SKKN CÁCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARÍT THƯỜNG GẶP

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
----------------------------------------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:
CÁCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH MŨ
VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARÍT THƯỜNG GẶP

Môn : Giải Tích 12

Năm học 2014 - 2015


Cách giải một số phương trình Mũ và phương trình Lôgarít thường gặp

Mục lục:

I. PHẦN MỞ ĐẦU.

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Tên đề tài :
Lý do chọn đề tài.
Mục đích.
Đối tượng nghiên cứu.
Phạm vi nghiên cứu.

Cơ sở nghiên cứu.

II. PHẦN NỘI DUNG.

1. Số liệu điều tra trước khi thưc hiện.
2. Nội dung chủ yếu của đề tài.
3. Kết quả thực hiện có so sánh đối chứng.
III. PHẦN KẾT LUẬN.

2/19


Cách giải một số phương trình Mũ và phương trình Lôgarít thường gặp

CỘNG HÒA – XÃ HỘI – CHỦ NGHĨA – VIỆT NAM
ĐỘC LẬP - TỰ DO - HẠNH PHÚC

ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I. PHẦN MỞ ĐẦU.
1. Tên đề tài :
CÁCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH MŨ
VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARÍT THƯỜNG GẶP.

2. Lý do chọn đề tài.
Năm học 2014-2015 là năm thứ 9 thực hiện trương trình SGK mới đối với
môn Toán THPT . Trong chương trình môn Toán kiến thức về PT Mũ – Lôgarít hết
sức quan trọng, có trong các kì thi Đại Học. Muốn làm tốt được các bài tập về PT
Mũ – Lôgarít thì học sinh cần phải nắm được các phương pháp giải một số phương
trình cơ bản. Vì vậy tôi chọn đề tài “CÁCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ
PHƯƠNG TRÌNH LÔGARÍT THƯỜNG GẶP ” làm vấn đề nghiên cứu trong sáng

kiến kinh nghiệm của mình.
3. Mục đích.
Khi viết sáng kiến này, tôi chỉ mong được đóng góp thêm ý kiến của mình về
chủ đề Phương trình Mũ và Lôgarít nhằm giúp giáo viên và học sinh có thêm tài
liệu tham khảo và đặc biệt giúp các em học sinh có thêm tài liệu trong việc ôn tập
chuẩn bị cho các kì thi sắp tới.
4. Đối tượng nghiên cứu.
- Đối tượng nghiên cứu : Cách giải một số phương trình Mũ và Lôgarít thường
gặp, nhằm giúp học sinh lớp 12 nhất là các em đang ôn thi kì thi THPT Quốc Gia.
- Đối tượng khảo sát : Học sinh lớp 12A5.

3/19


Cách giải một số phương trình Mũ và phương trình Lôgarít thường gặp

5. Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu.
- Phạm vi nghiên cứu : Các phương trình Mũ và Lôgarít cơ bản trong chương
trình SGK cơ bản và nâng cao môn giải tích lớp 12
- Kế hoạch nghiên cứu : Áp dụng vào lớp 12A5 trong năm học 2014-2015.
6. Cơ sở nghiên cứu.
Tôi nghiên cứu đề tài này dựa trên những cơ sở sau:
- Dựa vào thực tế giảng dạy.
- Dựa vào một số tài liệu tham khảo về PT – BPT – HPT.
- Dựa vào một số ý kiến của đồng nghiệp.

4/19


Cách giải một số phương trình Mũ và phương trình Lôgarít thường gặp

II. PHẦN NỘI DUNG.
1. Số liệu điều tra trước khi thực hiện.
Tham khảo trên 50 học sinh của lớp 12A5.
Câu hỏi : Giải phương trình : 34x -4.32x + 3 = 0.
Giải được
Biết đặt t = 32x suy ra t, nhưng không tìm được x
Không làm được gì

65%
21%
14%

2. Nội dung chủ yếu của đề tài.

A. Phương trình Mũ:
+) af(x) = ag(x) , (0< a ≠ 1) (1)
+) af(x) = b , (0< a ≠ 1) (2 )

Dạng 1 :

⊕ Cách giải :

