Làm cách nào để các trader quản lý rủi ro của mình

Bài dịch Nhóm: Ngô Quốc Huy
Làm cách nào để các trader quản lý rủi ro của mình.
Chức năng tự doanh trong một định chế tài chính được xem như một bộ phận bên ngoài,
bộ phận của định chế có liên quan tới mức rủi ro tổng thể đang gánh chịu, độ an toàn vốn và việc
tuân thủ các quy định được xem như bộ phận ở giữa, và chức năng lưu trữ thông tin là bộ phận
phía sau. Như đã giải thích ở phần 1.6, trong một định chế tài chính, các rủi ro giao dịch được
kiểm soát ở 2 mức độ. Thứ nhất, bộ phận bên ngoài (phòng tự doanh) phòng ngừa rủi ro bằng
cách đảm bảo rằng mức độ liên quan, dính líu tới các biến riêng lẻ của thị trường không quá
nhiều. Thứ hai, bộ phận ở giữa tổng hợp lại tất cả các vị thế nắm giữ của tất cả các trader để xem
liệu mức rủi ro tổng thể là có thể chấp nhận được hay không.
=>Trong chương này, chúng ta sẽ tập trung vào các hoạt động phòng ngừa rủi ro của bộ
phận tự doanh. Chương sau chúng ta sẽ tìm hiểu xem rủi ro được tổng hợp xem xét như thế nào
ở bộ phận giữa của định chế.
Chương này giải thích thuật ngữ “Greek letters”- các chữ cái Hy Lạp hay đơn giản được
gọi tắt là Greeks. Mỗi chữ cái Hy Lạp đo lường một khía cạnh của rủi ro trong một vị thế giao
dịch. Các trader tính toán các biến số đo lường rủi ro này vào cuối mỗi ngày giao dịch và bắt
buộc phải có biện pháp can thiệp nếu vượt qua giới hạn rủi ro nội bộ của định chế tài chính đó.
Nếu ai không làm theo quy định này sẽ bị đuổi ngay lập tức.
Các chỉ số:
1.
2.
3.
4.
5.

Delta
Gamma
Vega
Theta
Rho

8.1 Chiến lược phòng ngừa Delta
Thử tưởng tượng rằng bạn là một trader làm việc cho một ngân hàng của Mỹ và chịu
trách nhiệm với tất cả các giao dịch liên quan tới vàng. Giá giao ngay của vàng là 1,300$/oz.
Bảng 8.1 là bảng tổng hợp danh mục của bạn (hay được gọi là “Sổ” của bạn). Làm cách nào để
bạn quản lý rủi ro của mình?
Giá trị danh mục của bạn hiện đang là 317K $. Có một cách để xem xét rủi ro mà bạn
đang phải đối mặt là định giá lại giá trị của danh mục với giả định rằng giá vàng tăng nhẹ từ
1,300$/oz lên 1,300.01$/oz. Giả định rằng mức tăng 0.1$/oz này làm giá trị danh mục của bạn
giảm mất 100$ từ mức 317K $ xuống còn 316.9K $. Điểu này có nghĩa độ nhạy của danh mục
đố với giá vàng là:
-100/0.1=-1,000


Độ nhạy này được gọi là hệ số Delta của danh mục. Danh mục bốc hơi khoảng 1,000$
khi giá vàng tăng 1$ và ngược lại, giá XAU giảm 1$ thì giá trị danh mục tăng thêm 1,000$.
Tổng thể, Delta của một danh mục trong mối tương quan với một biến trên thị trường là:
ΔP/ΔS
Trong ví dụ của chúng tôi, trader này có thể triệt tiêu rủi ro Delta (mức phơi nhiễm Delta)
bằng cách mua 1,000oz vàng. Bởi vì hệ số Delta của một vị thế mua 1,000oz XAU là 1,000. (Vị
thế mua này tăng giá thêm 1,000$ khi giá vàng tăng thêm 1$. Phương pháp này gọi là phương
pháp phòng ngừa Delta. Khi giao dịch phòng ngừa kết hợp với danh mục gốc thì danh mục kết
hợp sau cùng sẽ có Delta bằng không. Một danh mục như thế được gọi là danh mục trung hòa
Delta hay danh mục có Delta đã được trung hòa.
Các sản phẩm tuyến tính
Một sản phẩm tuyến tính là sản phẩm tài chính mà giá trị tại một thời điểm bất kỳ phụ
thuộc tuyến tính vào giá trị của một biến số nào đó đang diễn ra trên thị trường (Xem hình 8.1).
Các hợp đồng kỳ hạn là sản phẩm tuyến tính; option thì không phải.
Một sản phẩm tuyến tính có thể được phòng ngừa rủi ro tương đối dễ dàng. Một ví dụ
đơn giản, giả sử một ngân hàng Mỹ tham gia vào một hợp đồng kỳ hạn với một khách hàng,
ngân hàng này đồng ý bán cho khách hàng 1 triệu EUR với giá 1.3 triệu $ trong vòng 1 năm. Giả

sử lãi suất của EUR và USD lần lượt là 4% và 3% lãi kép ghép lãi theo năm. Có nghĩa là hiện giá
của dòng tiền 1 triệu EUR nhận được ở thời điểm một năm sau là 1,000,000/1.04=961,538€.
Hiện giá của 1.3 triệu $ của thời điểm một năm sau là 1,300,000/1.03=1,262,136$. Giả sử S là
giá trị của 1 EUR tính bằng USD ngày hôm nay (cặp tỷ giá EUR/USD). Vậy giá trị của hợp đồng
kỳ hạn tính bằng $ vào ngày hôm nay là:
1,262,136 – 961,538 x S
=> Điều này cho thấy rằng giá trị của hợp đồng kỳ hạn này tương quan tuyến tính với tỷ
giá EUR/USD. Giá trị Delta của hợp đồng này bằng – 961,538. Hợp đồng này có thể được phòng
ngừa bằng cách mua 961,638 €. Bởi vì hợp đồng này tương quan tuyến tính với tỷ giá EUR/USD
nên việc phòng ngừa này bảo vệ ngân hàng khỏi tất cả những biến động của cặp EUR/USD.
Khi ngân hàng tham gia vào giao dịch ngược lại và đồng ý mua 1 triệu € trong 1 năm tới,
giá trị của hợp đồng kỳ hạn này cùng tương quan tuyến tính với tỷ giá S
961,538 x S – 1,262,136
Ngân hàng lúc này có Delta= +961,538. Để triệt tiêu rủi ro, NH cần bán khống 961,538
€. Bán khống bằng cách nào, bằng cách vay EUR ngày hôm nay với lãi suất 4% và ngay lập tức
chuyển thành USD. Một triệu EUR nhận được vào một năm tới sẽ dùng để trả khoản vay này.


