tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toan chuyên đề hàm hữu tỉ,lượng giác

CHUYÊN ĐỀ 7 - NGUYÊN HÀM, HÀM HỮU TỈ, HÀM LƯỢNG GIÁC
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Nguyên hàm
Cho K là một khoảng  a; b  , nửa khoảng  a; b ,  a; b  hay đoạn  a; b  . Hàm số F  x  gọi là một nguyên
hàm của hàm số f  x  trên K nếu: F '  x   f  x  , x  K
Neesu F  x  là một nguyên hàm của f  x  thì họ các nguyên hàm của f  x  là:

 f  x  dx  F  x   C ,

C là hằng số bất kì
- Phương pháp đổi biến số:
Nếu x  u  t  có đạo hàm liên tục trên K thì:

 f  x  dx   f u t .u ' t dt
Nếu t  v  x  có đạo hàm liên tục trên K thì:

f  x  dx  g  t  dt thì:

 f  x  dx   g t  dt

- Phương pháp nguyên hàm từng phần: Nếu u  x  , v  x  có đạo hàm liên tục trên K thì udv  uv  vdu





Tích phân:
Giả sử f  x  liên tục trên khoảng K và a, b  K và F  x  là 1 nguyên hàm của f  x  thì:

 f  x  dx  F b   F  a   F  x 
b

b

a

a

- Phương pháp tích phân đổi biến số:

 f  x  dx   f u t .u ' t .dt


b

a

Nếu t  v  x  có đạo hàm liên tục và f  x  dx  g  t  dt thì:



b

a

f  x  dx  

v b 

v a 

g  t  dt

- Phương pháp tích phân từng phần:
Nếu u  x  , v  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  a; b  thì



b

a

b

udv  u.v a   v.du
b

a

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


Tổng tích phân
Cho f là một hàm số xác định trên  a; b  a  b  . Phân hoạch T đoạn  a; b  thành n đoạn nhỏ bởi những
điểm chia tùy ý a  x0  x1  ...  xn  b , trên mỗi đoạn  xi 1 , x j  ta lấy một điểm  i và lập tổng tích phân

 T   f  j  x j  xi 1  .
n

i 1





Kí hiệu d T   max x j  xi 1 .
1i  n

Nếu tồn tại giới hạn I  lim

d T 0

 f   x
n

j

i 1

trên đoạn  a; b  và được kí hiệu là: I 
Ta chọn phân hoạch đều xi  a 

j

 xi 1  thì giới hạn đó được gọi là tích phân xác định của hàm f

 f  x  dx .
b

a

i
 b  a  , tổng tích phân
n

Sn   f  j  x j  xi 1  thì lim Sn   f  x  dx .
n

b

i 1

a

Nguyên hàm đa thức và phân thức:

 kdx  kx  C với k là hằng số

 dx  x  C

u'

1

 u dx  ln u  C

 x dx  ln x  C
Với   1 thì



 x .dx 

x 1
u 1
 C;  u .u '.dx 
C
 1
 1

Các biến đổi: chia tách, thêm bớt, khai triển tích số, hằng đẳng thức, phân tích thành phân số đơn giản,…
Tổng quát với hàm hữu tỉ, nếu bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu thì phải chia tách phần đa thức,
còn lại hàm hữu tỉ với bậc tử bé hơn mẫu.



Nếu bậc của tử bé hơn bậc của mẫu thì phân tích mẫu ra các thừa số bậc nhất  x  a  hay x 2  px  q
bậc hai vô nghiệm rồi đồng nhất hệ số theo phần tử đơn giản:



A
Bx  C
; 2
; Đồng nhất hệ số ở tử
x  a x  px  q

thức thì tính được các hằng số A, B, C, … Kết hợp với các biến đổi sai phân, thêm bớt đặc biệt để phân tích
nhanh.
Các dạng tích phân đa thức, phân thức hữu tỉ:

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


b

 P  x  dx : Chia miền xét dấu P  x  ,
a

b

 x  mx  n 



dx : Đặt u  mx  n hoặc phân tích,

a

b

2
  mx  n   px  qx  r 



dx : Đặt u  px 2  qx  r ,

a

b



  x  m  . x  m  dx : Nếu   

thì đặt u  x  n .

a

b

- Dạng

 px
a

2

1
dx : Lập   q 2  4 pr .
 qx  r
b

 0
a

b

0

a

b

 0
a

 mx  n 

: Dùng công thức

2

dx
: Đặt x  k tan t
x  k2
2

1
1  1
1 
dx
: Biến đổi 2




2
2
x k

2k  x  k x  k 
x k
2

mx  n
dx : Lập   q 2  4 pr
2
 qx  r

b

- Dạng

dx

 px
a

  0  Phân tích và dùng công thức.

A  px 2  qx  r  '
mx  n
B
0 2


2
2
px  qx  r
px  qx  r

x    k2
b

- Dạng

 x 1 x
a



x n1dx

b

dx



n m


a

x 1  x
n



n m

: đặt t  1  x n .

