Đề thi thử toán vào 10 có đáp án chi tiết

ĐỀ SỐ 1:
Câu 1:

x ( x + 3) = 15 − ( 3x − 1)

Giải phương trình:
Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 40m và chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Tính diện
tích của miếng đất
Câu 2:
a)
b)

y=−
a)

Vẽ đồ thị (P) của hàm số

Tìm m để (P) cắt đường thẳng
Câu 3:
b)

x2
4

( D ) : y = 2x − m

tại điểm có hoành độ x = 1

A = 4+2 3 − 4−2 3

a)

b)

Thu gọn biểu thức:
Giá bán một chiếc Tivi giảm giá hai lần, mỗi lần giảm 10% so với giá đang bán, sau khi
giảm giá 2 lần đó thì giá còn lại là 16.200.000 đồng. Vậy giá bán ban đầu của Tivi là bao
nhiêu?
x 2 − 2mx + m − 2 = 0

Câu 4: Cho phương trình:
(1) (x là ẩn số)
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m
b)

Định m để hai nghiệm

x1 , x 2

của phương trình (1) thỏa mãn:

(1 + x1 )( 2 − x 2 ) + (1 + x 2 )( 2 − x1 ) = x12 + x 22 + 2

Câu 5: Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt
các cạnh AC, AB lần lượt tại D, E. Gọi H là giao điểm của BD và CE; F là giao điểm của
AH và BC
⊥

a)

Chứng minh: AF

b)

Gọi M là trung điểm của AH. Chứng minh: MD
thuộc một đường tròn

c)

d)

BC và

AFˆD = ACˆE

Gọi K là giao điểm của AH và DE. Chứng minh:
giác MBC
Chứng minh:

2
1
1
=
+
FK FH FA

1

⊥

OD và 5 điểm M, D, O, F, E cùng

MD 2 = MK.MF

và K là trực tâm của tam


BÀI GIẢI
Câu 1:
a)

Giải:

Giải phương trình:

x ( x + 3) = 15 − ( 3x − 1)

(1)

(1) ⇔ x 2 + 3x = 15 − 3x + 1
⇔ x 2 + 3x − 15 + 3x − 1 = 0
⇔ x 2 + 6x − 16 = 0

Ta có
Do

∆' = 32 − 1.( − 16 ) = 9 + 16 = 25 > 0; ∆' = 25 = 5

∆'> 0

nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:

x1 =

−3+ 5
−3−5
= 2; x 2 =
= −8
1
1

S = { 2; − 8}

b)

Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là:
Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 40m và chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Tính diện
tích của miếng đất

Giải:
Gọi x (m) là chiều dài và y (m) là chiều rộng của hình chữ nhật (x > y > 0)
Theo đề bài, ta có hệ phương trình:

2( x + y ) = 40

 x = 3y

x + y = 20
3x + 3y = 60
4x = 60
 x = 15
x = 15

⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
x − 3y = 0
 x − 3y = 0
y = 5
 x − 3y = 0
15 − 3y = 0

Diện tích của miếng đất là:
Câu 2:
a)

Vẽ đồ thị (P) của hàm số

( )

S = xy = 15.5 = 75 m

x2
y=−
4

Giải:
Bảng giá trị
x
y=−

x2
4

−4

−2

−4

−1

0
0

2

4

−1

−4

Đồ thị

2

2

(thỏa)

b)

Tìm m để (P) cắt đường thẳng

( D ) : y = 2x − m

tại điểm có hoành độ x = 1

Giải:
−

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) có dạng:
Do (D) cắt (P) tại điểm có hoành độ x = 1 nên thỏa:
m=

Vậy
Câu 3:
a)

9
4

x2
= 2x − m
4

12
1 9
− = 2.1 − m ⇔ m = 2 + =

4
4 4

là giá trị cần tìm

Thu gọn biểu thức:

A = 4+2 3 − 4−2 3

Giải:
Ta có

A = 4+2 3 − 4−2 3

=

(vì

(

)

2

3 +1 −

3 + 1 > 0; 3 − 1 > 0

(

)

2

3 −1 = 3 + 1 − 3 −1 =

)
3

(

) (

3 +1 −

)

3 −1 = 3 +1 − 3 +1 = 2


b)

Giá bán một chiếc Tivi giảm giá hai lần, mỗi lần giảm 10% so với giá đang bán, sau khi
giảm giá 2 lần đó thì giá còn lại là 16.200.000 đồng. Vậy giá bán ban đầu của Tivi là bao
nhiêu?