(1) ⇔ f(x) = g(x).
(2 ) Nếu b ≤ 0 thì (2 ) vô nghiệm.
Nếu b > 0 thì (2 ) ⇔ f(x) = log a b

⊕ Ví dụ :

VD1 :

Giải phương trình : 4 x

2

−3 x +2

=16 (*)

Giải
2

NX : Ta thấy 16 = 4 nên (*) có thể đưa được về dạng (1) với a = 4.
x = 0
2
2
x
−
3
x
+
2
2
⇔
⇔
⇔
Vậy (*)
x - 3x + 2 = 2
x = 3 .
4

=4

x = 0
Do đó (*) có hai nghiệm 
.
x = 3
( Lưu ý : cũng có thể đưa (*) về dạng (1) với cơ số a = 2)
VD2 :

Giải phương trình : 2. 3x+1 – 6. 3x-1 – 3x = 8. (∗)
Giải

3x +1 = 3.3x

NX : Ta thấy :  x −1 1 x nên VT của (*) được phân tích thành : 3.3x
3 = .3
3

5/19


Cách giải một số phương trình Mũ và phương trình Lôgarít thường gặp
 
Vậy (*) ⇔ 3.3x = 8 ⇔ 3x = ⇔ x = log3   .
3
 3
8

8

8

Do đó (*) có nghiệm x = log3  3  .
 
⊕ Bài tập áp dụng : Giải các phương trình sau :
3 x −1

1)

(0,2)

1
3)  
2
5)

(

x-1

=1

x 2 −2

= 2 4−3 x

5 +2

7) 2

1 
2)  
3 

x +2

)

−2
x +7

x −1

=

x +1

(

4)

5 −2

= 12 + 2

)

x −1
x +1

(3 − 2 2 )

2x

(

= 3+2 2

)

6) 3x.2x+1 = 72
8) 5 x −

x −1

x 2 +4

= 25

1−2 x

1 
1 
9)   . 
=2
2 
2 
11) 4x + 4x-2 – 4x+1 = 3x – 3x-2 – 3x+1

Dạng 2 :

=3

10)

4 x +1.3 x −3.5 x +1 =

2 f ( x)
+ b1a f ( x ) + c1 = 0
+) a1a

20 60
27

, (0< a ≠ 1) (1)

+) a1 a f ( x ) + b1 a − f ( x ) + c1 = 0 , (0< a ≠ 1) (2 )
⊕ Cách giải :

Đặt: t = af(x) điều kiện: t > 0.
a > 1
Lưu ý : + Nếu 
thì am < t < aM .
m < f ( x ) < M
0 < a < 1
+ Nếu 
thì am > t > aM .
m
<
f

(
x
)
<
M


Khi đó : (1) trở thành : a1t 2 + b1t + c1 = 0 (1‘).
và (2 ) trở thành : a1t + b1

1
+ c1 = 0
t

⇔

a1t 2 + c1t + b1 = 0 (2’).

Giải (1’) , (2’) chỉ lấy nghiệm t > 0, nếu tìm được t > 0 thay trở lại ta
được phương trình của Dạng 1 : af(x) = t ⇔ f(x) = log a t ⇔ x = …..
6/19


Cách giải một số phương trình Mũ và phương trình Lôgarít thường gặp
⊕ Ví dụ :

VD1 :

Giải phương trình : 4x + 2x+1 – 8 = 0 (*)
Giải

4 x = 2 2 x = (2 x ) 2
Ta thấy  x +1
, vậy khi đặt t = 2x (với t > 0) thì
x
2 = 2.2

x
2

4 = t
 x +1

2 = 2.t

t = −4( L)

Do đó (*) trở thành : t2 + 2t – 8 = 0 ⇔ 
t = 2

Với t = 2 ta có : 2x = 2 ⇔ x = 1. Vậy (*) có một nghiệm x = 1.
VD2 :

