Giáo trình kỹ thuật - Phương pháp phần tử hữu hạn

i






PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN

 Lý thuyết
 Bài tập
 Chương trình MATLAB



HÀ NỘI 2007
TRẦN ÍCH THỊNH – NGÔ NHƯ KHOA
SinhVienKyThuat.Com

TRẦN ÍCH THỊNH
NGÔ NHƯ KHOA
HÀ NỘI 2007

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
P p
 Lý thuyết
 Bài tập
 Chương trình MATLAB

SinhVienKyThuat.Com

GS, TS Trần Ích Thịnh
TS. Ngô Như Khoa













PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Lý thuyết
Bài tập
Chương trình MATLAB

HÀ NỘI 2007
SinhVienKyThuat.Com
i

MỞ ĐẦU
Giáo trình Phương pháp Phần tử hữu hạn (PP PTHH) được biên soạn
dựa trên nội dung các bài giảng và kinh nghiệm giảng dạy môn học cùng tên
trong những năm gần đây cho sinh viên khoa Cơ khí, trường Đại học Bách
khoa Hà Nội và học viên cao học ngành Cơ học Kỹ thuật, trường Đại học Kỹ
thuật Công nghiệp - Đại học Thái Nguyên. Nội dung giáo trình có mục đích
trang bị cho sinh viên các ngành kỹ thuật: Công nghệ chế tạo máy, Cơ tin kỹ
thuật, Kỹ thuật hàng không, Kỹ thuật tàu thuỷ, Máy thuỷ khí, Ô tô, Động cơ,
Tạo hình biến dạng, Công nghệ chất dẻo & composite, Công nghệ & kết cấu
hàn v.v.:
- Những kiến thức cơ bản nhất của PP PTHH ứng dụng,
- Áp dụng phương pháp để giải quyết một số bài toán kỹ thuật khác
nhau,
- Nâng cao kỹ năng lập trình Matlab trên cơ sở thuật toán PTHH.
Giáo trình biên soạn gồm 13 chương.
Sau phần giới thiệu phương pháp PTHH, một số loại phần tử thực và phần
tử qui chiếu hay gặp (Chương 1), giáo trình đề cập đến một số phép tính ma
trận, phương pháp khử Gauss (Chương 2) và thuật toán xây dựng ma trận độ
cứng và véctơ lực nút chung cho kết cấu (Chương 3). Phương pháp Phần tử
hữu hạn trong bài toán một chiều chịu kéo (nén) được giới thiệu trong Chương
4 và ứng dụng vào tính toán hệ thanh phẳng (Chương 5). Tiếp theo, giáo trình
tập trung vào mô tả phần tử hữu hạn tam giác biến dạng hằng số trong bài toán
phẳng của lý thuyết đàn hồi (Chương 6) và ứng dụng vào tính toán kết cấu đối
xứng trục (Chương 7). Chương 8 giới thiệu phần tử tứ giác kèm theo khái niệm
tích phân số. Chương 9 mô tả phần tử Hermite trong bài toán tính dầm và

khung. Chương 10 trình bày phần tử hữu hạn trong bài toán dẫn nhiệt một và
hai chiều. Chương 11 xây dựng thuật toán PTHH tính tấm-vỏ chịu uốn. Phần
áp dụng phần tử hữu hạn trong tính toán vật liệu và kết cấu composite được
giới thiệu trong chương 12. Chương 13 mô tả phần tử hữu hạn trong tính toán
động lực học một số kết cấu.
SinhVienKyThuat.Com
ii

Cuối mỗi chương (từ chương 4 đến chương 13) đều có chương trình
Matlab kèm theo và một lượng bài tập thích đáng để người đọc tự kiểm tra kiến
thức của mình.
Giáo trình được biên soạn bởi:
- GS. TS Trần Ích Thịnh (chủ biên): Chương 1, 3, 4, 5, 6, 8 và 9.
- TS Ngô Như Khoa: Chương 2, 7, 10, 11, 12, 13 và các chương trình
Matlab.
Giáo trình được trình bày một cách hệ thống và nhất quán từ đầu đến cuối
nhờ Nguyên lý cực tiểu hoá thế năng toàn phần. Các quan hệ được xây dựng
trong "không gian qui chiếu", do đó rất thuận lợi trong tính toán và lập trình.
Có thể dùng giáo trình này làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên
Cao học và nghiên cứu sinh các ngành kỹ thuật liên quan.
Rất mong nhận được những góp ý xây dựng của bạn đọc.

