tai lieu on tap hinh hoc 8 53198

Chuyên đề I: TỨ GIÁC, HÌNH THANG :
1. Bài tập về vị trí tương đối của điểm, đường thẳng .
Bài toán 1.1 :Cho hình thang ABCD (AB//CD) trong đó đáy CD bằng tổng hai cạnh bên
BC và AD . Hai đường phân giác của hai góc A ,B cắt nhau tại K. Chứng minh C,D,K
thẳng hàng .
A

B

D

K

C

HD :Gọi K là giao điểm của phân giác góc A với DC .Dễ dàng chứng minh được DAK
cân tại D.
Từ AD + BC = DC => CK = CB => CBK = CKB => CKB = KBA
⇒ BK là phân giác của góc B ⇒ Đpcm.
TIP : Bài này có thể c/m theo hướng : - Gọi K là giao điểm của hai phân giác các góc A
và B . C/m KC + KD = DC => K thuộc DC => đpcm .
Bài toán 1.2 :Cho tứ giác ABCD. Gọi A’B’C’D’ theo thứ tự là trọng tâm của các tam
giác BCD, ACD, ABD, ABC . Chứng minh rằng các đường thẳng AA’, BB’, CC’,DD’
đồng quy .
B
A

I

F

E
A’

C
J

D

HD : Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AC, BD ; I là trung điểm của EF ; J là trung
điểm của A’C .
- Tam giác CAA’ có EJ là đường trung bình nên EJ//AA’.
- Tam giác FEJ có AA’ qua trung điểm A’ của FJ và // với EJ nên AA’ qua trung điểm I
của FE.
- Hoàn toàn tương tự chứng minh được BB’, CC’,DD’ qua I
- Các đường thẳng trên đồng quy tại I .
2. Bài tập về chứng minh bằng nhau .

1


Bài toán 2.1 :Cho tam giác ABC trong đó AB < AC. Gọi H là chân đường cao kẻ từ
đỉnh A. M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,AC,BC . Chứng minh rằng tứ
giác NMPH là hình thang cân .
HD : - MNHP là hình thang
- MP = AC/2 ( Đường TB )
- HN = AC/2 ( Đường TT )
⇒ đpcm

A
N

M
B

H

P

C

Bài toán 2.2 :Cho tứ giác ABCD có AD=BC. M,N lần lượt là trung điểm của AB và
DC. Đường thẳng AD cắt đường thẳng MN tại E. Đường thẳng BC cắt đường thẳng MN
tại F. Chứng minh AEM = BFM .
E

A

F
M

B

I
N

D

C

HD : - Gọi I là trung điểm của BD.

- Chứng minh tam giác IMN cân tại I ( IM = IN = AD/2=BC/2).
- IM // DE và IN //CF
⇒ đpcm .
3. Bài tập tính toán .
Bài toán 3.1:Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD và BC kéo dài cắt nhau tại E. Hai cạnh
AB và DC kéo dài cắt nhau tại M. Hai phân giác của hai góc CED và BMC cắt nhau tại
K . Tính góc EKM theo các góc trong của tứ giác .
M
A
D
K
B

C

E

HD : Trong tam giác MKE được MKE = 1800 - (KMD +KED+DME+DEM)
DME+DEM = 1800 - D .
2


KMD = (1800 - C - B)/2
KED = (1800 -A-B)/2
Thay vào ta được : MKE = 1800 -((1800-C-B +1800-A-B )/2 +1800-D)
= (3600 -3600 +A+C+2B - 3600 +2D)/2
= (A+B+C+D+B+D-3600)/2= (B+D)/2
Bài toán 3.2:Cho hình thang ABCD. M,N lần lượt là trung điểm của hai đáy AD và BC.
O là điểm thuộc MN. Qua O kẻ đường thẳng song song với đáy hình thang . Đường
thẳng này cắt AB,CD lần lượt tại E,F. Chứng minh rằng OE=OF .

B
E
A

N
O

C
H

F

I
M

D

HD : Chứng minh SBNMA = SNCDM (Do có tổng hai đáy và chiều cao bằng nhau ).
Chứng minh SBEN=SNFC và SEAM = SFMD để được SEMN =SFMN
Từ đó có EH = FI ( với EH, FI lần lượt là hai đường cao của hai tam giác
⇒ OE =OF
4. Bài tập về quỹ tích , dựng hình .
Bài toán 4.1:
Cho tứ giác lồi ABCD . Hãy dựng đường thẳng qua đỉnh A chia tứ giác thành hai
phần có diện tích bằng nhau .
A

B
I

D

M

C

E

Phân tích :Giả sử AM là đường thẳng cần dựng . Lấy điểm E đối xứng với D qua M. AE
cắt BC tại I .
Có : SADM = SABCM = SAME => SABI = SCEI
⇒ SABC = SEBC => BE// AC.
Cách dựng :
- Dựng đường chéo AC.
- Từ B dựng đường thẳng song song với AC cắt AC tại E.
- Lấy M là trung điểm của DE.
- AM là đường thẳng cần dựng .

3


TIP : Thực chất của phép dựng trên là biến đổi hình thang về một tam giác tương đương
( có diện tích bằng diện tích hình thang ). Để chuyển bài toán về bài tập dựng trung
tuyến của tam giác . Sau đây là bài tập áp dụng việc biến đổi trên .
Bài toán 4.2 : Cho tứ giác ABCD . I là điểm bất kỳ của AB . Qua I hãy dựng đường
thẳng chia tứ giác làm hai phần có diện tích bằng nhau .
B

A

I

F
C

J
E

D

Phân tích :
Giả sử đã dựng được IJ . Sử dụng phương pháp biến đổi về tam giác tương đương
.Ta có các bước phân tích :
Xác định điểm F trên tia DC sao cho S IJCB = SIJF . Lúc đó SBIC = SFIC .Suy ra
BF//IC .
Xác định điểm E trên tia CD sao cho S IJAD = SIJE . Lúc đó SAID = SEID .Suy ra
AE//ID .
Rõ ràng J là trung điểm của đoạn thẳng EF .
Cách dựng :
- Qua A dựng đường thẳng song song với ID cắt DC tại E. Qua B dựng đường
thẳng song song với IC cắt DC tại F.
- Dựng J là trung điểm của EF . IJ là đường thẳng cần dựng .
5. Bài toán cực trị hình học .

