Sáng kiến kinh nghiệm “ sử dụng hằng đẳng thức quen thuộc vào giải một số bài toán”

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Để nắm vững và vận dụng được các kiến thức đã học vào thực tiễn đời sống thì bất
cứ môn học nào cũng đòi hỏi học sinh phải có sự nỗ lực cố gắng trong học tập, chịu
khó suy nghĩ tìm tòi, có tính kiên trì, nhẫn nại không nản lòng khi gặp khó khăn trong
học tập cũng như trong cuộc sống sau này. Có như vậy thì các em mới làm chủ được
tri thức khoa học và công nghệ hiện đại, có kỹ năng thực hành giỏi và có tác phong
công nghiệp, vận dụng được các kiến thức đã học vào thực tế một cách linh hoạt, sáng
tạo là người công dân tốt sống có kỷ luật, người lao động có kỹ thuật nhìn nhận được
đâu là đúng, đâu là sai có chân lý rõ ràng.
Trong trường phổ thông môn toán chiếm một vị trí khá quan trọng vì nó giúp các
em tính toán nhanh, tư duy giỏi, suy luận, lập luận hợp lý lôgic, không những thế nó
còn hỗ trợ cho các em học tốt các môn học khác như: vật lý, hóa học, sinh vật, kỹ
thuật, địa lý …Như cố tổng bí thư Phạm Văn Đồng từng nói “Dù các bạn có phục vụ
ngành nào, trong công tác nào thì kiến thức và phương pháp toán học cũng cần cho
các bạn …”
Môn toán là môn học giúp cho học sinh phát triển tư duy do tính trừu tượng, đòi hỏi
học sinh phải biết phán đoán, lập luận, suy luận chặt chẽ, là môn học “thể thao của trí
tuệ”. Để nắm được kiến thức và vận dụng được các kiến thức đã học đòi hỏi các em
phải biết phân tích, tìm tòi, phán đoán … từ đó nó đã rèn luyện cho các em trí thông
minh sáng tạo.
Đối với chương trình Toán 8 ngoài việc lĩnh hội các kiến thức mới học sinh còn phải
có kỹ năng vận dụng các kiến thức ở lớp dưới một cách nhuần nhuyễn linh hoạt và
sáng tạo thì mới có thể làm tốt các bài tập theo yêu cầu. Các hằng đẳng thức đáng nhớ
là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Đại số 8. Nó theo suốt quãng
đường học tập của các em. Nhờ những hằng đẳng thức đáng nhớ mà các em thực hiện
giải toán được nhanh hơn và chính xác hơn. Để vận dụng được một cách nhuần
nhuyễn các hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán đòi hỏi các em phải biết nhận
dạng, biết tư duy, suy luận hợp lôgíc từ đó mà nó có tác dụng bồi dưỡng các em có óc
1

sáng tạo say mê học tập tìm tòi kiến thức. Quá trình giảng dạy môn toán 8 nhất là các
hằng đẳng thức đáng nhớ, tôi thấy rằng việc áp dụng các hằng đẳng thức vào làm bài
tập rất khó bởi vì các em mới tiếp xúc với các hằng đẳng thức đáng nhớ cho nên việc
vân dụng vào làm các dạng bài tập là không đơn giản một chút nào đối với học sinh
.Thông qua quá trình giảng dạy và sự hiểu biết của tôi ,để giúp học sinh có thêm công
cụ để giải môt số bài toán, trong bài viết này tôi xin đưa ra sáng kiến kinh nghiệm “
Sử dụng hằng đẳng thức quen thuộc vào giải một số bài toán”
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lý luận
Trong chương trình đại số 8 học sinh đã được làm quen với bảy hằng đẳng thức đáng
nhớ cũng như việc vận dụng các hằng đẳng thưc đó vào giải toán, nhưng bên cạnh đó
có những hẳng đẳng thức được nêu dưới dạng các bài tập ở sách giáo khoa thì phần
lớn học sinh chưa nắm được và việc vận dụng các hằng đẳng thức đó vào giải toán
còn hạn chế, kết quả chưa cao đó là hai hằng đẳng thức
1. a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2+c2 –ab – bc – ca) (1)
a + b + c = 0
(*)
a = b = c

