Phương trình lượng giác có lời giải chi tiết
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.23 MB, 60 trang )
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác – ĐS và GT 11
PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
VỚI MỘT HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƢƠNG PHÁP
1. Phƣơng trình sinx = sin
x k 2
(k Z )
a) sin x sin
x k 2
b)
c)
d)
e)
sin x a. Ñieàu kieän : 1 a 1.
x arcsin a k 2
sin x a
(k Z )
x arcsin a k 2
sin u sin v sin u sin(v)
sin u cos v sin u sin v
2
sin u cos v sin u sin v
2
Các trƣờng hợp đặc biệt:
sin x 0 x k (k Z )
sin x 1 x
sin x 1 x
2
2
k 2 (k Z )
k 2 (k Z )
sin x 1 sin2 x 1 cos2 x 0 cos x 0 x
2
k (k Z )
2. Phƣơng trình cosx = cos
a) cos x cos x k 2 (k Z )
cos x a. Ñieàu kieän : 1 a 1.
b)
cos x a x arccos a k 2 (k Z )
c) cos u cos v cos u cos( v)
d) cos u sin v cos u cos v
2
e) cos u sin v cos u cos v
2
Các trƣờng hợp đặc biệt:
cos x 0 x
k (k Z )
2
cos x 1 x k 2 (k Z )
cos x 1 x k 2 (k Z )
cos x 1 cos2 x 1 sin2 x 0 sin x 0 x k (k Z )
3. Phƣơng trình tanx = tan
a) tan x tan x k (k Z )
File Word liên hệ: 0937351107
Trang 1
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
b)
c)
Lượng giác – ĐS và GT 11
tan x a x arctan a k (k Z )
tan u tan v tan u tan(v)
tan u cot v tan u tan v
2
e) tan u cot v tan u tan v
2
Các trƣờng hợp đặc biệt:
tan x 0 x k (k Z )
tan x 1 x k (k Z )
4
d)
4. Phƣơng trình cotx = cot
cot x cot x k (k Z )
cot x a x arccot a k (k Z )
Các trƣờng hợp đặc biệt:
cot x 0 x
cot x 1 x
k (k Z )
2
k (k Z )
4
5. Phƣơng trình bậc nhất đối với một hàm số lƣợng giác
Có dạng at b 0 với a, b , a 0 với t là một hàm số lượng giác nào đó
b
Cách giải: at b 0 t đưa về phương trình lượng giác cơ bản
a
6. Một số điều cần chú ý:
a) Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, thì
nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.
*
k (k Z ).
2
Phương trình chứa cotx thì điều kiện: x k (k Z )
*
Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện x k
*
Phương trình chứa tanx thì điều kiện: x
2
(k Z )
* Phương trình có mẫu số:
sin x 0 x k (k Z )
cos x 0 x
tan x 0 x k
2
2
(k Z )
(k Z )
2
b) Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau để kiểm
tra điều kiện:
1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện.
2. Dùng đường tròn lượng giác để biểu diễn nghiệm
3. Giải các phương trình vô định.
c) Sử dụng MTCT để thử lại các đáp án trắc nghiệm
cot x 0 x k
k (k Z )
File Word liên hệ: 0937351107
Trang 2
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác – ĐS và GT 11
- HỌC SINH KHÔNG LỆ THUỘC VÀO VIỆC SỬ DỤNG MTCT ĐỂ THỬ LẠI
CÁC ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM.
- HỌC SINH CẦN NẮM ĐƢỢC MẤU CHỐT CỦA VIỆC GIẢI TỰ LUẬN
- CÁC CÂU HỎI HẠN CHẾ MTCT CHẲNG HẠN:
+ SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH TRÊN MỘT ĐOẠN HAY
KHOẢNG
+ SỐ ĐIỂM BIỂU DIỄN TRÊN ĐƢỜNG TRÒN LƢỢNG GIÁC.
+ TỔNG CỦA CÁC NGHIỆM TRÊN MỘT ĐOẠN HAY KHOẢNG
+ TỔNG, HIỆU, TÍCH…CỦA CÁ NGHIỆM DƢƠNG HOẶC ÂM
NHỎ NHẤT (LỚN NHẤT)…
PHẦN I: B– BÀI TẬP
Câu 1: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
x y k
A. sin x sin y
k .
x y k
x y k 2
B. sin x sin y
k .
x y k 2
x y k 2
k .
C. sin x sin y
x y k 2
x y k
k .
D. sin x sin y
x y k
Câu 2: Phương trình s inx sin có nghiệm là
x k 2
;k
A.
x k 2
x k
;k .
C.
x k
Câu 3: Chọn đáp án đúng trong các câu sau:
A. sin x 1 x
k 2 , k .
2
x k
;k .
B.
x k
x k 2
;k .
D.
x k 2
B. sin x 1 x k 2 , k .
C. sin x 1 x k 2 , k .
D. sin x 1 x
Câu 4: Nghiệm của phương trình sin x 1 là:
A. x
k .
2
B. x
k 2 .
2
Câu 5: Phương trình sin x 0 có nghiệm là:
File Word liên hệ: 0937351107
Trang 3
C. x k .
k , k .
2
D. x
3
k .
2
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. x
k 2 .
2
B. x k .
Lượng giác – ĐS và GT 11
C. x k 2 .
D. x
k .
2
Câu 6: Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai
A. sin x 1 x
k 2 .
2
B. sin x 0 x k .
C. sin x 0 x k 2 .
D. sin x 1 x
2x
0 (với k
Câu 7: Phương trình sin
3 3
) có nghiệm là
A. x k .
C. x
k .
3
k 2 .
3
2 k 3
.
3
2
k 3
D. x
.
2
2
B. x
Câu 8: Nghiệm của phương trình sin x
A. x
k 2 .