Bài toán 5.1 :
Cho tứ giác lồi ABCD . Tìm điểm M trong tứ giác đó sao cho MA + MB + MC
+MD đạt giá trị nhỏ nhất .
Giải :
Cách 1: Gọi O là giao điểm hai đường chéo . M ≡ O thì MA +MB +MC+MD đạt giá trị
nhỏ nhất .

Thật vậy, M ≡ O ta có :
MA +MB +MC +MD = OA + OB + OC + OD = AC + BD .
Với M bất kỳ trong tứ giác ta có :
MA +MC ≥ AC
MB + MD ≥ BD
⇒ MA +MB +MC +MD ≥ AC + BD.
4


⇒ MA +MB +MC +MD nhỏ nhất lúc M ≡ O

D

Cách 2 : Với ba điểm M; A; C ta có : MA +MC ≥ AC .
Dấu “ =” xảy ra lúc M∈[AC]
Với ba điểm M; B; D có MB + MD ≥ BD .
Dấu “=” xảy ra lúc M ∈ [BD]
⇒ MA + MB +MC +MD ≥ AC + BD
A
Dấu “=” xảy ra lúc M∈[AC] và M∈[BD]
⇒ M ≡ O ( Với O là giao điểm hai đường chéo ) .

C
M

O

B

Bài toán 5.2:Chứng minh rằng đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện của một tứ

giác lồi không lớn hơn nửa tổng hai cạnh còn lại .
Giải :
Gọi I là trung điểm của AC ta có :
C
MI = BC / 2
B
IN = AD / 2
I
⇒ MI + IN = ( BC +AD)/ 2
M
N
Lại có với ba điểm M,I,N thì MI + IN ≥ MN
⇒ MN ≤ (BC + AD) / 2 =>đpcm .
A
D
Chuyên đề II: HÌNH BÌNH HÀNH
1. Các bài toán về vị trí tương đối :
Bài toán 1.1 :Cho tam giác ABC . O là một điểm thuộc miền trong của tam giác . Gọi
D,E,F lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC,CA và L,M,N lần lược là trung điểm của
OA,OB,OC .
Chứng minh EL, FM, DN đồng quy .
Giải :

A

Dựa vào tính chất của đường trung
bình chứng minh các tứ giác LFEM ,
NEDL là hình bình hành .
D
⇒ đpcm

L

F

O
B

M

N
E

C

Bài toán 1.2 :
Chứng minh rằng : trong một tam giác ba đường cao đồng quy .
A

M

5

N


B

C

H
P

HD : - Dễ dàng chứng minh ba đường trung trực trong một tam giác đồng quy bằng
cách dựa vào tính chất đường trung trực của đoạn thẳng .
- Từ ba đỉnh của tam giác ABC đựng các đường thẳng song song với cạnh
đối diện . Các đường thẳng này đôi một cắt nhau tại MNP .
- Các tứ giác BCNA và BCAM là các hình bình hành nên HA là đường trung trực
của MN .
- Tam giác MNP nhận các đường cao của tam giác ABC làm các đường trung
trực .
- Các đường trung trực của tam giác MNP đồng quy hay các đường cao của tam
giác ABC đồng quy .
2. Các bài toán chứng minh sự bằng nhau :
Bài toán 2.1:Cho tứ giác ABCD. E,F lần lượt là trung điểm của AB, CD. M,N,P,Q lần
lượt là trung điểm của AF, CE, BF, DE. Chứng minh rằng MN = PQ .
HD :

C
N P

B

M

E

F
Q
D

A

Chứng minh tứ giác MNPQ có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm của mỗi
đường ( Chính là trung điểm của EF ).
Bài toán 2.2 :Cho tứ giác ABCD .Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC ;
G là đỉnh thứ tư của hình bình hành CADG ; H là đỉnh thứ tư của hình bình hành CABH
G
a. Chứng minh BD // GH .
b. Chứng minh HD = 2EF .
I

D

C

H

E
A

J

F
6
B


HD : a. BDGH là hình bình hành do BH và DG cùng song song và bằng AC =>đpcm .
b.Gọi I,J lần lượt là trung điểm của CD và CH . Chứng minh EIJF là hình bình

hành => đpcm.
3. Các bài tập tính toán :
Bài toán 3.1:Cho hình bình hành ABCD có ADC = 75 0 và O là giao đIểm hai đường
chéo. Từ D hạ DE và DF lần lượt vuông góc với AB và BC(E thuộc AB, F thuộc BC )
tính góc EOF .
A

E

B
O
C

D

Có O là trung điểm của DB .
F
Từ đó có được OE =OD=OB=OF (Quan hệ trung tuyến ,cạnh huyền ).
EOD = 2EBO ( Vì ∆EOB cân tại O ).
DOF = 2FBO ( Vì ∆FOB cân tại O )
Cộng hai đẳng thức trên để được : EOF = 2( EBO + OBF ) = EBF .
Do EBF = ADC nên EOF = 2ADC = 2.750 = 1500 .
Bài toán 3.2 :Cho tam giác đều ABC. Một đường thẳng song song với BC cắt AB,AC
lần lượt tại D và E . Gọi G là trọng tâm của tam giác ADE, I là trung điểm của CD. Tính
A
số đo các góc của tam giác GIB .
D

