de thi tot nghiep mon toan 12 9520

ONTHIONLINE.NET
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ MẪU – THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2008 – 2009
Môn thi : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút, không kể thời gian giao đề

Trích từ cuốn Cấu trúc đề thi
của NXB Giáo Dục

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I. (3,0 điểm)
Cho hàm số y =

3 − 2x
x −1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị của hàm số đã cho
tại hai điểm phân biệt.
Câu II. (3,0 điểm)
1. Giải bất phương trình: log 1
2

2x − 1
<0
x +1

π
2

2. Tính tích phân: I = (sin x + cos 2x)dx
∫0 2
3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x – e2x trên đoạn [−1 ; 0]
Câu III. (1,0 điểm)
Cho khối chóp đều S.ABCD có AB = a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600. Tính thể tích của
khối chóp S.ABCD theo a.

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được chọn làm phần dành riêng cho chương trình đó (phần 1
hoặc phần 2)
1. Theo chương trình Chuẩn:
Câu IVa. (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1 ; 4 ; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình :
x + 2y + z – 1 = 0.
1. Hãy tìm tọa độ của hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P).
2. Viết phương trình của mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P).
Câu Va. (1,0 điểm)
Tìm môđun của số phức : z = 4 – 3i + (1 – i)3
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu IVb. (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(−1 ; 2 ; 3) và đường thẳng d có phương trình :
x − 2 y −1 z
=
= .
1
2
1
1. Hãy tìm tọa độ của hình chiếu vuông góc của A trên d.
2. Viết phương trình của mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d.

1


Câu Vb. (1,0 điểm)
Viết dạng lượng giác của số phức: z = 1 –

3 i.

2


ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Câu
I
(3,0
điểm)

Đáp án

Điểm

(2,0 điểm)
Tập xác định : D = ¡ \{1}
Sự biến thiên:
•

Chiều biến thiên: y ' = −

0,25
1

< 0 ∀x ∈ D .
(x − 1) 2

0,50

Suy ra, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞ ; 1) và (1 ; +∞)
•

Cực trị: Hàm số không có cực trị.

•

y = lim y = −2;
Giới hạn: lim
x →−∞
x →+∞

•

Suy ra, đồ thị có một tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1, và một tiệm cận
ngang là đường thẳng y = – 2.
Bảng biến thiên:
x
−∞
1
+∞

x →1+

x →1−

−

y’
y

lim y = +∞ và lim y = −∞

−

−2

0,25

+∞
−∞

•

0,50

−2

Đồ thị:
-

3

Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0 ; − 3) và cắt trục hoành tại điểm  ; 0 ÷.
2


Đồ thị nhận điểm I(1 ; −2) (là giao điểm của hai đường tiệm cận) làm tâm
đối xứng.
y

O
−2

3
2

1

x

0,50

I

−3

(1,0 điểm)
Đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt
3 − 2x
= mx + 2 có hai nghiệm phân biệt
⇔ Phương trình (ẩn x)
x− 1

0,50

⇔ Phương trình (ẩn x) mx2 – (m – 4)x – 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt, khác 1
 m < −6 − 2 5
m ≠ 0

m
≠
0


⇔  −6 + 2 5 < m < 0
⇔ ∆ = (m − 4) 2 + 20m > 0 ⇔  2
m > 0
 m + 12m + 16 > 0
 m.12 − (m − 4).1 − 5 ≠ 0



3

0,50


Câu
II
(3,0
điểm)

Đáp án

Điểm

1. (1,0 điểm)
Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình:
2x − 1
>1
x +1

0,50

x − 2 > 0

 x < −1
x−2
x − 2 > 0
⇔
>0 ⇔ 
⇔ 
x − 2 < 0
x +1
x > 2

  x + 1 < 0

0,50

2. (1,0 điểm)
π
2

π

2

x
I = ∫ sin dx + ∫ co s 2xdx
2
0
0
π

0,25

π

2
x2 1
= −2 cos
+ sin 2x
20 2
0

0,50

= 2− 2

0,25

3. (1,0 điểm)
Ta có: f’(x) = 1 – 2e2x.
Do đó:

0,25

f’(x) = 0 ⇔ x = − ln 2 ∈ (−1 ; 0)
f’(x) > 0 ∀x ∈ [−1 ; − ln 2 );

0,25

f’(x) < 0 ∀x ∈ (− ln 2 ; 0];
Suy ra:

max f (x) = f ( − ln 2) = − ln 2 −

x∈[ −1;0]

1
2

0,50
−2

min f (x) = min{f ( −1);f (0)} = min{−1 − e ; −1} = −1 − e

−2

x∈[ −1;0]

III
(1,0
điểm)

Do S.ABCD là khối chóp đều và AB = a nên đáy ABCD là hình vuông cạnh a.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và gọi I là trung điểm của cạnh BC. Ta có

0,50

·
SO là đường cao và SIO
là góc giữa mặt bên và mặt đáy của khối chóp đã cho.
S
Trong tam giác vuông SOI, ta có:
a
a 3
·
.
SO = OI.tan SIO
= .tan 600 =
2
2

