DỜI HÌNH PHÉP BIẾN HÌNH (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)

PHÉP BIẾN HÌNH
A. CHUẨN KIẾN THỨC
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1. Định nghĩa.
Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất
M ' của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.

Ta kí hiệu phép biến hình là F và viết F  M   M ' hay M '  F  M  , khi đó M ' được gọi
là ảnh của điểm M qua phép biến hình F .





Nếu H là một hình nào đó thì hình H '  M '| M '  F  M  , M  H được gọi là ảnh của
hình H qua phép biến hình F , ta viết H '  F  H  .



Vậy H '  F  H   M  H  M '  F  M   H '



Phép biến hình biến mỗi điểm M của mặt thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.
PHÉP TỊNH TIẾN
A. CHUẨN KIẾN THỨC
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1. Định nghĩa.

r
Trong mặt phẳng cho vectơ v . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M ' sao

uuuuur r
r
cho MM '  v được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v .
r
Phép tịnh tiến theo vectơ v được kí hiệu là Tvr .

r
v

uuuuur r
Vậy thì Tvr  M   M '  MM '  v
M

M’


Nhận xét: T0r  M   M
2. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

r
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M  x; y  và v   a; b  .
uuuuur r
 x ' x  a
x '  x  a

Gọi M '  x '; y '   Tvr  M   MM '  v  
 y ' y  b
y '  y  b

* 

Hệ  *  được gọi là biểu thức tọa độ của Tvr .
3. Tính chất của phép tịnh tiến.



Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng
đã cho.

Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.

Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN.
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC , dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vec
uuur
tơ BC .
Lời giải:
r  B  C .
Ta có Tuuu
BC

Để tìm ảnh của điểm A ta dựng hình bình hành
uuur uuur

r  A   D , gọi E là điểm
ABCD . Do AD  BC nên Tuuu
BC
uuur uuur
đối xứng với B qua C , khi đó CE  BC

D

A

B

C

E


r  C   E . Vậy ảnh của tam giác ABC là tam giác DCE .
Suy ra Tuuu
BC

r
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho v   2; 3  . Hãy tìm ảnh của các điểm
r
A 1; 1 , B  4; 3  qua phép tịnh tiến theo vectơ v .
A. A '  1; 2  , B  2; 6 

B. A '  1; 2  , B  2; 6 

C. A '  1; 2  , B  2; 6  D. A '  1;1 , B  2; 6 

Lời giải:

x '  x  a
Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến 
.
y
'

y

b


 x '  1  ( 2)
 x'  1

 A'  1; 2 
Gọi A '  x '; y '   Tvr  A   
 y '  1  3
y '  2
Tương tự ta có ảnh của B là điểm B '  2; 6  .

r
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho v   1; 3  và đường thẳng d có phương
trình 2x  3y  5  0 . Viết phương trình đường thẳng d ' là ảnh của d qua phép tịnh
tiến Tvr .
A. d ' : 2x  y  6  0

B. d ' : x  y  6  0

C. d ' : 2x  y  6  0

D. d ' : 2x  3y  6  0

Lời giải:
Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.
Lấy điểm M  x; y  tùy ý thuộc d , ta có 2x  3y  5  0

* 


x '  x  1
 x  x ' 1
Gọi M '  x '; y '   Tvr  M   

y '  y  3
y  y ' 3
Thay vào (*) ta được phương trình 2  x ' 1  3  y ' 3   5  0  2 x ' 3 y ' 6  0 .

Đăng ký mua file word
trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12:

Vậy ảnh của d là đường thẳng d ' : 2x  3y  6  0 .

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến
Do d '  Tvr  d  nên d ' song song hoặc trùng với d , vì vậy phương trình đường thẳng d '

có dạng 2x  3y  c  0 .(**)
Lấy điểm M  1;1  d . Khi đó M '  Tvr  M    1  1;1  3    0; 2  .
Do M '  d '  2.0  3.  2   c  0  c  6
Vậy ảnh của d là đường thẳng d ' : 2x  3y  6  0 .
Cách 3. Để viết phương trình d ' ta lấy hai điểm phân biệt M , N thuộc d , tìm tọa độ các
ảnh M ', N ' tương ứng của chúng qua Tvr . Khi đó d ' đi qua hai điểm M ' và N ' .