Chú ý: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  a; a  .
Nếu f lẻ thì

a

a

a

a

a

0

 f  x  dx  0 . Nếu f chẵn thì  f  x   2 f  x  dx .

Nguyên hàm lượng giác:
L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


 cos xdx  sin x  C

 cos u.u '.dx  sin u  C

 sin xdx   cos x  C

 sin u.u '.dx   cos u  C

dx

 cos

2

x

dx

 sin

2

x

u'

 tan x  C

 cos

  cot x  C

 sin

2

u

u'
2

u

dx  tan u  C
dx   cot u  C

Các biến đổi: hạ bậc lượng giác, tích thành tổng, theo góc phụ t  tan

x
,…
2

sin  x  a    x  b  
1
1

. 
sin  x  a  .sin  x  b  sin  a  b  sin  x  a  sin  x  b 
1
1
1

.
2
2
a sin x  b cos x

a  b sin  x   

1
a sin x  b cos x  a 2  b 2

 sin x   cos x  
a sin x  b cos x  c



1

1
a 2  b 2 1  cos  x   



.

A  a sin x  b cos x  c  '
B

a sin x  b cos x  c
a sin x  b cos x  c

1
1
1

. 2

2
2
a sin x  b sin x cos x  cos x a tan x  b tan x  c cos x
2

a

sin x cos x

2

sin x  b cos x 
2

2

2





A  a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x  '

a

2

sin 2 x  b 2 cos 2 x 



Đặc biệt cận tích phân: đối, bù, phụ thì đặt tương ứng t   x, t    x, t 



 x . Tích phân liên kết, để
2
tính I thì đặt thêm J mà việc tính tích phân I  J và I  J hoặc I  kJ và I  mJ dễ dàng lợi hơn. Tích
phân truy hồi I n theo I n 1 hay I n2 thì sin n x,cos n x tách lũy thừa 1 và dùng phương pháp tích phân từng
phần còn tan n x,cot n x tách lũy thừa 2 và dùng phương pháp tích phân đổi biến số.
Nếu hàm số f  x  liên tục trên đoạn  a; b  thì:
 /2

 /2



0

0

0





 f  sin x  dx   f  cos x  dx;  xf sin x  dx  2  f sin x  dx
0

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


Các dạng tích phân lượng giác:
b

b

a

a

 P  x  .sin  xdx,  P  x .cos xdx : đặt u  P  x  , v '  sin hoặc cos x
 /2



 R  x,sin x,cos x  dx : đặt x  2  t
0



 R  x,sin x,cos x  dx : đặt x    t
0

2

 R  x,sin x,cos x dx : đặt x  2  t

0

b

x

 R  sin x,cos x  dx : đặt t  tan 2 , đặc biệt:
a

Nếu R   sin x,cos x    R  sin x,cos x  thì đặt t  cos x
Nếu R  sin x,  cos x    R  sin x,cos x  thì đặt t  sin x
Nếu R   sin x,  cos x    R  sin x,cos x  thì đặt t  tan x,cot x .

2. CÁC BÀI TOÁN
Bài toán 7.1: Tính giới hạn dãy un xác định bởi:
a) un 

i3

4
i 1 n
n

b) un 

i2

3
3
i 1 i  n

n

Hướng dẫn giải
a) Xét hàm số f  x   x3 . Tổng tích phân của hàm số f trên đoạn  0;1 là:

1 n  i  n i3
S n   f     4  un
n i 1  n  i 1 n
1



Ta có: lim Sn  x3dx 
0

1
1
. Vậy lim un  .
4
4

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


2

1
2
 

n
n
x2
i
1
n

b) Ta viết un   3
nên un chính là tổng tích phân của hàm số f  x   3
trên
 
3
x 1
n i 1  1 3
i 1 i  n
  1
n
đoạn  0;1 .
1

1

x2
1
ln 2
Do đó: lim un   3 dx  ln  x3  1 
.
x 1
3
3

0
0
Bài toán 7.2: Tính giới hạn dãy un xác định bởi:

1 1
1
1
.
un  1    ... 

2 3
2n  1 2 n
Hướng dẫn giải
Đặt S 

n

1

 i . Ta có:
i 1

2n
n
n
n
1
1
1 n 1
1

1 n 1
un    2      S2 n  Sn  
 
n i 1 i  1
i 1 i
i 1 2i
i 1 i
i 1 i
i 1 i  n
n

Do đó un là tổng tích phân của hàm số f  x  
1

Suy ra lim un 

1

 x  1 dx  ln  x  1

1
0

1
trên đoạn  0;1 .
x 1

 ln 2 .

0

Bài toán 7.3: Chứng minh:
1



a) lim x n sin  xdx  0
0

b) f  x  

x


0

t
1 t4

dt là hàm số chẵn
Hướng dẫn giải

a) Với x  0;1 thì 0  x n sin  x  x n .
1



1



Do đó: 0  x sin  xdx  x n dx 
0

n

0

1
.
n 1

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


Vì lim

1
 0  đpcm.
n 1

b) Đặt t  s trong tích phân f   x  

x


0

ta được f   x  

x

x

t



1 t4

0

dt  
0

t
1 t4

s
1  s4

dt

ds  f  x   đpcm.