2
B. x
1
là:
2
k .
6
C. x k .
D. x
k 2 .
6
1
có nghiệm thỏa mãn x là :
2
2
2
5
k 2
A. x
B. x .
C. x k 2 .
D. x .
6
6
3
3
2
Câu 10: Nghiệm phương trình sin 2 x
là:
2
x 4 k 2
x 4 k
A.
B.
k .
k .
3
3
x
x
k 2
k
4
4
x 8 k
x 8 k 2
C.
D.
k .
k .
x 3 k
x 3 k 2
8
8
Câu 11: Nghiệm của phương trình sin x 10 1 là
Câu 9: Phương trình sin x
A. x 100 k 360 .
C. x 100 k 360 .
B. x 80 k180 .
D. x 100 k180 .
1
x
Câu 12: Phương trình sin
có tập nghiệm là
2
5
11
x 6 k10
A.
B.
(k ) .
29
x
k10
6
File Word liên hệ: 0937351107
Trang 4
11
x 6 k10
(k ) .
29
x
k10
6
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác – ĐS và GT 11
11
x 6 k10
D.
(k ) .
x 29 k10
6
11
x 6 k10
C.
(k ) .
x 29 k10
6
Câu 13: Số nghiệm của phương trình sin 2 x
3
trong khoảng 0;3 là
2
C. 6 .
B. 2 .
sin x 1
2
Câu 14: Nghiệm phương trình
là
A. 1 .
k 2 .
2
k 2 .
2
Câu 15: Phương trình: 1 sin 2 x 0 có nghiệm là:
A. x
A. x
2
k 2 .
B. x
B. x
k .
4
D. 4 .
C. x k .
C. x
4
D. x k 2 .
k 2 .
D. x
k .
2
Câu 16: Số nghiệm của phương trình: sin x 1 với x 5 là
4
A. 1.
B. 0.
C. 2.
D. 3.
Câu 17: Nghiệm của phương trình 2sin 4 x –1 0 là:
3
7
k .
A. x k ; x
B. x k 2 ; x k 2 .
8
2
24
2
2
D. x k 2 ; x k
C. x k ; x k 2 .
.
2
3 2sin x 0 có nghiệm là:
2
k 2 .
A. x k 2 x k 2 .
B. x k 2 x
3
3
3
3
2
4
k 2 .
k 2 .
C. x k 2 x
D. x k 2 x
3
3
3
3
Câu 19: Nghiệm của phương trình sin 3 x sin x là:
A. x k .
B. x k ; x k . C. x k 2 .
D.
2
4
2
x k ; k k 2 .
2
1
Câu 20: Phương trình sin 2 x có bao nhiêu nghiệm thõa 0 x .
2
A. 1 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 4 .
Câu 21: Số nghiệm của phương trình sin x 1 với x 3 là :
4
A. 1 .
B. 0 .
C. 2 .
D. 3 .
Câu 22: Nghiệm của phương trình 2sin 4 x 1 0 là:
3
7
k .
A. x k ; x k 2 .
B. x k ; x
8
2
24
2
Câu 18: Phương trình
File Word liên hệ: 0937351107
Trang 5
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác – ĐS và GT 11
k 2 . D. x k 2 ; x k .
2
2
1
x
Câu 23: Họ nghiệm của phương trình sin
là
2
5
11
11
k10
k10
x
x
C. x k 2 ; x
6
A.
x 29 k10
6
11
x 6 k10
C.
x 29 k10
6
6
B.
x 29 k10
6
11
x 6 k10
D.
x 29 k10
6
k
k .
k
k
Câu 24: Phương trình 2sin 2 x 40 3 có số nghiệm thuộc 180 ;180 là:
A. 2 .
C. 6 .
B. 4 .
D. 7 .
2
Câu 25: Tìm sô nghiệm nguyên dương của phương trình sau sin 3 x 9 x 16 x 80 0 .
4
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 26: Nghiệm của phương trình sin 2 x 1 là:
A. x k 2 .
B. x
k .
2
C. x k 2 .
D. x
Câu 27: Với giá trị nào của m thì phương trình sin x m có nghiệm:
A. m 1 .
B. m 1 .
C. 1 m 1 .
Câu 28: Phương trình 2sin x m 0 vô nghiệm khi m là
A. 2 m 2 .
B. m 1 .
C. m 1 .
m2.
Câu 29: Nghiệm của phương trình cos x 1 là:
A. x k .
B. x
k 2 .
2
k .
2
C. cos x 1 x k 2 .
2
Câu 31: Phương trình: cos 2 x 1 có nghiệm là:
A. x k 2 .
B. x k .
2
Câu 32: Nghiệm của phương trình cos x 1 là:
A. x k .
B. x k 2 .
2
A. cos x 1 x
Câu 33: Nghiệm phương trình cos x
File Word liên hệ: 0937351107
1
là:
2
Trang 6
D. m 1 .
D. m 2 hoặc
C. x k 2 .
Câu 30: Giá trị đặc biệt nào sau đây là đúng
B. cos x 0 x
D. cos x 0 x
k 2 .
2
D. x
2
k .
2
k .
k 2 .
2
C. x k 2 .
D. x
k .
2
C. x k 2 .
D. x
3
k .
2
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác – ĐS và GT 11
x 6 k 2
x 6 k 2
A.
B.
k .
x 5 k 2
x k 2
6
6
x 3 k 2
x 3 k 2
C.
D.
k .
x 2 k 2
x k 2
3
3
Câu 34: Nghiệm của phương trình 2 cos 2 x 1 0 là:
k 2 ; x k 2 .
3
3
2
2
k 2 ; x
k 2 .
C. x
3
3
A. x
B. x
k .
k 2 ; x
C. x k .
k 2 .