G

K
E

I

HD : Qua C kẻ đường thẳng song song với AB , đường này cắt DE tại K.
- Tứ giác DBCK là hình bình hành nên BK
I của DC .
C
B cắt DC tại trung điểm
- Chứng minh hai tam giác DBG và EKG bằng nhau .
- Từ đó có được GIB =900 và BGI = BGK/2 = DGE/2
- Có DGE = 1200 ( Do ADE đều ) nên BGI = 600 và GBI = 300 .
4. Các bài toán quỹ tích, dựng hình
Bài toán 4.1 :Cho tam giác cân ABC (AB=AC). Trên cạnhAAB lấy điểm D, trên cạnh AC
lấy điểm E sao cho DA=CE. Tìm quỹ tích trung điểm I của DE khi D di động trên cạnh
E
AB .
D

I

7
B

C


Bài toán 4.2 :Cho góc nhọn xAy và O là điểm thuộc miền trong của góc . Dựng trên Ax
điểm M và trên Ay điểm N để :

a. O là trung điểm của MN .
b. OM =2ON.
x
Giải :
M

O’
O

A
N

a. C1 :( Dựa vào kiến thức về hình bình hành )
y
Phân tích :
Gọi O’ là điểm đối xứng của A qua O . Khi O là trung điểm của MN thì tứ giác
AMO’N là hình bình hành .
Cách dựng :
- Dựng O’ đối xứng với A qua O.
- Dựng đường thẳng qua O’ song song với Ay cắt Ax tại M
- Dựng đường thẳng qua O’ song song với Ax cắt Ay tại N
C2 :( Dựa vào kiến thức về đường trung bình )
Phân tích :
Khi O là trung điểm của MN thì đường thẳng qua O song song với Ay sẽ cắt Ax
tại trung điểm của AN .
Cách dựng :
- Dựng đường thẳng qua O song song với Ay cắt Ax tại O 1 . Trên tia Ax dựng M
sao cho O1 là trung điểm của AM.
- Tương tự trong cách dựng N .
b.

(x)
M

D
O
A
N

8


N1 (y)
HD : Xem O là trọng tâm của tam giác => xác định được D là chân đường trung tuyến
xuất phát từ A => Quy về bài toán 3.1 để giải .
5. Các bài toán cực trị :
Bài toán 5.1 :Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến . Chứng minh rằng :
AB + AC ≥ 2AM .
Giải : Lấy A1 là điểm đối xứng của A qua M ta có : A
ABA1C là hình bình hành .
⇒ BA1 = AC và AA1 = 2AM
⇒ AB +AC = AB + BA1 .
B
C
Lại có : AB + BA1 > AA1
M
⇒ AB + AC > AA 1 =2AM ⇒ đpcm
A1
Bài toán 5.2:Chứng minh rằng, trong một tam giác trung tuyến ứng với cạnh nhỏ hơn thì
lớn hơn .
A

M

N

B

I

H

C

D

Kẻ ND //MC (D∈BC) ; NI //AB (I∈BC)
Dễ dàng chứng minh được : MC = ND.
MN = BI =CD .
Giả sử AB <AC => NI <NC => HI ⇒ HI + IB < HC + CD => HB < HD
⇒ NB < ND => NB < MC .
Bài toán 5.3 :Một con kênh có hai bờ song song. P,Q là hai điểm cố định nằm ở hai phía
con kênh. Xác định cầu MN vuông góc với kênh để đoạn đường đi từ P đến Q nhỏ nhất .
Q
N

P’
9
P

M

HD : Dựng hình bình hành NMPP’ ta được :
PM + MN + NQ = PP’ + P’N + NQ
Do PP’ = const . Để PM + MN + NQ nhỏ nhất thì P’N +NQ nhỏ nhất .
⇒ P’,N,Q thẳng hàng .
⇒ Dễ dàng suy ra cách dựng .
Chuyên đề III: HÌNH CHỮ NHẬT, HÌNH THOI , HÌNH VUÔNG :
1. Bài tập về vị trí tương đối của điểm, đường thẳng .
Bài toán 1.1 :
Cho hình chữ nhật ABCD . Kẻ BH vuông góc với AC. Gọi M là trung điểm của
AH, K là trung điểm của CD. Chứng minh BM vuông góc với MK .
C

B
I

K

H
M

A

D

HD : - Kẻ MI // AB ( I thuộc BH )
- Chứng minh ICKM là hình bình hành => IC//MK
- Chứng minh I là trực tâm của tam giác CBM => CI vuông góc với BM
⇒ MK vuông góc với BM.

Bài toán 1.2 :
Cho tam giác ABC có AD là đường cao . Về phía ngoài của tam giác dựng các
hình vuông ABEF và ACGH . Chứng minh rằng AD,BG,CE đồng quy .
I

H

F

A

G

E
C

B tamDgiác ABC và HIA bằng nhau để
HD: Dựng hình bình hành FAHI .Chứng minh hai
được :
10


IAH = BCA .
IA = BC
Từ IAH = BCA chứng minh IAD thẳng hàng .Hay ID là đường cao của tam giác
IBC .
Từ IA = BC cùng với IAH = BCA chứng minh hai tam giác IAC và BCG bằng
nhau . Được CBG = AIC cùng với IA vuông góc với BC được BG vuông góc với IC
Tương tự chứng minh được CE vuông góc với IB .
đpcm ( Tính chất ba đường cao trong tam giác )

2. Bài tập về chứng minh bằng nhau .
Bài toán 2.1:Cho hình vuông ABCD . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,AD . BN,
CM cắt nhau tại P. Chứng minh rằng DP =AB .
A

N

I

D

M

B
P

C

HD : Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng BN và CD . Dễ dàng chứng minh được IC
= 2AB.
Hai tam giác MCB và NBA bằng nhau đồng thời AB vuông góc với BC nên CM
vuông góc với NB .
Tam giác vuông PIC có PD là trung tuyến nên PD = IC/2 = AB ( đpcm )
Bài toán 2.1:Cho hình vuông ABCD . Về phía trong của hình vuông dựng tam giác cân
FAB (FA=FB) sao cho FAB = 150 . Chứng minh tam giác FDC là tam giác đều .
D