Tập thể tác giả



SinhVienKyThuat.Com
iii

MỤC LỤC

Chương 1
GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
1. Giới thiệu chung ................................................................................ 1
2. Xấp xỉ bằng phần tử hữu hạn ............................................................. 1
3. Định nghĩa hình học các phần tử hữu hạn .......................................... 2
3.1. Nút hình học ............................................................................................... 2
3.2. Qui tắc chia miền thành các phần tử............................................................ 2
4. Các dạng phần tử hữu hạn ................................................................. 3
5. Phần tử quy chiếu, phần tử thực ......................................................... 4
6. Một số dạng phần tử quy chiếu .......................................................... 5
7. Lực, chuyển vị, biến dạng và ứng suất ............................................... 6
8. Nguyên lý cực tiểu hoá thế năng toàn phần ........................................ 7
9. Sơ đồ tính toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn ........................... 8

Chương 2
ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN
1. Đại số ma trận ................................................................................. 11
1.1. Véctơ ....................................................................................................... 11
1.2. Ma trận đơn vị .......................................................................................... 12
1.3. Phép cộng và phép trừ ma trận. ................................................................. 12
1.4. Nhân ma trận với hằng số ......................................................................... 12
1.5. Nhân hai ma trận ...................................................................................... 13
1.6. Chuyển vị ma trận .................................................................................... 13
1.7. Đạo hàm và tích phân ma trận................................................................... 14
1.8. Định thức của ma trận .............................................................................. 14
1.9. Nghịch đảo ma trận .................................................................................. 15
1.10. Ma trận đường chéo .............................................................................. 16
1.11. Ma trận đối xứng .................................................................................. 16
1.12. Ma trận tam giác ................................................................................... 16
2. Phép khử Gauss ............................................................................... 17

2.1. Mô tả........................................................................................................ 17
2.2. Giải thuật khử Gauss tổng quát ................................................................. 18

Chương 3
THUẬT TOÁN XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG
VÀ VÉCTƠ LỰC NÚT CHUNG
1. Các ví dụ ......................................................................................... 22
1.1. Ví dụ 1 ..................................................................................................... 22
1.2. Ví dụ 2 ..................................................................................................... 24
2. Thuật toán ghép K và F ................................................................... 28
SinhVienKyThuat.Com
iv

2.1. Nguyên tắc chung ..................................................................................... 28
2.2. Thuật toán ghép nối phần tử: .................................................................... 29

Chương 4
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN MỘT CHIỀU
1. Mở đầu ............................................................................................ 31
2. Mô hình phần tử hữu hạn ................................................................. 31
3. Các hệ trục toạ độ và hàm dạng ....................................................... 32
4. Thế năng toàn phần ......................................................................... 35
5. Ma trận độ cứng phần tử .................................................................. 36
6. Qui đổi lực về nút ............................................................................ 37
7. Điều kiện biên, hệ phương trình phần tử hữu hạn ............................. 38
8. Ví dụ ............................................................................................... 40
9. Chương trình tính kết cấu một chiều – 1D ....................................... 46
10. Bài tập ............................................................................................. 50

Chương 5

PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN HỆ THANH PHẲNG
1. Mở đầu ............................................................................................ 52
2. Hệ toạ độ địa phương, hệ toạ độ chung ............................................ 52
3. Ma trận độ cứng phần tử .................................................................. 54
4. Ứng suất .......................................................................................... 55
5. Ví dụ ............................................................................................... 55
6. Chương trình tính hệ thanh phẳng .................................................... 57
7. Bài tập ............................................................................................. 67

Chương 6
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN HAI CHIỀU
1. Mở đầu ............................................................................................ 71
1.1. Trường hợp ứng suất phẳng ...................................................................... 72
1.2. Trường hợp biến dạng phẳng .................................................................... 72
2. Rời rạc hoá kết cấu bằng phần tử tam giác ....................................... 73
3. Biểu diễn đẳng tham số.................................................................... 76
4. Thế năng ......................................................................................... 79
5. Ma trận độ cứng của phần tử tam giác ............................................. 79
6. Qui đổi lực về nút ............................................................................ 80
7. Ví dụ ............................................................................................... 83
8. Chương trình tính tấm chịu trạng thái ứng suất phẳng ...................... 88
9. Bài tập ............................................................................................. 99