Bán khống tài sản để phòng ngừa rủi ro cho các hợp đồng kỳ hạn đôi khi cũng rủi ro.
Vàng là một ví dụ điển hình cho vấn đề này. Những định chế tài chính thường nhận thấy rằng họ
ký kết các hợp đồng kỳ hạn lớn để mua vàng từ các nhà sản xuất vàng. Điều này có nghĩa rằng
họ cần mượn một số lượng lớn vàng để tạo ra một vị thế bán để phòng ngừa. Như đã liệt kê ở
phần Business snapshot 8.1, các NHTW là nguồn cho vay vàng. Một khoản phí được xem như là
lãi suất cho thuê vàng bị các NHTW đánh vào các tổ chức đi vay.
Các sản phẩm tuyến tính có một đặc tính hấp dẫn đó là giúp phòng ngừa bảo vệ lại các
biến động dù lớn hay nhỏ trong giá trị của tài sản cơ sở. Chúng cũng có một đặc tính hấp dẫn
khác có liên quan: việc phòng ngừa, một khi đã được thiết lập, thì không cần thiết phải thay đổi
hay điều chỉnh. (điều này đôi khi được nhắc tới với cái tên là đặc tính phòng ngừa rồi bỏ đó luôn,
không cần lo tới nữa). Một ví dụ cho việc này, xem lại hợp đồng kỳ hạn đầu tiên chúng ta xem
xét trong đó một ngân hàng đồng ý bán cho khách hàng 1 triệu EUR để đổi lấy 1.3 triệu USD.

Tổng cộng cần mua 961,538 EUR để phòng ngừa cho vị thế này. Món tiền này có thể được đầu
tư với lãi suất nhận được là 4%/năm để chúng có thể trở thành chính xác 1 triệu EUR trong một
năm. Đây chính xác là điều ngân hàng cần làm để hoàn tất hợp đồng kỳ hạn trong một năm để
đảm bảo rằng không cần làm gì trong suốt một năm đó để phòng ngừa cho vị thế của mình.
Các sản phẩm phi tuyến tính.
Hợp đồng quyền chọn và các sản phẩm phái sinh phức tạp khác phụ thuộc vào giá của tài
sản cơ sở, là các sản phẩm phi tuyến tính. Mối quan hệ giữa giá trị của các sản phẩm này và giá
của tài sản cơ sở tại một thời điểm là phi tuyến. Tính phi tuyến này làm cho chúng trở nên khó
phòng ngừa rủi ro hơn vi hai lý do. Thứ nhất, trung hòa Delta của một danh mục phi tuyến chỉ
giúp bảo vệ lại các biến động nhỏ của giá trị tài sản cơ sở. Thứ hai, chúng ta không phải trong
một tình huống phòng ngừa rồi bỏ đó quên luôn giống như với các sản phầm tuyến tính. Việc
phòng ngừa cần phải được thay đổi thường xuyên. Đây được gọi là phòng ngừa động.
Xem xét một ví dụ, một trader bán một quyền chọn mua kiểu Châu Âu (đáo hạn mới thực
hiện) trên 100K cổ phiếu không trả cổ tức với:
1.
2.
3.
4.
5.

Giá cổ phiếu là 49$
Giá thực hiện là 50$
Lãi suất phi rủi ro là 5%
Độ biến động của giá cổ phiếu là 20%/năm
Thời gian đáo hạn của quyền chọn là 20 tuần nữa.

Chúng ta giả sử rằng khoản nhận được từ quyền chọn này (phí quyền chọn) là 300K USD
và trader này không vị thế nào khác liên quan tới cổ phiếu này cả.
Giá trị của một quyền chọn là một hàm theo giá của tài sản cơ sở được thể hiện trong
Figure 8.2. Delta của một quyền chọn thay đổi theo giá của cổ phiếu theo cách được thể hiện

trong figure 8.3. Vào thời điểm diễn ra giao kèo (option được ký kết), giá trị của một của một
quyền chọn để mua 1 cổ phần là 2.4$ và Delta của một quyền chọn là 0.522. Bởi vì trader này


đang bán 100k option, nên giá trị của danh mục anh ta nắm giữ là -100K x 2.4$ = -240K$ và
Delta của danh mục là -52,200$. Trader này có thể cảm thấy thoải mái khi quyền chọn này được
bán cao hơn giá trị lý thuyết của nó tới 60K$ (Phí quyền chọn 300K$ trong khi chỉ phải trả lại
240K$, lời 60K$), nhưng trader này phải đối mặt với vấn đề phòng ngừa rủi ro cho danh mục
này.
Ngay sau giao dịch, danh mục này có thể được trung hòa Delta bằng cách mua 52,200 cổ
phần của cổ phiếu cơ sở cùng loại trong hợp đồng quyền chọn. Nếu có một sự giảm/hoặc tăng
nhẹ trong giá cổ phiếu, thì mức lời/lỗ của vị thế bán option sẽ được bù đắp bằng khoản lỗ/hoặc
lời của các cổ phần. Ví dụ, nếu giá của cổ phiếu tăng từ 49$ lên 49.1$, giá trị của vị thế quyền
chọn sẽ giảm khoảng 52,200x0.1=5,220$, trong khi giá trị của các cổ phần sẽ tăng đúng với mức
này.
Trong trường hợp của các sản phẩm tuyến tính, một khi giao dịch phòng ngừa được thiết
lập thì không cần thay đổi gì nữa. Nhưng đối với các sản phẩm phi tuyến thì khác. Để giữ Delta
luôn được trung hòa, việc phòng ngừa cần phải được điều chỉnh định kỳ. Điều này gọi là tái cân
đối lại danh mục.
Bảng 8.2 và 8.3 cho ta 2 ví dụ về việc tái cân đối danh mục phát huy tác dụng thế nào.
Việc tái cân đối giả sử được thực hiện hàng tuần. (Đưa bảng 8.2 vào)Như đã đề cập, giá trị Delta
ban đầu cho một quyền chọn là 0.522 và Delta của cả danh mục là -52,200. Có nghĩa rằng, ngay
khi quyền chọn được ký kết, một món tiền 2,557,800$ phải được vay để mua 52,200 cổ phần với
giá 49$/cp. Lãi suất là 5%. Vậy chi phí trả lãi khoảng 2,500$ vì thế xảy ra ở tuần đầu tiên.
Trong bảng 8.2, giá cổ phần rớt xuống 48.12$ vào cuối tuần đầu tiên. Delta cũng giảm
xuống còn 0.458. Lúc này cần một vị thế mua 45,800 cổ phần để phòng ngừa cho vị thế quyền
chọn. Vì thế cần bán ra tổng cộng 6,400 cổ phần (=52,200-45,800) để duy trì mức Delta trung
hòa của việc phòng ngừa. Chiến lược này hiện thực hóa 308,000$ tiền mặt, và mức vay lũy kế
vào cuối tuần thứ 1 được giảm xuống mức 2,252,300$. Trong tuần thứ 2 giá cổ phiếu giảm
xuống còn 47.37$ và Delta lại tiếp tục giảm. Việc này dẫn tới việc phải bán 5,800 cổ phần vào