C. x k .
2
Câu 37: Phương trình lượng giác: 2 cos x 2 0 có nghiệm là
3
5
x 4 k 2
x 4 k 2
x 4 k 2
A.
.
B.
.
C.
.
3
3
5
x
x
x
k 2
k 2
k 2
4
4
4
A. x
B. x
Câu 38: Nghiệm phương trình: cos 2 x
3
k 2 .
D. x k 2 .
x 4 k 2
D.
.
x
k 2
4
x 4 k
B.
.
x k
4
x
k 2
8
D.
.
x k 2
8
Câu 39: Nghiệm của phương trình cos x
D. x k 2 .
2
là
2
x 4 k 2
A.
.
x k 2
4
x
k
8
C.
.
x k
8
A. x
2
k 2 .
3
6
D. x k ; x k .
3
3
Câu 35: Phương trình cos 2 x 0 có nghiệm là
2
k
.
A. x
B. x k .
2 2
Câu 36: Nghiệm phương trình cos x 1 là:
2
k 2 .
2
k .
B. x
6
k 2 .
Câu 40: Nghiệm của phương trình cos x
File Word liên hệ: 0937351107
1
là:
2
3
0 là:
2
Trang 7
C. x
2
k 2 .
3
D. x
k .
6
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. x
5
k .
6
B. x
3
Câu 41: Số nghiệm của phương trình:
A. 0 .
B. 2 .
k 2 .
C. x
Lượng giác – ĐS và GT 11
k 2 .
6
D. x
2 cos x 1 với 0 x 2 là
3
C. 1 .
2
k 2 .
3
D. 3 .
Câu 42: Phương trình 2cos x 3 0 có họ nghiệm là
A. x
C. x
3
6
k k
k 2 k
.
B. x
.
D. x
3
6
k 2 k
k k
.
.
Câu 43: Giải phương trình lượng giác : 2cos 2 x 3 0 có nghiệm là
k 2 .
6
k 2 .
C. x k .
12
12
x
Câu 44: Giải phương trình lượng giác: 2 cos 3 0 có nghiệm là
2
5
5
5
k 4 .
k 4 .
k 2 .
A. x
B. x
C. x
6
3
6
3
Câu 45: Giải phương trình cos x cos
.
2
A. x
A. x
B. x
3
k 2 ; k .
2
C. x arccos
6
B. x arccos
k 2 ; k .
D. x
6
D. x
D. x
x
cos 2 (với k ) là
3
A. x 2 k .
`
B. x 3 2 k 6 .
C. x 2 k 4 .
D. x 3 2 k 6 .
Câu 47: Nghiệm của phương trình cos 3 x cos x là:
Câu 46: Nghiệm của phương trình cos
k 2 .
2
D. x k ; x k 2 .
2
A. x k 2 .
C. x k
B. x k 2 ; x
.
2
Câu 48: Phương trình 2 2 cos x 6 0 có các nghiệm là:
5
k 2 k .
A. x
B. x k 2 k
6
6
5
k 2 k .
C. x
D. x k 2 k
3
3
Câu 49: Phương trình cos 4 x cos
x
k 2
5
A.
k
x k 2
5
File Word liên hệ: 0937351107
.
.
có nghiệm là
5
x
k 2
20
B.
k
x k 2
20
.
Trang 8
5
k 2 .
3
3
k 2 ; k .
2
k 2 ; k .
.
k 2 .
3
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
x 5 k 5
C.
k
x k
5
5
Lượng giác – ĐS và GT 11
x 20 k 2
D.
k
x k
20
2
.
.
x
Câu 50: Giải phương trình lượng giác 2 cos 3 0 có nghiệm là:
2
5
5
x
k
2
x
k 2
3
6
A.
B.
k .
k .
x 5 k 2
x 5 k 2
3
6
5
5
x 6 k 4
x 3 k 4
C.
D.
k .
k .
x 5 k 4
x 5 k 4
6
3
Câu 51: Số nghiệm của phương trình 2 cos x 1 với 0 x 2 là
3
A. 3 .
B. 2 .
C. 0 .
D. 1 .
x
Câu 52: Số nghiệm của phương trình cos 0 thuộc khoảng ,8 là
2 4
A. 2 .
B. 4 .
C. 3 .
D. 1 .
;
2cos
x
2
0
Câu 53: Nghiệm của phương trình
trong khoảng 2 2 là
3
7
7
7
A. ;
B. .
C. .
D. ; .
.
12 12
12
12
12 12
Câu 54: Phương trình 2cos2 x 1 có nghiệm là
A. x k
.
4
B. x
k .
4
C. x k
.
2
D. vô nghiệm.
Câu 55: Tìm tổng các nghiệm của phương trình: 2 cos( x ) 1 trên (; )
3
2
4
7
A.
B.
C.
D.
3
3
3
3
Câu 56: Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình: cos (3 3 2x x2 ) 1 .
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
1
2
Câu 57: Giải phương trình cos 2 x .
4
2
k ; k .
A. x k 2 , x k ; k .
B. x k , x
6
3
6
3
C. x
k , x
k ; k .
D. x
6
3
Câu 58: Phương trình cos x m 0 vô nghiệm khi m là:
File Word liên hệ: 0937351107
Trang 9
6
k , x
2
k ; k .
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
m 1
A.
.
B. m 1 .
m 1
Câu 59: Cho phương trình: √
Lượng giác – ĐS và GT 11
C. 1 m 1 .
D. m 1 .
. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm:
A. m 1 3 .
B. m 1 3 .
C. 1 3 m 1 3 .
D. 3 m 3 .
Câu 60: Phương trình m cos x 1 0 có nghiệm khi m thỏa điều kiện
m 1
A.
.