Giải phương trình : 31+x + 31-x = 10 (*)
Giải

31+ x = 3.3 x
31+ x = 3.t



Ta thấy  1− x
1 , vậy khi đặt t = 3x (với t > 0) thì  1− x
1
3 = 3. x
3 = 3.
t
3


3
Do đó (*) trở thành : 3t + − 10 = 0 ⇔ 3t2 – 10t + 3 = 0
t
3x = 3
t =3
x = 1

⇒ 
⇔
⇔
1
1
 x = −1 . Vậy (*) có 2 nghiệm
3x =
t =

3


3
2

x = 1
 x = −1


2

VD3 : Tìm m để phương trình : 9 x − 4.3x + 8 = m (*), có nghiệm x∈[−2; 1].
Giải
Đặt t = 3x vì x∈[−2; 1] nên 0 ≤ x2 ≤ 4 ⇒ 1 = 30 ≤ t ≤ 34 = 81.
Khi đó (*) trở thành : t2 – 4t + 8 = m (**). Để (*) có nghiệm x∈[−2; 1]
thì (**) phải có nghiệm t ∈[1; 81] hay đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm
f(t) = t2 – 4t + 8 trên [1; 81].
Ta có : f ‘(t) = 2t – 4 = 0 ⇔ t = 2 ⇒ BBT của f(t) trên [1; 81] như sau :
2

t
f’(t)

1
-

2
0

81
+
6245

f(t)

5
4

⇒

Từ BBT 4 ≤ m ≤ 6245.
Vậy với m ∈ [4; 6245] thì (*) có nghiệm.
7/19


Cách giải một số phương trình Mũ và phương trình Lôgarít thường gặp

( Lưu ý :Không nên giải (**) bằng phương pháp tam thức bậc 2 vì như vậy
bài toán trở nên khó hơn nhiều so với sử dụng phương pháp hàm số ).
⊕ Bài tập áp dụng :

Bài 1 : Giải các phương trình sau :
1) 4x+1 – 6. 2x+1 + 8 = 0
3) 49 x + 7 x+1 − 8 = 0

2) 34x+8 – 4. 32x+5 + 27
4) 16 x − 17.4 x + 16 = 0

5) 4cos2x + 4 cos

6)

2

x

=3

3x + 6 = 3 x

7) 8x − 7.4x + 7.2x + 1 − 8 = 0

8)

9) 125x + 50x = 23x + 1

10) 5x-1 + 53 – x = 26

(

11)

7+ 4 3

)

sin x

+

(

7−4 3

x

)

sin x

(

)

x

x

(

)

) (
x

)

x

12) 2 + 3 + 2 − 3 = 2

=4

13)  7 − 48  +  7 + 48  = 14

(

2 x + 2 + 18 − 2 x = 6

14)

(

2+ 3

) (
x

+

2− 3

x 2 + x + 22− x − x 2 = 5
16) 2

x

15) 7 + 4 3 − 3 2 − 3 + 2 = 0
Bài 2 : Tìm m để phương trình :
1) 4

x +1+ 3−x

− 14.2

2) 9 x+ 1− x2 − 8.3x +

x +1+ 3−x

1− x 2

+8 = m

có nghiệm.

+ 4 = m có nghiệm.

( m − 4 ) 4 x − 2( m − 2 ) 2 x + m − 1 = 0 có nghiệm.
2
2
4) ( m − 2 ) 2 2 ( x +1) − 2( m + 1) .2 x +1 + 2m − 6 = 0 có nghiệm.

3)

5) 4x − 2x + 3 + 3 = m có đúng 2 nghiệm x∈(1; 3).
6) 9x − 6.3x + 5 = m có đúng 1 nghiệm x∈ [0; + ∞)
7) 4|x| − 2|x|+1 + 3 = m có đúng 2 nghiệm.
8) ( m + 3) .16 x + ( 2m − 1) .4 x + m + 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
2
2
4 x − 2 x +2 + 6 = m có đúng 3 nghiệm.

9)

2

2

10) 34 − 2 x − 2.32 − x + 2m − 3 = 0 có nghiệm.
11)

(

) +(

2 +1

x2

)

2 −1

x 2 −1

+ m = 0 có nghiệm

 π π
có nghiệm thuộc  − ;  .
 2 2
Bài 3 : Giải và biện luận các phương trình sau :
1) (m – 2)2x + m2-x + m = 0

(

12) 3 + 2 2

) tgx + ( 3 − 2 2 ) tgx = m

8/19

)

x

=4


Cách giải một số phương trình Mũ và phương trình Lôgarít thường gặp

2)

m3x + m3-x = 8

3) ( m − 2 ) .2 x + ( m − 5) .2 − x − 2( m + 1) = 0
4)

( 3 + 5 ) x + a ( 3 − 5 ) x = 2 x +3

Dạng 3 :

+) a1af(x) + b1bf(x) + c1cf(x) = 0
(1) , với 0 < a, b, c ≠ 1.
+) a1af(x) + b1ag(x) + c1ah(x) = 0 (2 ) , với 0 < a ≠ 1.

