Đáp án Đề thi THPT Anh Sơn 2 Nghệ An Lần 1 năm 2016

Chuyên dạy học sinh đã học nhiều nơi không tiến bộ

TRƯỜNG THPT ANH SƠN 2

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016 (Lần 1)
Môn : TOÁN;
(Đáp án này có 05 trang)

ĐỀ CHÍNH THỨC

CÂU

1
1,0đ

ĐÁP ÁN

ĐIỂM

* Tập xác định : D  
* Sự biến thiên :
- Giới hạn lim y  lim y  
x 

,

0,25

x 

3

- Ta có y  4 x  4 x; y ,  0  x  0, x  1
Bảng biến thiên
x -
y’

-

-1
0

0
0

+

+

1
0

-

+
+

0,25

-3

+

y
-4

-4

- Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1 ; 0) và (1 ; +  ), nghịch biến trên các khoảng
(-  ; -1) và (0 ; 1).
- Hàm số đạt cực đại tại x  0, yCD  3 ; hàm số đạt cực tiểu tại x  1, yCT  4 .

0,25

*Đồ thị : Đồ thị cắt trục Ox tại các điểm ( 3;0) , cắt trục Oy tại (0; 3) . Đồ thị nhận
trục Oy làm trục đối xứng.
y
8

y

6

4

0,25

2

x

-15

-10

-5

O

-2

5

10

15

x

-4

-6

2
1,0đ

Tiếp tuyến có hệ số góc bằng -5 nên hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình
 5
 5
x  3


y  5   ( x  2)2

x 1
x  2

,

Suy ra có hai tiếp điểm là A(3;7), B(1; 3)

Tham gia khóa học của thầy Quang Baby để có kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT QG
/> />
0,25

0,25

Page 1


Chuyên dạy học sinh đã học nhiều nơi không tiến bộ

3a
0,5đ
3b

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại A là y  5( x  3)  7 hay y  5 x  22

0,25

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại B là y  5( x  1)  3 hay y  5 x  2

0,25

Tính được z = 4 - 3i

0,25

Khi đó | z | 42  (3) 2  5

0,25

Phương trình đã cho tương đương 32 x  4.3x  45  0

0,25

0,5đ
t  9
Đặt 3x  t , (t  0) ta được t 2  4t  45  0  
. Do t>0 nên ta chọn t=9, khi đó
 t  5

0,25

3x  9  32  x  2 . Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2.

4
1,0đ

2

2

Ta có I   4dx  
0

0

2

Tính A   4dx  4 x
0
2

Tính B  
0

x2
1  x3

dx

0,25

2
8
0

0,25

x2

2
dx . Đặt 1  x 3  t  1  x 3  t 2  x 2 dx  tdt
3
1  x3

2
t
3
2
3
2
2 3 4
Đổi cận x  t . Khi đó B   3 dt   dt  t 
0
1
t
31
3 1 3
1

0,25

3

Vậy I  A  B  8 
5
1,0đ

4 28


3 3

0,25

1
* Ta có mặt cầu (S) có tọa độ tâm là A( 0; 1; 2), bán kính R  d ( A; ( P))  .
3
Vì vậy (S) có phương trình: x 2  ( y  1) 2  ( z  2) 2 

1
.
9

0,25
0,25

* Đặt M(x; y; z). Khi đó theo giả thiết ta có:

 MA  MB
2 x  3 y  z  2
 MA  MB  MC


  MB  MC
 2 x  y  1

 M  ( P)
2 x  2 y  z  3  0
2 x  2 y  z  3



x  2

  y  3 . Vậy M(2 ;3 ;-7).
 z  7


Tham gia khóa học của thầy Quang Baby để có kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT QG
/> />
0,25

0,25

Page 2


Chuyên dạy học sinh đã học nhiều nơi không tiến bộ

6a
0,5

Do


2

    nên sin   0 . Do đó sin 2   1  cos 2  1 

0,5đ

0,25

5
2
2
1 4 5
.( )  2( )2  1  
3
3
3
9

Vậy P  2sin  .cos  2 cos 2   1  2.
6b

4 5
5
  sin  
9 9
3

0,25

Không gian mẫu  là các cách chọn môn tự chọn và số mã đề thi có thể nhận được của
Mạnh và Lâm.
Mạnh có C32 cách chọn hai môn tự chọn, có C61 .C61 mã đề thi có thể nhận cho hai môn tự
chọn của Mạnh.