Cụ thể: Lấy M  1;1 , N  2; 3 thuộc d , khi đó tọa độ các ảnh tương ứng là
M '  0; 2  , N '  3; 0  . Do d ' đi qua hai điểm M ', N ' nên có phương trình
x0 y2

 2x  3y  6  0 .
3
2

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn  C  có phương trình
r
x2  y 2  2x  4 y  4  0 . Tìm ảnh của  C  qua phép tịnh tiến theo vectơ v   2; 3  .
A. C '  : x2  y 2  x  2 y  7  0

B. C '  : x2  y 2  x  y  7  0

C. C '  : x2  y 2  2x  2 y  7  0

D. C '  : x2  y 2  x  y  8  0
Lời giải:

Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ.
Lấy điểm M  x; y  tùy ý thuộc đường tròn  C  , ta có x2  y 2  2x  4 y  4  0

* 

x '  x  2
 x  x ' 2

Gọi M '  x '; y '   Tvr  M   
y '  y  3
y  y ' 3

 x '  2    y ' 3 
Thay vào phương trình (*) ta được
2

2

 2  x ' 2   4  y ' 3   4  0

 x ' 2  y ' 2  2 x ' 2 y ' 7  0

.

Vậy ảnh của  C  là đường tròn C '  : x2  y 2  2x  2 y  7  0 .
Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến

 

Dễ thấy  C  có tâm I  1; 2  và bán kính r  3 . Gọi C '   Tvr C  và I '  x '; y '  ; r ' là tâm
và bán kính của (C ') .

 x '  1  2  1
 I '  1; 1 và r '  r  3 nên phương trình của đường tròn  C '  là
Ta có 
 y '  2  3  1

 x  1   y  1
2

2

9


Bài toán 02: XÁC ĐỊNH PHÉP TỊNH TIẾN KHI BIẾT ẢNH VÀ TẠO ẢNH.
Phương pháp:

r
r
Xác định phép tịnh tiến tức là tìm tọa độ của v . Để tìm tọa độ của v ta có thể giả sử
r
v   a; b  , sử dụng các dữ kiện trong giả thiết của bài toán để thiết lập hệ phương trình
hai ẩn a , b và giải hệ tìm a , b .
Các ví dụ
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho đường thẳng d : 3x  y  9  0 . Tìm phép tịnh
r
tiến theo vec tơ v có giá song song với Oy biến d thành d ' đi qua điểm A  1;1 .
r
A. v   0; 5 

r

C. v   2; 3 

r
B. v   1; 5 

r
D. v   0; 5 

Lời giải:

r
r
v có giá song song với Oy nên v   0; k  k  0 
x '  x
Lấy M  x; y   d  3x  y  9  0  *  . Gọi M '  x '; y '   Tvr  M   
thay vào
y '  y  k

 *   3 x ' y ' k  9  0
Hay Tvr  d   d ' : 3x  y  k  9  0 , mà d đi qua A 1;1  k  5 .

r
Vậy v   0; 5  .
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường hai thẳng d : 2x  3y  3  0 và
r
d ' : 2x  3y  5  0 . Tìm tọa độ v có phương vuông góc với d để Tvr  d   d ' .
r  6 4 
A. v    ; 
 13 13 

r  1 2 
B. v    ; 
 13 13 

Lời giải:

r  16 24 
r  16 24 
C. v    ;   D. v    ; 
 13 13 
 13 13 


r
Đặt v   a; b  , lấy điểm M  x; y  tùy ý thuộc d , ta có d : 2 x  3 y  3  0  * 
x '  x  a
 x  x ' a
Gọi sử M '  x '; y '   Tvr  M  .Ta có 
, thay vào (*) ta được phương

y '  y  b
 y  y ' b
trình 2x ' 3y ' 2a  3b  3  0 .
Từ giả thiết suy ra 2a  3b  3  5  2a  3b  8 .
r
r
Vec tơ pháp tuyến của đường thẳng d là n   2; 3  suy ra VTCP u   3; 2  .

r r
rr

Do v  u  v.u  3a  2b  0 .