B. m 1.
C. m 1.
m 1
Câu 61: Phương trình cos x m 1 có nghiệm khi m là
A. 1 m 1 .
B. m 0 .
C. m 2 .
m 1
D.
m 1
D. 2 m 0 .
k là nghiệm của phương trình nào sau đây:
2
A. sin x 1 .
B. sin x 0 .
C. cos 2 x 0 .
D. cos 2 x 1 .
Câu 63: Cho phương trình: 3 cos x m 1 0 . Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm
A. m 1 3 .
B. m 1 3 .
Câu 62: Cho x
C. 1 3 m 1 3 .
D. 3 m 3 .
Câu 64: Cho phương trình cos 2 x m 2 . Tìm m để phương trình có nghiệm?
3
A. Không tồn tại m.
B. m1;3 .
C. m3; 1.
D. mọi giá trị của m.
x
Câu 65: Để phương trình cos 2 m có nghiệm, ta chọn
2 4
A. m 1 .
B. 0 m 1 .
C. 1 m 1 .
2
k 2 là họ nghiệm của phương trình nào sau đây ?
Câu 66: Cho biết x
3
A. 2 cos x 1 0.
B. 2 cos x 1 0.
C. 2sin x 1 0.
Câu 67: Cho biết x
3
k ; x k .
8
2
4
C. x k ; x k .
4
Câu 69: Nghiệm của phương trình cos x sin x 0 là:
A. x
; x .
18
2
C. 2sin x 1 0.
D. 2sin x 3 0.
k 2 .
2
D. x k ; x k .
2
B. x k 2 ; x
A. x
k .
4
D. 2sin x 3 0.
k 2 là họ nghiệm của phương trình nào sau đây ?
A. 2cos x 3 0.
B. 2 cos x 1 0.
Câu 68: Nghiệm của phương trình sin 3 x cos x là:
A. x
D. m 0 .
k .
6
k .
4
Câu 70: Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của phương trình sin 4 x cos 5 x 0 theo thứ tự
là:
B. x
File Word liên hệ: 0937351107
C. x k .
B. x
Trang 10
2
; x
.
18
9
D. x
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
C. x
; x .
18
6
Lượng giác – ĐS và GT 11
D. x
; x .
18
3
Câu 71: Tìm tổng các nghiệm của phương trình sin(5x ) cos(2x ) trên [0; ]
3
3
7
4
47
47
A.
B.
C.
D.
18
18
8
18
x
Câu 72: Gọi X là tập nghiệm của phương trình cos 15 sin x . Khi đó
2
A. 290 X .
B. 250 X .
C. 220 X .
D. 240 X .
Câu 73: Trong nửa khoảng 0;2 , phương trình cos 2 x sin x 0 có tập nghiệm là
5
7 11
5 7
A. ; ; .
B. ; ; ;
. C. ; ; .
6 2 6
6 2 6 6
6 6 6
Câu 74: Số nghiệm của phương trình sin x cos x trong đoạn ; là
7 11
;
D. ;
.
2 6 6
A. 2.
B. 4.
Câu 75: Nghiệm của phương trình sin x.cos x 0 là:
C. 5.
D. 6.
.
2
C. x k 2 .
D. x
k .
4
C. x
A. x
k 2 .
2
B. x k
k .
4
B. x
Câu 76: Các họ nghiệm của phương trình sin 2 x cos x 0 là
2
2
; k 2 ; k .
k
; k 2 ; k .
A. k
B.
6
3 2
6
3 2
2
2
;
k 2 ; k .
k
;
k 2 ; k .
C. k
D.
6
3 2
6
3 2
Câu 77: Nghiệm phương trình: 1 tan x 0 là
A. x
k 2 .
4
D. x
Câu 78: Họ nghiệm của phương trình tan x 3 0 là
5
8
8
8
k ; k .
k ; k .
k 2 ; k .
A.
B.
C.
15
15
15
x
Câu 79: Phương trình tan x tan có họ nghiệm là
2
A. x k 2 k .
B. x k k .
C. x k 2 k
.
D. x k 2 k
k 2 .
6
D.
4
k 2 .
8
k 2 ; k .
15
.
3 3tan x 0 là:
A. x k .
B. x k 2 .
C. x k .
D. x k .
3
2
6
2
Câu 81: Phương trình 3 tan x 0 có nghiệm là
A. x k .
B. x k .
3
3
2
4
k 2 .
k 2 .
C. x k 2 ; x
D. x k 2 ; x
3
3
3
3
Câu 80: Nghiệm của phương trình
File Word liên hệ: 0937351107
Trang 11
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 82: Phương trình lượng giác:
A. x
k .
3
Câu 83: Phương trình tan
A. x k 2 , k .
C. x k 2 , k .
Lượng giác – ĐS và GT 11
3.tan x 3 0 có nghiệm là
B. x
k 2 .
3
x
tan x có nghiệm là
2
C. x
k .
6
D. x
k .
3
Câu 88: Giải phương trình
k ;k .
8
4
C. x k ; k .
5
2
B. x
3
k 2 .
3
3 tan 3x
5
0.
A. x
C. x
D. x
k
.
9 3
k .
4
Câu 86: Họ nghiệm của phương trình tan 2 x tan x 0 là:
k , k .
A.
B. k , k .
C. k , k .
6
3
6
Câu 87: Phương trình lượng giác: 3.tan x 3 0 có nghiệm là
A. x
k .
3
B. x k , k .
D. Cả A, B, C đều đúng.
Câu 84: Nghiệm của phương trình 3 tan 3x 3 0 (với k ) là
k
k
k
A. x
.
B. x
.
C. x
.
9 9
3 3
3 9
Câu 85: Nghiệm của phương trình tan x 4 là
A. x arctan 4 k .
B. x arctan 4 k 2 .
C. x 4 k .
D. x
k .
6
D. k , k .
D. x
k .