suy ra a3 + b3 + c3 = 3abc ⇔ 

2. (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) (2)
Hai hằng đẳng thức cũng rất quen thuộc và đã xuât hiện trong sách giáo khoa toán 8
tập 1 nhưng phần lớn học sinh chưa năm được và cũng ít vận dụng được nó trong giải
toán.Trong hai hằng đẳng này khi áp dụng vào các bài toán thì a, b, c có thể là các số,
các chữ, hoặc các biểu thức bất kỳ, và phần lớn các việc sử dụng hai hằng đẳng thức
trên để giải các bài toán thì đồi hỏi học sinh phải biến đổi bài toán về dạng tổng hoặc
dạng tích rồi áp dụng các hằng đẳng thức trên.
2. Cơ sở thực tiễn
Trong quá trình dạy học tôi thấy phần lớn học sinh chưa nắm được hai hằng hằng

đẳng thức đáng nhớ trên vì hai hằng đăng thức này nó được đưa trong sách giáo khoa
dưới dạng bài tập chứng minh, còn một số kiến thức liên quan tới hai hằng đẳng thức
này chủ yêu được đưa ra trong các bài tập nâng cao ở trong các sách tham khảo.Như
vậy các em chỉ được làm quen hai hằng đẳng thức này qua một bài tập đơn giản ở
sách giáo khoa nhưng việc ứng dung nó vào giải các bài toán ở trong sách giáo khoa
2


thi không có cho nên đa số học sinh, cũng như một số học sinh khá giỏi chưa nắm
chắc được hai hằng đảng thức này đặc biệt là khi nó tồn tại dưới dạng chữ số và hỗn
hợp. Bên cạnh đó trong quá trình giảng dạy thì các giáo viên cũng chưa chú trọng cho
học sinh hai hằng đẳng thức này nên việc áp dụng hai hằng đẳng thức nào vào giải
một số bài toán và dang toán quen thuộc là còn nhiều hạn chế đặc biệt là đối với học
sinh khá giỏi. Vì vậy ở đây tôi xin manh dạn nêu ra một số bài toán mà ta có thể sử
dụng hai hằng đẳn thức trên để giải nó một cách dễ dàng.
3. Biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề
Trong quá trình giảng dạy và vận dụng các hằng đẳng thức trên tôi đưa ra các giải
pháp thực hiện như sau.
- Dạy và lưu ý bảy hăng đẳng thức đáng nhớ và hai hằng đẳng thức trên để học sinh
nắm chắc nó ở các dạng viết khác nhau.
- Xây dựng những phương pháp giải các dạng toán có sử dụng các hằng đẳng thức
trên. Từ đó học sinh hiểu sâu hơn về các hằng đẳng thức trên từ đó vận dụng linh
hoạt trong giải các bài toán.
- Sửa chữa các sai lầm học sinh thường gặp trong giải các dạng toán trên. Đi sâu
vào từng bài tập để hiểu được tầm quan trọng của nó trong việc giải các bài tập
liên quan.
- Cũng có kỹ năng biến đổi các bài toán để đưa ra lời giải hay, logic chặt chẽ
- Tìm tòi sáng tạo để đưa ra lời giải hay, khai thác các bài toán dưới các dạng khác
nhau.
4. Nội dung kiến thức

Hai hằng đẩng thức
1. a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2+c2 –ab – bc – ca) (1)
2. (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) (2)
Chứng minh
3+ 3
1. a b + c3 – 3abc = (a + b)3 – 3a2b – 3ab2 + c3 – 3abc
=[(a + b)3 + c3] – 3ab(a + b + c)
=(a + b + c)[(a + b)2 – c(a + b) + c2] – 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)(a2 + 2ab + b2- ac – bc + c2- 3ab)
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2- ab - bc – ca)
Từ hằng đẳng thức này ta cũng suy ra được kết quả sau
a + b + c = 0
(*)
a = b = c