SinhVienKyThuat.Com
v

Chương 7
PHẦN TỬ HỮU HẠN
TRONG BÀI TOÁN ĐỐI XỨNG TRỤC CHỊU TẢI TRỌNG ĐỐI XỨNG

1. Mở đầu .......................................................................................... 103
2. Mô tả đối xứng trục ....................................................................... 103
3. Phần tử tam giác ............................................................................ 104
4. Chương trình tính kết cấu đối xứng trục ......................................... 114
5. Bài tập ........................................................................................... 122

Chương 8
PHẦN TỬ TỨ GIÁC
1. Mở đầu .......................................................................................... 126
2. Phần tử tứ giác............................................................................... 126
3. Hàm dạng ...................................................................................... 127
4. Ma trận độ cứng của phần tử.......................................................... 129
5. Qui đổi lực về nút .......................................................................... 131
6. Tích phân số .................................................................................. 132
7. Tính ứng suất................................................................................. 136
8. Ví dụ ............................................................................................. 136
9. Chương trình ................................................................................. 138
10. Bài tập ........................................................................................... 150


Chương 9
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU DẦM VÀ KHUNG
1. Giới thiệu ...................................................................................... 152
2. Thế năng ....................................................................................... 153
3. Hàm dạng Hermite ........................................................................ 153
4. Ma trận độ cứng của phần tử dầm .................................................. 155
5. Quy đổi lực nút .............................................................................. 157
6. Tính mômen uốn và lực cắt............................................................ 158
7. Khung phẳng ................................................................................. 159
8. Ví dụ ............................................................................................. 161

9. Chương trình tính dầm chịu uốn .................................................... 166
10. Bài tập ........................................................................................... 175

Chương 10
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN DẪN NHIỆT
1. Giới thiệu ...................................................................................... 178
2. Bài toán dẫn nhiệt một chiều.......................................................... 178
2.1. Mô tả bài toán ........................................................................................ 178
SinhVienKyThuat.Com
vi

2.2. Phần tử một chiều ................................................................................... 178
2.3. Ví dụ ...................................................................................................... 180
3. Bài toán dẫn nhiệt hai chiều ........................................................... 182
3.1. Phương trình vi phân quá trình dẫn nhiệt hai chiều .................................. 182
3.2. Điều kiện biên ........................................................................................ 183
3.3. Phần tử tam giác ..................................................................................... 184
3.4. Xây dựng phiếm hàm ............................................................................. 185
3.5. Ví dụ ...................................................................................................... 189
4. Các chương trình tính bài toán dẫn nhiệt ........................................ 192
4.1. Ví dụ 10.1 .............................................................................................. 192
4.2. Ví dụ 10.2 .............................................................................................. 197
5. Bài tập ........................................................................................... 203

Chương 11
PHẦN TỬ HỮU HẠN
TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TẤM - VỎ CHỊU UỐN
1. Giới thiệu ...................................................................................... 206
2. Lý thuyết tấm Kirchhof ................................................................. 206
3. Phần tử tấm Kirchhof chịu uốn ...................................................... 209

4. Phần tử tấm Mindlin chịu uốn ........................................................ 215
5. Phần tử vỏ ..................................................................................... 218
6. Chương trình tính tấm chịu uốn ..................................................... 221
7. Bài tập ........................................................................................... 231

Chương 12
PHẦN TỬ HỮU HẠN
TRONG TÍNH TOÁN VẬT LIỆU, KẾT CẤU COMPOSITE
1. Giới thiệu ...................................................................................... 234
2. Phân loại vật liệu Composite ......................................................... 234
3. Mô tả PTHH bài toán trong trạng thái ứng suất phẳng ................... 236
3.1. Ma trận D đối với trạng thái ứng suất phẳng ........................................... 236
3.2. Ví dụ ...................................................................................................... 238
4. Bài toán uốn tấm Composite lớp theo lý thuyết Mindlin ................ 241
4.1. Mô hình hóa vật liệu composite nhiều lớp theo lý thuyết Mindlin ........... 241
4.2. Mô hình hóa PTHH bài toán tấm composite lớp chịu uốn ....................... 246
5. Chương trình tính tấm Composite lớp chịu uốn.............................. 250
6. Bài tập ........................................................................................... 267