0,25

Lâm có C32 cách chọn hai môn tự chọn, có C61 .C61 mã đề thi có thể nhận cho hai môn tự
chọn của Lâm.
Do đó n()  (C32 .C61 .C61 ) 2  11664 .
Gọi A là biến cố để Mạnh và Lâm chỉ có chung đúng một môn thi tự chọn và một mã đề
thi. Các cặp gồm hai môn tự chọn mà mỗi cặp có chung đúng một môn thi là 3 cặp ,
gồm :
Cặp thứ nhất là (Vật lí, Hóa học) và (Vật lí, Sinh học)
Cặp thứ hai là (Hóa học, Vật lí) và (Hóa học, Sinh học)
Cặp thứ ba là (Sinh học, Vật lí) và (Sinh học, Hóa học)
Suy ra số cách chọn môn thi tự chọn của Mạnh và Lâm là C31.2!  6

0,25

Trong mỗi cặp để mã đề của Mạnh và Lâm giống nhau khi Mạnh và Lâm cùng mã đề
của môn chung, với mỗi cặp có cách nhận mã đề của của Mạnh và Lâm là
C61 .C61 .1.C61  216 .

Suy ra n()  216.6  1296
Vậy xác suất cần tính là P( A) 
7

n( A) 1296 1

 .
n() 11664 9

S

A

1,0đ
D

0,25
Q

M

E
H
C

D

B

H
O
A

B

K

P

C

Tham gia khóa học của thầy Quang Baby để có kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT QG
/> />

Page 3


Chuyên dạy học sinh đã học nhiều nơi không tiến bộ

(Hình câu 7)

(Hình câu 8)

*Gọi H là trọng tâm tam giác BCD. Theo giả thiết ta có SH  ( ABCD ) . Gọi O là giao

2
1
điểm của AC và BD. Ta có CH  CO  AC  a  AH  AC  HC  2a . Cạnh SA
3
3
  450 , SH = AH =2a. Diện tích đáy
tạo với đáy góc 450, suy ra SAH

S ABCD  AB. AD  a.2 2a  2 2a 2 .
1
1
4 2a 3
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là V  S ABCD .SH  .2 2a 2 .2a 
.
3
3
3

*Gọi M là trung điểm SB thì mp(ACM) chứa AC và song song với SD.

Do đó d(SD ;AC)= d(SD ; (ACM))= d(D ; (ACM)).

0,25

0,25

Chọn hệ tọa độ Oxyz, với A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; 2 2a ; 0),
C (a; 2 2a;0), S (

2a 4 2a
5a 2 2a
;
; 2a ), M ( ;
; a ) . Từ đó viết phương trình mp(ACM)
3
3
6
3

là 2 2 x  y  2 z  0 . Vậy d ( SD, AC )  d ( D, ( ACM )) 

| 2 2a | 2 22a

.
11
8 1 2

0,25

Chú ý: Cách 2. Dùng phương pháp hình học thuần túy, quy về KC từ một điểm

đến một mặt phẳng
8
1,0đ

Tam giác ABC cân tại A nên đường cao AK là trung trực canh BC, do đó AK có
phương trình 2x – y = 0. Phương trình đường thẳng BC là x + 2y = 0.

0,25

Ta chứng minh Q thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Thật vậy.
Vì AD// PE, AE// PD nên ADPE là hình bình hành, do đó PD = AE, AD = PE.
Gọi H là giao điểm của DE với CQ. Vì P, Q đối xứng nhau qua DE nên DP =DQ,
DH  PQ, EQ  EP . Do đó AE= DP= DQ, EQ= EP= AD. Suy ra ADEQ là hình thang

0,25

cân, nên ADEQ nội tiếp được đường tròn. Vì thế ta có

  DEQ
  1800  DEQ
  1800  DAQ
 (1).
DAQ
Tam giác ABC cân tại A nên tam giác EPC cân tại E, suy ra EP = EC. Lại có Q đối xứng
với P qua DE nên EQ= EP, suy ra EQ = EP = EC.

Tham gia khóa học của thầy Quang Baby để có kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT QG
/> />
Page 4

Chuyên dạy học sinh đã học nhiều nơi không tiến bộ

  ECQ

 EQC
  ECH
 , suy ra EPCH nội tiếp được đường tròn (2).
 EPH
Từ đó có 


 EPH  EQH
Từ (1) và (2) ta được

  1800  PEH
  1800  QEH
  DEQ
  1800  DAQ
  1800  BAQ

BCQ
  BAQ
  1800 . Suy ra tứ giác ABCQ nội tiếp, tức Q thuộc đường tròn ngoại
hay BCQ
tiếp tam giác ABC.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đi qua B, C, Q có phương trình là x 2  y 2  5 .
0,25

2 x  y  0
 x  1, y  2
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ  2
.