a3 + b3 + c3 = 3abc ⇔ 

2. Ta có (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 =[(a + b) + c]3 – a3 – b3 – c3
3


= (a+ b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c)– a3 – b3 – c3
= a3+ b3 +3ab(a + b) + c3 + 3c(a + b)(a + b + c)– a3 – b3 – c3
= 3(a + b)(ab + ac + bc + c2)
= 3(a + b)[a(b + c) + c(b + c)]
= 3(a + b)(b + c)(c + a)
5. Một số dạng toán liên quan
Dạng 1. Phân tích đa thức thành nhân tử
Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) (x - y)3 + (y – z)3 + (z – x)3

b) (x2 - y2)3 + (y2 + z2)3 - (z2 + x2)3
c) Cho (x + y + z = -6 Phân tích (x + 1)3 + (y + 2)3 + (z + 3)3 thành nhân tử
Giải
a. Vì (x - y) + (y – z) + (z – x) = 0 nên áp dung (*) ta có
(x - y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x)
b. Ta có (x2 - y2)3 + (y2 + z2)3 - (z2 + x2)3 = (x2 - y2)3 + (y2 + z2)3 + (- z2 - x2)3
Đăt a = x2 - y2 ; b = y2 – z2; c = - z2 - x2
Thì a + b + c = x2 - y2 + y2 – z2 - z2 - x2 = 0 nên áp dụng (*) ta có
(x2 - y2)3 + (y2 – z2)3 - (z2 + x2)3 = 3(x2 - y2) (y2 – z2)(z2 + x2)
= 3(x + y)(x – y)( y2 + z2) (z2 + x2)
c. Ta có (x + 1) + (y + 2) + (z + 3) = x+ y + z + 6 = 0
Nên áp dung (*) ta có (x + 1)3 + (y + 2)3 + (z + 3)3 = 3(x + 1)(y + 2)(z + 3)
Dạng 2. Tính giá trị biểu thức
Bài 1. Cho

1 1 1
yz zx xy
+ + = 0 tính giá trị biểu thức A= 2 + 2 + 2
x y z
x
y
z

Giải
1

1

1

1

1

1

3

Vì x + y + z = 0 nên x3 + y 3 + z 3 = xyz
và A=

1 1 1
xyz yzx xyz
3
+ 3 + 3 = xyz  3 + 3 + 3 ÷ = xyz.
=3
3
x
y
z
y
z 
xyz
x

Bài 2. Cho x, y, z là ba số thực khác 0 sao cho x3y3 + y3z3 + z3x3 = 3x2y2z2. Tính giá trị
 x 
y  z 
biểu thức M = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷
y 

z  x 

Giải
Đặt a = xy; b= yz; c = zx
a + b + c = 0
a = b = c

Từ x3y3 + y3z3 + z3x3 = 3x2y2z2 suy ra a3 + b3 + c3 = 3abc ⇔ 
 c  a   b  (a + b)(b + c)(c + a )
Và M = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷=


b 

c 

a

abc

4


Trường hợp 1: a + b + c = 0 Thì từ hằng đẳng thức (1) và (2) ta có
a 3 + b 3 + c3 = 3abc
 3
3
3
a + b + c = -3 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a )

Suy ra (a + b)(b + c)(c + a) = - abc khi đó M =

(a + b)(b + c)(c + a )
= -1
abc

Trường hợp 2: a = b= c suy ra x = y = z khi đó M = 8
Bài 3. Cho (xo;yo) là 1 nghiệm của phương trình x3 + y3 +1 = 3xy
1

y

0
Tính giá trị biểu thức A= (1 + x0 )(1 + y )(1 + x )
0
0
Giải

x + y +1 = 0

Ta có x3 + y3 +1 = 3xy <=> x3 + y3 +13 = 3xy <=> 
x = y = 1

 x0 + y0 + 1 = 0

Vì (xo;yo) là 1 nghiệm của phương trình x3 + y3 +1 = 3xy nên ta có 
 x0 = y0 = 1
TH1. x0 + y0 + 1 = 0
1

y

1

y0

y +1 x + y

−x

1

0
0
0
0
0
Ta có A= (1 + x0 )(1 + y )(1 + x ) = (1 + x0 )( y )( x ) =-y0. y . x =1
0
0
0
0
0
0
TH2. x0= y0= 1