Chương 13
PHẦN TỬ HỮU HẠN
TRONG BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU
1. Giới thiệu ...................................................................................... 268
SinhVienKyThuat.Com
vii

2. Mô tả bài toán................................................................................ 268
3. Vật rắn có khối lượng phân bố ....................................................... 270
4. Ma trận khối lượng của phần tử có khối lượng phân bố.................. 272
4.1. Phần tử một chiều ................................................................................... 272

4.2. Phần tử trong hệ thanh phẳng.................................................................. 272
4.3. Phần tử tam giác ..................................................................................... 273
4.4. Phần tử tam giác đối xứng trục ............................................................... 274
4.5. Phần tử tứ giác ....................................................................................... 275
4.6. Phần tử dầm ........................................................................................... 275
4.7. Phần tử khung ........................................................................................ 276
5. Ví dụ ............................................................................................. 276
6. Chương trình tính tần số dao động tự do của dầm và khung .................. 277
6.1. Chương trình tính tần số dao động tự do của dầm ................................... 277
6.2. Chương trình tính tần số dao động tự do của khung ................................ 282
7. Bài tập ........................................................................................... 287

TÀI LIỆU THAM KHẢO

SinhVienKyThuat.Com
1


Chương 1
GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

1. GIỚI THIỆU CHUNG
Sự tiến bộ của khoa học, kỹ thuật đòi hỏi người kỹ sư thực hiện
những đề án ngày càng phức tạp, đắt tiền và đòi hỏi độ chính xác, an
toàn cao.
7.1. Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là
một phương pháp rất tổng quát và hữu hiệu cho lời
giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau. Từ
việc phân tích trạng thái ứng suất, biến dạng trong
các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máy bay,

tàu thuỷ, khung nhà cao tầng, dầm cầu, v.v, đến
những bài toán của lý thuyết trường như: lý thuyết
truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thuỷ đàn hồi, khí
đàn hồi, điện-từ trường v.v. Với sự trợ giúp của
ngành Công nghệ thông tin và hệ thống CAD, nhiều
kết cấu phức tạp cũng đã được tính toán và thiết kế
chi tiết một cách dễ dàng.
Trên thế giới có nhiều phần mềm PTHH nổi tiếng như:
NASTRAN, ANSYS, TITUS, MODULEF, SAP 2000, CASTEM
2000, SAMCEF v.v.
Để có thể khai thác hiệu quả những phần mềm PTHH hiện có hoặc
tự xây dựng lấy một chương trình tính toán bằng PTHH, ta cần phải
nắm được cơ sở lý thuyết, kỹ thuật mô hình hoá cũng như các bước tính
cơ bản của phương pháp.
2. XẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN
Giả sử V là miền xác định của một đại lượng cần khảo sát nào đó
(chuyển vị, ứng suất, biến dạng, nhiệt độ, v.v.). Ta chia V ra nhiều miền
con v
e
có kích thước và bậc tự do hữu hạn. Đại lượng xấp xỉ của đại
lượng trên sẽ được tính trong tập hợp các miền v
e
.
Phương pháp xấp xỉ nhờ các miền con v
e
được gọi là phương pháp
xấp xỉ bằng các phần tử hữu hạn, nó có một số đặc điểm sau:
SinhVienKyThuat.Com

2

- Xấp xỉ nút trên mỗi miền con v
e
chỉ liên quan đến những biến
nút gắn vào nút của v
e
và biên của nó,
- Các hàm xấp xỉ trong mỗi miền con v
e
được xây dựng sao cho
chúng liên tục trên v
e
và phải thoả mãn các điều kiện liên tục
giữa các miền con khác nhau.
- Các miền con v
e
được gọi là các phần tử.
3. ĐỊNH NGHĨA HÌNH HỌC CÁC PHẦN TỬ HỮU HẠN
3.1. Nút hình học
Nút hình học là tập hợp n điểm trên miền V để xác định hình học
các PTHH. Chia miền V theo các nút trên, rồi thay miền V bằng một tập
hợp các phần tử v
e
có dạng đơn giản hơn. Mỗi phần tử v
e
cần chọn sao
cho nó được xác định giải tích duy nhất theo các toạ độ nút hình học
của phần tử đó, có nghĩa là các toạ độ nằm trong v
e
hoặc trên biên của
nó.

