Công thức Toán 12_2009

Bộ môn Toán LT ĐSGT 12 2008−2009
HÀM SỐ MŨ−LOGARIT
I. Hàm số mũ
• y=a
x
; TXĐ D=R
• Bảng biến thiên
a>1 0<a<1
x
−∞ 0 +∞
x
−∞ 0 +∞
y
+∞
1
−∞
y
+∞
1
−∞
• Đồ thị
f(x)=3^x
-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8

-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
y=3
x
f(x)=(1/3)^x
-16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2

-1
1
2
3
x
y
x
y






=
3
1
II. Hàm số lgarit
• y=log
a
x, ĐK:



≠<
>
10
0
a
x

; D=(0;+∞)
• Bảng biến thiên
a>1 0<a<1
x
0 0 +∞
x
0 0 +∞
y
+∞
1
−∞
y
+∞
1
−∞
• Đồ thị
f(x)=ln(x) /ln(3 )
f(x)=3^x
f(x)=x
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6

-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
y=x
y=3
x
y=log
3
x
f(x)=ln(x )/ln(1 /3)
f(x)=(1/3 )^x
f(x)=x
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7

-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
x
y






=
3
1
xy
3
1
log
=
y=x
III. Các công thức

1. Công thức lũy thừa :
Với a>0, b>0; m, n∈R ta có:
a
n
a
m
=a
n+m
;
mn
m
n
a
a
a
−
=
;(
n
a
1
=a
−
m
; a
0
=1; a
−
1
=

a
1
);
(a
n
)
m
=a
nm
; (ab)
n
=a
n
b
n
;
m
n
n
b
a
b
a
=







;
n m
n
m
aa
=
.
2. Công thức logarit : log
a
b=c⇔a
c
=b (0<a≠1; b>0)
Với 0<a≠1, 0<b≠1; x, x
1
, x
2
>0;
α
∈R ta có:
Thái Thanh Tùng
1
Bộ môn Toán LT ĐSGT 12 2008−2009
log
a
(x
1
x
2
)=log
a

x
1
+log
a
x
2
; log
a
2
1
x
x
= log
a
x
1
−log
a
x
2
;
xa
x
a
=
log
; log
a
x
α

=
α
log
a
x;
xx
a
a
log
1
log
α
α
=
;(log
a
a
x
=x); log
a
x=
a
x
b
b
log
log
;(log
a
b=

a
b
log
1
)
log
b
a.log
a
x=log
b
x; a
log
b
x
=x
log
b
a
.
IV. Phương trình và bất phương trình mũ−logarit
1. Phương trình mũ−logarit
a. Phương trình mũ :
Đưa về cùng cơ số
+0<a≠1: a
f(x)
=a
g(x)
(1) ⇔ f(x)=g(x).
+ 0<a≠1: a

f(x)
=b ⇔
( )



=
>
bxf
b
a
log
0
.
Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) ⇔(a−1)[f(x)−g(x)]=0
Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=a
x
(t>0), để đưa về một phương trình đại số..
Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2
3±
), (7
4 3±
),… Nếu trong một phương trình có chứa
{a
2x
;b
2x
;a
x
b

x
} ta có thể chia hai vế cho b
2x
(hoặc a
2x
) rồi đặt t=(a/b)
x
(hoặc t=(b/a)
x
.
Phương pháp logarit hóa: a
f(x)
=b
g(x)
⇔ f(x).log
c
a=g(x).log
c
b,với a,b>0; 0<c≠1.
b. P hương trình logarit :
Đưa về cùng cơ số:
+log
a
f(x)=g(x)⇔
( )
( )



=

≠<
xg
axf
a 10
+log
a
f(x)= log
a
g(x)⇔
( ) ( )
[ ]
( ) ( )





=
>>
≠<
xgxf
xgxf
a
00
10
.
Đặt ẩn phụ.
2. Bất phương trình mũ−logarit
a. Bất phương trình mũ :
 a

f(x)
>a
g(x)
⇔
( ) ( ) ( )
[ ]



>−−
>
01
0
xgxfa
a
;  a
f(x)
≥a
g(x)
⇔
( ) ( ) ( )
[ ]



≥−−
>
01
0
xgxfa

a
.
Đặt biệt:
* Nếu a>1 thì: a
f(x)
>a
g(x)
⇔ f(x)>g(x);
a
f(x)
≥a
g(x)
⇔ f(x)≥g(x).
* Nếu 0<a<1 thì: a
f(x)
>a
g(x)
⇔ f(x)<g(x);
a
f(x)
≥a
g(x)
⇔ f(x)≤g(x).
b. Bất phương trình logarit :
log
a
f(x)>log
a
g(x)⇔
( ) ( )