Bài toán 7.4: Tính đạo hàm các hàm số:
a) f  x  

x

b) g  x  

 cos tdt
0

t 2 1
2 x t 2  1 dt

3x

Hướng dẫn giải
a)

f '  x   cos x .

 x  '  cos2 xx

t 2 1
. Gọi F là một nguyên hàm của f, theo định nghĩa tích phân, ta có:
t2 1
g  x   F  3x   F  2 x  nên g '  x   3F '  3x   2F '  2 x   3 f  3x   2 f  2 x 
f t  

b) Đặt



3  9 x 2  1
9x2  1



2  4 x 2  1
4 x2  1

Bài toán 7.5:
x2

a) Cho

 f  t  dt  x cos  x  . Tính f  4 .
0

b

b) Tìm số b dương để tích phân

  x  x  dx có giá trị lớn nhất.
2

a

Hướng dẫn giải

 

a) Lấy đạo hàm 2 vế thì có 2 xf x 2   x sin  x   cos  x 
Cho x  2 : 4 f  4   2 sin 2  cos 2  f  4  
b) Xét hàm số f  x  

1
.
4

x

  t  t  dt
2

0

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


Ta có F '  x   x  x 2 , F '  x   0  x  1.
Lập bảng biến thiên của F  x  trên  0;  thì F  x  đạt giá trị lớn nhất khi x  1 , do đó b  1 .
Bài toán 7.6: Chứng minh rằng:
a)

1

1

0

0

 f  x  dx   f 1  x  dx

1

1

1

0

b)

 f  x  dx    f  x   f   x dx

Hướng dẫn giải
a) Đặt u  1  x thì du  dx, x  0  u  1, x  1  u  0 .
1

0

1

1

0

1

0

0

 f  x  dx   f 1  u  du   f 1  u  du   f 1  x  dx
1

b)



f  x  dx 

1

0



1

1

Do đó

f  x  dx   f  x  dx và
0

1

1

1

0

0



1

0

1

1

0

f  x  dx    f  u  du   f   x  dx

 f  x  dx    f  x   f   x  dx

Bài toán 7.7: Cho hàm số f  x  liên tục trên  a; a  . Chứng minh:
a

a) Nếu f là hàm số lẻ thì

 f  x  dx  0 .

a

a

b) Nếu f là hàm số chẵn thì


a

a

f  x   2 f  x  dx
0

Hướng dẫn giải

I

a

0

a

a

a

0

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx
0

Đổi biến x  t đổi với tích phân

 f  x  dx ta được:

a

a) Nếu f lẻ thì

0

0

a

a

a

a

0

0

 f  x  dx    f  t  dt   f t  dt   f  x  dx

I 0
0

b) Nếu f chẵn thì



a

a

a

a

0

0

0

f  x  dx   f  t  dt   f  x  dx  I  2 f  x  dx

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


Bài toán 7.8: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  a; b  . Chứng minh:
 /2

a)



 /2

 f  sin x  dx   f  cos x  dx
0

b)



 xf  sin x  dx  2  f  sin x  dx
0

0



0

Hướng dẫn giải
a) Đặt x 


2

 t thì dx  dt , x  0  t 

 /2

0

 f  sin x  dx  
0

/2


2

 

f  sin   t   dt 
  2 

,x 


2

t  0.

 /2

 /2

0

0

 f  cos t  dt   f  cos x  dx

b) Đặt x    t thì dx  dt , x  0  t   , x    t  0 .


0

 xf  sin x  dx     t  f  sin t  dt
0









0

0

0

0

   f  sin t  dt   tf  sin t  dt    f  sin x  dx   xf  sin x  dx




0

0

Do đó 2 xf  sin x  dx   f  sin x  dx  đpcm.





Bài toán 7.9: Tính: a)

x 1
  x  2 x  3 dx b)

x4  2
 x3  x dx
Hướng dẫn giải

a) Đặt

x 1
A
B
nên x  1  A  x  3  B  x  2 


 x  2  x  3 x  2 x  3

Do đó x  1   A  B  x   3 A  2B  , đồng nhất hệ số thì A  B  1,3 A  2B  1 nên A 

Do đó:

x 1



3

2

3
2
,B  .
5
5



  x  2 x  3 dx    5  x  2  5  x  3  dx




3
2
 ln x  2  ln x  3  C
5
5
b)

x4  2
x2  2
x2  2

x


x

x3  x
x3  x
x  x  1 x  1

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


x2  2
A
B
C
Đặt
nên x 2  2   A  B  C  x 2   B  C  x  A , đồng nhất hệ số thì
 

x  x  1 x  1 x x  1 x  1
1
2

1

2

được A  2, B   , C   , do đó:



2 1 1
1 1 
1 2
1

2
f  x  dx    x   .
 .
 dx  x  2ln x  ln x  1  C
x 2 x 1 2 x 1 
2
2


Bài toán 7.10: Tính: a)

 x 3  x 

5

57

 x3 
b)  x   1 dx

 18 
2

dx

Hướng dẫn giải
a) Đặt u  3  x  x  3  u  dx  du

 x  3  5

5

dx    3  u  .u 5 .du    u 6  3u 5  du

1
3
1
6  3 x
 u7  u6  C  3  x  
 C
7
6
2
 7
b) Đặt u 

x3
x2
 1  du  dx  x 2 dx  6du
18

6
57

58

 x3 
3 58
3  x3 
57
 x  18  1 dx  6 u du  29 u  C  29  18  1  C
2

Bài toán 7.11: Tính a)

dx
 x 1  x8  b)

x2  1
 x4  x2  1 dx
Hướng dẫn giải

d x 
dx
x 7 dx
1
1
x8
a) 




ln
C
8
x 1  x8   x8 1  x8  8  x8 1  x8  8 1  x
8

1

dx 
x 1
1 x2  x  1
x

dx  
 ln 2
C.
b)  4
2
x  x2  1
2 x  x 1
1

 x   1
x

2

Bài toán 7.12: Tính:
3

a) A 

  x  2  x  3 dx
2

2

8

4

b) B 

x

2

 4 x  3 dx

1

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


Hướng dẫn giải
a) Đặt u  x  3 thì x  u  3, dx  du .
Khi x  2 thì u  1, x  3  u  0 .
0

A

  u  5

0

2

u du 
8

1

 u

2

 10u  25 u 8du

1

0

 u11
25 
185
   u  10u  25u  du  
 u10  u 9  
9  1

99
 11
1
0

10

b) B 

9

8

1

3

4

1

1

3

2
2
2
  x  4 x  3 dx     x  4x  3dx    x  4x  3 dx
1

3

4

 x3

 x3
  x3

28
2
2
   2 x  3x      2 x  3x     2 x 2  3x  
 3
 1  3
1  3
3 3
Bài toán 7.13: Tính l  m  

1

x

2

 2 x  m dx .

0

Hướng dẫn giải
Tam thức f  x   x 2  2 x  m,  '  1  m . Ta xét 2 trường hợp sau:
- Nếu  '  0  1  m  0  m  1
1

 x3

2
Khi đó: l  m     x  2 x  m  dx    x 2  mx   m 
3
 3
0
0
1

2

- Nếu  '  0  1  m  0  m  1

 x1  1  1  m  1

Khi đó: f  x   0  

 x2  1  1  m  1

Với x2  0 thì 1  1  m  0 hay m  0
1

 x3


2
l  m      x  2 x  m  dx     x 2  mx    m
 3
0 3
0
1

2

Với x2  0 thì 0  m  1

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


l  m 

1 1m

 x

 x

2

 2 x  m  dx

1 1 m

0

1 1m

 x3

   x 2  mx 
 3
0


1

 2 x  m  dx 

2

1

 x3

   x 2  mx 
 3
 1

1 m

4 1  m  1  m  3m  2
3

3x  1

Bài toán 7.14: Tính: a)  2
dx
x  4x  3
4
5

0

x

b)

1

2

dx
 2x  4

Hướng dẫn giải
a) Ta có

3x  1
3x  1
A
B



x  4 x  3  x  1 x  3 x  1 x  3

2

nên 3x  1   A  B  x  3 A  B .

A  B  3
 A  2

3 A  B  1  B  5

Đồng nhất hệ số 

3x  1
5 
 2
dx   

Vậy  2
 dx
x

4
x

3
x

1
x

3



4
4
5

5

  2ln x  1  5ln x  3   ln 2  2ln 3  ln18 .
5

4

0

0

dx
dx

b)  2
x  2 x  4 1  x  12  3
1
Đặt x  1  3 tan t , 
Khi x  0 thì t 
0

dx
1 x2  2 x  4 


6

 /6



1


2

t 


2

.

, khi x  1 thì t  0 .

3  tan 2 t  1 dt
3  tan 2 t  1

 /6





1

 /6

3
3
3
dt 
t 
3
3 0
18

6x  2
 x2
Bài toán 7.15: Tính: a) A   
dx
 dx b) B   2
x

3
x

x

1


2
0

4

2

2

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


Hướng dẫn giải
a) Đặt t  x  3 thì x  2  t  5, dx  dt
Khi x  2 thì t  1, x  4 thì t  7 .
7

25 
192
 10 25 

A   1   2  dt   t  10ln t   
 10ln 7
t
t
t
7




2

1
7

2
2
3  2 x  1  5
2 x  1 dx

dx
b) B  
dx  3 2
 5
2
2
x  x 1
x  x 1
1 3
0
0
0 
x  
2 4

2

2

3
0

2
2x 1
dx  3ln x 2  x  1  3ln 3
0
x  x 1
2

Đặt x 

1
3


3

tan t   t   dx 
1  tan 2 t  dt

2
2
2
2
2

Khi x  0 thì t  


6

, x  2 thì t 


3

.
 /3

 /3

2 3
10 3
5 3
5
5 
dt 
t

2
3
3  /6
3
1 3
0 
 /6
x




2 4


2

dx

Vậy B  3ln 3 

5 3
.
3
a /2

Bài toán 7.16: Tính: a) I 


0

a

dx
2
x  a2

b) J 

a

2

0

dx
 x2

Hướng dẫn giải

1
a) I 
2a

a /2


0

1 
1
xa
 1

ln

 dx 
2a x  a
 xa xa

b) Đặt x  a tan t với 


2

t 


2



a /2


0

1
ln 3
2a



thì dx  a 1  tan 2 t dt

Khi x  0 thì t  0, x  a thì t 


4

.