3.2. Qui tắc chia miền thành các phần tử
Việc chia miền V thành các phần tử v
e
phải thoả mãn hai qui tắc
sau:
- Hai phần tử khác nhau chỉ có thể có những điểm chung nằm trên
biên của chúng. Điều này loại trừ khả năng giao nhau giữa hai
phần tử. Biên giới giữa các phần tử có thể là các điểm, đường hay
mặt (Hình 1.1).
- Tập hợp tất cả các phần tử v
e
phải tạo thành một miền càng gần
với miền V cho trước càng tốt. Tránh không được tạo lỗ hổng
giữa các phần tử.

biên giới
biên giới
v
2
v
1

biên giới
v
2

v
1

v

1

v
2

Hình 1.1. Các dạng biên chung giữa các phần tử
SinhVienKyThuat.Com

3
4. CÁC DẠNG PHẦN TỬ HỮU HẠN
Có nhiều dạng phần tử hữu hạn: phần tử một chiều, hai chiều và ba
chiều. Trong mỗi dạng đó, đại lượng khảo sát có thể biến thiên bậc nhất
(gọi là phần tử bậc nhất), bậc hai hoặc bậc ba v.v. Dưới đây, chúng ta
làm quen với một số dạng phần tử hữu hạn hay gặp.
Phần tử một chiều

Phần tử hai chiều

Phần tử ba chiều
Phần tử tứ diện

Phần tử lăng trụ
Phần tử bậc nhất
Phần tử bậc hai
Phần tử bậc ba
Phần tử bậc nhất
Phần tử bậc hai
Phần tử bậc ba
Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
SinhVienKyThuat.Com

4

5. PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ THỰC
Với mục đích đơn giản hoá việc xác định giải tích các phần tử có
dạng phức tạp, chúng ta đưa vào khái niệm phần tử qui chiếu, hay
phần tử chuẩn hoá, ký hiệu là v
r
. Phần tử qui chiếu thường là phần tử
đơn giản, được xác định trong không gian qui chiếu mà từ đó, ta có thể
biến đổi nó thành từng phần tử thực v
e
nhờ một phép biến đổi hình học
r
e
. Ví dụ trong trường hợp phần tử tam giác (Hình 1.2).

Các phép biến đổi hình học phải sinh ra các phần tử thực và phải
thoả mãn các qui tắc chia phần tử đã trình bày ở trên. Muốn vậy, mỗi
phép biến đổi hình học phải được chọn sao cho có các tính chất sau:
a. Phép biến đổi phải có tính hai chiều (song ánh) đối với mọi điểm 
trong phần tử qui chiếu hoặc trên biên; mỗi điểm của v
r
ứng với
một và chỉ một điểm của v
e
và ngược lại.
Phần tử bậc nhất
Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
v

r

v
3

v
2

v
1

1,0

0,0

y

x
(1)

(2)

(3)

(4)

(5)


r

3
r
2
r
1
0,1

Hình 1.2. Phần tử quy chiếu và các phần tử thực tam giác
SinhVienKyThuat.Com

5
b. Mỗi phần biên của phần tử qui chiếu được xác định bởi các nút hình học
của biên đó ứng với phần biên của phần tử thực được xác định bởi các nút
tương ứng.
Chú ý:
- Một phần tử qui chiếu v
r
được biến đổi thành tất cả các phần tử
thực v
e
cùng loại nhờ các phép biến đổi khác nhau. Vì vậy, phần
tử qui chiếu còn được gọi là phần tử bố-mẹ.
- Có thể coi phép biến đổi hình học nói trên như một phép đổi biến đơn
giản.
-  (, ) được xem như hệ toạ độ địa phương gắn với mỗi phần tử.
6. MỘT SỐ DẠNG PHẦN TỬ QUI CHIẾU
Phần tử qui chiếu một chiều