3
k ;k .
5
4
D. x k ; k .
5
3
B. x
x
Câu 89: Nghiệm của phương trình 3 tan 3 0 trong nửa khoảng 0;2 là
4
2
3
3
2
A. ; .
B. .
C. ; .
D. .
3 3
2
2 2
3
Câu 90: Phương trình tan 2x 12 0 có nghiệm là
A. x 6 k 90, k
.
x 6 k 360, k .
B. x 6 k180, k
C.
D. x 12 k 90, k
.
.
0
Câu 91: Nghiệm của phương trình tan(2 x 15 ) 1 , với 900 x 900 là
A. x 300
C. x 300
B. x 600
D. x 600 , x 300
3
trên khoảng
11
A. 1.
B. 2.
C. 3.
2
Câu 93: Giải phương trình: tan x 3 có nghiệm là
Câu 92: Số nghiệm của phương trình tan x tan
A. x
k .
3
B. x
File Word liên hệ: 0937351107
k .
3
Trang 12
; 2
4
C. vô nghiệm.
D. 4.
D. x
k .
3
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác – ĐS và GT 11
Câu 94: Nghiệm phương trình 1 cot x 0 là:
k .
C. x k 2 .
4
4
Câu 95: Nghiệm của phƣơng trình cot x 3 0 là:
A. x k .
B. x k .
C. x k 2 .
3
6
3
A. x
k .
4
B. x
D. x
D. x
4
k 2 .
k .
6
Câu 96: Phương trình lượng giác: 3cot x 3 0 có nghiệm là
A. x
k .
6
B. x
k .
3
C. x
k 2 .
3
D. Vô nghiệm.
Câu 97: Phương trình lượng giác: 2cot x 3 0 có nghiệm là
x 6 k 2
A.
x k 2 .
6
B. x arc cot
3
k .
2
C. x
k .
6
D. x
k .
3
D. x
k .
6
Câu 98: Nghiệm của phương trình cot x 3 là
4
k .
C. x k .
12
3
12
Câu 99: Giải phương trình 3 cot(5 x ) 0 .
8
A. x k ; k .
B. x k ; k .
C. x k ; k .
8
8
5
8
4
x k ;k .
8
2
x
0
Câu 100: Nghiệm của phương trình cot( 10 ) 3 (với k ) là
4
0
0
A. x 200 k 360 .
B. x 2000 k 7200 .
C. x 200 k 3600 .
D. x 1600 k 7200 .
A. x
k .
B. x
D.
Câu 101: Giải phương trình tan x cot x
B. x k ; k .
k ;k .
4
2
4
C. x k ; k .
D. x k ; k .
4
4
4
Câu 102: Phương trình tan x.cot x 1 có tập nghiệm là
k
A. T \ ; k .
B. T \ k ; k .
A. x
C. T
2
\ k ; k
2
.
D. T .
Câu 103: Giải phương trình tan 3 x tan x 1 .
k ;k .
8
8
x k ;k .
8
2
A. x
B. x
k ;k .
4
4
Câu 104: Nghiệm của phương trình tan 3 x.cot 2 x 1 là
File Word liên hệ: 0937351107
Trang 13
C. x
k ;k .
8
4
D.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
,k .
2
C. k , k .
B.
A. k
Lượng giác – ĐS và GT 11
k ,k .
4
2
D. Vô nghiệm.
Câu 105: Nghiệm của phương trình tan 4 x.cot 2 x 1 là
A. k , k .
C. k
B.
,k .
2
4
k
2
,k .
D. Vô nghiệm.
Câu 106: Phương trình nào sau đây vô nghiệm
A. tan x 3 .
B. cot x 1 .
C. cos x 0 .
D. sin x
Câu 107: Phương trình: tan x 2 tan 2 x 1 có nghiệm là:
2
2
k 2 k
4
C. x k k
4
2
A. x
k k
4
D. x k k
4
B. x
File Word liên hệ: 0937351107
Trang 14
4
.
3
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác – ĐS và GT 11
PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI MỘT HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC
Câu 1: Phương trình sin x 1 sin x 2 0 có nghiệm là:
A. x
C. x
2
k 2 k
k 2 .
2
.
B. x
D. x
4
2
k 2 , x
8
k k
.
k 2 .
Câu 2: Phương trình s in2x. 2sin x 2 0 có nghiệm là
x k 2
x k 2
A. x k 2 .
B. x k .
4
4
x 3 k 2
x 3 k
4
4
Câu 3: Nghiệm của phương trình 2.sin x.cos x 1 là:
k .
4
Câu 4: Giải phương trình 4sin x cos x cos 2 x 1 0
A. x k 2 ; k .
8
C. x k ; k .
8
4
A. x k 2 .
B. x
x k 2
D. x k 2 .
4
x k 2
4
x k
C. x k 2 .
4
3
x
k 2
4
C. x k
B. x
D. x
.
2
8
D. x k .
k ; k .
k ;k .
8
2
Câu 5: Giải phương trình cos x(2 cos x 3) 0 .
5
5
k ; k .
k 2 ; k .
A. x k , x
B. x k , x
2
6
2
6
5
2
k 2 ; k .
k 2 ; k
C. x k , x
D. x k , x
2
6
2
3
Câu 6: Nghiệm của phương trình sin 4 x cos4 x 0 là
3
k 2 .
A. x k .
B. x k .
C. x
D. x k 2 .
4
4
2
4
4
2
2
Câu 7: Phương trình nào tương đương với phương trình sin x cos x 1 0 .
A. cos 2 x 1 .
B. cos 2 x 1 .
C. 2cos2 x 1 0 .
D.
2
(sin x cos x) 1 .
Phương trình 3 4cos2 x 0 tương đương với phương trình nào sau đây?