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...

a 1  tan 2 t  dt

 /4

J



a 2 1  tan 2 t 

0

1

a

 /4


0

 /4

1

dt  t 
a 0
4a

Bài toán 7.17: Tính:

x4  x  1
0 x2  4 dx

x4  x2  1
0 x6  1 dx
1

2

a) K 

b) L 
Hướng dẫn giải

 



a) Đặt x  2 tan t , x   0;2  t   0;  .
4
 /4



K

0

16 tan 4 t  2 tan t  1 2dt
1
. 2 
2
cos t 2
4  tan t  1

1

2

 /4

 16 tan

4

t  2 tan t  1 dt

0

 /4

 16 tan t 1  tan t   16 tan
2

2

2



t  2 tan t  1 dt

0

Từ đó tính được K  
Cách khác:

16 17

 ln 2
3
8

x4  x  1
x
17
 x2  4  2
 2
2
x 4
x 4 x 4

3
1
1
 1
2 x2 

dx
2 d x 


b) L    2
 dx   2
x  1 x6  1 
x  1 3 0  x3 2  1
0
0
1

Lần lượt đặt x  tan t , x3  tan u thì L 
3

Bài toán 7.18: Tính: a)

x2  1

  x  1  x  3 dx
3

5
12
1/ 4 3

b) N 

2


0

xdx
x8  1

Hướng dẫn giải
a)

x2  1

 x  1  x  3
3



A
B
C
D



2
3
x  1  x  1  x  1 x  3

Đồng nhất thì được A 

5

3
1
5
, B  ,C  , D  
nên
32
8
2
32

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


3

 1
3
5
x 1 
37 5
2
M 


ln
 ln
 
3
 4  x  1 16  x  1 32 x  3 


 2 56 32 15
b) Đặt t  x 2 thì xdx 

1
dt .
2

Khi x  0 thì t  0, x 

1
N
2

1/ 3


0

dt
1

4
t 1 4

1/ 3

1
1
thì t 

4
3
3

1 
 1
 2
 dt
2
1 t 1 

  t
0

1/ 3

 1 t 1 1

  ln
 arctan t 
 8 t 1 4
0
1/2

Bài toán 7.19: Tính: a) P 


0

1


 ln 2  3 
8
24





dx
8x7  2
b) Q  
dx
7
x4  2x2  1
1 x 1  x 
2

Hướng dẫn giải

1
1
1 1
1 
a) Ta có: 4

 


2

2
2
x  2 x  1  x  1  x  1
4  x 1 x 1 

2


1 1
1
2
 



4   x  12  x  12  x  1 x  1 
1 1
1
1
1 
 




2
2
4   x  1  x  1
x  1 x  1 
1/2

1 1
1
x 1 
1 ln 3

 ln
 
Từ đó P   

4  x 1 x 1
x 1  0
3 4
8x7  1  1
8 x7  1
1
dx

dx

8
1 x 1  x7 
1 x  x 1 x 1  x7  dx
2

b) Q 

2

 ln  x  x 

8

2
1

2

d x 
x6
1
 7
dx

ln129

7
7 1 x 7 1  x 7 
1 x 1  x 
2

2

7

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


2

1
x7
1 256
 ln129  ln
 ln129  ln
7
7 1 x 1
7 129

 2  x  1 khi x  0
Bài toán 7.20: Cho hàm số f  x   
2

k 1  x  khi x  0
1

Xác định k để

 f  x  dx   7 .

1

Hướng dẫn giải
1

0

1

2k

Ta có  f  x  dx   2  x  1 dx   k 1  x  dx  1 
nên
3
1
1
0
2

1

 f  x  dx  7  k  12 .

1

Bài toán 7.21: Cho f  x  là hàm liên tục và a  0 thỏa mãn: f  x   0 và f  x  . f  a  x   1 với mọi
a

dx
theo a.
1

f
x


0

x  0; a  . Tính I  

Hướng dẫn giải

Đặt x  a  t thì dx  dt
Khi x  0  t  a, x  a  t  0 , ta có:
a
a
f  t  dt
dt
dt
I  


1 f a  t  0 1 1
1  f t 
a
0
f t 
0

a
f  t  dt a
dt
nên 2 I  I  I  

 dt  a
1  f  t  0 1  f  t  0
0
a

Vậy I 

a

.
2

Bài toán 7.22: Tính:



a) I  sin 3x cos 2 xdx



b) J  sin 4 xdx
Hướng dẫn giải

a) I 

1
1
1

sin
x

sin
5
x
dx


cos

x

cos5 x   C




2
2
5


L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


b) sin 4 x 
nên J 

1
1
1 3
1
2
1  cos 2 x   1  2cos 2 x  cos 2 2 x     2cos 2 x  cos 4 x 
4
4
4 2
2


13
1

 x  sin 2 x  sin 4 x   C .
4 2
8


Bài toán 7.23: Tính:

2 x sin 2 x  cos 2 x  1  x
b) 
dx
x sin 2 x

sin 4 x sin 3x
a) 
dt
tan x  cot 2 x

Hướng dẫn giải
a) tan x  cot 2 x 

sin x cos 2 x
cos x
1
nên




cos x sin 2 x cos x sin x sin 2 x

sin 4 x sin 3x
1
 sin 4 x sin 3x sin 2 x   sin 4 x  cos5 x  cos x 
tan x  cot 2 x
2


1
1
 sin 4 x cos5x  sin 4 x cos x    sin 9 x  sin x  sin 5 x  sin 3x 
2
4

Vậy

1 1

sin 4 xsin3 x

1

1



 tan x  cot 2 x dx   4  9 cos9 x  cos x  5 cos5 x  3 cos3 x   C

2 x sin 2 x  cos 2 x  1  x

1
1 

b) 
dx    2   2  dx  2 x  ln x  cot x  C
2
x sin x
x sin x 


tan 6 x
tan 5 x
dx
dx b) 
Bài toán 7.24: Tìm: a) 
cos 4 x
cos7 x
Hướng dẫn giải
a) Đặt u  tan x thì du 

1
dx . Ta có:
cos 2 x

tan 6 x
tan 6 x 1
2
6
 cos4 x dx   cos2 x cos2 x dx   1  tan x  tan x  tan x  ' dx

  1  u 2  u 6 du 
b) Đổi biến u 

u9 u7
tan 9 x tan 7 x
 C 

C
9 7
9
7

1
sin x
dx . Ta có:
thì du 
cos x
cos 2 x

2 sin x
tan 5 x
1
2
dx

tan
x
dx



 cos7 x  cos6 x
cos 2 x

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


6
2
10
8
6
 u u  1 du   u  2u  u  du
2



u11 2u 9 u 7
1
2
1

 C 


C
11
9
11
9

7
11cos x 9cos x 7cos 7 x

Bài toán 7.25: Tính: a) I 

cos x
 cos x  sin x dx



b) E  cos 2 x.cos3xdx
Hướng dẫn giải

a) Xét J 

sin x

 cos x  sin x dx  ln cos x  sin x  C

2

I J 

cos x  sin x
dx  ln cos x  sin x  C2
cos x  sin x

Suy ra I 

1

 x  ln cos x  sin x   C .
2



1
3



b) Xét F  sin 2 x.cos3xdx thì: E  F  cos3xdx  sin 3x  C1

E  F   cos 2 x.cos3xdx 


1
 cos5x  cos x  dx
2

1
1
sin 5 x  sin x  C2
10
2

Suy ra E 

1
1
1

sin 5 x  sin 3x  sin x  C
20
6
4

Bài toán 7.26: Tính: a)

 cot

5

xdx

b)

cot x

 1  sin

9

x

dx

Hướng dẫn giải

1  sin 2 x 

cos5 x

5
dt  
d  sin x 
a)  cot xdx  
sin 5 x
sin 5 x
2

2
1 
1
1
 1
  5  3 
 2  ln sin x  C
 d  sin x   
4
4sin x sin x
 sin x sin x sin x 
d  sin 9 x 
cot x
cos x.sin 8 x
1
b) 
dx   9
dx   9
1  sin 9 x
9 sin x 1  sin 9 x 
sin x 1  sin 9 x 

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


9
9
1 d  sin x  1 d  sin x  1
sin 9 x
 
 
 ln
C
9
sin 9 x
9 sin 9 x  1 9 1  sin 9 x





Bài toán 7.27: Tính: a) I  x 2 cos 2 xdx

b) J  sin xdx
Hướng dẫn giải

a) Đặt u  x 2 , v '  cos 2 x . Khi đó u '  2 x, v 

I


1
sin 2 x .
2

1 2
1
1
x sin 2 x   x sin 2 xdx  x 2 sin 2 x   xd  cos 2 x 
2
2
2

1 2
1
1
x sin 2 x  x cos 2 x  sin 2 x  C .
2
2
4

b) Đặt t 

x  x  t 2  dx  2dt



J   sin t.2t.dt  2 t.sin t.dt  2 t cos t   cos tdt







 2  t cos t  sin t   C  2  x cos x  sin x  C
Bài toán 7.28: Tính:
 /2





b) D 

a) C  cos x.sin 8 xdx
2

  sin

7

x  cos7 x  dx

0

0

Hướng dẫn giải






1
2
a) Xét I   sin x.sin 8 xdx thì C  I   sin8 x   cos9 x 
9
9
0
0
0
2





C  I    cos x  sin x  sin8 xdx   cos 2 x sin8 xdx
2

2

0

0





1
1  cos10 x cos 6 x 
1
   sin10 x  sin 6 x  dx   

 0C 
20
2
10
6 0
9
b) Đặt x 
 /2


0


2

 t thì dx  dt , x  0  t 



sin xdx    sin   t  dt 
2 

0

7

7


2

,x 


2

t  0.