Giải:
Gọi x (đồng) là giá bán ban đầu của Tivi (x > 0)
Giá bán được giảm lần thứ nhất là:
Giá bán được giảm lần thứ hai là:

(100% − 10% ).x = 90%x

(đồng)

(100% − 10% ).90%x = 90%.90%.x

(đồng)

90%.90%x = 16200000 ⇔ x = 20000000

Theo đề bài, ta có phương trình:
Vậy giá bán ban đầu là của Tivi là: 20.000.000 (đồng)

(nhận)

x 2 − 2mx + m − 2 = 0

Câu 4: Cho phương trình:
(1) (x là ẩn số)
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m
Giải:
2
2
2
 2
1  1    1 
1 1



Δ'= ( − m ) − 1.( m − 2 ) = m − m + 2 = m − 2.m. +   −   + 2 =  m −  − + 2

2  2    2 
2 4


2

Ta có

2

2

1 7 7

=  m −  + ≥ > 0, ∀m
2 4 4


Do
b)

Δ' > 0, ∀m

2

(vì

1


 m −  ≥ 0, ∀m
2


)

nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m

Định m để hai nghiệm

x1 , x 2

của phương trình (1) thỏa mãn:

(1 + x1 )( 2 − x 2 ) + (1 + x 2 )( 2 − x1 ) = x12 + x 22 + 2

Giải:
Theo câu a, với mọi m thì phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1, x2 thỏa hệ thức Vi-ét:
b
− 2m

x 1 + x 2 = − a = − 1 = 2m

c m−2
 x1x 2 = =
=m−2
a
1


(1 + x1 )( 2 − x 2 ) + (1 + x 2 )( 2 − x1 ) = x12 + x 22 + 2
Ta có:

⇔ 2 − x 2 + 2x 1 − x 1 x 2 + 2 − x 1 + 2x 2 − x 1 x 2 = ( x 1 + x 2 ) − 2x1 x 2 + 2
2

⇔ ( x1 + x 2 ) − ( x1 + x 2 ) − 2 = 0
2

⇔ ( 2m ) − 2m − 2 = 0
2

(do hệ thức Vi-ét)

⇔ 4m − 2m − 2 = 0
2

⇔ 2m 2 − m − 1 = 0 ( *)

4


Ta có

a + b + c = 2 + ( − 1) + ( − 1) = 0
m1 = 1; m 2 =

m1 = 1; m 2 =

c −1
=
a 2

nên phương trình (*) có 2 nghiệm:

−1
2

Vậy
là các giá trị cần tìm
Câu 5: Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt
các cạnh AC, AB lần lượt tại D, E. Gọi H là giao điểm của BD và CE; F là giao điểm của
AH và BC
a)

Chứng minh: AF

⊥

BC và

AFˆD = ACˆE

Giải:

Ta có
⇒

ˆ C = BEˆC = 90 0

BD

⊥

⊥

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

BD AC, CF AB
Xét ∆ABC có: BD và CE là 2 đường cao cắt nhau tại H
⇒
⇒

H là trực tâm của ∆ABC
⊥

AH BC tại F
Xét tứ giác HFCD có:
ˆ C = 90 0 + 90 0 = 180 0
HFˆC + HD

(vì AH

⊥
5

BC, BD

⊥

AC)


⇒

Tứ giác HFCD nội tiếp (tổng 2 góc đối bằng 1800)

⇒ AFˆD = ACˆE
b)

(cùng chắn cung HD)

Gọi M là trung điểm của AH. Chứng minh: MD
thuộc một đường tròn

⊥

Giải:

Ta có ∆ADH vuông tại D và có DM là trung tuyến
⇒

MD = MA = MH (1)
Ta có ∆AEH vuông tại E và có EM là trung tuyến
⇒

ME = MA = MH (2)
⇒

Từ (1) và (2)

MD = ME (3)
Xét ∆OEM và ∆ODM có:
OE = OD = R
ME = MD (do (3))
OM: chung
⇒

∆OEM = ∆ODM (c.c.c)

ˆ E = MO
ˆD
⇒ MO

(2 góc tương ứng)

1 ˆ
= EO
D
2

(4)
6

OD và 5 điểm M, D, O, F, E cùng


Ta có
Ta có

ˆ D = 1 EO

ˆD
EC
2
HFˆD = ECˆD

Từ (4), (5) và (6)

(5) (hệ quả góc nội tiếp)

(6) (cùng chắn cung HD của tứ giác HFCD nội tiếp)

ˆ D = HFˆD
⇒ MO

⇒

Tứ giác MFOD nội tiếp (7) (tứ giác có 2 đỉnh O, F cùng nhìn cạnh MD dưới một góc
bằng nhau)
ˆ O = 180 0 − MFˆO
⇒ MD

(tổng 2 góc đối của tứ giác MFOD nội tiếp)

= 180 − 90 = 90 0
0

⇒

0

⊥

(vì AF

⊥

BC)