1
1
1
1
A. cos 2 x .
B. cos 2 x .
C. sin 2 x .
D. sin 2 x .
2
2
2
2
Câu 8:
Câu 9: Nghiệm của phương trình sin x. 2 cos x 3 0 là :
x k
A.
. k
x k 2
6
x k
B.
k
x k
6
File Word liên hệ: 0937351107
Trang 15
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác – ĐS và GT 11
x k 2
C.
D. x k 2 k
k .
x k 2
6
3
Câu 10: Phương trình (sin x 1)(2 cos 2 x 2) 0 có nghiệm là
A. x
2
k 2 , k .
B. x
8
.
k , k .
k , k .
D. Cả A, B, C đều đúng.
8
Câu 11: Nghiệm của phương trình sin x.cos x.cos 2 x 0 là:
C. x
.
C. x k .
2
8
Câu 12: Cho phương trình cos x.cos 7 x cos 3x.cos 5 x 1
A. x k .
B. x k
D. x k
Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình 1
A. sin 5 x 0 .
B. cos 4 x 0 .
C. sin 4 x 0 .
sin 3 x
0 thuộc đoạn [2 ;4 ] là
Câu 13: Số nghiệm của phương trình
cos x 1
A. 2 .
B. 6 .
C. 5 .
.
4
D. cos 3 x 0 .
sin 2 x 1
0 là
2.cos x 1
x k 2 , k
3
4
k 2 , k .
A. x
B.
.
4
x 3 k 2 , k
4
C. x k , k .
D. x k 2 , k .
4
4
6
6
4
4
Câu 15: Giải phương trình 4 sin x cos x 2 sin x cos x 8 4cos 2 2 x
D. 4 .
Câu 14: Tất cả các nghiệm của phương trình
k
k
, k .
B. x
, k .
3 2
24 2
k
k
C. x
, k .
D. x
, k .
12 2
6 2
Câu 16: ìm số nghiệm x 0;14 nghiệm đúng phương trình : cos 3x 4 cos 2 x 3 cos x 4 0
A. x
A. 1
B. 2
C. 3
Câu 17: Giải phương trình sin x.cos x 1 tan x 1 cot x 1.
A. Vô nghiệm.
B. x k 2 , k
.
C. x
D. 4
k
2
, k
D. x k , k
.
69
2
Câu 18: Số nghiệm thuộc ;
của phương trình 2sin 3x. 1 4sin x 1 là:
14
10
A. 40 .
B. 32 .
C. 41 .
D. 46 .
2
Câu 19: Phương trình tan x tan x tan x 3 3 tương đương với phương trình:
3
3
A. cot x 3.
B. cot 3x 3.
File Word liên hệ: 0937351107
Trang 16
C. tan x 3.
D. tan 3x 3.
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 20: Giải phương trình : sin 4 x cos4 x 1
A. x
4
C. x
k
2
, k
k , k .
4
D. x k , k .
2
B. x
.
k 2 , k .
4
Câu 21: Giải phương trình sin x. cos x. cos 2 x 0
A. k .
Lượng giác – ĐS và GT 11
B. k
.
2
C. k
Câu 22: Nghiệm của phương trình cos x cos5 x
.
4
D. k
.
8
1
cos 6 x (với k ) là
2
k
C. x
.
4
k
k
.
D. x
.
2
8 4
7
Câu 23: Phương trình sin 6 x cos6 x
có nghiệm là:
16
A. x k .
B. x k .
C. x k .
D. x k .
3
2
4
2
5
2
6
2
x
x
Câu 24: Phương trình sin 2 x cos 4 sin 4 có các nghiệm là;
2
2
2
x
k
x
k
x
k
x
k
6
3
3
12
2
4
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
x k 2
x 3 k 2
x
x k
k
4
2
2
2
3
3
3
Câu 25: Các nghiệm thuộc khoảng 0; của phương trình sin x.cos 3 x cos x.sin 3 x là:
8
2
5
5
5
5
,
,
A. ,
.
B. ,
.
C.
.
D.
.
6 6
8 8
12 12
24 24
5
4 x
4 x
Câu 26: Các nghiệm thuộc khoảng 0;2 của phương trình: sin cos là:
2
2 8
5 9
2 4 5
3
3 5 7
A. ; ; ; .
B. ; ; ;
.
C. ; ;
.
D. ; ; ;
.
6 6 6
3 3 3 3
4 2 2
8 8 8 8
Câu 27: Phương trình 2sin 3x 1 8sin 2 x.cos2 2 x có nghiệm là:
4
x 6 k
x 18 k
x 12 k
x 24 k
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
x 5 k
x 5 k
x 5 k
x 5 k
12
24
6
18
sin 3 x cos 3 x
2
Câu 28: Phương trình
có nghiệm là:
cos 2 x sin 2 x sin 3 x
A. x
A. x
k .
8
8
k
4
B. x
B. x
.
k
.
C. x
k
.
D. x
k .
4
6
3
3
2
3
3
Câu 29: Phương trình sin x cos x sin x.cot x cos x. tan x 2sin 2 x có nghiệm là:
3
k 2 .
A. x k .
B. x k .
C. x k 2 .
D. x
8
4
4
4
3
File Word liên hệ: 0937351107
3
Trang 17
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 30: Phương trình
Lượng giác – ĐS và GT 11
sin 4 x cos4 x 1
tan x cot x có nghiệm là:
sin 2 x
2
k 2 .
C. x k .
D. Vô nghiệm.
3
4
2
Câu 31: Cho phương trình cos 2 x.cos x sin x.cos 3 x sin 2 x sin x sin 3 x cos x và các họ số thực:.
I. x k , k .
II. x k 2 , k .
4
2
2
4
III. x k
, k . IV. x k
, k .
14
7
7
7
A. x
k .