16
a
r

2a  3b  8

13 .Vậy v    16 ; 24  .
Ta có hệ phương trình 

 13 13 


 3a  2b  0
b  24

13

Bài toán 03: DÙNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH.
Phương pháp:
Để dựng một điểm M ta tìm cách xem nó là ảnh của một điểm đã biết qua một phép
tịnh tiến, hoặc xem M là giao điểm của hai đường trong đó một đường cố định còn một
đường là ảnh của một đường đã biết qua phép tịnh tiến.
Lưu ý: Ta thường dùng kết quả: Nếu Tvr  N   M và N   H  thì M   H '  trong đó

 H '  T  H  và kết hợp với M
r
v

thuộc hình  K 

(trong giả thiết) suy ra M   H '    K  .
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho đường tròn tâm O , bán kính R và hai điểm phân biệt C , D nằm ngoài

O  . Hãy dựng dây cung

AB của đường tròn  O  sao cho ABCD là hình bình hành.

Lời giải:


Phân tích: Giả sử đã dựng được dây cung AB thỏa mãn yêu cầu
bài toán

C

D

uuur uuur
uuur  A   B .
Do ABCD là hình bình hành nên AB  DC  TCD

B

A

 

ur  O  . Vậy B vừa thuộc  O  và
Nhưng A  O   B  O '   Tuuu
DC

O

0'

O '  nên B chính là giao điểm của O  và O '  .
Cách dựng:
-

ur
Dựng đường tròn  O '  là ảnh của đường tròn  O  qua Tuuu
DC

-

Dựng giao điểm B của  O  và  O ' 

-

Dựng đường thẳng qua B và song song với CD cắt  O  tại A .

Dây cung AB là dây cung thỏa yêu cầu bài toán.

uuur uuur
ur  A   B  AB  DC  ABCD là hình bình hành.
Chứng minh: Từ cách dựng ta có Tuuu
DC

Biện luận:

Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề
khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
-

Nếu CD  2R thì bài toán vô nghiệm .
Nếu CD  2R thì có một nghiệm .
Nếu CD  2R thì có hai nghiệm.


Ví dụ 2. Cho tam giác ABC . Dựng đường thẳng d song song với BC , cắt hai cạnh

AB, AC lần lượt tại M , N sao cho AM  CN .
Lời giải:
Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng d thỏa
mãn bài toán. Từ M dựng đường thẳng song song với
AC cắt BC tại P , khi đó MNCP là hình bình hành

A

nên CN  PM . Lại có AM  CN suy ra MP  MA , từ

M

đó ta có AP là phân giác trong của góc A .

Cách dựng:

N
B
P

Dựng phân giác trong AP của góc A
Dựng đường thẳng đi qua P song song với AC
cắt AB tại M
r C  .
Dựng ảnh N  Tuuuu
PM
-

C

Đường thẳng MN chính là đường thẳng thỏa yêu cầu
bài toán.
Chứng minh: Từ cách dựng ta có MNCP là hình bình
hành suy ra MN P BC và CN  PM , ta có
·
·
·
MAP
= CAP
 APM
 MAP cân tại M  AM  MP .

Vậy AM  CN
Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình

Ví dụ 3. Cho hai đường tròn  O1  và  O2  cắt nhau tại A, B . Dựng đường thẳng d đi
qua A cắt các đường tròn tại các điểm thứ hai M , N sao cho MN  2l cho trước.
Lời giải:


Giả sử đã dựng được đường thẳng d đi qua A và cắt
các đường tròn O1  ,  O2  tương ứng tại các điểm

M , N sao cho MN  2l .