C

HD :C1 : Dựng về phía ngoài của tam giác

tam giác đều ABF’. Các tam giác FAF’ và
FBF’ bằng nhau từ đó chứng minh được
I
F
tam giác FAF’ cân tại F’ (Hai góc đáy
bằng 750 ) => FF’ = F’A = AB.
J
Tứ giác ADFF’ có DA song song
A
B
và bằng FF’ nên nó là hình bình hành .
⇒ DF = F’A = AB
Tương tự cũng có CF = F’B = AB
⇒ Tam giác FDC đều
C2 : Dựng I phía trong tam giác sao cho IBC =ICB =150 . CI cắt FB tại J.
F’ FBI
Có : BI = BF (Do cách dựng ) và FBI = 90 0 -(150 +150 ) = 600 . nên tam giác
đều .
IJB = 150 + 150 = 300 nên CJ là trung trực của FB => CF = CB.
11


Tương tự ta cũng có DF = DA =>đpcm .
3. Bài tập tính toán .
Bài toán 3.1:Cho hình vuông ABCD . E là điểm bất kỳ trên AB. Phân giác của góc CDE
cắt BC tại K . Chứng minh rằng CK + EA = DE
Giải :
B
C
E’

K

E
D

A

HD : Trên tia đối của tia CB lấy điểm E’ sao cho CE’ = AE .
Chứng minh được hai tam giác ADE và CDE’ bằng nhau để được :
- DE’ = DE
(1)
- EDA = E’DC
(2)
Có DK là phân giác góc EDC và (2) . Chứng minh được KDE’ = KDA
Lại có : KDA = E’KD
⇒ Tam giác E’DK cân tại E’
⇒ E’D = E’K
⇒ DE = E’K = AE + KC đpcm )
Bài toán 3.2 :Cho hình vuông ABCD . Lấy các điểm E,F thứ tự thuộc các cạnh AD,AB
sao cho AE=AF . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BE . Tính góc CHF
F

A

E

O

H

D

B

K

C

HD : Gọi K là giao điểm của AH với DC . O là giao điểm của BK và FC .
- Chứng minh được FBCK là hình chữ nhật .
- Tam giác vuông BHK có HO là trung tuyến nên HO = BK/2 = FC/2
- Tam giác FHC có trung tuyến HO bằng nửa FC nên nó vuông tại H. Hay góc FHC = 900
4. Bài tập về quỹ tích , dựng hình .

Bài tập 4.1:
Dựng hình vuông ABCD biết tâm O của hình vuông, điểm M thuộc cạnh AD và
điểm N thuộc cạnh BC .
A

12

-M
Đi
N’
ểm
đối
xứ
D F
ng

E

B

N
O Đi
ểm
đối M’
xứ C
ng


a
Đi
M
ểm
qu
đối
a
xứ
O
ng
th
củ
uộ
a
c
M
cạ
Equ

và DC nh
ở F. Dễ dàng chứng
a
BC
O
th
- Dựng M’ đối xứng với M qua O .
uộ
- Dựng N’ đối xứng với N qua O .
- Dựng đường thẳng d vuông góc với MM’ . Trên d lấycE,F sao cho OE=OF= OM
cạ
- Dựng các đường thẳng MN’, NM’
nhtại A và NM’ tại B
- Qua E dựng đường thẳng vuông góc với MN’ cắt MN’
BC

a
M
qu
a
O
th
HD :Phân tích : Giả sử hình đã dựng được ta có :
uộ.
- Điểm đối xứng của M qua O thuộc cạnh BC (M’)
c
- Điểm đối xứng của N qua O thuộc cạnh AD (N’).
- Đường thẳng qua O vuông góc với MM’ cắt ABcạở
nh
minh được OE =OF =OM

BC
Cách dựng :

- Qua F dựng đường thẳng vuông góc với MN’ cắt MN’ tại D, và NM’ tại C
- ABCD là hình vuông cần dựng .
.......
* Thay đổi việc cho các điểm M,N ta có nhiều bài tập xung quanh bài tập này .

Bài toán 4.1 :Cho đoạn thẳng AB và một điểm C trên đoạn thẳng đó .Trên cùng một nửa
mặt phẳng bờ AB dựng các hình vuông ACDE và CBGH . Các hình vuông này có tâm
lần lượt là O1,O2 . Tìm quỹ tích trung điểm I của O1O2 khi C chạy trên AB .
E

D

HD :Hạ O1M,IJ,O2N vuông
góc với AB
G
O1MNO2 là hình thang có IJ là đường
I H
O1
trung bình nên IJ = (O1M +O2N)/2
O2
= (AC + CB)/ 4 =const ⇒ I di chuyển trên phần đường
thẳng song song với AB cách AB một đoạn bằng AB/4.
J C NB
A
M
5. Bài toán cực trị hình học .
Bài toán 5.1 :Cho hình vuông ABCD Tứ giác MNPQ nội tiếp hình vuông (có bốn đỉnh

nằm trên bốn cạnh của hình vuông). Tìm điều kiện của tứ giác MNPQ để nó có chu vi
nhỏ nhất .
Giải :
B
N
C
Gọi E,F,G lần lượt là trung điểm của
MN; NQ; PQ ta có :
MN = 2BE.
E
F
NP = 2GF.
M
G P
QM = 2EF
QP = 2GD
A
Q
D
⇒ MN + NP +PQ+QM = 2(BE +EF+FG+GD) ≥ 2BD
Dấu “ =” xảy ra lúc E,F,G ∈ BD .
13


E ∈ BD => MN//AC => ∆MBN vuông cân tại B (1)
G∈ BD => PQ//AC => ∆PDQ vuông cân tại D
Từ (1) và F∈ BD => NM =PQ
Tứ giác MNPQ thoả ba điều kiện trên thì có chu vi nhỏ nhất .
Bài toán 5.2:Cho tam giác vuông tại A. M là điểm bất kỳ thuộc BC . D,E lần lượt là
hình chiếu vuông góc của M lên AB, AC . Xác định M để DE nhỏ nhất, lớn nhất .