cuối tuần thứ 2. Trong tuần thứ 3, giá cổ phần tăng lên trên 50$/cp và Delta gia tăng theo. Dẫn
tới việc phải mua 19,600 cổ phần vào cuối tuần thứ 3. Càng về cuối vòng đời của quyền chọn,
càng chắc chắn hơn việc quyền chọn sẽ được thực hiện và vì thế Delta càng tiến gần về 1. Vào
tuần thứ 20, người phòng ngừa sẽ có 100K cổ phần. Người phòng ngừa sẽ nhận được 5 triệu $
(=100,000x50$) từ những cổ phần này khi quyền chọn được thực hiện sao cho tổng chi phí của
việc ký kết và phòng ngừa cho quyền chọn này là 263,300$.
Bảng 8.3 minh họa một chuỗi sự kiện thay thế khi một quyền chọn kết thúc mà không có
giá trị khi thực hiện. Vì chắc chắn rằng quyền chọn sẽ không được thực hiện nên Delta cũng sẽ
về 0. Vào cuối tuần thứ 20, người đi phòng ngừa vì thế không có vị thế nào với tài sản cơ sở là
cổ phiếu. Tổng chi phí phải chịu là 256,600$.


Trong bảng 8.2 và 8.3, khi chiết khấu chi phí của việc phòng ngừa cho quyền chọn về
thời điểm bắt đầu thì chi phí này gần như bằng (nhưng không chính xác bằng) với giá trị lý
thuyết là 240,000$ (theo lý thuyết của Black-Schole-Merton). Nếu kế hoạch phòng ngừa hoạt
động hoàn hảo, thì chi phí của việc phòng ngừa sau khi chiết khấu sẽ chính xác bằng với giá trị
lý thuyết của Black-Schole-Merton cho mỗi sự thay đổi của giá cổ phiếu. Lý do của sự sai lệch
trong chi phí của việc phòng ngừa Delta là vì việc tái cân đối lại việc phòng ngừa chỉ diễn ra một
lần trong tuần. Khi việc tái cân đối diễn ra thường xuyên hơn, sự sai lệch trong chi phí phòng
ngừa được giảm xuống. Dĩ nhiên là ví dụ ở bảng 8.2 và 8.3 đã được lý tưởng hóa, trong đó họ
giả định rằng mô hình theo công thức của Black-Schole-Merton là chính xác tuyệt đối và không
có chi phí giao dịch.
Phòng ngừa Delta hướng tới việc giữ giá trị các vị thế của một định chế tài chính càng ít
thay đổi càng tốt. Đầu tiên, giá trị của quyền chọn khi ký kết là 240K$. Trong tình huống được
miêu tả ở bảng 8.2, giá trị của quyền chọn có thể được tính ra 414,500$ vào tuần thứ 9. Vì thế,
định chế tài chính này phải mất 414,500-240,000= 174,500$ cho vị thế bán quyền chọn của
mình. Về vị thế tiền mặt, đo lường bằng tổng chi phí lũy kế, là 1,442,900$, tệ hơn ở tuần thứ 9 so
với tuần đầu (tuần 0). Giá trị của các cổ phần nắm giữ đã tăng từ 2,557,800$ lên 4,171,100$ đã
tạo ra khoản lời 1,613,300$. Tác động ròng là giá trị các vị thế của định chế tài chính này đã thay
đổi chỉ 4,100$ trong suốt 9 tuần.

Chi phí đến từ đâu?
Quá trình phòng ngừa Delta trong bảng 8.2 và 8.3 khi áp dụng đã tạo ra một vị thế mua
quyền chọn tổng hợp nhằm trung hòa rủi ro của vị thế bán option của các trader. Theo mô tả của
các bảng trên, quá trình phòng ngừa có khuynh hướng liên quan tới việc bán các cổ phần ngay
khi giá đi xuống và mua ngay sau khi giá tăng. Điều này có thể được xem như một chiến lược
giao dịch mua cao, bán thấp. Khoản chi phí 240,000$ đến từ khoản sai lệch trung bình giữa giá
phải trả để có quyền mua cổ phiếu và giá khi thực hiện việc mua nó.
Các chi phí giao dịch
Việc giữ một vị thế về quyền chọn đơn lẻ và tài sản cơ sở có Delta trung hòa, theo cách
đã được mô tả, là rất tốn kém bởi vì các chi phí giao dịch phát sinh. Giữ Delta trung hòa sẽ dễ
dàng hơn rất nhiều nếu đó là một danh mục lớn các chứng khoán phái sinh phụ thuộc vào một
loại tài sản duy nhất bởi vì chỉ cần duy nhất một giao dịch trên tài sản cơ sở là đủ để đưa Delta
về 0 cho toàn bộ danh mục. Các chi phí phòng ngừa được trung hòa bởi các khoản lời trong
nhiều giao dịch khác nhau. Điều này cho thấy rằng lợi ích chi phí từ quy mô có tồn tại trong giao
dịch phái sinh. Không có gì đáng ngạc nhiên khi thị trường phái sinh bị chi phối bởi một số
lượng ít các nhà đầu tư lớn.
8.2 Phòng ngừa GAMMA


