mã khối
Một cách tiếp cận khác là sử dụng cái được gọi là mật mã dòng. Ý tưởng cơ bản là sản
sinh một khóa dòng z = z1z2…., và sử dụng nó để mã hóa xâu gốc x = x1x2…tùy ý theo
qui tắc



y = y1y2…=ez1(x1)ez2(x2)…


∈



hoạt động của mật mã dòng là như sau: cho K K là khóa và x1x2… là xâu gốc. Hàm fi
được sử dụng để sản sinh zi (phần tử thứ i của khóa dòng), ở đây fi là hàm của khóa K và
i-1 kí tự đầu của xâu gốc:




zi = fi (K, x1,…,xi-1).





z1, y1, z2, y2…

phần tử khóa dòng zi đã sử dụng để mã hóa xi, kết quả yi = ezi(xi). vì thế để mã hóa xâu
gốc x1x2.....chúng ta sẽ tính
Giải mã xâu đã mã hóa y1y2… có thể được hoàn thành bởi việc tính
z1, x1, z2, x2….




Ví dụ:

1
3
0

0
1
K =
0
0

0


π

2
5

3
1

0 1 0 0 0

0 0 0 0 1
0 0 0 0 0

0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 
0 0 1 0 0 

4
6

5
4

6
2


Định nghĩa 1.6

ε

Mật mã dòng là một bộ (P,C,K,L,F, , D) thỏa mãn các điều kiện sau:

1.
2.
3.
4.
5.
6.

P là tập hợp hữu hạn của các văn bản gốc
C là tập hợp hữu hạn của các văn bản mã
K là tập hợp hữu hạn của các khóa
L là tập hợp hữu hạn gọi là bảng chữ cái khóa
F = ( f1, f2…..) là hàm tạo khóa. Với i
i-1
fi:K  P  L

1

Với mỗi z L, có một qui tắc mã hóa ez và tương ứng có một
≥ các hàm sao
qui tắc giải mã dz
Lz ez : P  C và dz : C P là
cho dz(ez(x)) = x với mọi văn bản gốc x
P.

∈

∈

∈


Phân loại mã dòng:

1.
2.



Mã tuần hoàn: Tồn tại k để zi = zi +k với mọi i, ví dụ như mã dịch chuyên, mã vigener.
Mã đồng bộ: khóa lập mã không phụ thuộc vào bản rõ (các mã cổ điển đã học đều là mã
đồng bộ).

Một ví dụ của mật mã dòng không đồng bộ được biết đến là mật mã khóa tự động được
cho trong hình 1.9. nhìn bề ngoài giống với mật mã Vigenère.



Lí do dùng thuật ngữ “khóa tự động” là văn bản gốc được sử dụng khóa (ngoại trừ khóa
ban đầu K).




Hình 1.9 Mật mã khóa tự động

Cho P = C = K = L = Z26, cho z1 = K và zi =≥xi-1

(i 2). ≤Cho≤ 0 z 25, định nghĩa
ez(x) = x + z mod 26
và

dz(y) = y – z mod 26

(x,y thuộc Z26).












Ví dụ mã khóa tự động (không đồng bộ)
Giả sử khóa K = 8,
P = rendezvous.
Số hóa:
P -> 17 4 13 3 4 25 21 14 20 18
Khóa dòng là:
8 17 4 13 3 4 25 21 14 20
Bây giờ chúng ta cộng các phần tử tương ứng, qui về modulo 26
C= 25 21 17 16 7 3 20 9 8 12





Đối chiếu trong bảng chữ cái ta có văn bản mã là:







25 21 17 16 7 3 20 9 8 12

ZVRQHDUJIM
Bây giờ hãy nhìn xem Alice giải mã như thế nào. Trước hết cô sẽ chuyển xâu chữ cái thành
dãy số nguyên

Sau đó cô ấy tính
x1 = d8(25) = 25 – 8 mod 26 =17.
tiếp theo
x2 = d17(21) = 21 – 17 mod 26 = 4. và tiếp tục như vậy. Mỗi lần cô ấy nhận được chữ cái
văn bản gốc khác nhau. Cô cũng sử dụng nó là phần tử khóa dòng tiếp theo ….. Cho đến
khi giải mã hết bản mã.