A
Giải :
Tứ giác ADME là hình chữ nhật .
⇒ DE = AM .
D
E
B
M
C
a. Để DE nhỏ nhất thì AM vuông góc với BC .
b. Để DE lớn nhất
Nếu AB >AC thì M ≡ B
Nếu AC >AB thì M ≡ C
Nếu AB =AC thì M ≡ B hoặc M ≡ C .
Bài toán 5.3 :Cho hình vuông ABCD ; M là điểm bất kỳ trên cạnh AB . Đường vuông
góc với CM tại C cắt đường thẳng AB tại K . Tìm ví trí của M để đoạn MK có giá trị
nhỏ nhất .
A
M
B I
K
Giải : Gọi I là trung điểm của MK
MK = 2CI
(quan hệ trung tuyến cạnh huyền )
D

C tuyến vừa là đường
Để MK nhỏ nhất => CI nhỏ nhất => I ≡ B . Lúc đó CI vừa là trung
cao => MCK vuông cân .
⇒ MCB = 450 => M ≡ A .

Bài toán 5.4 :Cho đoạn thẳng AB = a. C là điểm bất kỳ trên AB . Vẽ các hình vuông
ACDE; CBFG . Xác định vị trí của điểm C để tổng diện tích hai hình vuông trên đạt giá
trị nhỏ nhất .
G
F
Giải :
Đặt AC = x => CB = a-x .
SACDE + SCBFG = x2 + (a-x)2
E
D
2
2
2
= 2(x -a/2) + a /2 ≥ a /2
Dấu “=” xảy ra lúc x =a/2 .
⇒ C là trung điểm của AB
A
C
B

6. Các bài toán tổng hợp
14


Bài toán 1.1 :Cho tam giác ABC . Về phía ngoài của tam giác dựng các hình vuông
ABGH , ACEF và BCIJ. Gọi O1,O2, O3 lần lượt là tâm các hình vuông . M là trung điểm
của BC, D là trung điểm của HF.
P
a. Chứng minh O1MO2 là tam giác vuông cân .
F

D
b. Tứ giác DO1MO2 là hình vuông .
H
Q
c. Chứng minh HF = 2AM .
A
d. c/m: AD vuông góc với BC và AM vuông góc với HF
O2
e. Chứng minh O1O2 = AO3 .
O
K

1

G
B

C

NM
O3
A’

J
HD :
I
a. Chứng minh hai tam giác HAC và BAC bằng nhau
để được : - HC = BF
- AHC = ABF cùng với AH vuông góc với AB được HC vuông góc với BF .
O1M và O2M lần lượt là hai đường trung bình của hai tam giác BHC và BCF nên : O1M song song và bằng nửa HC; O2M song song và bằng nửa BF

Kết hợp các kết luận trên để được điều cần chứng minh .
b. Tứ giác DO1MO2 là hình vuông .
Tương tự ta chứng minh được O1DO2 là tam giác vuông cân tại D ⇒đpcm.
c. Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua M .Ta chứng minh được BA’ song song và bằng
AC => BA’ vuông góc và bằng AF .
Lại có BA vuông góc và bằng AH nên hai tam giác HAF và ABA’ bằng nhau =>
HF = AA’ = 2AM.
d. Hạ HP và FQ vuông góc với đường cao từ AN của tam giác ABC.
-Chứng minh hai tam giác HQA và ANB bằng nhau => HQ=AN
-Chứng minh hai tam giác FPA và ANC bằng nhau => FP=AN
⇒HQ = FP
Từ đó chứng minh HQFP là hình bình hành => AN qua trung điểm D của HF.
Với tam giác AHF ta có điều ngược lại AM vuông góc với HF .
e. Gọi K là trung điểm của AC ta có :
KA = O2K
O1K = O3K
O1KO2 = AKO3
⇒ Hai tam giác O1KO3 , O3KA bằng nhau ⇒ Đpcm

Chuyên đề IV. ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂM
1. Bài tập về vị trí tương đối của điểm, đường thẳng .
15

E


Bài toán 1.1 :Cho tam giác nhọn ABC có AH là đường cao . Gọi E,F lần lượt là điểm
đối xứng của H qua các cạnh AB,AC . Gọi M,N lần lượt là giao điểm của EF với
AB,AC. Chứng minh rằng MC ⊥ AB và NB ⊥ AC .
F

A
Giải :
N
Tam giác MNH có AM,AN là phân giác
ngoài của hai góc M,N nên AH là
M
phân giác của góc MNH
Do CH ⊥ AH nên CH là phân giác
E
ngoài của góc MNH.
C
B H
Tam giác MNH có CN,CH là phân giác
ngoài của hai góc N,H nên CM là phân giác trong của góc HMN .
⇒CM ⊥ MB ( Vì MB là phân giác ngoài của HMN ) .Hay CM ⊥ AB .
Tương tự chứng minh được NB ⊥ AC
Bài toán 1.2 :Cho tam giác ABC và P là điểm bất kỳ . Gọi M,N,Q lần lượt là trung điểm
của AB,AC,BC . Gọi A’,B’,C’ lần lượt là điểm đối xứng của P qua Q,N,M . Chứng minh
AA’,BB’,CC’ đồng quy .
A
Giải :
B’

C’

P
B

C

Chứng minh ABA’B’ là hình bình hành :
Các đoạn thẳng AB’ và BA’ cùng song song và bằng PC . A’
Tương tự chứng minh được C’ACA’ là hình bình hành
⇒đpcm
2. Bài tập về chứng minh bằng nhau .
Bài toán 2.1 :
Cho góc nhọn xOy có Ot là tia phân giác . M là điểm thuộc miền trong của góc .
M1, M2 lần lượt là điểm đối xứng của M qua Ox và Oy .
a. Chứng minh O thuộc đường trung trực của M1M2 .
x
b. Gọi Oz là tia thuộc đường trung trực M 1,M2 .Chứng minh M
rằng MOz
nhận Ot làm
1
phân giác .
Giải :
a.
M1O = MO
M2O =MO
⇒M1O = M2O
⇒O thuộc đường trung trực của đoạn
thẳng M1M2

M
t
z

O

y

16
M2


b. Có zOM2 = zOM1 = xOy
⇒zoy + yOM2 = zOy + yOM = xOy
⇒zOy + zOy + xOM = xOy
⇒zOy = Mox
⇒MOt = tOz ( Do xOt = tOy )
⇒Ot là tia phân giác của góc MOz .