Ta có A= (1 + x0 )(1 + y )(1 + x ) = 8
0
0
Dạng 3. Giải phương trình

Bài 1. Giải các phương trình sau
a. (x – 3)3 + (x + 1)3 = 8(x – 1)3
b. 3 x + 1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0
c. 59x3 – 9x + 2 =0
d. x3 + 3y3 + 9z3 -9xyz =0 (với x, y, z ∈ Z)
e. 3 3x + 1 + 3 5 − x + 3 2 x − 9 − 3 4 x − 3 = 0
Giải
3
3
a. (x – 3) + (x + 1) = 8(x – 1)3 <=> (x – 3)3 + (x + 1)3 +(2 – 2x)3 =0
nhận xét: (x – 3) + (x + 1) +(2 – 2x) = 0 nên áp dụng (*) ta có
(x – 3)3 + (x + 1)3 +(2 – 2x)3 =(x - 3)(x + 1)(2 - 2x) = 0
x +1 = 0
 x = −1

⇔  x − 3 = 0 ⇔  x = 3
 2 − 2 x = 0
 x = 1

vậy phương trình có 3 nghiệm x=-1; x=1; x=3
b. Vì 3 x + 1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0 nên áp dụng (*) ta có
(x + 1) + (x + 2) + (x + 3) =3 3 ( x + 1)( x + 2)( x + 3)
<=>3(x + 2) = 3 3 ( x + 1)( x + 2)( x + 3)
5


<=> (x + 2)[(x + 2)2 –(x +1)(x + 3)] = 0
<=> x + 2 =0
<=> x= -2
Vậy phương trình có nghiệm x = -2

c. Ta có 59x3 – 9x + 2 = 0 <=>x3 Đặt x3 -

x
2
+
=0
6
54

x
2
+
= x3 – 3abx + a3 + b3 =0
6
54

 3 3
2
 a + b =
54
Như vây đồng nhất hai vế ta có a, b phải thõa mãn hệ phương trình 
 a 3b3 = 1

183
1 

2
1
X + 3 =0 ⇔x−
Suy ra a3, b3 là nghiệm của phương trình X2÷= 0

54 2 

54
18
1
vậy phương trình có nghiệm X1= X2 =
54 2
1
1
suy ra a = b= 3
=
54 2 3 2

Khi đó ta có
x
2
+
= x3 – 3abx + a3 + b3 =(x + a+ b)(x2 + a2 + b2 – ax – bx – ab) =0
6
54

x3 -

<=>(x + 2a)(x2 – 2ax +a2) = 0 <=> (x + 2a)(x – a) = 0
thay a = b=
3

1
3 2

vào và giải ta có hai nghiệm x1=

−2
1
; x2 =
2 2
3 2

3

d. x + 3y + 9z3 -9xyz = 0

<=> x3 + ( 3 3 y ) + ( 3 9 z ) = 3x 3 . 3 3 y. 3 9 z (**)
3

3

đặt a = x; b= 3 3y ; c = 3 9z
a + b + c = 0
a = b = c

thì (**) <=> a3 + b3 + c3 = 3abc ⇔ 

x + 3 3 y + 3 9z = 0
⇔ x = y = z = 0 Vì x, y, z ∈ Z
Hay  3
 x = 3 y = 3 9 z
e. 3 3x + 1 + 3 5 − x + 3 2 x − 9 − 3 4 x − 3 = 0
<=> 3 3x + 1 + 3 5 − x + 3 2 x − 9 = 3 4 x − 3 (*)
đặt a = 3 3x + 1 ; b = 3 5 − x ; c = 3 2 x − 9

khi đó ta có a3 + b3 + c3 = 3x +1 + 5 – x + 2x – 9 = 4x – 3 = ( 3 4 x − 3 )3
mặt khác theo hằng đẳng thức (2) ta có
a3 + b3 + c3 = (a +b +c)3 – 3(a + b)(b + c)(c + a)
6