Phần tử qui chiếu hai chiều

Phần tử qui chiếu ba chiều
Phần tử tứ diện

Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
v
r

1

0,0

1


v
r

1

0,0

1


v
r

1

0,0

1


 
1
/
2
,1
/
2
1
/
2
1
/
2
1
/
3
,
2
/
3
2
/
3
,
1
/

3
2
/
3
1
/
3
1
/
3
2
/
3
0

1

-1


0

1

-1


-1
/
2

1

-1


1
/
2

0

Phần tử bậc nhất
Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
SinhVienKyThuat.Com

6


Phần tử sáu mặt

7. LỰC, CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG VÀ ỨNG SUẤT
Có thể chia lực tác dụng ra ba loại và ta biểu diễn chúng dưới dạng
véctơ cột:
- Lực thể tích f : f = f[ f
x
, f
y
, f
z

]
T

- Lực diện tích T : T = T[ T
x
, T
y
, T
z
]
T

- Lực tập trung P
i
:

P
i
= P
i
[ P
x
, P
y
, P
z
]
T

v

r


Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
0,1,1


v
r




1,1,0


0,1,1

1,1,0


v
r



0,1,1

1,1,0


Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
v
r

0,1,0

0,0,0

0,0,1


v
r

0,1,0

0,0,1

v
r




1,0,0


1,0,0




0,1,0

1,0,0

0,0,1

SinhVienKyThuat.Com

7
Chuyển vị của một điểm thuộc vật được ký hiệu bởi:
u = [u, v, w]
T
(1.1)
Các thành phần của tenxơ biến dạng được ký hiệu bởi ma trận cột:

= [

x
,

y
,

z
,

yz

,

xz
,

xy
]
T
(1.2)
Trường hợp biến dạng bé:
T
x
v
y
u
x
w
z
u
y
w
z
v
z
w
y
v
x
u






























(1.3)
Các thành phần của tenxơ ứng suất được ký hiệu bởi ma trận cột:


= [

x
,

y
,

z
,

yz
,

xz
,

xy
]
T
(1.4)

Với vật liệu đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, ta có quan hệ giữa ứng
suất với biến dạng:

= D

(1.5)

Trong đó:
  




































5000000
0500000
0050000
0001
0001
0001
211
,
,
,
E
D

E là môđun đàn hồi,

là hệ số Poisson của vật liệu.
8. NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU HOÁ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN
Thế năng toàn phần  của một vật thể đàn hồi là tổng của năng
lượng biến dạng U và công của ngoại lực tác dụng W:

= U + W (1.6)
Với vật thể đàn hồi tuyến tính thì năng lượng biến dạng trên một
đơn vị thể tích được xác định bởi:


T
2
1

Do đó năng lượng biến dạng toàn phần:
SinhVienKyThuat.Com

8


V
T
dvU

2
1
(1.7)
Công của ngoại lực được xác định bởi:




n
i
i
T
i
S
T

V
T
PuTdSuFdVuW
1
(1.8)
Thế năng toàn phần của vật thể đàn hồi sẽ là:




n
i
i
T
i
S
T
V
T
V
T
PuTdSudVfudV
1
2
1

(1.9)
Trong đó: u là véctơ chuyển vị và P
i
là lực tập trung tại nút i có

chuyển vị là u
i

Áp dụng nguyên lý cực tiểu thế năng: Đối với một hệ bảo toàn,
trong tất cả các di chuyển khả dĩ, di chuyển thực ứng với trạng thái cân
bằng sẽ làm cho thế năng đạt cực trị. Khi thế năng đạt giá trị cực tiểu
thì vật (hệ) ở trạng thái cân bằng ổn định.
9. SƠ ĐỒ TÍNH TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU
HẠN
Một chương trình tính bằng PTHH thường gồm các khối chính sau:
Khối 1: Đọc các dữ liệu đầu vào: Các dữ liệu này bao gồm các thông
tin mô tả nút và phần tử (lưới phần tử), các thông số cơ học
của vật liệu (môđun đàn hồi, hệ số dẫn nhiệt...), các thông tin
về tải trọng tác dụng và thông tin về liên kết của kết cấu
(điều kiện biên);
Khối 2: Tính toán ma trận độ cứng phần tử k và véctơ lực nút phần tử f
của mỗi phần tử;
Khối 3: Xây dựng ma trận độ cứng tổng thể K và véctơ lực nút F
chung cho cả hệ (ghép nối phần tử);
Khối 4: Áp đặt các điều kiện liên kết trên biên kết cấu, bằng cách biến
đổi ma trận độ cứng K và vec tơ lực nút tổng thể F;
Khối 5: Giải phương trình PTHH, xác định nghiệm của hệ là véctơ
chuyển vị chung Q;
Khối 6: Tính toán các đại lượng khác (ứng suất, biến dạng, gradiên
nhiệt độ, v.v.) ;
SinhVienKyThuat.Com