0,25
D

Diện tích đáy : SABCD = a2.
A

O

B

I

C

Do đó thể tích khối chóp S.ABCD là:

Câu

1
1 a 3 a3 3
VS.ABCD3 = SABCD .SO = a 2 .
=
3
3
2
6

0,25

Đáp án

Điểm

4


IV.a
(2,0
điểm)

1. (1,0 điểm)

Kí hiệu d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).
Gọi H là giao điểm của d và (P), ta có H là hình chiếu vuông góc của A trên (P)
r
r
Do v = (1 ; 2 ; 1) là một vectơ pháp tuyến của (P) nên v là một vectơ chỉ
phương của d. Suy ra, d có phương trình :

x −1 y − 4 z − 2
=
=
1
2
1

 x −1 y − 4 z − 2
=
=

2
1
Do đó, tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình:  1
 x + 2y + z − 1 = 0

0,25

0,50

 2 1 1
; ÷.
Vậy H  − ;

 3 3 3

2
2
1
Giải hệ trên, ta được : x = − , y = , z = .
3
3
3

2. (1,0 điểm) Có thể giải theo một trong hai cách:
• Cách 1 (dựa vào kết quả phần 1):
Kí hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A. tiếp xúc với mặt phẳng (P). Ta có:
2

0,25

2

2

2 
1
5 6
 2 
.
R = AH = 1 + ÷ +  4 − ÷ +  2 − ÷ =
3 
3
3

 3 

0,50

Do đó, mặt cầu có phương trình là:
(x − 1) 2 + (y − 4) 2 + (z − 2) 2 =

50
3

Hay 3x2 + 3y2 + 3z2 – 6x – 24y – 12z + 13 = 0
• Cách 2 (độc lập với kết quả phần 1):
Kí hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P). Ta có R bằng
khoảng cách từ A đến (P). Suy ra :
R=

1.1 + 2.4 + 1.2 − 1
12 + 22 + 12

=

0,50

0,50

5 6
3

Do đó, mặt cầu có phương trình là:
(x − 1) 2 + (y − 4) 2 + (z − 2) 2 =

50
3

0,50

Hay 3x2 + 3y2 + 3z2 – 6x – 24y – 12z + 13 = 0
V.a
(1,0
điểm)
IV.b
(2,0
điểm)

Câu

Ta có: z = 4 – 3i + (1 – 3i – 3 + i) = 2 – 5i

0,50

Do đó: z = 4 + 25 = 29

0,50

1. (1,0 điểm)
Kí hiệu (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d. Gọi H là giao điểm của (P)
và d, ta có H là hình chiếu vuông góc của A trên d.
r
r
Do v = (1 ; 2 ; 1) là một vectơ chỉ phương của d nên v là một vectơ pháp tuyến

của (P). Suy ra, (P) có phương trình : x + 2y + z – 6 = 0

Đáp án

5

0,25
0,25

Điểm


 x − 2 y −1 z
=
=

2
1
Do đó, tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình:  1
 x + 2y + z − 6 = 0
Giải hệ trên, ta được : x =

0,50

7 5 1
; ÷.
Vậy H  ;
 3 3 3

7

5
1
,y= ,z= .
3
3
3

2. (1,0 điểm) Có thể giải theo một trong hai cách:
• Cách 1 (dựa vào kết quả phần 1):
Kí hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A, tiếp xúc với đường thẳng d. Ta có:
2

2

0,50

55
3

0,50

2

165
7  5
 1 
.
R = AH =  + 1÷ +  − 2 ÷ +  − 3 ÷ =
3
3  3

 3 
Do đó, mặt cầu có phương trình là:
(x + 1) 2 + (y − 2) 2 + (z − 3) 2 =

Hay 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 12y – 18z − 13 = 0
• Cách 2 (độc lập với kết quả phần 1):
Kí hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A, tiếp xúc với đường thẳng d. Ta có R bằng
khoảng cách từ A đến d. Suy ra :

R=

1
2

2

2

3
3 −3
−3 1
+
+
1 1 1 1 2
1 + 2 +1
2

2

0,50

2

2

=

165
3

Do đó, mặt cầu có phương trình là:
(x + 1) 2 + (y − 2) 2 + (z − 3) 2 =

55
3

0,50

Hay 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 12y – 18z − 13 = 0
V.b
(1,0
điểm)

1
3 
i÷
Ta có z = 2  −
÷
2 2 

0,50

  π
 π 
= 2 cos  − ÷+ i sin  − ÷
 3 
  3

0,50

Đề này trích từ cuốn:
“Cấu trúc đề thi môn TOÁN, VẬT LÍ, HÓA HỌC, SINH HỌC
dùng để ôn thi tốt nghiệp và thi tuyển sinh đại học cao đẳng năm 2009”
của Nhà xuất bản giáo dục
Tôi gửi lên cho các thầy cô và học sinh tham khảo.

6