a + b = 0
⇔ b + c = 0

=>a3 + b3 + c3 = (a +b +c)3 c + a = 0

 3 3x + 1 + 3 5 − x = 0
 x = −3
3

vậy ta có (*) <=>  2 x − 9 + 3 5 − x = 0 ⇔  x = 4
3

3
8
 3 x + 1 + 2 x − 9 = 0
x =
5


Vậy phương trình có ba nghiệm x=-3; x= 4 và x=

8
5

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy. Hãy tìm tập hợp những điểm M(x0;y0)
sao cho x3 – y3 = 3xy + 1
Giải
3
3
Ta có x – y = 3xy + 1 <=> x3 + (-y)3 +(- 1)3= 3xy
Áp dụng (*) ta có
 x − y −1 = 0
 x = − y = −1

x3 – y3 – 1 = 3xy<=> 

Vậy tập hợp điểm M(x0;y0) là đường thăng x – y – 1 =0 và điểm M0(-1;1)
Dạng 4. Trục căn thức ở mẫu
Bài 1. Trục căn thức ở mẫu số của biểu thức
a. A=

1
4 4 + 2 3 2 − 16
1
3

b. b. B= 3

a+3b+3c

Giải
a. Áp dụng hằng đẳng thức (1) ta coi mẫu số có dạng a + b + c. Khi đó nhân cả tử và
mẫu với a2 + b2+c2 –ab – bc – ca ta có

16 3 16 + 4 3 4 + 256 + 16 − 64 3 4 − 32 2 2 272 − 60 3 4 15 3 4 − 68
1
=
=
A= 3
= 4 3
−3056
764
4 4 + 2 3 2 − 16
4 4 + 2 4 2 − 163 − 3.4 4 4.2 4 2.16

(

) (

)

b. tương tự câu a ta có
B=

=

3

3

1
=
3
a+ b+3c

3

(

3

a 2 + 3 b 2 + 3 c 2 − 3 ab − 3 bc − 3 ca

a+3b+3c

)(

3

a 2 + 3 b 2 + 3 c 2 − 3 ab − 3 bc − 3 ca

)

a 2 + 3 b 2 + 3 c 2 − 3 ab − 3 bc − 3 ca

( a + b + c)

3

− 27 abc

Dạng 5. Giải hệ phương trình
Bài 1. Giải hệ phương trình sau
7

x + y + z = 1
 2
2
2
a)  x + y + z = 1
 x3 + y 3 + z 3 = 1


x + y + z = 0
 2
2
2
b)  x + y + z = 6
 x3 + y 3 + z 3 = 6


giải
 x + y + z = 1 (1)
 2
2
2
a.  x + y + z = 1 (2)
 x 3 + y 3 + z 3 = 1 (3)


Từ phương trình (1) và phương trình (3) của hệ ta suy ra
(x + y + z)3- (x3 - y3 – z3) = 0
<=> 3(x + y)(y + z)(z + x) = 0

<=> x + y = 0 hoặc y + z = 0 hoặc z + x = 0
Với x + y = 0 <=> x = -y thay vào hệ ta có nghiệm là(0,0,1)
Với y + z = 0 <=> y = - z thay vào hệ ta có nghiệm là (1,0,0)
Với x + z = 0 <=> x =- z thay vào hẹ ta có nghiệm là (0,1,0)
(1)
x + y + z = 0
 2
2
2
b.  x + y + z = 6 (2)
 x 3 + y 3 + z 3 = 6 (3)


Từ phương trình (1) và (3) của hệ ta có
x3 + y3 + z3 = 3xyz = 6 => xyz = 2
mặt khác x2 + y2 + z2 =(x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx) = 6
suy ra xy + yz + zx = - 3
x + y + z = 0