9
Khối 7: Tổ chức lưu trữ kết quả và in kết quả, vẽ các biểu đồ, đồ thị
của các đại lượng theo yêu cầu.

Sơ đồ tính toán với các khối trên được biểu diễn như hình sau (Hình
1.3);


Tính toán ma trận độ cứng phần tử k
Tính toán véctơ lực nút phần tử f
Giải hệ phương trình KQ = F
(Xác định véctơ chuyển vị nút tổng thể Q)
Đọc dữ liệu đầu vào
- Các thông số cơ học của vật liệu
- Các thông số hình học của kết cấu
- Các thông số điều khiển lưới
- Tải trọng tác dụng
- Thông tin ghép nối các phần tử
- Điều kiện biên

Xây dựng ma trận độ cứng K và véctơ lực chung F
Áp đặt điều kiện biên
(Biến đổi các ma trận K và vec tơ F)
Tính toán các đại lượng khác
(Tính toán ứng suất, biến dạng, kiểm tra bền, v.v)
In kết quả
- In các kết quả mong muốn
- Vẽ các biểu đồ, đồ thị
Hình 1.3. Sơ đồ khối của chương trình PTHH
SinhVienKyThuat.Com

10
SinhVienKyThuat.Com

11

Chương 2
ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN

Áp dụng phương pháp PTHH trong các bài toán kỹ thuật thường
liên quan đến một loạt các phép toán trên ma trận. Vì vậy, các phép
toán cơ bản trên ma trận và phương pháp khử Gaussian (Gauss) để giải
hệ phương trình tuyến tính sẽ là 2 nội dung chính được đề cập trong
chương này.
1. ĐẠI SỐ MA TRẬN
Các công cụ toán học về ma trận được đề cập trong phần này là các
công cụ cơ bản để giải bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến
tính, có dạng như sau:
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa







2211
22222121
11212111

(2.1)
trong đó, x
1
, x
2
, …, x
n
là các nghiệm cần tìm. Hệ phương trình (2.1) có
thể được biểu diễn ở dạng thu gọn:
Ax = b (2.2)
trong đó, A là ma trận vuông có kích thước (n

n), và x và b là các
véctơ (n

1), được biển diễn như sau:














nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A




21
22221
11211

















n
x
x
x
x

2
1
















n
b
b
b
b


2
1

1.1. Véctơ
Một ma trận có kích thước (1

n) được gọi là véctơ hàng, ma trận
có kích thước (n

1) được gọi là véctơ cột. Ví dụ một véctơ hàng (1
4):
 
61222 r
SinhVienKyThuat.Com

12
và véctơ cột (3 1):











34
2

11
c

1.2. Ma trận đơn vị
Ma trận đơn vị là ma trận đường chéo với các phần tử trên đường
chéo chính bằng 1, ví dụ:











100
010
001
I
1.3. Phép cộng và phép trừ ma trận.
Cho 2 ma trận A và B, cùng có kích thước là (m

n). Tổng của
chúng là 1 ma trận C = A + B và được định nghĩa như sau:
c
ij
= a
ij

+ b
ij
(2.3)
Ví dụ:
























 34
75

21
58
15
23

phép trừ được định nghĩa tương tự.
1.4. Nhân ma trận với hằng số
Nhân 1 ma trận A với hằng số c được định nghĩa như sau:
cA=[ca
ij
] (2.4)
Ví dụ:














 100500
200300
15
23

10
2

SinhVienKyThuat.Com

13
1.5. Nhân hai ma trận
Tích của ma trận A kích thước (m

n) với ma trận B kích thước (n


p) là 1 ma trận C kích thước (m

p), được định nghĩa như sau:
A

B = C (2.5)
(m

n) (n

p) (m

p)
trong đó, phần tử thứ (ij) của C là (c
ij
) được tính theo biểu thức:




n
k
kjikij
bac
1
(2.6)
Ví dụ:


