2
 x  1, y  2
x  y  5
Đối chiếu A, Q cùng phía với đường thẳng BC ta nhận điểm A(-1 ; -2).
Vậy A(-1 ; -2).
9
1,0đ

0,25

Bất phương trình đã cho tương đương
( x x 2  1  x 2  x  1 x 2  x  2)  (1  x 2  x  1)  0



( x  1)(2 x 2  x  2)
x x2  1  x2  x  1 x2  x  2

 ( x  1)(

2 x2  x  2



x(1  x)

1  x2  x  1


0

x

x x2  1  x2  x  1 x2  x  2 1  x2  x  1

 ( x  1). A  0 (1) với A 

2 x2  x  2

0,25
)0



x

x x2  1  x2  x  1 x2  x  2 1  x2  x  1

 x 2  x  1  x 2  1
Nếu x  0 thì 
 x2  x  1 x2  x  2   x x2  1
2
 x  x  2   x

0,25

 x2  x  1 x2  x  2  x x2  1  0  A  0
Nếu x>0 , áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
 2
x2  x  1  x2  x  2
3
2
x

x

1
x

x

2

 x2  x 

2
2

2
2
 x x2  1  x  x  1  x2  1

2
2

0,25

 x2  x  1 x2  x  2  x x2  1  2 x2  x  2

Tham gia khóa học của thầy Quang Baby để có kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT QG
/> />
Page 5


Chuyên dạy học sinh đã học nhiều nơi không tiến bộ

 A  1

x
1  x2  x  1

 0 vì

x
1  x2  x  1

1

Tóm lại , với mọi x   ta có A>0. Do đó (1) tương đương x  1  0  x  1 .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là (1; ) .
Chú ý : Cách 2. Phương pháp hàm số
Đặt u  x 2  x  1  u 2  x 2  x  1 thế vào bpt đã cho ta có
u 2  x 2  x  x x 2  1  u (1  u 2  1)

0,25

 u 2  u  u u 2 1  x2  x  x x2 1
Xét f (t )  t 2  t  t t 2  1 )
f ' (t )  (t  t 2  1) 2  t 2  1  0t nên hàm nghịch biến trên R
Do đó bpt  u  x  x  1

10
1,0đ

Ta có a  [0;1], b  [0;2],c  [0;3]
(1  a )(b  c)  0
b  c  ab  ac


 2a  b  3c  2ab  bc  ac (1)
(2  b)(a  c)  0
2a  2c  ab  bc



0,25

2(2ab  ac  bc) 2(2ab  ac  bc)

1  2a  b  3c
1  2ab  ac  bc

Mặt khác b  c  a (b  c) vì a  [0;1] , suy ra
8b
8b
8b



b  c  b(a  c)  8 a (b  c)  b(a  c)  8 2ab  bc  ac  8

Với mọi số thực x, y, z ta có
( x  y )2  ( y  z ) 2  ( z  x)2  0  2( x 2  y 2  z 2 )  2 xy  2 yz  2 zx
 3( x 2  y 2  z 2 )  ( x  y  z )2 (2). Áp dụng (2) và (1) ta có

0,25

12a 2  3b 2  27c 2  3[(2a )2  b 2  (3c) 2 ]  (2a  b  3c) 2  2a  b  3c  2ab  bc  ac



b
12a 2  3b 2  27c 2  8

Suy ra P 



b
2ab  bc  ac  8

2(2ab  bc  ac)
8b
b


1  2ab  bc  ac 2ab  bc  ac  8 2ab  bc  ac  8

0,25

2(2ab  bc  ac)
8
. Đặt t  2ab  bc  ac với t  [0;13] .
P

1  2ab  bc  ac 2ab  bc  ac  8

Tham gia khóa học của thầy Quang Baby để có kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT QG
/> />
Page 6


Chuyên dạy học sinh đã học nhiều nơi không tiến bộ

Xét hàm số f (t ) 

2t
8
2
8

; t  [0;13] có f ' (t ) 

; f ' (t )  0  t  6 .
2
t 1 t  8
(t  1) (t  8) 2

Tính f (0)  1; f (6) 

16
47
16
16
khi t  6 .
; f (13) 
 f (t )  , t  [0;13] và f (t ) 
7
21
7
7

0,25

16
2
16
16
Do đó P  . Khi a  1; b  2; c  thì P  . Vậy giá trị lớn nhất của P là
.
7
3
7
7

Chú ý: Thí sinh giải cách khác đáp án mà đúng thì cho điểm tối đa theo thang điểm.
----------Hết--------

Tham gia khóa học của thầy Quang Baby để có kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT QG
/> />
Page 7