M

Kẻ O1H  MN và O2 I  MN .
r  I   I '  O I '  HI 
Xét Tuuuuu
1
HO
1

H A

O1

I

N
I'
O2

B

1
MN  l .
2

Do tam giác I ' O1O2 vuông tại I ' nên

O2 I '  O1O22  l 2 .
Bài toán 04: SỬ DỤNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP
ĐIỂM.
Phương pháp:
Nếu Tvr  M   M ' và đểm M di động trên hình  H  thì điểm M ' thuộc hình  H '  ,
trong đó  H '  là ảnh của hình  H  qua Tvr .
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hai điểm phân biệt B, C cố định trên đường tròn  O  tâm O . Điểm A di
động trên  O  . Chứng minh khi A di động trên  O  thì trực tâm của tam giác ABC di
động trên một đường tròn.
Lời giải:
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC . Tia BO cắt đường
·
tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D . Vì BCD
 900 , nên DC P AH . Tương tự AD PCH ,
uuuur uuur
uuuur
do đó ADCH là hình bình hành.Suy ra AH  DC  2OM không đổi
uuuur  A   H , vì vậy khi A di động trên dường tròn  O  thì H di động trên đường
 T2OM

 

uuuur  O  .
tròn O '   T2OM


uuur r
·
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định, BAC
  không đổi và BC  v không
đổi. Tìm tập hợp các điểm B, C .
Lời giải:
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , khi đó theo định lí sin ta có
BC
 2 R không đổi
sin 

uuur r
( do BC  v không đổi).
Vậy OA  R 

BC
BC
, nên O di động trên đường tròn tâm A bán kính AO 
. Ta
2 sin 
2 sin 

1800  2
·
·

·
có OB  OC  R không đổi và BOC
 OCB

 2 không đổi suy ra OBC
2
uuur uuur
uuur
không đổi. Mặt khác BC có phương không đổi nên OB, OC cũng có phương không đổi.
uuur uur uuur uur
Đặt OB  v1 , OC  v2 không đổi , thì Tvuur O   B, Tvuur O   C .
1

2


BC 
Vậy tập hợp điểm B là đường tròn  A1 ;
ảnh của
2 sin  


BC 
hợp điểm C là đường tròn  A2 ;
ảnh của
2 sin  



BC 

 A , 2 sin   qua Tvuur1 , và tập




BC 
 A , 2 sin   qua Tvuu2r .



PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
A. CHUẨN KIẾN THỨC
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1. Định nghĩa:
Cho đường thẳng d . Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến
mỗi điểm M không thuộc d thành điểm


M ' sao cho d là đường trung trực của đoạn MM ' được gọi là phép đối xứng qua

đường thẳng d , hay còn gọi là phép đối xứng trục
d.

M
Phép đối xứng trục có trục là đường thẳng d được
uuur
uuuur
kí hiệu là Ðd . Như vậy Ðd  M   M '  IM  IM '

d

với I là hình chiếu vuông góc của M trên d .
Nếu Ðd  H    H  thì d được gọi là trục đối xứng
của hình  H  .

I
M'

2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục:
Trong mặt phẳng Oxy , với mỗi điểm M  x; y  , gọi M '  x '; y '  Ðd  M  .

x '  x
Nếu chọn d là trục Ox , thì 
y '  y

x '  x
Nếu chọn d là trục Oy , thì 
.
y '  y
3. Tính chất phép đối xứng trục:






Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Biến một đường thẳng thành đường thẳng.
Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn đã cho.
Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.

Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.

Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA ĐỐI XỨNG TRỤC.
Phương pháp:
Để xác định ảnh  H '  của hình  H  qua phép đối xứng trục ta có thể dùng một trong
các cách sau:





Dùng định nghĩa phép đối xứng trục
Dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục mà trục đối xứng là các trục tọa độ.

Đăng ký mua file word
trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12:

Dùng biểu thức vec tơ của phép đối xứng trục.