3638
7054
46
52
54
413
582

Chú ý:
- Điều kiện để tồn tại phép nhân 2 ma trận A

B là số cột của ma
trận A phải bằng số hàng của ma trận B.
- Trong phần lớn các trường hợp, nếu tồn tại tích 2 ma trận A

B
và B

A, thì tích 2 ma trận không có tính chất giao hoán, có nghĩa là
A

B

B

A.
1.6. Chuyển vị ma trận

Chuyển vị của ma trận A = [a
ij
] kích thước (m

n) là 1 ma trận, ký
hiệu là A
T
có kích thước là (n

m), được tạo từ ma trận A bằng cách
chuyển hàng của ma trận A thành cột của ma trận A
T
. Khi đó, (A
T
)
T
= A.
Ví dụ:













46
52
54
A thì:







455
624
T
A

Chuyển vị của một tích các ma trận là tích các chuyển vị của ma
trận thành phần theo thứ tự đảo ngược, có nghĩa là:
(A

B

C)
T
=C
T

B
T


A
T
. (2.7)
SinhVienKyThuat.Com

14
1.7. Đạo hàm và tích phân ma trận
Trong nhiều bài toán kỹ thuật, các phần tử của ma trận không phải
là 1 hằng số, chúng là các hàm số 1 biến hay nhiều biến. Ví dụ:














yxx
yx
xyxyx
A
46
2
52

2

Trong các trường hợp đó, các ma trận có thể được đạo hàm hay
tích phân. Phép đạo hàm (hay phép tích phân) của 1 ma trận, đơn giản
là lấy đạo hàm (hay lấy tích phân) đối với mỗi phần tử của ma trận:







dx
xda
xA
dx
d
ij
)(
)( (2.8)
 
 
 dxdyaAdxdy
ij
(2.9)
Chúng ta sẽ sử dụng thường xuyên biểu thức (2.8) để xây dựng hệ
phương trình PTHH trong các chương sau. Xét ma trận vuông A, kích
thước (n

n) với các hệ số hằng, véctơ cột x = {x

1
x
2
... x
n
}
T
chứa các
biến. Khi đó, đạo hàm của Ax theo 1 biến x
p
sẽ là:
p
p
aAx
dx
d
)(
(2.10)
trong đó, a
p
là véctơ cột và chính là cột thứ p của ma trận A.
1.8. Định thức của ma trận
Cho ma trận vuông A = [a
ij
], kích thước (n

n). Định thức của ma
trận A được định nghĩa như sau:
 
 







n
j
ijij
ji
nn
n
Aa
AaAaAaA
1
11
1
12121111
)det(1
)det(1)det()det()det( 
(2.11)
trong đó, A
ij
là ma trận kích thước (n-1

n-1) thu được bằng cách loại
đi hàng i cột j của ma trận A.

Ví dụ:
SinhVienKyThuat.Com

15


























nnnn
n

n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
aaa
aaa
aaa
A








32
33332
22322
11
21
22221
11211

Công thức (2.11) là công thức tổng quát. Theo công thức này, định thức
của ma trận vuông có kích thước (n


n) được xác định theo phương
pháp truy hồi từ định thức các ma trận có kích thước (n-1

n-1). Trong
đó, ma trận chỉ có 1 phần tử (1

1) có:
det(a
pq
) = a
pq
(2.12)
1.9. Nghịch đảo ma trận
Cho ma trận vuông A, nếu det(A)  0, thì A có ma trận nghịch đảo
và ký hiệu là A
-1
. Ma trận nghịch đảo thỏa mãn quan hệ sau:
A
-1

A = A

A
-1
= I (2.13)
Nếu det(A) = 0, A là ma trận suy biến và không tồn tại ma trận
nghịch đảo. Nếu det(A)

0 ta gọi A là ma trận không suy biến. Khi đó,

nghịch đảo của A được xác định như sau:
A
adjA
A
det
1


(2.14)
Trong đó, adjA là ma trận bù của A, có các phần tử
 
)det(1
ji
ji
ij
Aa


và
A
ji
là ma trận thu được từ A bằng cách loại đi hàng thứ j và cột thứ i.
Ví dụ:
Nghịch đảo của ma trận A kích thước (2

2) là:



















1121
1222
1
2221
1211
1
det
1
aa
aa
A
aa
aa
A

SinhVienKyThuat.Com