⊕ Cách giải :

Giải (1). Chia cả hai vế của (1) cho cf(x) ( hoặc af(x), bf(x) ), ta sẽ thu được
phương trình có Dạng 2 hoặc phương trình có thể giải theo phương
pháp chiều biến thiên.
Giải (2 ). Chia cả hai vế của (2 ) cho ah(x) ( hoặc af(x), ag(x) ), ta sẽ thu được
phương trình có Dạng 2 hoặc phương trình có thể giải theo phương
pháp chiều biến thiên.
⊕ Ví dụ :
VD1 : Giải phương trình : 9x + 6x = 2. 4x (*)
Giải
2x

x

 3  3
Chia hai vế của (*) cho 4 ta được PT tương đương   +   − 2 = 0
 2  2
x

  3 x 
⇔   
 2  



2

 3  x

  = 1
x
2
3
⇔ x = 0.
+   − 2 = 0 ⇔ 
x
2
3
 
  = −2(VN )
 2 

Vậy (*) có 1 nghiệm x = 0.
( Lưu ý : Có thể sử dụng cách đặt : t = (3/2)x )
VD2 : Giải phương trình : 2x + 3x = 5x (*)
Giải
x

x

2  3
Chia hai vế của (*) cho 5 ta được PT tương đương   +   = 1
5  5 
x

x

x

 2 3
Dễ thấy hàm f(x) =   +   là hàm nghịch biến trên R, lại thấy x = 1
 5 5
thõa mãn phương trình. Vậy (*) có nghiệm duy nhất x = 1.

VD3 : Giải phương trình : 2 2 x

2

+1

9/19

− 9.2 x

2

+x

+ 22 x + 2 = 0 (*)


Cách giải một số phương trình Mũ và phương trình Lôgarít thường gặp

Giải
Chia hai vế của (*) cho 2
ta được phương trình tương đương
1 2( x 2 − x ) 9 x 2 − x
2 x 2 − 2 x −1
x 2 − x −2

⇔
.2
− .2
+1 = 0
2
− 9.2
+1 = 0
2
4
2x + 2

2 x − x = 4
x 2 − x = 2
2
2
1 ( x − x) 2 9 x − x

⇔ .(2
) − .(2
) + 1 = 0 ⇔  x2 −x 1 ⇔  2
2
4
2
=
 x − x = −1

2
2

  x = −1


⇔   x = 2 . Vậy (*) có 2 nghiệm x = - 1 hoặc x = 2.
VN
⊕ Bài tập áp dụng :

Bài 1 : Giải các phương trình sau :
1) 4x – 2. 52x = 10x
3) 32x+4 + 45. 6x – 9.22x+2 = 0
5)

(3 + 5 )

7)

x
2
1+ 8

x

(

+7 3− 5

=3

)

x

= 2 x +3

2) 27x + 12x = 2. 8x
4) 125x + 50x = 23x+1
6) 3x + 4x = 5x
8)

x

(

) (
x

3− 2 +

) ( 5)
x

3+ 2 =

x

Bài 2 : Cho phương trình : m.16 x + 2.81x = 5.36 x
a) Giải phương trình với m = 3.
b) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

B.Phương trình Lôgarít:
Dạng 1 :

+) logaf(x) = logag(x), (với 0 < a ≠ 1) ( 1)
+) logaf(x) = g(x) ,
(với 0 < a ≠ 1) ( 2 )