Như đã đề cập, đối với một danh mục phi tuyến tính, thì Delta trung hòa chỉ giúp bảo vệ
danh mục khỏi những thay đổi nhỏ trong giá của tài sản cơ sở.
Chỉ số GAMMA, ký hiệu là Γ, của một danh mục đầu tư đo lường tác động mở rộng
trong đó các thay đổi lớn trong giá sẽ gây ra vần đề. Gamma là tỷ lệ thay đổi của Delta danh mục
so với giá của tài sản cơ sở. Nó là đạo hàm riêng bậc 2 của danh mục so với giá của tài sản:
Gamma= ∂2P/∂S2
Nếu Gamma nhỏ, Delta sẽ thay đổi ít, và các điều chỉnh cần thiết để trung hòa Delta chỉ
cần thực hiện tương đối ít lần theo định kỳ. Tuy nhiên, nếu Gamma lớn về mặt giá trị tuyệt đối,
thì Delta sẽ rất nhạy với giá của tài sản cơ sở. Khi đó sẽ rất rủi ro nếu để một danh mục có Delta
trung hòa mà không thay đổi trong suốt một khoảng thời gian. Figure 8.4 minh họa điểm này cho
một quyền chọn trên một cổ phiếu. Khi giá cổ phiếu thay đổi từ S thành S’, theo việc phòng ngừa

Delta ta giả định rằng giá quyền chọn sẽ thay đổi từ C thành C’, trong khi thật sự nó sẽ thay đổi
từ C thành C”. Sự sai lệch giữa C’ và C” dẫn đến một sai số trong việc phòng ngừa. Sai số này
phụ thuộc vào độ cong của mối tương quan giữa giá quyền chọn và giá cổ phiếu. Và Gamma đo
lường độ cong này.

Gamma dương đối với một vị thế mua trong quyền chọn. Cách tổng quát theo đó Gamma
thay đổi với giá của tài sản cơ sở được htể hiện trong Figure 8.5. Gamma đạt giá trị lớn nhất đối
với trường hợp quyền chọn khi giá cổ phiếu gần với giá thực hiện K nhất.
Trung hòa Gamma danh mục
Một sản phẩm tuyến tính có Gamma = 0 và không thể dùng để thay đổi Gamma của một
danh mục. Thứ cần thiết để làm việc này là một vị thế trên một công cụ nào đó, như option chẳng
hạn, loại mà không có sự phụ thuộc tuyến tính vào giá của tài sản cơ sở.
Giả sử rằng một danh mục có Delta trung hòa có Gamma = Γ, và một quyền chọn có
Gamma = ΓT. Nếu số lượng quyền chọn thêm vào danh mục đầu tư là w T, thì Gamma của danh
mục sẽ là:


WT.ΓT + Γ
Do đó, vị thế về số quyền chọn cần thiết để trung hòa Gamma của danh mục là W T= -Γ/ΓT. Thêm
các option vào danh mục có xu hướng làm thay đổi Delta của danh mục, vì thế vị thế về tài sản
cơ sở phải được thay đổi theo để duy trì Delta trung hòa. Chú ý rằng Gamma của danh mục chỉ
trung hòa trong một khoảng thời gian ngắn. Khi thời gian trôi qua, chỉ có thể giữ Gamma trung
hòa nếu vị thế về option được điều chỉnh sao cho nó luôn luôn bằng -Γ/ΓT.
Việc trung hòa Gamma của một danh mục có Delta trung hòa có thể được xem như sự
điều chỉnh đầu tiên vì sự thực là vị thế trên tài sản cơ sở không thể bị thay đổi liên tục khi việc
phòng ngừa Delta được sử dụng. Delta trung hòa giúp bảo vệ danh mục khỏi các biến động nhỏ
trong giá tài sản cơ sở giữa các kỳ tái cân đối. Còn Gamma trung hòa giúp bảo vệ khỏi các thay
đổi lớn trong giá tài sản cơ sở giữa các kỳ tái cân đối việc phòng ngừa. Cho rằng một danh mục
có Delta trung hòa và có Gamma = -3,000. Delta và Gamma của một quyền chọn mua lần lượt là
0.62 và 1.5. Danh mục có thể được trung hòa Gamma bằng cách thêm vào một vị thế mua

3,000/1.5= 2,000 quyền chọn mua. (Gamma của danh mục lúc này là -3,000+1.5x2,000=0). Tuy
nhiên, Delta của danh mục sẽ thay đổi từ zero thành 2,000x0.62=1,240. Vì vậy, cần phải bán
1,240 đơn vị tài sản cơ sở để trung hòa Delta danh mục.
8.3 Phòng ngừa VEGA
Một nguồn rủi ro khác trong hoạt động giao dịch phái sinh là khả năng độ biến động có
thể thay đổi. Mức biến động của một biến số thị trường đo lường sự không chắc chắn trong giá
trị tương tai của biến số đó. (điều này sẽ được bàn kỹ hơn ở chương 10). Trong các mô hình định
giá quyền chọn, người ta thường giả định độ biến động không thay đổi, nhưng trong thực tế nó
thay đổi qua thời gian. Các vị thế giao ngay và các hợp đồng kỳ hạn không phụ thuộc và độ biến
động trong giá của tài sản cơ sở, nhưng quyền chọn và những sản phẩm phái sinh phức tạp khác
thì lại có. Giá trị của chúng thay đổi vì những thay đổi trong mức độ biến động cũng như trong
giá của tài sản cơ sở và khi thời gian trôi qua.
Vega của một danh mục, V, là tỷ lệ thay đổi của giá trị danh mục trên một đơn vị thay đổi
của độ biến động ϭ của giá tài sản cơ sở:
V= ∂P/∂ϭ
Nếu Vega tuyệt đối cao, giá trị của danh mục sẽ rất nhạy cảm với những thay đổi nhỏ
trong độ biến động về giá của tài sản cơ sở. Nếu Vega tuyệt đối thấp, thì độ biến động giá của tài
sản cơ sở dù có tăng cao hay giảm thì cũng có rất ít tác động lên giá trị danh mục.
Vega của một danh mục có thể được thay đổi bằng cách thêm vào một vị thế quyền chọn.
Nếu V là Vega của danh mục và V T là Vega của một option, thì nếu thêm vào danh mục một vị
thế có độ lớn bằng –V/VT sẽ làm cho Vega của danh mục ngay lập tức trở thành trung hòa.
Không may là, một danh mục có Gamma trung hòa sẽ không thể có Vega trung hòa và ngược lại.


Nếu một người phòng ngừa rủi ro cần một danh mục có cả Gamma và Vega trung hòa, thì ít nhất
phải sử dụng 2 loại chứng khoán phái sinh có giá phụ thuộc vào tài sản cơ sở của danh mục.

