dap an mon toan ky su tai nang bkhn 2003

20
ðÁP ÁN
Kỳ thi chọn hệ Kỹ sư tài năng và Kỹ sư chất lượng cao
Năm 2003
Môn thi: Toán

Bài 1:
Do ña thức P ( x ) ñạt cực ñại và cực tiểu tại x = 1 và x = 3 nên deg P ( x ) ≥ 3 và

P ' ( x ) = ( x − 1)( x − 3) Q ( x ) với Q ( x ) .
( deg P ( x ) là bậc của ña thức P ( x ) )
Nếu deg Q ( x ) = 0, Q ( x ) = a

 x3

⇒ P ( x ) = a  − 2 x 2 + 3 x  + c.
 3

4a
+ c = 6.
P (1) = 6 ⇒
3
P ( 3) = 2 ⇒ c = 2 ⇒ a = 3 ⇒ P ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 9 x + 2.
Thử lại thấy ña thưc này thỏa mãn bài toán và có bậc nhỏ nhất.

Bài 2:
Trước hết ta có nhận xét: Nếu ña thức Q ( x ) không ñổi dấu trên ℝ thì deg Q ( x )
chẵn.
Giả sủ tồn tại ña thức thỏa mãn bài toán.
Xét R ( x ) = P ( x ) − P "( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ.
Rõ ràng deg R ( x ) = deg P ( x ) ⇒ deg P ( x ) chẵn ⇒ deg P ' ( x ) lẻ.

⇒ deg ( P ' ( x ) − P " ( x ) ) = deg P ' ( x ) lẻ.
⇒ ña thức ( P ' ( x ) − P " ( x ) ) ñổi dấu trên ℝ (mâu thuẫn với ii)).
ðiều vô lý suy ra không tồn tại ña thức thỏa mãn ñiều kiện bài toán.

Bài 3:
1./ Do f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ x1 > x2 ⇔ f ( x1 ) > f ( x2 ) .

(

)

Nếu: f ( x0 ) > x0 ⇒ f ( f ( x0 ) ) > f ( x0 ) > x0 ⇒ f f ( f ( x0 ) ) > f ( f ( x0 ) ) > x0 .

( (

))

(

)

⇒ f f f ( f ( x0 ) ) > f f ( f ( x0 ) ) > x0 .
Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN.

Hà Nội, tháng 8/2008


21
Tương tự ñối với trường hợp f ( x0 ) < x0 .

ðiều vô lý dẫn ñến f ( x0 ) = x0 .

2./ Không giảm tổng quát, giả sử x = max { x, y, z , t} ⇒ x ≥ y; x ≥ t.
x ≥ y ⇒ y 3 + 2 y − 2 ≥ y ⇔ ( y − 1) ( y 2 + y + 2 ) ≥ 0 ⇔ y ≥ 1 ⇒ x ≥ 1
x ≥ t ⇒ t 3 + 2t − 2 ≤ t ⇔ ( t − 1) ( t 2 + t + 2 ) ≤ 0 ⇔ t ≥ 1 ⇒ x ≤ 1.
⇒ x = 1 ⇒ y = t = 1 ⇒ z = 1.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x = y = z = t = 1.

Bài 4:
Từ:

x1 + x2 + ... + xn = n 2 xn ⇒ n 2 xn + xn +1 = ( n + 1) xn +1.
2

⇒ n 2 xn = n ( n + 2 ) xn +1 ⇒ xn +1 =
⇒ ... ⇒ xn +1 =

n ( n − 1)
n
xn ⇒ xn +1 =
x.
n+2
( n + 2 )( n + 1) n

n ( n − 1) ....2.1

( n + 2 )( n + 1) ...4.2

x1 =

4

( n + 2 )( n + 1)

.

4n 2
⇒ lim n xn =
= 4.
n →∞
( n + 1) n
2

Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN.

Hà Nội, tháng 8/2008