⊕ Cách giải :

 f ( x) > 0

⇔
(1) ⇔  g ( x) > 0
 f ( x ) = g ( x)

 f ( x) > 0

(2 ) ⇔ 

 f ( x) = a

g ( x)

 f ( x) = g ( x)

 f ( x) > 0 (do f(x) = g(x) nên chỉ cần
 g ( x) > 0


 f ( x) > 0
 g ( x) > 0


⇔ f(x) = ag(x) (vì với 0 < a ≠ 1 thì ag(x) > 0 nên f(x) > 0)
10/19


Cách giải một số phương trình Mũ và phương trình Lôgarít thường gặp
⊕ Ví dụ :

VD1 :

Giải phương trình : log(x2 – 6x + 7) = log(x – 3)
Giải

(*)

x = 2
x2 − 6x + 7 = x − 3
 x 2 − 7 x + 10 = 0

⇔
⇔ x = 5
Ta có (*) ⇔ 
x − 3 > 0
x > 3
x > 3

⇔ x = 5. Vậy (*) có nghiệm x = 5.

VD2 :

Giải phương trình : log2( -2x+2 + 5) = 2x

Giải

Ta có (*) ⇔ -2

x+2

+5=2

2x

(*)

2 x = 1
⇔ (2 ) + 4 .2 - 5 = 0 ⇔ 
x
2 = −5(VN )
x 2

x

⇔ x = 0. Vậy (*) có nghiệm x = 0.

( Lưu ý : có thể thay 2x = log222x để đưa (*) về PT dạng (1) )
Giải phương trình : log2(2x + 4) – x = log2( 2x + 12 ) (*)
Giải
ĐK : ∀x ∈ R .
Để ý : x = log22x nên (*) ⇔ log2(2x + 4) – log22x = log2( 2x + 12 )

VD3 :

2x + 4
2x + 4
x
⇔ log 2 x = log 2 (2 + 12) ⇔
= 2 x + 12 ⇔ (2x)2 + 11.2x – 4 = 0
x
2
2
 x − 11 + 137
2 =
2
⇔
 x − 11 − 137
(VN )
2 =
2

Vậy (*) có nghiệm x = log 2

⇔ x = log 2

− 11 + 137
.
2

− 11 + 137
.
2

( Lưu ý : có thể viết (*) ⇔ log2(2x + 4) – log2( 2x + 12 ) = x để đưa (*) về

PT dạng (2 ) )
VD4 : Tìm m để phương trình : log 2 ( x − 2 ) = log 2 ( mx ) (*), có 1 nghiệm
duy nhất.
11/19


Cách giải một số phương trình Mũ và phương trình Lôgarít thường gặp

Giải
ĐK : x > 2.

( x − 2) 2
Ta có (*) ⇔ log 2 ( x − 2) = log 2 (mx) ⇔ ( x − 2) = mx ⇔
=m
x
2

2

( x − 2) 2
Để (*) có nghiệm duy nhất thì đường thẳng y = m phải cắt (C ) y =
x
tại một điểm duy nhất trên khoảng (2;+∞) .

x2 − 4
Ta có : f ‘(x) =
= 0 ⇔ x = ±2 suy ra BBT của f(x) trên (2;+∞)
x2
như sau :
+∞

x
2
f’(x)
0
+

+∞

f(x)
0
Từ BBT suy ra với m > 0 thì (*) có nghiệm duy nhất.
⊕ Bài tập áp dụng :

Bài 1 : Giải các phương trình sau :
1)
3)
5)

log3(x2 + 8x) = 2
x + log2( 9 – 2x ) = 3
log2(log3(log2x)) = 1

2) log3(9x+1- 4.3x – 2) = 3x + 1
4) log(x – 1)(x2 – x ) = 2
6) logx(log3( 9x – 6 )) = 1

7)

1
logx+ 3  3 − 1 − 2x + x2  =


 2

8)

9)

log 2 x − 3 + log 2 3x − 7 = 2

10) log2(4x + 4) = x – log1/2(2x+1 – 3)

11) 2log2x + log
13)
14)

2

x + log1/2x = 9

log2(3 – x) + log2(1 – x) = 3

12) log

5

(4

x

(x – 1)log53 + log5( 3x+1 + 3 ) = log5(11.3x – 9 )

2
1
x −1
log 9 ( x 2 − 5 x + 6 ) = log 3
+ log 3 x − 3
2
2

Bài 2 : Tìm m để phương trình :
1)

(

)

log 2 4 x − m = x + 1 có đúng 2 nghiệm phân biệt.
12/19

)

(

)

2

− 6 − log 5 2 x − 2 = 2


Cách giải một số phương trình Mũ và phương trình Lôgarít thường gặp

2)

log3 ( x 2 + 4mx ) + log 1 ( 2 x − 2m −1) = 0 có nghiệm duy nhất.