Vậy  xy + yz + zx = −3 nên x, y, z chính là ba nghiệm của phương trình
 xyz = 2


X3 – 0X2 + (-3)X – 2= 0 <=> X3 – 3X – 2 = 0
 X +1 = 0
 X = −1
⇔
X − 2 = 0
X = 2

<=> (X + 1)2(X – 2) = 0 ⇔ 

Vậy phương trình có ba nghiệm X1=X2=-1; X2 = 2
Suy ra hệ có nghiệm (-1;-1;2) và các hoán vị của nó
Bài 2. Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình
 x + 2 y + 3z = 6

3
3
2
( x − 1) + (2 y − 3) − (3 z − 2) = 18

Giải
 x + 2 y + 3z = 6

( x − 1) + (2 y − 3) + (3z − 2) = 0
⇔
3
3
3
( x − 1) + (2 y − 3) + (3 z − 2) = 18
( x − 1) + (2 y − 3) + (3z − 2) = 18
( x − 1) + (2 y − 3) + (3z − 2) = 0
Áp dụng kết quả (*) ta có hệ 
(I)
( x − 1)(2 y − 3)(3z − 2) = 6

Ta có 

3

3

3

Vì x, y, z nguyên nên x -1; 2y – 3; 3z – 2 nguyên do đó giá tri tuyệt đối của mỗi số
8


(x -1); (2y – 3); (3z – 2) đều là ước của 6 nghĩa là thuộc tập hợp { ±1; ±2; ±3; ±6} từ đó
ta có để 3z – 2 thì chỉ có thể 3z – 2 = 1 hoặc 3z – 2 = -2
( x − 1) + (2 y − 3) = −1
( x − 1)(2 y − 3) = 6

Trường hợp 1: Với 3z – 2 = 1thay vào hệ (I) ta có 

vậy theo hệ thức vi_et thì (x-1) và (2y – 3) là nghiệm của phương trình
X2 + X + 6 =0. Phương trình này vô nghiệm.
Trường hợp 2: Với 3z – 2 =-2 thay vào hệ (I) ta có hệ

( x + 1) + (2 y − 3) = 2

( x − 1)(2 y − 2) = −3

vậy theo hệ thức vi_et thì (x-1) và (2y – 3) là nghiệm của phương trình
X2 – 2X – 3 = 0 giải phương trình này ta có hai nghiệm X1 = -1; X2 = 3
Vây ta có
 x − 1 = −1
x = 0



TH1. 2 y − 3 = 3 ⇔  y = 3
3 z − 2 = −2
z = 0


x −1 = 3
x = 4


TH2. 2 y − 3 = −1 ⇔  y = 1
3 z − 2 = −2
z = 0



vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên (x,y,z) là (0,3,0) và (4,1,0).
Dạng 6. Toán chứng minh
 ax + by = c

Bài 1. Giả sử hệ phương trình bx + cy = a (1) có nghiệm
cx + ay = b


Chứng minh a3 + b3 + c3 = 3abc
Chứng minh
a + b + c = 0
a = b = c

Ta có a3 + b3 + c3 = 3abc ⇔ 

Ta có (x; y) là nghiệm của hệ (1) nên ta công theo từng vế ba phương trình của hệ ta
có (a + b + c)x + (a + b + c)y = a + b + c
a + b + c = 0
 x + y −1 = 0

<=> (a+b+ c)(x + y – 1)= 0 ⇔ 

TH1. a+ b + c =0 (*)
TH2. x + y – 1= 0 => y = 1- x thế vào hệ (1) ta có
ax + by = c
ax + b(1 − x) = c


bx + cy = a ⇔ bx + c(1 − x ) = a ⇔ a = b = c (**)
cx + ay = b
cx + a (1 − x) = b



vậy từ (*) và (**) suy ra điều phải chưng minh
Bài 2. Cho x, y, z nguyên thỏa mãn điều kiện x + y + z = (x – y)(y – z)(z – x)
Chứng minh (x - y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 chia hết cho 81
9


Chứng minh
Vì (x – y) + (y – z) + (z – x) = 0
Suy ra (x - y)3 + (y – z)3 + (z – x)3= 3(x – y)(y – z)(z – x)
Do đó ta xét ba số dư khi chia x, y, z cho 3