2
B. x
Chọn trả lời đúng: Nghiệm của phương trình là
A. I, II.
B. I, III.
C. II, III.
D. II, IV.
2
0
2
0
0
Câu 32: Cho phương trình cos x 30 sin x 30 sin x 60 và các tập hợp số thực:
I. x 30 k120 , k . II. x 60 k120 , k .
III. x 300 k 3600 , k . IV. x 600 k 3600 , k .
Chọn trả lời đúng về nghiệm của phương trình
A. Chỉ I.
B. Chỉ II.
C. I, III.
D. I, IV.
x
x
Câu 33: Phương trình sin 4 x sin 4 x 4sin cos cos x có nghiệm là
2
2
2
3
3
k , k .
k , k .
A. x
B. x
4
8
2
3
3
k , k .
k , k .
C. x
D. x
12
16
2
7
6
6
Câu 34: Phương trình sin x cos x
có nghiệm là:
16
0
0
0
0
k , k .
B. x k , k .
3
2
4
2
C. x k , k .
D. x k , k .
5
2
6
2
Câu 35: Giải phương trình sin x.cos x(1 tan x)(1 cot x) 1 .
k
A. Vô nghiệm.
B. x k 2 , k .
C. x
, k .
D.
2
Câu 36: Trong nửa khoảng 0;2 , phương trình sin 2 x sin x 0 có số nghiệm là:
A. x
A. 4.
x k
, k
.
B. 3.
C. 2.
D. 1.
6
6
sin x cos x
m có nghiệm, tham số m phải thỏa mãn điều kiện:
Câu 37: Để phương trình
tan x tan x
4
4
1
1
A. 1 m .
B. 2 m 1.
C. 1 m 2.
D. m 1.
4
4
Câu 38: Để phương trình: 4sin x .cos x a 2 3 sin 2 x cos 2 x có nghiệm, tham số a
3
6
phải thỏa điều kiện:
1
1
A. 1 a 1 .
B. 2 a 2 .
C. a .
D. 3 a 3 .
2
2
File Word liên hệ: 0937351107
Trang 18
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 39: Để phương trình
a 1
.
A.
a
3
Lượng giác – ĐS và GT 11
a2
sin 2 x a 2 2
có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện:
1 tan 2 x
cos 2 x
a 2
a 3
a 4
.
.
.
B.
C.
D.
a
3
a
3
a
3
File Word liên hệ: 0937351107
Trang 19
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác – ĐS và GT 11
PHẦN II: HƢỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
x y k
A. sin x sin y
k .
x
y
k
x y k 2
B. sin x sin y
k .
x y k 2
x y k 2
C. sin x sin y
k .
x y k 2
x y k
D. sin x sin y
k .
x y k
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
x y k 2
Áp dụng công thức nghiệm sin x sin y
k
x y k 2
Câu 2: Phương trình s inx sin có nghiệm là
x k 2
;k
A.
x k 2
x k
;k .
C.
x k
Hướng dẫn giải:
Chọn A
x k 2
s inx sin
k .
x k 2
Câu 3: Chọn đáp án đúng trong các câu sau:
A. sin x 1 x
k 2 , k .
2
x k
;k .
B.
x k
x k 2
;k .
D.
x k 2
B. sin x 1 x k 2 , k .
C. sin x 1 x k 2 , k .
D. sin x 1 x
k , k .
2
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Đáp án đúng là A, các đáp án còn lại sai vì thiếu họ nghiệm hoặc sai họ nghiệm.
Câu 4: Nghiệm của phương trình sin x 1 là:
A. x
k .
2
Hướng dẫn giải:
Chọn A
sin x 1 x
2
B. x
2
k 2 .
k 2 , k .
Câu 5: Phương trình sin x 0 có nghiệm là:
File Word liên hệ: 0937351107
Trang 20
C. x k .
D. x
3
k .
2
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. x
k 2 .
2
B. x k .
Lượng giác – ĐS và GT 11
C. x k 2 .
D. x
k .
2
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Câu 6: Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai
A. sin x 1 x
k 2 .
2
B. sin x 0 x k .
C. sin x 0 x k 2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
sin x 0 x k , k
D. sin x 1 x
.
2x
0 (với k
Câu 7: Phương trình sin
3 3
) có nghiệm là
A. x k .
C. x
k 2 .
2
2 k 3
.
3
2
k 3
D. x
.
2
2
B. x
k .
3
Hướng dẫn giải:
Chọn D
2x
2x
2x
k 3
sin 0
k
k x
(k )
3 3
3 3
2
2
3 3
1
Câu 8: Nghiệm của phương trình sin x là:
2
A. x
k 2 .
3
B. x
k .
6
C. x k .
D. x
k 2 .
6
Hướng dẫn giải:
Chọn D
x k 2
x k 2
1
6
6
sin x sin x sin
k .
2
6
x k 2
x 5 k 2
6
6
1
Câu 9: Phương trình sin x có nghiệm thỏa mãn x là :
2
2
2
5
k 2
A. x
B. x .
C. x k 2 .
6
6
3
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
1
Ta có sin x sin x sin
2
6
x 6 k 2
x 6 k 2
k .
x 5 k 2
x k 2
6
6
File Word liên hệ: 0937351107
Trang 21
D. x
3
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác – ĐS và GT 11
1
1
k . Do x nên k 2 k .
6
2
2
2 6
2
3
6
Vì k nên ta chọn được k 0 thỏa mãn. Do đó, ta được nghiệm x .
6
5
5
2
1
k 2 . Do x nên
k 2 k .
Trường hợp 2: x
6
2
2
2
6
2
3
6
Vì k nên ta không chọn được giá trị k thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x .
6
Trường hợp 1: x
Câu 10: Nghiệm phương trình
x 4 k 2
A.
k .
x 3 k 2
4
x 8 k
C.
k .