3)

log 2 ( 2 x − x + 2m − 4m ) + log 1 ( x 2 + mx − 2m 2 ) = 0 có hai nghiệm x1

3

2

2

2

2

2

và x2 thoả mãn x1 + x2 > 1.
4)

(

)

log 3 x 2 + 4mx + log 1 ( 2 x − 2m −1) = 0 có nghiệm duy nhất.
3

Bài 3 : Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m:
2 log3 x − log3 ( x − 1) − log3 m = 0
Dạng 2 :

+) a1loga2f(x) + b1logaf(x) + c1 = 0, (với 0<a ≠ 1 và f(x) > 0) ( 1)
+) a1logaf(x) + b1logf(x)a + c1 = 0 , (với 0 < a, f(x) ≠ 1)
(2)

⊕ Cách giải :

log 2a f ( x) = t 2

Đặt t = logaf(x) , ∀t ∈ R . Khi đó : 
1 , vậy nên
log f ( x ) a =
t

(1) trở thành : a1t2 + b1t + c1 = 0 (1’), giải (1’) ⇒ t ⇒ logaf(x) = t
⇔ f(x) = at ⇔ x = …
1
(2 ) trở thành : a1t + b1 + c1 = 0 ⇔ a1t2 + c1t + b1 = 0 (2’)
t
giải (2’) ⇒ t ⇒ logaf(x) = t ⇔ f(x) = at ⇔ x = …
Lưu ý : Khi đặt t = logaf(x)
a > 1
+) Nếu 
thì logam < t < logaM.
0 < m < f ( x) < M
0 < a < 1

+) Nếu 
thì logam > t > logaM.
0 < m < f ( x) < M
⊕ Ví dụ :

VD1 :

Giải phương trình : 2log 2 2 ( x − 1) + log 2 ( x – 1) = 5 (*)
3

Giải
ĐK : x > 1.
Ta có (*) ⇔ 2 log 22 ( x − 1) + 3 log 2 ( x − 1) − 5 = 0 , đặt t = log2(x - 1)

13/19


Cách giải một số phương trình Mũ và phương trình Lôgarít thường gặp

log 2 ( x − 1) = 1
t = 1
⇒
PT đã cho trở thành : 2t2 + 3t – 5 = 0 ⇔ 
t = − 5 log 2 ( x − 1) = − 5

2 
2

x = 3
 x − 1 = 21 = 2

⇔
⇔
5
−
 x = 1 + 1 . Vậy (*) có 2 nghiệm :
x − 1 = 2 2

32

VD2 :

Giải phương trình : log x 2 ( 2 + x ) + log

2+ x

x = 3

x = 1+ 1

32

x = 2 (*)

Giải

0 < x ≠ 1
⇔ 0 < x ≠ 1.
ĐK : 
0
<

x
+
2
≠
1


1
log x (2 + x) + 2 log ( 2+ x ) x − 2 = 0 , đặt t = logx(x + 2 )
2
1
1
PT trở thành : t + 2 − 2 = 0 ⇔ t2 - 4t + 4 = 0 ⇔ t = 2 ⇒ logx(x + 2) = 2
2
t
Khi đó (*) ⇔

 x = −1( L)
⇔ x = 2 . Vậy (*) có nghiệm : x = 2.
x = 2

⇔ x2 – x – 2 = 0 ⇔ 

VD3 : Tìm m để phương trình log 22 x − log 2 x 2 + 3 = m (*) có nghiệm x∈ [1; 8].
Giải
Đặt t = log2x ,vì x∈ [1; 8] nên t ∈ [0; 3 ], khi đó (*) có dạng : t2 - 2t + 3 = m
Vậy để (*) có nghiệm x∈ [1;8] thì y = m phải cắt (C) f(t) = t2 -2t +3 trên [0; 3].
Ta có f ‘(t) = 2t – 2 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ BBT của f(t) trên [0; 3] như sau :

t

f’(t)