 /2

 cos

7

tdt

0

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


 /2



 cos

 /2

xdx  D 

7

0

  sin

7

x  cos7 x  dx  0 .

0

 /2



Bài toán 7.29: Tính: a)

0



sin 4 x
dx
b) 
dx
1  sin x
1  cos x
0
Hướng dẫn giải

a) Đặt t  tan

x
1
x
2dt
 dt  1  tan 2  dx  dx 
2
2
2
1 t2

Khi x  0 thì t  0; x 
 /2


0


2

thì t  1 .

dx
2 1 t2

.
dt   dt  1
1  cos x 0 1  t 2 2
0
1

1

b) Đặt x    t thì dx  dt , khi x  0 thì t   , x   thì t  0 .






sin 4 x
 sin 4 x
sin 4t
sin 4 x
dx


dt



dt


0 1  sin x
 1  sin t
0 1  sin t
0 1  sin x dx
0





sin 4 x
sin 4 x
Do đó 2
dx  0  
dx  0
1

sin
x
1

sin
x
0
0
Bài toán 7.30: Tính
 /2

a) A 


0

 /6

sin xdx

b) B 

x
sin x  2cos x cos
2
2

2


0

tan 4 x
dx
cos 2 x

Hướng dẫn giải
a) sin 2 x  2cos x cos 2
 /2

nên A 


0

 /6

b) B 


0

x
 sin 2 x  cos x 1  cos x   1  cos x .
2

 /2
d 1  cos x 
 /2
sin xdx

  ln 1  cos x  0  ln 2
1  cos x
1  cos x
0

tan 4 x
dx 
cos 2 x

 /6


0

Đặt t  tan x thì dt 

tan 4 x
dx
1  tan 2 x  cos2 x


dx
1
t

0,
x

t

x

0
.
Khi
thì
thì
6
cos 2 x

3

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


1/ 3

B


0

t4
dt 
1 t2

t 1 1
dt 
1 t2

1/ 3 4


0

1/ 3

 t3
1 t 1 

    t  ln

2 t 1  0
 3

1/ 3


0

 2
1
1 

 t  1 
dt
2 1  t  2  t  1 






1
10
 ln 2  3 
2
9 3

Bài toán 7.31: Tính:

 /2

a) I 


0

 /2

cos xdx
13  7sin x  cos 2 x

dx

  2sin x  cos x 

b) J 

2

0

Hướng dẫn giải
a) Đặt t  sin x  dt  cos xdx, x  0  t  0, x 
 /2



I

0

1


2

 t  1.

1

cos xdx
dt
dt
 2

2
sin x  7sin x  12 0 t  7t  12 0  t  3 t  4 

1 
t 4
 1
 

 dt  ln
t 4 t 3
t 3
0
1

1

 ln
0

9
8

1
 2

sin x 
cos x   5 sin  x   
5
 5


b) Ta có 2sin x  cos x  5 
2

2

2
1
 2   1 
Vì 
 cos  ,
 sin 
 
  1 nên có số  để

5
5
 5  5
 /2

J


0

 /2
dx
1
1 1
 1
  cot  x    0      2  
5sin  x   
5
5 2
 2
2

Bài toán 7.32: Tính:


 /2

3sin x  cos x  3
a) K  
dx

sin
x

2cos
x

3
0

b) L 

1

 cos x  2 dx
0

Hướng dẫn giải
a) Xét 3sin x  cos x  3  A  sin x  2cos x  3  B  cos x  2sin x 

  A  2B  sin x   2 A  B  cos x  3 A
Đồng nhất thì A  2B  0,2 A  B  0,3 A  3 nên A  1, B  1 , do đó:

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...





cos x  2sin x 


K   1 
dx   x  ln sin x  2cos x  3  0    ln 5
sin x  2cos x  3 
0

b) Đặt u  tan

x
1
x
2du
 du  1  tan 2  dx  dx 
2
2
2
1  u2

 
 



1
1 d
3u
1
2du
du
1

 3
.
L
.

2


2
2
2
2


1

u
1

u
u

3
9
2
3
0
0
0
3u  1

2
1 u2

Bài toán 7.33: Tính:
 /2



a) A 



b) B 

1  cos 2 xdx


0

0

3sin 2 x  2cos x
dx
8sin x  1

Hướng dẫn giải
2

20

a) A 



2sin xdx  2  sin x dx
2

0

0





2



2
 2   sin xdx   sin xdx   2   cos x  0  cos x   4 2

0


t 2 1
1
b) Đặt t  8sin x  1  sin x 
 cos x.dx  tdt
8

4



Khi x  0  t  1, x 
 /2

B



2

t 3

2cos x  3sin x  1
8sin x  1

0

3

3

1
1
1
dx    3t 2  11 dt   t 3  11t  
16 1
16

4
1

Bài toán 7.34: Tính

 sin x 
E 
dx


sin
x

cos
x




 /3


 /2

a)