3
x
k
8
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
sin 2 x
2
2 là:
x 4 k
B.
k .
x 3 k
4
x 8 k 2
D.
k .
3
x
k 2
8
x k
2 x k 2
2
8
4
Ta có sin 2 x
sin 2 x sin
k
2
4
x 3 k
2 x k 2
4
8
Câu 11: Nghiệm của phương trình sin x 10 1 là
A. x 100 k 360 .
B. x 80 k180 .
C. x 100 k 360 .
D. x 100 k180 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: sin x 10 1 sin x 10 sin 90
x 10 90 k 360 x 100 k 360, k .
1
x
Câu 12: Phương trình sin
có tập nghiệm là
2
5
11
11
x
k
10
x
k10
6
A.
(k ) .
x 29 k10
6
11
x 6 k10
C.
(k ) .
x 29 k10
6
Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0937351107
6
B.
(k ) .
x 29 k10
6
11
x 6 k10
D.
(k ) .
x 29 k10
6
Trang 22
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác – ĐS và GT 11
Chọn B.
11
x
k 2
x
k10
1
x
5
6
6
sin
(k ).
x 7
29
2
5
k 2
x
k10
6
6
5
3
Câu 13: Số nghiệm của phương trình sin 2 x
trong khoảng 0;3 là
2
A. 1 .
B. 2 .
C. 6 .
D. 4 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
2 x 3 k 2
x 6 k
3
Ta có: sin 2 x
,k
,k .
2
2 x 2 k 2
x k
3
3
Cách 1: Dựa vào đường tròn lượng giác ta có số nghiệm của phương trình là 6.
Cách 2: Giải lần lượt:
1
17
0 k 3 k k 0,1, 2 .
6
6
6
1
8
0 k 3 k k 0,1, 2 .
3
3
3
Mỗi họ nghiệm có 3 nghiệm thuộc 0;3 nên PT có 6 nghiệm thuộc 0;3 .
sin x 1
2
Câu 14: Nghiệm phương trình
là
A. x
k 2 .
2
B. x
2
k 2 .
C. x k .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Từ sin x 1 x k 2 x k 2 .
2 2
2
Câu 15: Phương trình: 1 sin 2 x 0 có nghiệm là:
A. x
k 2 .
2
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
B. x
k .
4
C. x
4
k 2 .
k 2 x k .
2
4
Câu 16: Số nghiệm của phương trình: sin x 1 với x 5 là
4
A. 1.
B. 0.
C. 2.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
sin x 1 x k 2 x k 2 k .
4
4 2
4
D. x k 2 .
D. x
Từ 1 sin 2 x 0 2 x
File Word liên hệ: 0937351107
Trang 23
D. 3.
k .
2
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác – ĐS và GT 11
3
19
k 2 5 k k 0;1; 2 .
4
4
8
Vậy phương trình có 3 nghiệm trong ;5 .
Mà x 5
Câu 17: Nghiệm của phương trình 2sin 4 x –1 0 là:
3
7
k .
A. x k ; x
B. x k 2 ; x k 2 .
8
2
24
2
2
D. x k 2 ; x k
C. x k ; x k 2 .
.
2
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
4
x
k
2
x
k
1
3 6
8
2
2sin 4 x –1 0 sin 4 x
k
3
3 2
4 x k 2
x 7 k
3
6
24
2
3 2sin x 0 có nghiệm là:
A. x k 2 x k 2 .
3
3
2
k 2 .
C. x k 2 x
3
3
Câu 18: Phương trình
2
k 2 x
k 2 .
3
3
4
k 2 .
D. x k 2 x
3
3
B. x
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
x 3 k 2
3
3 2sin x 0 sin x
sin x sin
k
2
3
x 4 k 2
3
Câu 19: Nghiệm của phương trình sin 3 x sin x là:
A. x k .
B. x k ; x k . C. x k 2 .
2
4
2
x k ; k k 2 .
2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
x k
3x x k 2
x k
sin 3x sin x
k .
x k
x x k 2
2 x k 2
2
1
Câu 20: Phương trình sin 2 x có bao nhiêu nghiệm thõa 0 x .
2
A. 1 .
B. 3 .
C. 2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
1
Ta có sin 2 x sin 2 x sin
2
6
File Word liên hệ: 0937351107
Trang 24
.
D.
D. 4 .
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
2 x 6 k 2
2 x k 2
6
x 12 k
k
x 7 k
12
Lượng giác – ĐS và GT 11
.
1
13
k . Do 0 x nên 0 k
k .
12
12
12
12
11
Vì k nên ta chọn được k 1 thỏa mãn. Do đó, ta được nghiệm x
.
12
7
7
7
5
k . Do 0 x nên 0
k k .
Trường hợp 2: x
12
12
12
12
7
Vì k nên ta chọn được k 0 thỏa mãn. Do đó, ta được nghiệm x
.
12
Trường hợp 1: x
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.
Câu 21: Số nghiệm của phương trình sin x 1 với x 3 là :
4
A. 1 .
B. 0 .
C. 2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có sin x 1 x k 2
4 2
4
x
k 2
4
k .
Do x 3 nên
Vì k
D. 3 .
3
11
k 2 3 k .
4
8
8
nên ta chọn được k 1 thỏa mãn. Do đó, ta được nghiệm x
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x
9
.
4
Câu 22: Nghiệm của phương trình 2sin 4 x 1 0 là:
3
A. x k ; x k 2 .
B. x
C. x k 2 ; x k 2 . D. x k 2 ; x k .
2
2
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
1
Ta có: 2sin 4 x 1 0 sin 4 x sin
3
3 2
6
File Word liên hệ: 0937351107
Trang 25
8
k
2
9
.
4
; x
7
k .
24
2