4. Bài tập về quỹ tích , dựng hình .

Bài toán 4.1 :Một con kênh có hai bờ song song. P,Q là hai điểm cố định nằm ở hai phía
con kênh. Xác định cầu MN vuông góc với kênh để đoạn đường đi từ P đến N bằng
đoạn đường từ Q đến M (N nằm bờ kênh phía P và M nằm bờ kênh phía Q) .
Q

d

M
N

P’

HD :
P hình bình hành PNMP’ .Lúc đó
PT : - Giả sử dựng được P . Gọi P’ là đỉnh thứ tư của
PN = P’M => P’M=MQ => M thuộc trung trực của P’Q .

CD : -Dựng P’ sao cho PP’ vuông góc với bờ kênh và chiều dài của PP’ bằng chiều
rộng của bờ kênh .
- Dựng trung trực (d) của P’Q . d cắt bờ kênh phía Q tại M . Từ đó dựng N .
Bài toán 4.2 :Dựng tứ giác ABCD biết DA=AB=BC và biết ba trung điểm E,F,G của
DA,AB, BC.
(d1)
(d2)
A
E

F

B
G

D EF .B nằm trên đườngCtrung trực của FG . Cần
HD :A nằm trên đường trung trực của
xác định AB lần lượt trên hai đường này để AB nhận F làm trung điểm . Bài toán được
quy về bài toán 3.1 .
17


Bài toán 4.3 :Cho tam giác ABC , P là điểm nằm trong tam giác . Dựng M trên AB, N
trên AC để tam giác MPN cân tại P và MN // BC .
A

HD : Giả sử hình dựng được , lúc đó
M
N
M đối xứng với N qua trục là đường

thẳng (d) qua P vuông góc với MN .
Do MN//BC nên (d) vuông góc
với BC .
P
Đường thẳng đối xứng với đường
B
C
thẳng AB qua trục (d) cắt đường
thẳng AC tại N .
Nên có cách dựng :
- Dựng (d) qua P và vuông góc với BC .
- Dựng đường thẳng đối xứng với đường thẳng AB qua trục (d) ,đường thẳng này cát
đường thẳng AC tại N .
- Dựng M đối xứng với N qua (d)
- Tam giác PMN là tam giác cần dựng .
5. Bài toán cực trị hình học .
Bài toán 5.1 : ( Bài toán con chim )
Trong mặt phẳng P cho đường thẳng d hai điểm A,B nằm cùng một nửa mặt phẳng
bờ . Xác định trên d điểm M sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất .
Giải :
a. Trường hợp A,B nằm ở một nửa mặt phẳng :
B
Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua trục (d) A
MA +MB = MA1 + MB ≥ A1B .
Dấu “ =” xảy ra lúc M∈[A1B].
(d)
⇒M là giao điểm của A 1B và d .
M
TIP : Thay đổi vị trí tương đối của A,B so với d
A1

ta được một số bài toán khác cần giải quyết
Bài toán 5.2 :Cho hai điểm cố định A,B cùng nằm trên mặt phẳng bờ d. Tìm trên d hai
điểm M,N sao cho :
B’
B
- MN = l cho trước .
- Tứ giác BNMA có chu vi nhỏ nhất .
A
d
M

N

Bài toán 5.3 :
Cho góc nhọn xOy và một điểm M thuộc miền trongA’của góc. Xác định trên Ox
điểm A và trên Oy điểm B sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất .
18


Giải :

M1

Gọi M1, M2 lần lượt là hình chiếu
của M qua trục Ox; Oy .
MA + AB +BM = M1A +AB +BM2 ≤ M1M2
Dấu “=” xãy ra khi A,B ∈ M1M2 .
⇒A là giao điểm của M1M2 với Ox.
B là giao điểm của M 1M2 với Oy

A

x

M

O
B
M2

y

TIP: Bằng cách ràng buộc thêm các điều kiện của điểm M : M chạy trên một đoạn
thẳng; chạy trên một đường tròn nằm trong góc xOy ;Tổng OA + OB không đổi; Thay
đổi góc xOy; Thay đổi đại lượng cần tính cực trị . . . . chúng ta sẽ được hàng loạt các bài
toán khác .
Bài toán 5.4 :Cho góc nhọn xOy và hai điểm AB thuộc miền trong của góc đó . Tìm các
điểm C,D lần lược thuộc Ox và Oy sao cho đường gấp khúc ACDBA có độ dài nhỏ nhất
Giải :
Lấy A1 đối xứng với A qua Ox; B1 đối xứng với B qua Oy. Do AB cố định nên
đường gấp khúc ACBD có độ dài nhỏ nhất lúc AC + CD + DB nhỏ nhất .
Có AC +CD +DB = A1C + CD +DB1 ≥ A1A2 .
Dấu ”=” xảy ra lúc C,D ∈[A1B1].
⇒C là giao điểm của A 1B1 với Ox và D là giao điểm của A 1B1 với Oy
B1
D
O

B
A

C
A1
Bài toán 5.5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. M là điểm thuộc cạnh BC. I,J lần lượt
là hình chiếu của M xuống hai cạnh AB, AC .M1, M2 lần lượt là điểm đối xứng của M
qua AB,AC . E,F lần lượt là giao điểm của M1M2 với AB,AC . Xác định M
a. Để IJ nhỏ nhất; lớn nhất .
b. Để tam giác MEF có chu vi nhỏ nhất .
A
M2
Giải :
F
E
M1
J
I
B
M
C
19


a.