0
-

1
0

3
+
6

f(t)

3
2

Từ BBT suy ra với m ∈ [2; 6] thì (*) có nghiệm x∈ [1; 8].
⊕ Bài tập áp dụng :
14/19


Cách giải một số phương trình Mũ và phương trình Lôgarít thường gặp

Bài 1 : Giải các phương trình sau :
1) log 22 x - 9 log 8 x = 4

2) log 2 ( 4 x ) − log

3) log 22 ( x − 3) + log 2 x − 3 = 5

x
x+1 − 2 = 1
4) log 2 2 − 1 .log 4 2

5) log32 ( x 2 + 2 x) + 4log 3 9( x 2 + 2 x) = 7

6) lg 2 x − 3 lg x = lg x 2 − 4

7)

8)

2

log3 x + 2 = 4 − log3 x

(

log

2

)

x2

8 2

2

( 2x) = 5

(

)

( )

+ log 2 8 x 2 = 8

9) 4 log 9 x + log x 3 = 3

10) log ( x + 1) = log 16
2
x +1

11) logx2 + log2x = 5/2

12) logx2 – log4x + 7/6 = 0

Bài 2 : Tìm m để phương trình :
2
1) log 3 x − ( m + 2).log3 x + 3m − 1 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 sao cho x1.x2 = 27.
3
2) log 32 x + log 32 x + 1 − 2m − 1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn 1;3 



3)

x − log 1 x + m = 0 có ít nhất 1 nghiệm x thuộc (0;1).

4log 22

(

)

(

2

)

x
x
4) log 2 5 − 1 .log 4 2.5 − 2 = m có nghiệm x ≥ 1 .

5)

(

)

log22 x + log1 x2 − 3 = m log4 x2 − 3 có nghiệm.
2

6) m log 2 ( 3 + 3) + ( m − 5 ) log 3 + 3 2 + 2( m − 1) = 0 có đúng 1 nghiệm dương .
x

x

Dạng 3 :

logaf(x) = logbg(x) (*), ( với 0< a, b ≠ 1, a ≠ b và f(x),g(x) >0)

⊕ Cách giải :

Đặt : t = logaf(x) ( hoặc t = logbg(x) )
Suy ra f(x) = at (1) và (*) trở thành : t = logbg(x) ⇔ g(x) = bt (2 )
t

 f ( x) = a
Từ (1) và (2 ) ta có hệ 
, tìm cách khử x từ hai PT của hệ
t

g ( x ) = b

Ta được một PT mũ của ẩn t và PT này được giải theo phương pháp chiều
biến thiên, sau khi tìm được t thì thay vào (1) hoặc (2 ) để tìm x.
15/19


Cách giải một số phương trình Mũ và phương trình Lôgarít thường gặp
⊕ Ví dụ :

VD1 :

Giải phương trình : log5x = log7( x + 2 ) (*)
Giải
ĐK : x > 0.
Đặt t = log5x ⇔ x = 5t (1) và (*) trở thành t = log7(x + 2) ⇔ x + 2 = 7t (2 )
t

t

 5
 1
Thay x từ (1) vào (2 ) ta được phương trình 5 +2 = 7 ⇔   + 2.  = 1 (**).
 7
 7
t

t

t

t

5
1
Dễ thấy hàm f(t) =   + 2.  là hàm nghịch biến trên R và t = 1 thõa mãn
7
7

(**).Vậy (**) có nghiệm duy nhất t = 1, thay t = 1 vào (1) suy ra x = 5
Vậy x = 5 là nghiệm duy nhất của (*).
Chú ý : Khi gặp phương trình lôgarít có từ 2 cơ số khác nhau trở lên thì có

log c b
thể sử dụng công thức đổi cơ số : log a b =
để đưa về các biểu thức
log c a
lôgarít về cùng cơ số rồi sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải.
VD2 : Giải phương trình : logx2 16 + log2x 64 = 3 (*)
Giải
x > 0