Ví dụ 8.1:
Ta xem xét một danh mục phụ thuộc vào giá của một tài sản duy nhất và có Delta trung
hòa, với Gamma = -5,000 và Vega = -8,000. Các quyền chọn trong bảng bên dưới có thể được

giao dịch để thêm vào danh mục. Danh mục có thể được trung hòa Vega bằng cách thêm vào một
vị thế mua 4,000 Quyền chọn 1. Việc này sẽ làm tăng Delta danh mục lên 2,400 và phải bán ra
2,400 đơn vị tài sản cơ sở để trung hòa Delta trở lại. Gamma của danh mục sẽ thay đổi từ -5,000
thành -3,000.
Porfolio
Option 1
Option 2

Delta
0
0.6
0.5

Gamma
-5,000
0.5
0.8

Vega
-8,000
2.0
1.2

Để trung hòa Gamma và Vega của danh mục, cả Quyền chọn 1 và Quyền chọn 2 có thể
được sử dụng. Nếu W1 và W2 lần lượt là số lượng Quyền chọn 1 và Quyền chọn 2 được thêm vào
danh mục, và chúng ta cần:
-5,000+0.5xW1+0.8xW2 = 0
-8,000+2.0xW1+1.2xW2 = 0
Đáp án cho hệ phương trình trên là W 1 = 400 và W2 = 6,000. Danh mục vị vì thế sẽ được
trung hòa Gamma và Vega bằng cách thêm vào 400 Quyền chọn 1 và 6,000 Quyền chọn 2. Delta

của danh mục sau khi thêm các vị thế option này vào sẽ là 400x0.6+6,000x0.5 = 3,240. Vì vậy,
phải bán ra 3,240 đơn vị tài sản cơ sở để giữ Delta trung hòa.
Vega của một vị thế mua quyền chọn có giá trị dương. Phương sai của Vega theo giá của
tài sản cơ sở tương tự như phương sai của Gamma và được thể hiện trong Figure 8.6. Gamma
trung hòa giúp bảo vệ lại các thay đổi lớn trong giá của tài sản cơ sở giữa các kỳ tái cân đối việc
phòng ngừa. Vega trung hòa giúp bảo vệ khỏi phương sai của mức độ biến động giá tài sản cơ sở.
Mức độ biến động của các quyền chọn có thời gian đáo hạn ngắn thường có xu hướng dễ
thay đổi hơn so với mức độ biến động của các quyền chọn có thời gian đáo hạn dài. Vega của
danh mục vì thế thường được tính toán bằng cách thay đổi độ biến động của các quyền chọn có
kỳ hạn ngắn nhiều hơn mức biến động của kỳ hạn dài. Có một cách để làm việc này được thảo
luận ở phần 10.10.


8.4 THETA:
Theta của một danh mục, ký hiệu là Θ, là tỷ lệ thay đổi của giá trị danh mục đối với sự
thay đổi của thời gian, với tất cả những biến khác không đổi. Theta đôi khi được xem như sự
phân rã hay suy giảm về thời gian của danh mục.
Theta của một quyền chọn thường có giá trị âm (Có một ngoại lệ là trường hợp của một
quyền chọn bán cổ phiếu không chi trả cổ tức theo kiểu Châu Âu đang trong điều kiện cao giá
ITM, hay một quyền chọn mua đang cao giá kiểu Châu Âu trên tài sản cơ sở là một đồng tiền
nào đó với lãi suất rất cao). Điều này là bởi vì khi thời gian còn lại đến khi đáo hạn giảm dần
trong khi các yếu tố khác không đổi, thì giá trị của quyền chọn càng có xu hướng giảm. Cách
tổng quát theo đó Theta thay đổi theo giá cổ phiếu đối với một quyền chọn mua cổ phiếu được
thể hiện ở Figure 8.7. Khi giá cổ phiếu thấp, Theta gần bằng không. Đối với một quyền chọn
mua ngang giá ATM, Theta lớn và có dấu âm. Figure 8.8 chỉ ra các mẫu hình kinh điển cho sự
thay đổi của Theta theo thời gian còn lại tới khi đáo hạn của các quyền chọn mua cao giá, ngang
giá hay kiệt giá.
Theta không ký hiệu bằng chữ cái Hy Lạp như Delta. Giá trị tương lai của tài sản cơ sở là
không chắc chắn, nhưng thời gian đáo hạn giảm dần là điều chắc chắn. Việc phòng ngừa lại các
thay đổi về giá của tài sản cơ sở là có ý nghĩa, nhưng không có ý nghĩa gì khi ta đi phòng ngừa

lại tác động của thời gian lên một danh mục quyền chọn. Thay vì làm việc này, nhiều trader xem
Theta như là một số liệu thống kê mô tả hữu ích cho một danh mục. Trong một danh mục có
Delta trung hòa, khi Theta dương và có giá trị lớn, thì Gamma có xu hướng âm và có giá trị lớn
và ngược lại.
8.5 RHO
Chữ cái Hy Lạp cuối cùng chúng ta xem xét là Rho. Rho là tỷ lệ thay đổi của một danh
mục theo mức lãi suất. Các quyền chọn tiền tệ có 2 Rho, một cho lãi suất trong nước và một cho
lãi suất nước ngoài. Khi trái phiếu và các sản phẩm phái sinh về lãi suất là một phần của danh
mục đầu tư, thì các trader thường quan tâm rất kỹ tới cách mà cấu trúc kỳ hạn của lãi suất có thể
thay đổi. Chúng ta sẽ bàn về vấn đề này trong chương tới.
8.6 Đo lường các chỉ số Delta, Gamma, Vega…
Các phụ lục E và F giải thích làm cách nào để tính toán các chỉ số trên. Phần mềm
DerivaGem, có thể download từ website của tác giả viết phần mềm, có thể được dùng cho quyền
chọn kiểu Châu Âu và cả kiểu Mỹ. Xem lại quyền chọn mua kiểu Châu Âu ở phần 8.1. Giá cổ
phiếu là 49$, giá thực hiện quyền chọn là 50$, lãi suất phi rủi ro là 5%, độ biến động của giá cổ
phiếu là 20%, và thời gian đến khi đáo hạn là 20 tuần hay 20/52 của năm. Bảng 8.4 cho thấy
Delta, Gamma, Vega, Theta và Rho của quyền chọn này (đối với một vị thế mua một quyền
chọn) và một vị thế bán 100,000 quyền chọn của vị thế được xem xét trong bảng 8.2 và 8.3.