2IJ = M1M2 .
AM1 =AM=AM2 .
M1AM2 =2BAC = CONST.
IJ min (max) <=> M1M2 min (max)
<=> AM1 min (max) <=> AM min (max) .
AM nhỏ nhất khi AM ⊥ BC .

AM lớn nhất khi AM = Max(AB,AC )
b. Chu vi tam giác MEF = MF + ME +EF = M1M2 .
⇒Để chu vi tam giác MEF nhỏ nhất thì M là chân đường cao từ A xuống BC.
theo bài toán 1a thì E,F cũng là chân của hai đường cao còn lại
Chuyên đề V:ĐỊNH LÝ TALET
1. Bài tập về vị trí tương đối của điểm, đường thẳng .
Bài toán 1.1 :Cho tứ giác lồi ABCD . Kẻ hai đường thẳng song song với AC . Đường
thẳng thứ nhất cắt các cạnh BA,BC lần lượt tại G và H. Đường thẳng thứ hai lần lượt
cắt các cạnh DA,DC lần lượt tại E và F .Chứng minh rằng GE,HF,BD đồng quy .
I

Giải :
Gọi O là giao điểm của AC và BD .
M,N lần lượt là giao điểm của GH và EF
với BD .
Ta có : EN = FN ( Do EF// AC )
AO OC
EN = OA
FN
OC

⇒

D

E

N
O

A
G

M

Tương tự ta cũng có :

⇒

B

GM OA
=
GH OC
GM
EN
=
HM
FN

⇒Đpcm

F

C

H

( Do EF // GH ) theo định lý đảo

Bài toán 1b : ( Tổng quát bài toán 1a/ II)
Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi H là chân đường vuông góc từ A xuống BD . M,N
theo thứ tự là các điểm BH và CD sao cho :
B
= CN
CD
Chứng minh rằng AM vuông góc với MN .
M
BH

HD : - Chứng minh hai tam giác vuông
ABH và ACD đồng dạng .
-Sử dụng gt : B = CN
M
BH

CD

M
B

20

D

A

H

N

C


để chứng minh hai tam giác ABM và ACN đồng dạng để được :
AM
AB

Và

= AN
AC

BAM = CAN => MAN = BAC .
⇒Hai tam giác MAN và BAC đồng dạng
⇒AMN = ABC = 900 ( đpcm )

2. Bài tập về chứng minh bằng nhau .

Bài toán 2.1 :
Cho hình thang ABCD (AB // CD ). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I .
Qua I kẻ đường thẳng song song với hai đáy cắt AD tại E và cắt BC tại F .
a. Chứng minh : 1
1
1
IF

=

AB +
CD

b. Chứng minh I là trung điểm của EF.

A

Giải :
Có : IF

B
F

E

= FC
AB
BC
IF = BF
CD
BC

I

D

C

Cộng hai đẳng thức trên ta được :
⇒ Đpcm

.

BF + FC
IF + IF
=
=
BC
AB
CD
1

b. Hoàn toàn tương tự ta cũng có : 1 =
IE

⇒IF

1
1
+
AB
CD

= EF
.
Bài toán 2.2:Cho hình thang cân ABCD (AD//BC ) . Gọi M,N là trung điểm của BC và
AD . Trên tia đối của tia AB lấy điểm P bất kỳ . PN cắt BD tại Q. Chứng minh MN là tia
phân giác của góc PMQ .
⇒Đpcm

P

HD :
A

I

N K

D

Q

B
21

M

P

C


Gọi I,K,P lần lượt là giao điểm của AD với PM , AD với MQ, PQ với BC .
- Dễ dàng chứng minh được MN vuông góc với AD .
- Có : IN/MP = IA/BM = AN/BP
NK/MP = KD/BM = ND/BP
Do AN =ND nên được : IN/MP = NK/MP => IN=NK
Tam giác IMK có MN vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên nó là phân giác
( đpcm )
3. Bài tập tính toán .

Bài toán 3.1 :Cho hình thang ABCD (AB//CD ) .I là giao điểm của AC với BD . Gọi S 1,
S2 lần lượt là diện tích các tam giác IAB và IAD . Tính diện tích hình thang theo S 1, S2
Giải :
SIBC = S2 .
Gọi S3 là diện tích tam giác
B
A
IDC . Ta có :

⇒

⇒
⇒

S3 = ID2
IB2
S1
S2 = ID
IB
S1
S3 = S2 2
S1
S12

S2
D

S1
I
S3

C

S3 == S2 2

S
SABCD = S11 + 2S2 + S2

=
(S1+S2)2
2
S1ABC cóSÂ
Bài toán 3.2:Cho tam giác
1 = 2 B . Cho AB = c ,AC =b . Tính BC theo b,c .
2

A

C
B

I

Gọi AI là phân giác của tam giác . Ta có :
IC/IB = AC/AB
⇒IC = IB . AC/AB (1)
Lại có hai tam giác ABC và IAC đồng dạng nên :
IC/AC = AC/BC
⇒IC = AC2/BC
(2)

22


Từ (1) và (2) ta được IB = AC.AB/BC
Có BC = IB +IC = (AC2 + AC.AB ) /BC
⇒BC2 = AC( AC + AB )
⇒BC2 = b(b+c )
4. Bài tập về quỹ tích , dựng hình .