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851

Các ví dụ
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M  1; 5  , đường thẳng d : x  2 y  4  0 và
đường tròn C  : x2  y 2  2x  4 y  4  0 .
a) Tìm ảnh của M qua phép đối xứng trục Ox .
A. M '  1; 5 

B. M '  1; 5 

D. M '  0; 5 

C. M ' 1; 5 

b) Tìm ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox .
A. d ' : 2x  2 y  4  0 B. d ' : x  2 y  2  0

C. d ' : 3x  2 y  4  0

D.

d ' : x  2y  4  0
c) Tìm ảnh của  C  qua phép đối xứng trục Ox .
A. C '  :  x  2    y  2   9

B. C '  :  x  1   y  1  9

C. C '  :  x  3    y  2   9

D. C '  :  x  1   y  2   9

2

2

2

2

2

2

2

2

d) Tìm ảnh của M qua phép đối xứng qua đường thẳng d .
A. M '  5; 7 

B. M '  5; 7 

C. M '  5; 7 

D. M '  5; 7 


Lời giải:
a) Gọi M ', d ', C '  theo thứ tự là ảnh của M , d , C  qua Ðox , khi đó M ' 1; 5  .
b) Tìm ảnh của d .
Lấy M  x; y   d  x  2 y  4  0 (1)
Gọi N  x '; y '  là ảnh của M qua phép đối xứng Ðox .

x '  x
x  x '

Ta có 

. Thay vào  1 ta được
y '  y
y  y '

x ' 2 y ' 4  0 . Vậy d ' : x  2 y  4  0 .
c) Tìm ảnh của  C  .
Cách 1: Ta thấy  C  có tâm I  1; 2  và bán kính R  3 .
Gọi I ', R ' là tâm và bán kính của  C '  thì I '  1; 2  và R '  R  3 , do đó

C ' :  x  1   y  2 
2

2

9.

Cách 2: Lấy P  x; y   C   x2  y 2  2x  4 y  4  0  2  .
Gọi Q  x '; y '  là ảnh của P qua phép đối xứng Ðox . Ta có

x '  x
x  x '

thay vào  2  ta được x '2  y '2  2x ' 4 y ' 4  0 , hay

y '  y y  y '

C '  : x

2

 y 2  2x  4 y  4  0 .

d) Đường thẳng d1 đi qua M vuông góc với d có phương trình 2x  y  3  0 .


x  2 y  4  0
 x  2
Gọi I  d  d1 thì tọa độ điểm I là nghiệm của hệ 

 I  2; 1 .
2 x  y  3  0
 y  1
Gọi M ' đối xứng với M qua d thì I là trung điểm của MM ' .

xM  xM '
 xI 
 x  2 xI  xM  5
2
Ta có 
  M'
 M '  5; 7  .
y

y
y

2
y

y



7
M'
I
M
 M'
y  M
 I
2

Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng d : x  y  2  0 , d1 : x  2 y  3  0 và đường tròn

C  :  x  1   y  1
2

2

4.

a) Tìm ảnh của d1 qua phép đối xứng trục d .
A. d1 ' : x  y  3  0

B. d1 ' : 2x  2 y  3  0

C. d1 ' : 2x  2 y  1  0 D. d1 ' : 2x  y  3  0
b) Tìm ảnh của  C  qua phép đối xứng trục d .
A. C '  :  x  2    y  1  4

B. C '  :  x  3    y  3   4

C. C '  :  x  3    y  2   4

D. C '  :  x  3    y  1  4

2

2

2

2

2

2

Lời giải:
a) Tìm ảnh của d1 .
Ta có d1  d  I 1;1 nên Ðd  I   I .