Đây là một vài ví dụ về việc các con số được hiểu như thế nào:
1. Khi có có một sự gia tăng 0.1$ trong giá cổ phiếu khi các yếu tố khác không đổi, giá
quyền chọn tăng khoảng 0.522x0.1 hay 0.0522$. Giá trị của một vị thế bán 100K quyền
chọn sẽ giảm một khoản 5,220$.
2. Khi có có một sự gia tăng 0.1$ trong giá cổ phiếu khi các yếu tố khác không đổi, Delta
của quyền chọn tăng khoảng 0.066x0.1 hay 0.0066. Delta của một vị thế bán 100K quyền
chọn sẽ giảm 660.
3. Khi có một sự gia tăng 0.5% trong mức độ biến động, từ 20% tăng lên 20.5%, với các
yếu tố khác không đổi, thì giá của quyền chọn sẽ tăng khoảng 0.121x0.5 hay 0.0605$.
Giá trị của một vị thế bán 100K quyền chọn sẽ giảm 6,050$.

4. Khi một ngày trôi qua mà không có sự thay đổi nào trong giá cổ phiếu hay mức độ biến
động của nó, thì giá của quyền chọn sẽ giảm khoảng 0.012$. Giá trị của một vị thế bán
100K quyền chọn sẽ tăng 1,200$.
5. Khi lãi suất tăng 1% (hay 100 điểm cơ bản) với các yếu tố khác không đổi, thì giá quyền
chọn sẽ tăng 0.089$. Giá trị của một vị thế bán 100K quyền chọn sẽ giảm 8,900$.
8.7 Các mở rộng của Chuỗi Taylor
Các mở rộng dãy số Taylor được giải thích trong phụ lục G. Các mở rộng này được dùng
để thể hiện sự thay đổi trong giá trị danh mục trong một khoảng thời gian ngắn phụ thuộc như
thế nào vào các chỉ số đại diện bằng cách ký tự Hy Lạp như trên. Xét một danh mục phụ thuộc
vào giá của một loại tài sản duy nhất, S. Nếu độ biến động của tài sản cơ sở và lãi suất là hằng
số, thì giá trị P của danh mục là một hàm số theo biến S và thời gian t. Mở rộng dãy số Taylor
cho ta công thức:
Công thức 8.1 trang 167
Trong đó ΔP và ΔS là sự thay đổi trong giá trị P của danh mục và giá S của tài sản cơ sở trong
một khoảng thời gian ngắn Δt. Hạng tử đầu tiên của vế phải phương trình trên là Delta nhân với
ΔS và có thể được triệt tiêu bằng cách dùng phòng ngừa Delta. Hạng tử thứ hai, là Theta nhân
với Δt, là phi ngẫu nhiên. Hạng tử thứ 3 có thể được đưa về 0 bằng cách đảm bảo rằng làm cho
cả Gamma và Delta bằng không. Các tranh luận từ các tính toán ngẫu nhiên cho thấy rằng ΔS có
cùng bậc với căn bậc 2 của Δt. Điều này có nghĩa rằng hạng tử thứ 3 bên vế phải của phương
trình có cùng bậc với Δt. Các hạng tử phía sau trong chuỗi Taylor mở rộng thì có bậc cao hơn Δt.
Đối với một danh mục có Delta trung hòa, hạng tử thứ nhất nằm bên vế phải của phương
trình 8.1 là zero, vì vậy:
ΔP = ΘΔt + 1/2 ΓΔS2

(8.2)

Với các hạng tử có bậc cao hơn Δt được bỏ qua. Mối quan hệ giữa sự thay đổi trong giá trị danh
mục và sự thay đổi trong giá cổ phiếu là một phương trình bậc 2 như được thể hiện trong Figure
8.9. Khi Gamma dương, người nắm giữ danh mục có lãi từ những thay đổi lớn trong giá tài sản

cơ sở và thua lỗ khi có ít hoặc không có sự thay đổi giá nào xảy ra. Khi Gamma âm, điều ngược
lại xảy ra khi những thay đổi lớn trong giá tài sản cơ sở dẫn đến thiệt hại nặng nề cho giá trị danh
mục.

Ví dụ 8.2:
Giả sử rằng Gamma của một danh mục quyền chọn có Delta trung hòa là -10,000. Giả sử
một sự thay đổi +2 trong giá của tài sản xảy ra trong một khoảng thời gian ngắn (để mà Δt có thể
xem như = 0). Phương trình 8.2 cho thấy có một sự sụt giảm bất ngờ trong giá trị của danh mục
vào khoảng 0.5x10,000x22 = 20,000$. Lưu ý rằng mức sụt giảm bất ngờ y như vậy sẽ xảy ra nếu
giá thay đổi -2 đơn vị.
Khi mức độ biến đổi (độ lệch chuẩn σ) của tài sản cơ ở là không chắc chắn, thì P là một
hàm số theo biến σ, S và t. Phương trình 8.1 lúc này trở thành:
ΔP=ΔS + Δσ + Δt + (∂2P/∂S2) ΔS2 + (∂2P/∂σ2) Δσ2 + ...
Trong đó Δσ là sự thay đổi của σ trong khoảng thời gian Δt. Trong trường hợp này, phòng ngừa
Delta đã triệt tiêu hạng tử đầu tiên của vế bên phải phương trình. Hạng tử thứ 2 được triệt tiêu
bằng cách trung hòa Vega của danh mục. Hạng tử thứ 3 là phi ngẫu nhiên. Hạng tử thứ 4 được
triệt tiêu bằng cách trung hòa Gamma của danh mục.
Các trader thường xác định các chỉ tiêu chữ cái Hy Lạp khác để đối ứng lại các hạng tử
có bậc cao hơn trong công thức mở rộng chuỗi Taylor. Ví dụ, (∂2P/∂σ2) đôi khi được xem là
Gamma của Vega.
8.8 Thực tế của việc phòng ngừa
Trong một thế giới lý tưởng, các trader làm việc cho các định chế tài chính có thể tái cân
đối danh mục của họ rất thường xuyên để duy trì zero Delta, zero Gamma, zero Vega, v.v... Trên
thực tế, điều này là không thể. Khi quản lý một danh mục lớn phụ thuộc vào một tài sản cơ sở
duy nhất, các trader thường làm cho Delta bằng 0, hay gần bằng 0 nhất có thể ít nhất một lần
trong ngày bằng cách thực hiện các giao dịch trên tài sản cơ sở. Không may là giữ Gamma và
Vega bằng 0 là không dễ đạt được bởi vì rất khó để tìm các quyền chọn hay những sản phẩm phái
sinh phi tuyến tính khác có thể được giao dịch với khối lượng theo yêu cầu với mức giá cạnh
tranh (xem thảo luận về phòng ngừa động trong phần Business Snapshot 8.2)