( ) ( ) ( )
[ ]





>−−
>>
≠<
01
0,0
10
xgxfa
xgxf
a
; log
a
f(x)≥log
a
g(x)⇔
( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ]





≥−−

>>
≠<
01
0,0
10
xgxfa
xgxf
a
.
Đặt biệt:
Thái Thanh Tùng
2
Bộ môn Toán LT ĐSGT 12 2008−2009
+ Nếu a>1 thì: log
a
f(x)>log
a
g(x) ⇔
( ) ( )
( )



>
>
0xg
xgxf
;
+ Nếu 0<a<1 thì: log
a

f(x)>log
a
g(x) ⇔
( ) ( )
( )



>
<
0xf
xgxf
.
*
* *
ĐẠO HÀM
I. Quy tắc tính đạo hàm
( )
( )
nn
uuuuuu
wvuwvu
''''
''''
2121
±±±=±±±
±±=±±

( )
( )

( )
'..'...'.'..
'.'.'.
'.'.
wvuwvuwvuwvu
vuvuvu
ukuk
++=
+=
=
'''
2
'
2
'
.
'1
;
'.'.
xux
uyy
v
v
v
v
vuvu
v
u
=
−=







−
=






II. Công thức tính đạo hàm
( )
( )
( )
x
x
x
x
α.x'x
k
αα
2
1
'
11
0'

2
'
1
=
−=






=
=
−
( )
( )
u
u
u
u
u
u
uα.u'u
αα
2
'
'
'1
'.
2

'
1
=
−=






=
−
( )
( )
( )
( )
( )
x
x
x
x
x
x
xx
xx
2
2
2
2
cot1

sin
1
'cot
tan1
cos
1
'tan
sin'cos
cos'sin
+−=−=
+==
−=
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
uu
u
u
u
uu
u
u
u
uuu
uuu
2

2
2
2
cot1'.
sin
'
'cot
tan1'.
cos
'
'tan
sin'.'cos
cos'.'sin
+−=−=
+==
−=
=
( )
( )
aaa
ee
xx
xx
ln'
'
=
=
( )
( )
'.ln'

'.'
uaaa
uee
uu
uu
=
=
( )
( )
ax
x
x
x
a
ln.
1
'log
1
'ln
=
=
( )
( )
au
u
u
u
u
u
a

ln.
'
'log
'
'ln
=
=
 ĐỌC THÊM: 
( )
2
'
dcx
bcad
y
dcx
bax
y
+
−
=⇒
+
+
=
;
( )
2
22
''
'''2'
'

''
bxa
cabbxabxaa
y
bxa
cbxax
y
+
−++
=⇒
+
++
=

III. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Dạng toán: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M(x
0
;y
0
). Khi
đó phương trình tiếp tuyến của đường cong (C):
( )
( )
00
0
' xxyyy
x
−=−
(*).
IV. Đạo hàm cấp cao

Đạo hàm cấp 2: y’’=(y’)’
Đạo hàm cấp 3: y’’’=(y’’)’
Đạo hàm cấp 4: y
(4)
=(y’’’)’
………..
Đạo hàm cấp n: y
(n)
=(y
(n
−
1)
)’.
*
* *
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Các dạng toán thường gặp về ứng dụng của đạo hàm:
1. Hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng (a;b):
 f(x) đồng biến ⇔ f'(x)≥ 0  f(x) nghịch biến ⇔ f'(x)≤ 0
x a b x a b
y' + y' −
y y
(xem lại các bài toán xét dấu nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai trong chương trình lớp 10)
Thái Thanh Tùng
3
Bộ môn Toán LT ĐSGT 12 2008−2009
2. Quy tắc tìm CĐ, CT:
Quy tắc I: 1) Tìm f'(x)
2) Tìm các điểm tới hạn (điểm làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định)
3) Xét dấu đạo hàm

4) Từ bảng biến thiên suy ra cực trị.
x a x
0
b x a x
0
b
y' + 0 − y' − 0 +
y
CĐ
y
CT
Quy tắc II: 1) Tính f'(x), giải phương trình f'(x)=0 tìm các nghiệm x
i
(i=1;2;…)
2) Tính f''(x
i
)
3) f''(x
i
)>0⇒ x
i
là điểm CT; f''(x
i
)<0⇒ x
i
là điểm CĐ.
3. Tính lồi, lõm, điểm uốn:
x a x
0
b

y'' − 0 +
(C) lồi
Điểm uốn
lõm
U(x
0
;y
0
)
4. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN)
a. Tìm GTLN,GTNN trên một khoảng: lập bảng biến thiên trên khoảng (a;b) rồi dựa vào đó để kết
luận. Nếu trên khoảng (a; b) hàm số đơn trị thì GTLN hoặc GTNN trùng với giá trị cực trị của
hàm số.
b. Tìm GTLN,GTNN trên một đoạn [a; b]:
1) Tìm các điểm tới hạn x
1
, x
2
, …, x
n
của f(x) trên đoạn [a;b]
2) Tính f(a), f(x
1
), f(x
2
), …,f(x
n
), f(b)
3) Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
( ) ( )