2

2


Lấy M  3; 0   d1 . Đường thẳng d2 đi qua M vuông góc với d có phương trình

x  y  3  0 . Gọi M0  d  d2 , thì tọa độ của M0 là nghiệm của hệ


5
x


x  y  2  0

2  M  5 ; 1 .



0
2 2
x  y  3  0
y   1

2

Gọi M ' là ảnh của M qua Ðd thì M0 là trung điểm của MM ' nên
M '  2; 1 . Gọi d1 ' Ðd  d1  thì d1 ' đi qua I và M ' nên có phương trình
x 1 y 1

 2 x  y  3  0 . Vậy d1 ' : 2x  y  3  0 .
1
2

b) Tìm ảnh của  C  .
Đường tròn  C  có tâm J  1; 1 và bán kính R  2 .
Đường thẳng d3 đi qua J và vuông góc với d có phương trình x  y  2  0 .
Gọi J0  d3  d thì tọa độ của điểm J 0 là nghiệm của hệ

x  y  2  0
x  2

 J0  2; 0  .

x  y  2  0
y  0
Gọi J ' Ðd  J  thì J 0 là trung điểm của JJ ' nên J '  3;1

 

Gọi C '  Ðd C  thì J ' là tâm của  C '  và bán kính của  C '  là R '  R  2 . Vậy

C ' :  x  3   y  1
2

2

 4.

Bài toán 02: DÙNG PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG
HÌNH.
Phương pháp:
Để dựng một điểm M ta tìm cách xác định nó như là ảnh của một điểm đã biết qua một
phép đối xứng trục, hoặc xem M như là giao điểm của một đường cố định và một với
ảnh của một đường đã biết qua phép đối xứng trục.


Các ví dụ
Ví dụ 1. Dựng hình vuông ABCD biết hai đỉnh A và C nằm trên đường thẳng d1 và

hai đỉnh B, D lần lượt thuộc hai đường thẳng d2 , d3 .
Lời giải:
Phân tích: Giả sử đã dựng được hình
vuông ABCD , thỏa các điều kiện của bài

d2

toán. Do A, C  d2 và AC là trục đối xứng

B

của hình vuông ABCD . Mặt khác B  d2

d3

nên D  d2 '
 D  d2 ' d3 .

Hai điểm B, D đối xứng qua đường thẳng

A

O

d1

C
d2'

D

h1

d1 .

Nên Ðd1  B   D ' , lại có

D  d3  D  d3  d2 ' .

Cách dựng:
-

Dựng d2 ' Ðd1  d2  , gọi D  d2  d2 '

-

Dựng đường thẳng qua D vuông góc với d1 tại O và cắt d2 tại B

-

Dựng đường tròn tâm O đường kính BD cắt d1 tại A, C . (Kí hiệu các điểm A, C

theo thứ tự để tạo thành tứ giác ABCD )
Chứng minh: Từ cách dựng suy ra ABCD là hình vuông.
Biện luận:
Trường hợp 1. d2 cắt d3 khi đó.
Nếu d2 ' d3 thì ví dụ đã cho có một nghiệm hình.


Nếu d2 ' Pd3 thì ví dụ đã cho vô nghiệm hình.
Trường hợp 2. d2 Pd3 , khi đó

Nếu d1 song song và cách đều d2 và d3 thì có vô số nghiệm hình ( h2 )
Nếu d1 hợp với d2 , d3 một góc 45 thì có một nghiệm hình ( h3 )
Nếu d1 song song và không cách đều d2 , d3 hoặc d1 không hợp d2 , d3 một góc 45 thì ví
dụ đã cho vô nghiệm hình.

B

d2

C

D
A
O

C

d1

d3
D

B

A

h2

h3

Ví dụ 2. Cho hai đường tròn  C  ,  C '  có bán kính khác nhau và đường thẳng d . Hãy
dựng hình vuông ABCD có hai đỉnh A, C lần lượt nằm trên  C  ,  C '  và hai đỉnh còn
lại nằm trên d .
Lời giải:


Phân tích:

d
Giả sử đã dựng được hình vuông ABCD thỏa

(C1)

mãn đề bài. Ta thấy hai đỉnh B, D  d nên hình
vuông hoàn toàn xác định khi biết C . Ta có

D

A, C đối xứng qua d nên C thuộc đường tròn

C

C  , ảnh của đường tròn C  qua Ð
khác C  C '   C  C   C '  .

. Mặt
d

1

(C')

I
A

Từ đó suy ra cách dựng

B

(C)

Cách dựng:
Dựng đường tròn  C1  là ảnh của  C  qua Ðd .