Như đã đề cập trước đây, luôn tồn tại lợi thế chi phí lớn từ quy mô trong giao dịch phái
sinh. Giữ Delta trung hòa cho 01 quyền chọn đơn lẻ trên một tài sản cơ sở bằng cách mua bán tài
sản cơ sở đó hằng ngày là cực kỳ tốn kém. Tuy nhiên sẽ khả thi hơn để làm việc này (trung hòa
Delta bằng cách giao dịch hằng ngày tài sản cơ sở của quyền chọn) đối với một danh mục có quy


mô lớn đến hàng trăm quyền chọn. Điều này có thể làm được là vì chi phí tái cân đối danh mục
hàng ngày được bù đắp bằng lợi nhuận của nhiều giao dịch khác nhau.
8.9 Phòng ngừa cho các quyền chọn lai (phức tạp, độc, lạ)
Những quyền chọn đặc biệt, lai tạp (xem phần 5.8) thường được phòng ngừa bằng các
phương pháp chúng ta đã nêu. Như phần Business Snapshot 8.3 đã giải thích, phòng ngừa Delta
đôi khi dễ hơn đối với các quyền chọn lai và đôi khi khó hơn nhiều. Khi phòng ngừa Delta không
khả thi đối với một danh mục gồm các quyền chọn lai, thì một phương pháp thay thế được biết
đến với cái tên nhân bản tĩnh các quyền chọn được sử dụng. Điều này được mô tả trong hình
8.10. Giả sử rằng S là giá của tài sản và t là thời gian với hiện giá của S là S 0 tại thời điểm hiện
tại (t=0). Việc nhân bản các quyền chọn liên quan tới việc chọn một ranh giới hạn trong đồ thị
tương quan giữa giá và thời gian mà cuối cùng giá và thời gian cũng sẽ đạt tới, và sau đó tìm một
danh mục gồm các quyền chọn thông thường có cùng giá trị với danh mục gồm các quyền chọn
lai tại một số điểm trên ranh giới hạn này. Danh mục các quyền chọn lai sẽ được phòng ngừa
bằng cách bán danh mục gồm các quyền chọn thường. Một khi đạt tới ranh giới hạn, việc phòng
ngừa hết hiệu lực. Và việc phòng ngừa có thể được lặp lại nếu cần thiết.
Lý thuyết lý giải cho việc nhân bản tĩnh các quyền chọn có nội dung thế này: nếu hai
danh mục có giá trị như nhau tại mọi điểm (S,t) trên ranh giới hạn, thì chúng cũng sẽ có cùng giá
trị tại mọi điểm (S,t) có thể đạt tới trước ranh giới hạn này. Trên thực tế, giá trị của những danh
mục quyền chọn lai và giá trị của những danh mục nhân bản chỉ bằng nhau tại một vài điểm (S,t)
chứ không phải tại tất cả các điểm trên ranh giới được chọn. Quá trình này vì thế phải dựa vào ý
tưởng rằng: nếu hai danh mục có cùng giá trị tại một số lượng đủ lớn các điểm trên ranh giới
hạn, thì giá trị của chúng nhiều khả năng sẽ gần bằng nhau tại những điểm khác.
8.10 Phân tích tình huống
Ngoài việc theo dõi rủi ro thông qua Delta, Gamma và Vega, các nhà giao dịch quyền

chọn cũng thường thực hiện việc phân tích tình huống. Việc phân tích bao gồm tính toán lãi lỗ
của danh mục trong một khoảng thời gian xác định dưới những giả thiết về các tình huống khác
nhau có thể xảy ra. Khoảng thời gian phân tích được chọn gần như phụ thuộc vào thanh khoản
của tài sản trong danh mục. Các tình huống có thể được chọn theo yêu cầu của việc quản lý danh
mục hoặc được cho theo một mô hình nào đó.
Xem xét một trader với một danh mục quyền chọn trên tài sản cơ sở là một ngoại tệ nhất
định. Giá trị của danh mục phụ thuộc vào 2 biến chính. Đó là tỷ giá và độ biến động tỷ giá. Giả
sử tỷ giá hiện tại đang ở mức 1.0000 và độ biến động là 10%/năm. Ngân hàng có thể tính ra một
bảng như bảng 8.5, cho biết lãi là lỗ có thể nhận được trong suốt 2 tuần dưới những tình huống
khác nhau. Bảng này xem xét 7 tỷ giá và 3 độ biến động khác nhau.
Trong bảng 8.5, mức lỗ nặng nhất nằm ở góc phải bên dưới của bảng. Khoản lỗ tương
ứng với độ biến động đạt mức 12% và tỷ giá tăng lên 1.06. Thường thì khoản lỗ nặng nhất trong


một bảng như bảng 8.5 nằm ở một trong các góc của bảng, nhưng không phải lúc nào cũng như
vậy. Ví dụ, như chúng ta thấy trong hình 8.9, khi Gamma dương, khoản lỗ lớn nhất xảy ra khi giá
của tài sản cơ sở không thay đổi.

Business Snapshot 8.1: Việc phòng ngừa của các công ty khai thác vàng
Các công ty khai thác vàng xem xét việc phòng ngừa lại các thay đổi trong giá vàng là
điều tự nhiên. Thường thì mất nhiều năm để chiết xuất tất cả vàng từ các quặng. Một khi một
công ty khai thác vàng quyết định khai thác một mỏ nào đó, thì nó có nguy cơ rất cao về giá
vàng. Thực tế một mỏ vàng nhìn có vẻ sẽ đem lại lợi nhuận nhưng có thể chẳng mang về đồng
lời nào nếu giá vàng lao dốc.
Các công ty khai thác vàng rất cẩn trọng trong việc giải thích các chiến lược phòng ngừa
của mình cho các cổ đông tiềm năng. Một vài công ty không thèm phòng ngừa. Họ có xu hướng
thu hút các nhà đầu tư mua cổ phiếu của các công ty vàng bởi họ muốn có lợi nhuận khi giá vàng
tăng và sẵn sàng chấp nhận rủi ro thua lỗ khi giá vàng giảm. Một vài công ty khác thì chọn cách
phòng ngừa. Họ ước lượng sản lượng sản xuất mỗi tháng trong một vài năm tới và ký kết các
hợp đồng kỳ hạn hay giao sau để chốt giá lại.