[ ; ]
[ ; ]
; min
a b
a b
M max f x m f x= =
.
*
* *
TIỆM CẬN
1. Định nghĩa:
(d) là tiệm cận của (C)
( )( )
0lim
=⇔
∈
∞→
CM
M
MH
2. Cách xác định tiệm cận
a. Tiệm cận đứng:
( ) ( )
0
:lim
0
xxdxf
xx
=⇒∞=
→

.
b. Tiệm cận ngang:
( ) ( )
00
:lim yydyxf
x
=⇒=
∞→
.
c. Tiệm cận xiên: TCX có phương trình: y=
λ
x+
µ
trong đó:
( )
( )
[ ]
xxf
x
xf
xx
λµλ
−==
∞→∞→
lim;lim
.
Các trường hợp đặc biệt:
*Hàm số bậc nhất trên bậc nhất (hàm nhất biến)
nmx
bax

y
+
+
=
+TXĐ: D= R\






−
m
n
+TCĐ:
( )
m
n
xdy
m
n
x
−=⇒∞=
−→
:lim
* Hàm số bậc hai trên bậc nhất (hàm hữu tỷ)
( )
nmx
A
x

nmx
cbxax
y
+
++=
+
++
=
µλ
2
+TXĐ: D= R\






−
m
n
+TCĐ:
( )
m
n
xdy
m
n
x
−=⇒∞=
−→

:lim
Thái Thanh Tùng
4
(x
0
là nghiệm của
phương trình y’’=0)
6
4
2
-2
-4
-6
-10 -5 5
y
x
(d)
(C)
h y
( )
= 0
g x
( )
= 0
f x
( )
= 1.7
x
H
M

Bộ môn Toán LT ĐSGT 12 2008−2009
+TCN:
( )
m
a
yd
m
a
y
x
=⇒=
∞→
:lim
f(x)=x/(x-1)
f(x)=1
x(t)=1 , y(t )=t
T?p h ?p 1
-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1

2
3
x
y
m
a
y
=
m
n
x
−=
I
+TCX:
0lim
=
+
∞→
nmx
A
x
⇒ TCX: y=
λ
x+
µ
f(x)=x^2/(2(x-1))
f(x)=x/2+1/2
x(t)=1 , y(t )=t
T?p h?p 1
-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
µλ
+=
xy
m
n
x
−=
I
KHẢO SÁT VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUA N ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
I. KHẢO SÁT HÀM SỐ
1) Tìm tập xác định D.
2) Xét sự biến thiên:
 Tính y’.
 Giải phương trình: y’=0 ⇒ nghiệm x

i
thay vào hàm số⇒y
i
(i=1,2,3…).
 Tính giới hạn.
2a) Đối với hàm phân thức: tìm
tiệm cận
2b) Đối với hàm đa thức: Xét tính lồi lõm, điểm uốn.
 Tính y’’.
 Giải phương trình: y’’=0 ⇒ nghiệm x
i
thay vào
hàm số⇒y
i
(i=1,2,3…).
 Lập bảng xét dấu y’’_kết luận lồi, lõm, điểm uốn.
 Lập bảng biến thiên_kết luận CĐ, CT, chiều biến thiên.
3) Vẽ đồ thị:
 Cho điểm đặc biệt.
 Biểu diễn theo thứ tự: tiệm cận (nếu có); các điểm cực trị; điểm uốn; điểm đặc biệt lên hệ trục tọa
độ.
 ĐỌC THÊM:
Bảng tóm tắt khảo sát bốn hàm số cơ bản
1. Hàm đa thức bậc ba y=ax
3
+bx
2
+cx+d (a≠0)
1/ TXĐ: D= .
2/ Đạo hàm y'=3ax

2
+2bx+c; y''=6ax+2b.
Đồ thị luôn có một tâm đối xứng trùng với điểm uốn U.
y’=0 có hai nghiệm phân biệt y’=0 có nghiệm kép y’=0 vô nghiệm
a>0
Thái Thanh Tùng
5