6
1

= 3 , đặt t = log2x, ta được
ĐK :  x ≠
.Khi đó (*) ⇔ 2 log x 2 +
1
+
log
x
2
2


x ≠ 1

 log 2 x = 2
t = 2
2 6
= 3 ⇔ 3t2 – 5t – 2 = 0 ⇔ 
phương trình : +

1 ⇒ 
1

t=−
log 2 x = −
t 1+ t

3 
3
x = 4
⇔
x = 1
3

2


x = 4
1
.Vậy (*) có 2 nghiêm : 
x=3
2


⊕ Bài tập áp dụng : Giải các phương trình sau :

(

)

1) log5(x2 – 6x – 2 ) = log3x

2) log 2 1 + x = log 3 x

2
3) 16 log 27 x 3 x − 3 log3 x x = 0

4) log 7 x = log 3
16/19

(

x +2

)


Cách giải một số phương trình Mũ và phương trình Lôgarít thường gặp

(

7) log3 ( x + 1) + log5 ( 2x + 1) = 2

8) 2log5( x+3) = x
log 8 4 x
log 2 x
=
10)
log 4 2 x log16 8 x

9) log2/x2 + log24x = 3
11) 3logx 16 − 4log16 x = 2log2 x

12)

13) log x / 2 x 2 − 14 log16 x x 3 + 40 log 4 x
14) 4 log x / 2

)

2
6) x + lg x − x − 6 = 4 + lg( x + 2)

5) log4(x2 – x – 8 ) = log33x

log52x + log5x(5/x) = 1

x =0

x + 2 log 4 x x 2 = 3 log 2 x x 3

Trên đây là một số ví dụ minh họa cho cách giải một số dạng
phương trình Mũ và Lôgarít thường gặp để Thầy cô và các em tham
khảo, tôi hy vọng rằng sau khi đọc xong đề tài này Thầy cô và các em
sẽ có thêm kiến thức về giải phương trình Mũ và phương trình
Lôgarít.

17/19

Cách giải một số phương trình Mũ và phương trình Lôgarít thường gặp

3. Kết quả thực hiện có so sánh đối chứng.
Tham khảo trên 50 học sinh.
Kết quả trước khi thực hiện :
Câu hỏi : Giải phương trình : 34x -4.32x + 3 = 0.
Giải được
65%
2x
Biết đặt t = 3 suy ra t, nhưng không tìm được x 21%
Không làm được gì
14%
Kết quả sau khi thực hiện :
Câu hỏi : Giải phương trình : 34x -4.32x + 3 = 0.
Giải được
92%
2x
Biết đặt t = 3 suy ra t, nhưng không tìm được x 6%
Không làm được gì
2%

III. PHẦN KẾT LUẬN.
18/19

Tăng 27%
Giảm 15%
Giảm 12%


Cách giải một số phương trình Mũ và phương trình Lôgarít thường gặp

Trong khi giảng dạy bài phương trình Mũ và phương trình
Lôgarít tôi đã giới thiệu cho các em học sinh những phương pháp giải
cơ bản về phương trình Mũ và phương trình Lôgarít. Đối với từng đối
tượng học sinh khác nhau, thì yêu cầu về kiến thức cũng khác nhau.
Đối với những đối tượng học sinh yếu thì tôi chỉ giới thiệu những dạng
phương trình cơ bản, còn đối với học sinh khá, giỏi, học sinh luyện thi
ĐH - CĐ thì tôi giới thiệu thêm một số dạng phương trình đặc
biệt.Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy phần lớn các em đều hiểu
và biết cách vận dụng.

Đề xuất:
Tôi rất mong được sự tham gia xây dựng của các Thầy cô, đồng nghiệp để
vấn đề tôi đưa ra được hoàn thiện hơn, có hiệu quả hơn trong quá trình giảng dạy.
Tôi xin chân thành cảm ơn !

Cam kết:
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Hà Nội, ngày 30 tháng 5 năm 2015.

19/19


Cách giải một số phương trình Mũ và phương trình Lôgarít thường gặp

Ý kiến nhận xét đánh giá xếp loại
của Hội đồng khoa học cơ sở
……………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….………………………

…………………………………………………………….………………………
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
Chủ tịch hội đồng
( Ký tên, đóng dấu )

20/19