Giả sử rằng bạn là ngân hàng Goldman Sachs và đã ký một hợp đồng kỳ hạn với một
công ty khai thác vàng, theo đó bạn đồng ý mua một lượng lớn vàng tại một mức giá cố định
trong tương lai. Làm cách nào để bạn phòng ngừa rủi ro của mình. Câu trả lời là bạn mượn vàng
từ một ngân hàng TW và bán chúng tại mức giá giao ngay trên thị trường. (Một vài NHTW của
vài quốc gia giữ một trữ lượng lớn vàng sẽ sẵn sàng cho vay vàng với một khoản phí gọi là phí
vay vàng). Khi hợp đồng kỳ hạn đáo hạn, bạn mua vàng từ công ty khai thác vàng dưới các điều
khoản của hợp đồng kỳ hạn và sử dụng số vàng này để trả lại NHTW.
Business Snapshot 8.2: Phòng ngừa động trong thực tiễn
Theo sự sắp xếp thông thường trong một định chế tài chính, trách nhiệm đối với một
danh mục gồm các chứng khoán phái sinh phụ thuộc vào một tài sản cơ sở nhất định được giao
cho một hoặc một nhóm trader làm việc cùng nhau. Ví dụ, một trader tại Goldman Sachs được
giao nhiệm vụ phải chịu trách nhiệm với tất cả các sản phẩm phái sinh phụ thuộc vào giá của
AUD. Một hệ thống máy tính sẽ tính giá trị của danh mục và các chỉ tiêu chữ cái Hy Lạp cho
danh mục này. Các giới hạn được đặt ra cho mỗi chỉ tiêu và vào cuối mỗi ngày, trader cần phải
có sự cho phép đặc biệt từ cấp trên mới được vượt quá các giới hạn này.
Giới hạn của Delta thường được thể hiện bằng độ lớn tối đa tương đương của vị thế tính
theo giá trị tài sản cơ sở. Ví dụ, giới hạn Delta của GS đối với một loại cổ phiếu được xác định là
10 triệu $. Nếu giá cổ phiếu là 50$, thì điều này có nghĩa là giá trị tuyệt đối của Delta không
được vượt quá 200K. Giới hạn của Vega thường được thể hiện dưới dạng mức độ rủi ro tối đa


tính bằng USD trên 1% thay đổi trong độ biến động (độ nhạy khi độ biến động thay đổi 1%
-người dịch).
Và dĩ nhiên, các nhà giao dịch quyền chọn luôn giữ Delta của chính mình trung hòa, hay
chí ít cũng gần trung hòa, vào cuối mỗi ngày giao dịch. Gamma và Vega cũng được theo dõi,
nhưng không được quản lý theo ngày như thế. Các định chế tài chính thường nhận thấy rằng giao
dịch hằng ngày của họ với khách hàng liên quan tới việc ký kết các hợp đồng quyền chọn và kết
quả của việc này là Gamma và Vega của họ âm. Sau đó họ luôn tìm cơ hội để quản lý rủi ro
Gamma và Vega của mình bằng cách mua các quyền chọn với giá cạnh tranh.
Có một khía cạnh của một danh mục quyền chọn có thể làm xoa dịu phần nào các vấn đề

về quản lý Gamma và Vega. Các quyền chọn thường gần như là trong tình trạng ngang giá khi
mới được bán ra lần đầu vì vậy chúng có Gamma và Vega tương đối cao. Nhưng khi thời gian
trôi qua, thì giá của tài sản cơ sở thường sẽ có thay đổi đủ lớn để làm cho các quyền chọn rơi sâu
vào trạng thái cao giá hoặc kiệt giá. Lúc này Gamma và Vega của các quyền chọn này thường rất
nhỏ và có rất ít ảnh hưởng tới danh mục. Kịch bản tồi tệ cho một nhà giao dịch quyền chọn là khi
các quyền chọn được ký kết ở rất gần mức ngang giá khi thời gian đáo hạn tới gần.
Business Snapshot 8.3: Việc phòng ngừa Delta dễ hay khó hơn đối với các quyền
chọn lai?
Chúng ta có thể tiếp cận việc phòng ngừa cho các quyền chọn lai bằng cách tạo ra một vị
thế giao dịch có Delta trung hòa và tái cân đối thường xuyên để giữ Delta luôn trung tính. Khi
làm việc này, chúng tôi nhận thấy rằng một vài quyền chọn lai dễ phòng ngừa rủi ro hơn các
quyền chọn thông thường và một vài cái khó phòng ngừa hơn.
Ví dụ về một quyền chọn lai tương đối dễ phòng ngừa là một quyền chọn mua giá trung
bình (xem phần các quyền chọn Châu Á trong phần 5.8). Khi thời gian trôi qua, chúng tôi quan
sát nhiều mức giá của tài sản cơ sở được dùng để tính giá trung bình cuối cùng. Điều này có
nghĩa rằng sự hoài nghi về số tiền nhận được sẽ giảm dần theo thời gian. Kết quả là, quyền chọn
sẽ dễ dàng phòng ngừa rủi ro hơn. Trong một vài ngày cuối cùng trước khi đáo hạn, Delta của
quyền chọn luôn luôn hướng về zero bởi vì biến động giá trong khoảng thời gian ngắn này có rất
ít tác động lên khoản tiền nhận được.
Ngược lại, các quyền chọn có giới hạn thường tương đối khó phòng ngừa rủi ro (Barrier
option – một loại quyền chọn sẽ đáo hạn mà không có giá trị thực hiện nếu giá tài sản cơ sở vượt
qua một mức nào đó –knock out, hoặc sẽ không có giá trị thực hiện nếu tài sản cơ sở chưa đạt tới
một mức nào đó – knock in – người dịch) (Xem phần 5.8). Xem xét một quyền chọn mua knockout (knock-out call option) trên một đồng tiền khi tỷ giá cao hơn barrier 0.0005. Nếu tỷ giá giảm
xuống chạm barrier, option sẽ bị vô hiệu, không còn giá trị. Nếu giá vẫn không rớt xuống hay
chạm vào giá barrier, thì option này sẽ rất có giá trị. Delta của option này thì không liên tục tại
múc giá barrier, làm cho việc phòng ngừa truyền thống trở nên rất khó khăn.