Bài toán 4.1: Cho tam giác ABC. I là điểm nằm trong tam giác . M là điểm thay đổi trên
cạnh BC . Các đường thẳng qua M song song với BI và CI theo thứ tự cắt AC và AB tại
N và P . Dựng hình bình hành MNQP. Tìm tập hợp điểm Q .
Giải : Gọi K là giao điểm CI với AB ; H là giao điểm của BI và AC .
A
Qua N kẻ đường thẳng song
song với KC cắt KH tại Q. Qua P
kẻ đường thẳng song song với HB
cắt KH tại Q’ .
H
Q
Ta có : Q = NM
=
H
NC MB
QK
Q’H
PB
MC
Q’K = PK =
MB

K

⇒.

Q = Q’HMC
.
H
Q’K
⇒Q
≡ Q’
QK

N

P

I

B

M

C

Theo cách vẽ và kết quả trên ta được QMNP là hình bình hành .
Q ∈ KH .Hay tập hợp các điểm Q là đoạn KH .
Đảo : Tương tự phần thuận với điểm xuất phát là Q ∈ KH .Chứng minh M thuộc BC .
Bài toán 4.2 : Cho góc xOy và một đường thẳng d bất kỳ cắt hai cạnh của góc . Tìm
đoạn thẳng AB (A ∈ Oy; B∈ Ox ) sao cho AB vuông góc với d và có trung điểm I nằm

trên d .
Giải :
Giả sử đã dựng được AB .
Gọi E là giao điểm của d với Ox
A
(d)
Từ E kẻ đường thẳng song song
F
với AB cắt OI tại M, cắt Oy tại F
M
M
Ta có :
I
EF vuông góc với d.
ME = MF .
E
Cách dựng :
Qua E dựng d’ vuông góc với d cắt Oy tại F .
B
Dựng trung điểm M của EF.
Dựng I là giao điểm của OM với d.
23


Qua I dựng đường thẳng vuông góc với d cắt Ox tại B và cắt Oy tại A .
AB là đoạn thẳng cần dựng .
5. Bài toán cực trị hình học .
Bài toán 5.1 :
Cho góc nhọn xOy và điểm M thuộc miền trong của góc . Hãy dựng qua M một
cát tuyến cắt hai cạnh của góc xOy tại A và B sao cho

1 + 1
.
MA
MB

đạt giá trị lớn nhất

Giải :

N

Vẽ : MN // Oy
ON // AB
MN cắt Ox tại P . Kẻ PQ //AB (Q ∈OM)

A
P

O

1
1
1
1 + 1
= MA + ON = PQ
MA
MB
1 + 1 . lớn nhất thì PQ nhỏ nhất .
Để
MA

MB

Q

M
B

Do OM, P cố định nên PQ nhỏ nhất khi PQ ⊥ OM .
Lúc đó AB ⊥ OM
Bài toán 5.2 :Cho góc nhọn xOy . M là điểm thuộc miền trong của góc . Đường thẳng d
quay xung quanh M cắt Ox, Oy theo thứ tự tại A,B . Tìm vị trí của d sao cho OA+OB
đạt giá trị nhỏ nhất .
A
X
O

M
Y

HD :

B
OA + OB = OX +OY + XA + YB
Do OX + OY không đổi nên OA +OB nhỏ nhất khi XA + YB nhỏ nhất .
Lại có : hai tam giác AXM và YMB đồng dạng nên :
XA
= XM.
YM
YB

⇒XA.YB

= YM .XM = const
YB nhỏ nhất khi XA = YB
⇒hai tam giác AXM và YMB bằng nhau
⇒M là trung điểm của AB . Dựng A,B như bài 4.2/II
6. Bài toán tổng hợp .
Bài toán 6.1 :
Cho tam giác ABC có G là trọng tâm . M là điểm bất kỳ trong tam giác . Gọi A 1,
B1, C1 lần lượt là giao điểm của AM với BC; BM với AC; CM với AB .Đường thẳng
GM cắt AB,AC,BC lần lượt ở C2 , B2 , A2 .
⇒XA +

MA1
AA1

24


+ MB1+
=1
BB1MC1
1 CC1
=3
b. Chứng minh : MA1 + MB+
GA1
GB1MC1
1
1
1

c. Chứng minh :
+
=
GA2
GB2 GC2

a. Chứng minh :

Giải :

A

C2

M
D

G

B2
M1 A1

B

A2

C
a. MA1/AA1 = MM1/AD = SMBC /SABC .
Tương tự có
MB1/BB1 = SMAC/SABC

MC1/CC1 = SMAB/SABC .
Cộng các đẳng thức trên ta được :
MA1/AA1 + MB1/BB1 +MC1/CC1 = (SMBC +SMAC +SMAB)/SABC = 1 (đpcm )
b. Qua G kẻ đường thẳng song song với AA 1 cắt BC tại M2 . Có
GM2/ AA1 = 1/3 => AA1 =3GM2 .
MA2/GA2 = MA1/GM2 = 3MA1/AA1 .
Tương tự ta cũng có MB2/GB2 = 3MB1/BB1.
MC2/GC2 = 3MC1/CC1
Cộng các đẳng thức trên ta được :
MA2/GA2 +MB2/GB2 +MC2/GC2 = 3( MA1/AA1 + MB1/BB1 +MC1/CC1) = 3
( Theo câu a )
A
c. Qua G kẻ các đường thẳng
song song với BC,AC. Các đường thẳng
G2
này cắt AB lần lượt ở G1,G2 .
Dễ dàng có AG2 = G1B = AB/3
C2
G
B2
G
AG2 =G2G1 = G1B = AB/3
1
GC2/GA2 = C2G1/G1B = 3C2G1/AB
GC2/GB2 =C2G2/G2A = 3G2C2/AB
B
C
Cộng hai đẳng thức trên ta được :
GC2/GA2 + GC2/GB2 = 3(C2G1 + G2C2)/AB = 3 G1G2/AB = 1
Chia hai vế cho GC2 ta được :

1/GC2 = 1/GA2 + 1/GB2 . ( đpcm)

Bài toán 6.2 :
25

A2