Đăng ký mua file word

trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
-

Từ điểm C thuộc  C1    C '  dựng điểm A đối xứng với C qua d . Gọi I  AC  d

Lấy trên d hai điểm BD sao cho IB  ID  IA .
Khi đó ABCD là hình vuông cần dựng.
Chứng minh:
Dễ thấy ABCD là hình vuông có B, D  d , C   C '  . Mặt khác A, C đối xứng qua d mà
C  C '   A Ðd C '   C  hay A thuộc  C  .

Biện luận:


Số nghiệm hình bằng số giao điểm của  C1  và  C '  .
Bài toán 03: DÙNG PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TẬP HỢP ĐIỂM.
Phương pháp:
Sử dụng tính chất : Nếu N Ðd  M  với M di động trên hình  H  thì N di động trên
hình  H '  - ảnh của hình  H  qua phép đối xứng trục d .
Các ví dụ
Ví dụ 1. Trên đường tròn  O , R  cho hai điểm cố định A, B . Đường tròn  O '; R '  tiếp
xúc ngoài với  O  tại A . Một điểm M di động trên  O  . MA cắt  O '  tại điểm thứ hai
A ' . Qua A ' kẻ đường thẳng song song với AB cắt MB tại B ' .

Tìm quỹ tích điểm B '
Lời giải:
Gọi C  A ' B ' O '  . Vẽ tiếp tuyến chung
của  O  và  O '  tại điểm A . Ta có

O'

·' CA  xAM
·
A
·
· ' A ' do đó ABB ' C là hình
 ABM
 BB

B'

A'

C

A

B

x
O

thang cân. Gọi d là trục đối xứng của hình

thang này thì Ðd C   B ' mà C di động trên
đường tròn  O '  nên B ' di động trên
đường tròn  O ''  ảnh của  O '  qua Ðd .

O''

x'

M

d


Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp I , P là một điểm nằm trong
tam giác. Gọi A ', B ', C ' là các điểm đối xứng với P lần lượt đối xứng qua IA, IB, IC .
Chứng minh các đường thẳng AA ', BB ', CC ' đồng quy.

Lời giải:
Giả sử điểm P nằm trong tam giác IAB . Gọi P1 , P2 , P3

A

P2

lần lượt đối xứng với P qua các cạnh BC , CA, AB . Ta
sẽ chứng minh AA ', BB ', CC ' đồng quy tại tâm đường

P3

tròn ngoại tiếp tam giác P1 P2 P3 .

P
A'

Hiển nhiên ta có AP2  AP3 vậy để chứng minh AA ' là

I
C

·AA '  P
·AA ' .
trung trực của P2 P3 ta cần chứng minh P
2
3

B

·AA '  P
· AP  PAA
· '  2  2
Ta có P
3
3

P1

·AA '  P
· AC  CAA
· '  CAP
·  CAA
· '
Tương tự P
2
2
·AA '  P
·AA ' nên AA ' là trung trực
 2  2 . Vậy P
2
3

của P2 P3 .
Tương tự BB ', CC ' lần lượt là trung trực của P1 P3 và
P1 P2 nên chúng đồng quy tại tâm đường tròn ngoại

tiếp tam giác P1 P2 P3 .
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x  2 y  5  0 . Tìm ảnh của d qua

phép đối xứng trục có trục là
a) Ox
A. 2x  2 y  5  0
b) Oy

B. x  y  5  0

C. x  2 y  5  0

D. x  2 y  5  0


A. x  2 y  5  0

B. 2x  2 y  5  0

D. x  2 y  5  0

C. x  2 y  5  0

Lời giải:
b) x  2 y  5  0

9. a) x  2 y  5  0

10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 2x  y  3  0 và đường tròn

C  :  x  2    y  3 
2

2

 4.

a) Tìm ảnh của d qua phép đối xúng trục Ox .
A. x  y  3  0

B. 2x  3y  3  0

C. 2x  y  4  0

D. 2x  y  3  0

b) Tìm ảnh của  C  qua phép đối xúng trục Ox .
A.  x  3    y  3   4
2

 x  2   y  2
2

2

2

B.