Th1. Nếu cả ba số dư khác nhau ( là 1, 2, 3) thì x + y + z chia hết cho 3 khi đó
(x – y)(y – z)(z – x) không chia hết cho 3 điều này mâu thuẫn
Th2. Nếu có hai số dư bằng nhau thì x + y + z không chia hết cho 3 trong khi đó một
trong ba hiệu (x – y); (y – z); (z – x) chia hết cho 3 điều này trái với giả thiết
Th3. Vậy chỉ còn trường hợp cả ba số x, y, z có cùng số dư khi chia cho 3 lúc đó
(x - y)3 + (y – z)3 + (z – x)3=3(x – y)(y – z)(z – x) M3.3.3.3
Hay (x - y)3 + (y – z)3 + (z – x)3=3(x – y)(y – z)(z – x) M81
Vậy M M81
Bài 3: chưng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì 2(x5 + y5 + z5)=5xyz(x2 + y2 + z2)
Chứng minh
x + y + z = 0 => x3 + y3 + z3 = 3xyz
=>(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 3xyz(x2 + y2 + z2)
<=> x5 + y5 + z5 + x2y2(x + y) + y2z2(y + z)+ z2x2(z + x) = 3xyz(x2+y2+z2)
<=> x5 + y5 + z5 + xyz.

x2 + y 2 + z 2
= 3xyz(x2 + y2 + z2)
2

<=>2(x5 + y5 + z5)=5xyz(x2 + y2 + z2)
6. Một số bài tập tương tự
yz

zx

xy

Bài 1. Cho xy + yz +zx = 0 và xyz ≠ 0 và tính giá trị biểu thức A = x 2 + y 2 + z 2
1
1

1
+
+
=0
x+ y y+z z+x
( y + z )( z + x ) ( x + y )( z + x) ( y + x)( z + y )
Tính giá trị biểu thức A= ( x + y )2 + ( y + z ) 2 + ( z + x) 2

Bài 2. Cho

Bài 3. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x3 + y3 + 1 = 3xy
Bài 4: Trục căn thưc ở mẫu của biểu thức B=

1
1+ 3 2 − 23 4
3

Bài 5. Giải các phương trình sau
a. (3x – 2)3 =(x - 3)3 + (2x + 1)3
b. (x + 20 )3 + (x – 2007)3 = (2x – 2007 + 2 5 )3
c. 6x3 + 3x – 5 = 0
x + y + z = 0
 2
2
2
Bài 6. Cho hệ phương trình  x + y + z = 6
 x3 + y 3 + z 3 = 6


tính giá trị biểu thức A = x2015 + y2015 + z2015

C. KẾT LUẬN
10


Từ thực tế giảng dạy ở trường tôi thấy để vận dụng các hằng đẳng thức nói chung và
hai hằng đẳng thức trên nói riêng vào giải các bài toán thì giáo viên cần mạnh dạn đưa
hai hằng dsawngr thức này vào dạy cho học sinh đặc biệt là học sinh khá giỏi. khi dạy
hai hằng đẳng thức này giáo viên cần làm nổi bật được việc vân dụng các hẳng thức
trên theo hai chiều và việc vận dụng vào từng dạng toán cụ thể.
Giáo viên cần chú ý cho học sinh rèn luyện kỹ năng biến đổi, kỹ năng thực hành và
việc vận dụng kiến thức đã học vào giải các bài toán, dạng toán cụ thể, rèn luyện cho
học khả khả năng tự học, gợi sư say mê hứng thú học tập, để chiếm lĩnh tri thức.
D. KIẾN NGHỊ ĐỀ XUẤT
Trên đây là nhưng bài toán tôi đa đưa ra giảng dạy cho học sinh trong quá trình dạy
học ở trường và bồi dưỡng học sinh giỏi, mặc dầu còn hạn chế nhưng tôi nhận thấy nó
đã giúp được học sinh rất nhiều trong quá trình học tập, góp phần nâng cao kiến thức
và kết quả học tập cho các em. Tôi mong được sự đóng góp ý kiến của các đồng
nghiệp để công việc dạy và học ngày càng đạt kết quả cao.

11