MD DO
Xét tứ giác MEOD có:
ˆ O = 90 0
MEˆO = MD

(vì ∆MEO = MDO: cmt)

ˆ O = 90 + 90 = 180 0
⇒ MEˆO + MD
0

⇒

Tứ giác MEOD nội tiếp (8) (tổng 2 góc đối bằng 1800)

Từ (7) và (8)
c)

0

⇒

5 điểm M, E, F, O, D cùng thuộc đường tròn (MOD)

Gọi K là giao điểm của AH và DE. Chứng minh:
giác MBC

Giải:

7

MD 2 = MK.MF

và K là trực tâm của tam


Gọi I là giao điểm thứ hai của MC và đường tròn (O)
Ta có
Hay

ˆ E = DCˆE
MD

(hệ quả góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

ˆ K = HCˆD
MD

= HFˆD

(cùng chắn cung HD của tứ giác HFCD nội tiếp)

= MFˆD

(9)
Xét ∆MDK và ∆MFD có:
ˆD
FM

: chung

ˆ K = MFˆD
MD
⇒

(do (9))

∆MDK ∽ ∆MFD (g.g)

MD MK
⇒
=
⇔ MD 2 = MK.MF
MF MD
ˆ I = MCˆD
MD

(10)

Ta có
(11) (hệ quả góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
Xét ∆MDI và ∆MCD có:

ˆD
CM

: chung

ˆ I = MCˆD
MD

(do (11))
8


⇒

⇒

∆MDI ∽ ∆MCD (g.g)
MD MI
=
⇔ MD 2 = MI.MC
MC MD

Từ (10) và (12)
⇒

⇒

(12)

MI.MC = MK.MF = MD2

MI MK
=
MF MC

(13)
Xét ∆MKI và ∆MCF có:
ˆC
FM

: chung

MI MK
=
MF MC
⇒

(do (13))

∆MKI ∽ ∆MCF (c.g.c)

⇒ MˆIK = MFˆC = 90 0
⇒

Mà
⇒

⊥

KI

MC (14)

BˆIC = 90 0

⊥

BI

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

MC (15)

Từ (14) và (15)
⇒

BK

⊥

Mà MK
d)

Ta có

⇒

3 điểm B, K, I thẳng hàng

MC

⊥

BC nên K là trực tâm ∆MBC

Chứng minh:

Giải:

(2 góc tương ứng)

2
1
1
=
+
FK FH FA

FA.FH = ( FM + MA )( FM − MH )
= ( FM + MA )( FM − MA ) = FM 2 − MA 2
FK.FM = ( FM − MK ).FM = FM − MK.MF

(16) (vì MA = MH)

2

Ta có

= FM 2 − MD 2
= FM − MA

2

Từ (16) và (17)
⇒

2
2FM
=
FK FA.FH

⇒

(do trên)

2

(17) (vì MD = MA)

FA.FH = FK.FM

( FM + MA ) + ( FM − MH ) = FA + FH =
=
FA.FH

FA.FH

9

1
1

+
FA FH


Đề số 2
Câu 1 (2,5 điểm)

Cho biểu thức

 2 a  1

2 a
A =  1 −
:
−
÷
÷
÷
÷
 a + 1   a + 1 (a + 1)( a + 1) 

a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của A khi

a = 1996 − 2 1995

Câu 2 (2 điểm)
Một người đi xe máy chuyển động đều trên quãng đường gồm một đoạn đường bằng và
một đoạn đường lên dốc. Vận tốc trên đoạn đường bằng là 40km/h, trên đoạn đường lên dốc là
20km/h. Biết đoạn đường lên dốc ngắn hơn đoạn đường bằng là 110km và thời gian đi trên cả hai

đoạn đường là 3 giờ 30 phút. Tính chiều dài đoạn đường người đó đã đi.
Câu 3 (2 điểm)
Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m:

( 2m − 1) x 2 − 4mx + 4 = 0

a) Giải phương trình (1) với m = 1
10

(1)


b) Giải phương trình (1) với m bất kỳ
c) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng m
Câu 4 (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC (AC = BC) nội tiếp đường tròn có đường kính CK. Lấy điểm M bất kỳ

(M

trên cung nhỏ BC
D sao cho MB = MD

≠ B; M ≠ C )

, kẻ nửa đường thẳng AM. Trên AM kéo dài về phía M lấy điểm

a) Chứng minh rằng MK // BD
b) Kéo dài CM cắt BD tại I. Chứng minh BI = ID và CA = CB = CD
c) Chứng minh MA + MB < CA + CB
d) Trên CK kéo dài về phía C lấy điểm N sao cho CA = CN. Tìm điểm E trên NK để tam

giác NDE vuông tại D

11