4

C.  x  2    y  1  4
2

2

D.  x  2    y  3   4
2

2

c) Viết phương trình đường tròn  C '  , ảnh của  C  qua phép đối xứng qua đường
thẳng d .
2

2

2


8 
1
A.  C '  :  x     y    4
5 
5

2

2

2



18  
11 
C.  C '  :  x     y    4
5  
5


a) 2x  y  3  0

2


18  
11 
D.  C '  :  x     y    4
5 
5

Lời giải:

10.

2


1 
1
B.  C '  :  x     y    4
5 
5




b)  x  2    y  3   4
2

2

b)  C  có tâm I  2; 3  , đường thẳng qua I vuông góc với d là d1 : x  2 y  8  0 . Giao
 14 13 
điểm của d & d1 là M  ;  .Gọi I ' là ảnh của I qua phép đối xứng trục d thì M là
 5 3
2

2

 18 11 

18  
11 
trung điểm của II '  I '  ;  . Phương trình  C '  :  x     y    4 .
5  
5
 5 5


11.

Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề khối
10,11,12:

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
a) Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm về một phía của d . Xác định điểm M trên
d sao cho MA  MB nhỏ nhất.

b) Cho x  2 y  2  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
T

 x  3   y  5
2

A.6

2



 x  5   y  7 
2

B.5

2

.
C.4

D.3

Lời giải:
11. a) Gọi A ' đối xứng với A qua d , ta có
MA  MA '  MA  MB  MA ' MB  A ' B . Đẳng

thức xảy ra khi M thuộc đoạn A ' B mà
M  d  M  A' B  d .

B
A

Vậy min  MA  MB  A ' B khi M  A ' B  d .

d

b) Xét M  x; y   M  d : x  2 y  2  0
và A  3; 5  , B  5; 7  , ta có T  MA  MB .

M
A'

Do  3  2.5  2  5  2.7  2   0 nên A, B nằm cùng
phía đối với d .
Gọi A ' đối xứng với A qua d thì A '  5;1 . Phương
trình A ' B : x  5  0 .
Ta có MA  MB  MA ' MB  A ' B  6 .
 7
Đẳng thức xảy ra khi M  A ' B  d  M  5;  .
 2

12. Cho A  2;1 . Tìm điểm B trên trục hoành và điểm C trên đường phân giác góc
phần tư thứ nhất để chu vi tam giác ABC nhỏ nhất.
5 5
A. B '  1; 0  và C '  ; 
4 4

5 
B. B '  ; 0  và
3 

5 5
C ' ; 
4 4

5 
C. B '  ; 0  và C '  1;1
3 
C '  1;1

D. B '  1; 0  và


Lời giải:

y

.

C'

2

y=x

12. Gọi B ', C ' lần lượt là ảnh của A qua các phép
đối xứng trục có trục là Ox , Oy , khi đó ta có
B '  2; 1 , C ' 1; 2  .

Ta có AB  BB ', AC  AC ' nên chu vi tam giác

1

A

C

O

1 B

2

ABC là 2p  AB  BC  CA

B'

 AB ' BC  CC '  B ' C '  10

Đẳng thức xảy ra khi B và C là các giao điểm

của B ' C ' với Ox và đường phân giác góc phần
tư thứ nhất, từ đó không khó khăn gì ta tìm được
5 
5 5
B '  ; 0  và C '  ;  .
3 
4 4

PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
A. CHUẨN KIẾN THỨC
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1. Định nghĩa.
Cho điểm I . Phép biến hình biến điểm I thành chính nó và biến mỗi điểm M khác I
thành điểm M ' sao cho I là trung điểm của MM ' được gọi là phép đối xứng tâm I .
Phép đối xứng tâm I được kí hiệu là ÐI .

uuur uuuur r
Vậy ÐI  M   M '  IM  IM '  0





Nếu ÐI  H    H  thì I được gọi là tâm đối xứng của hình  H  .
2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm.

x