b) F 

x sin x

 1  cos
0

2

x

dx

Hướng dẫn giải
a) Đặt x 


2

 t  dx  dt; x  0  t 


2

,x 


2

t 0

 /2

cos t 

 cos x 
E
dt  
dx




cos
t

sin
t
sin
x

cos
x








 /2
0

0





L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


 /2

Do đó E  E 





 dx  2  E  4 .
0

b) Đặt x    t  dx  dt , x  0  t   , x    t  0 .
0

F  

  t  sin t dt   
1  cos t



Do đó 2 J  

sin t

 1  cos

2

2



dt  J

t

0

1

sin t
1
dt

2
0 1  cos t 1 1  u 2 du

Đặt u  tan t thì tính được F 

2
4

.

Bài toán 7.35: Tính:
 /2

 /2

  2 x  1 cos

a) C 

2

b) D 

xdx

  x  sin x  cos xdx
2

0

0

Hướng dẫn giải
 /2

a) C 


0

1  cos 2 x
1
dx 
 2 x  1
2
2

 /2

 /2

0

0



  2 x  1 dx    x  2  cos 2 xdx

 /2

 /2

1
1

1
1
  2 x  1   x   
4
2
20
2
0

 /2

 

1

 1

 sin 2 xdx  4  2  1  2
0

 /2

b) D 

  x  sin x  d  sin x 
2

0



 x  sin x  sin x 
2

 /2

 /2



0

 1  2sin x.cos x  sin xdx
0

 /2

 /2

2
 2


   1   cos x    sin 3 x    .
3
2 3
2 
0
0
 2 /4

 /4

Bài toán 7.36: Tính: I 

 x tan

2

b) J 

xdx

0



x sin xdx

0

Hướng dẫn giải
 /4

a) I 


0

 1


x
 1dx 
2
 cos x 

 /4


0

xdx

cos 2 x

 /4

 xdx
0

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...




 /4

 /4

0

0

 xd  tan x    xdx  x tan x

b) Đặt t 

 /4
x

 /4




0

 /4

x2
tan xdx 
2

x



2 2
  ln


4
2 32

x  x  t 2  dx  2dt .

Khi x  0  t  0, x 

2
4

t 


2

 /2

nên J  2

 t .sin tdt
3

0

Đặt u  t 3 , dv  sin tdt . Khi đó du  3t 2 dt , v   cos t

J  2  t cos t 
3

 /2
0

 /2

 /2

 6  t cos tdt  6  t 2 cos tdt
2

0

0

Áp dụng tích phân từng phần 2 lần nữa thì J  3   4  .
Bài toán 7.37: Tính:
 /6

1

x cos5 x
a) A  
dx
3  tan 2 x
1

b) B 


0

sin 2 x
dx
sin x  3 cos x

Hướng dẫn giải
a) Đặt x  t thì dx  dt , x  1  t  1, x  1  t  1.
1

A  
1

t cos5t
x cos5 x
dt   
dx   A  A  0
2
2
3  tan t
3

tan
x
1
1

 /6

b) Xét C 


0

1
BC 
2

cos 2 x
, ta có
sin x  3 cos x

 /6


0

dx

1

 2

sin  x  
6


1


 ln tan  x  

2
6

 /6

và B  3C 

  sin x 

 /6

0

 /6


0

 
 
d  tan  x   

6 

tan  x    
6

1

1

 ln 3
4



3 cos x dx  1  3

0

nên B 

3
1 3
ln 3 
16
4

Bài toán 7.38:
L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


 /2

a) Tính

 max sin x,cos x dx
0

x

t
4



b) Giải phương trình: sin 2 .cos 2
0

t
dt   .
4
Hướng dẫn giải

a)

 /2

 /4

0

0

 /2

 max sin x;cos x dx   cos xdx   sin xdx
/4

 2

 
 /4
 /2
2
  sin x  0   cos x   /4  
 0   0 
 2
2 
 2
 
x

b)

x

x

1
1
2 t
2 t
2 t
sin
.cos
dt

sin
dt


1  cos t  dt
0 4
4
4 0
2
8 0
x

1
1
  t  sin t    x  sin x  .
8
8
0
Phương trình

1
 x  sin x     x  sin x  8  x  8 .
8

Bài toán 7.39: Tìm hàm số y  f  x  biết:





a) dy  12 x 3x 2  1 dx và f 1  3
3

b) y '  sin 7 x.cos3 x và f    79 .

Hướng dẫn giải
a) Đặt u  3x 2  1 thì du  6 xdx nên 12 xdx  2du .

3x 2  1

u4
f  x    dy   2u du   C 
C
2
2
4

3

Vì f  t   8  C  3 nên C  5 . Vậy

 3x
f  x 

2

 1

2

4

5.

b) Đặt t  sin x thì dt  cos xdx

f  x    y ' dx   sin 7 x 1  sin 2 x  cos xdx   t 7 1  t 2  dt

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...