Graphs and four cubes problem

ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG

MỤC LỤC

1. Đồ thị và đồ thị con................................................................................ 3
Sự liền kề và sự liên thuộc..................................................................4
Sự đẳng hình....................................................................................... 4
Đếm đồ thị.......................................................................................... 8
Đồ thị con........................................................................................... 9
2. Bậc của đỉnh........................................................................................... 9
3. Đường đi và chu trình.......................................................................... 11
4. Đồ thị đều và đồ thị hai phía...............................................................12
Đồ thị đều........................................................................................ 12
Đồ thị hai phía..................................................................................15
5. Ứng dụng.............................................................................................. 17

TRẦN THỊ HOA – CH K21

1


ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG

1. Đồ thị và đồ thị con
Định nghĩa
Một đồ thị bao gồm một tập hợp các đỉnh và một tập hợp các cạnh, trong
đó mỗi một cạnh nối 2 đỉnh.
Ví dụ, đồ thị được chỉ ra dưới đây gồm 4 đỉnh {u, v, w, x} và 6 cạnh
{1,2,3,4,5,6}. Cạnh 1 nối đinh u và đỉnh x, cạnh 2 nối đinh u và w, cạnh 3 và 4 nối
đỉnh v và w, cạnh 5 nối đỉnh w và x, và cạnh 6 nối đỉnh x với chính nó.

Chúng ta biểu diễn một cạnh bằng cách xác định hai đỉnh của nó. Ví dụ, cạnh
1 được biểu thị bởi ux hoặc xu, cạnh 3 và 4 được biểu diễn bởi vw hoặc wv, và cạnh
6 được biểu diễn bởi xx.
Đồ thị trên còn chứa nhiều hơn một cạnh nối v và w, và một cạnh nối đỉnh x
với chính nó. Tiếp theo chúng ta sẽ tìm hiểu về các đồ thị như thế.
Định nghĩa
Trong một đồ thị, nếu có hai hoặc nhiều hơn các cạnh cùng nối với một cặp
đỉnh được gọi là cạnh kép (cạnh bội). Cạnh nối một đỉnh với chính nó được gọi là
khuyên (loop). Đồ thị không có cạnh kép hoặc khuyên được gọi là đồ thị đơn.
Ví dụ: đồ thị (a) dưới đây có cạnh kép và đồ thị (b) có khuyên, đồ thị (c) là
đồ thị đơn vì nó không chứa khuyên và cạnh kép.

TRẦN THỊ HOA – CH K21

2


ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG
Sự liền kề và sự liên thuộc (Adjacency and incidence)
Để thuận tiện hơn trong việc xác định mối quan hệ giữa các đối tượng trong
lý thuyết đồ thị, người ta đưa vào một số thuật ngữ. Ví dụ, quan hệ giữa một đỉnh
với một đỉnh (hay một cạnh) gần nó.

Đỉnh v và w của một đồ thị được gọi là các đỉnh liền kề nếu chúng được nối
bởi một cạnh e. Đỉnh v và w được gọi là liên thuộc với cạnh e, và cạnh e cũng gọi
là liên thuộc với đỉnh v và w.
Ví dụ, trong đồ thị dưới đây, các đỉnh u và x là liền kề, đỉnh w liên thuộc các
cạnh 2, 3, 4, 5, và cạnh 6 liên thuộc với đỉnh x.

Sự đẳng hình (Isomorphism)

Từ định nghĩa, một đồ thị hoàn toàn được xác định khi biết các đỉnh và các
cạnh của nó, và theo đó hai đồ thị là giống nhau nếu chúng có tập đỉnh và tập cạnh
giống nhau. Dựa vào các đỉnh và các cạnh đã biết chúng ta có thể vẽ được đồ thị.
Do đó, nếu biết tập đỉnh và tập cạnh thì chúng ta có thể vẽ đồ thị và theo đúng
nguyên tắc bất kì hình ảnh nào chúng ta vẽ ra đều đúng; nhưng thực tế có thể các
đỉnh và các cạnh được vẽ lại không hề liên quan đến nhau – mặc dù một số hình vẽ
trông có vẻ đơn giản hơn những hình khác.
Ví dụ, trong đồ thị ứng dụng (utilities graph), ba nhà A, B, C sử dụng ba dịch
vụ gas (g), nước (w) và điện (e); Đồ thị này hoàn toàn được xác định bởi các tập
hợp:
tập đỉnh V = { A, B, C, g, w, e}
tập cạnh E = { Ag, Aw, Ae, Bg, Bw, Be, Cg, Cw, Ce }
và chúng ta có thể vẽ được đồ thị theo nhiều cách như sau:

TRẦN THỊ HOA – CH K21

3


ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG

Mỗi đồ thị có 6 đỉnh và 9 cạnh, và mô tả các thông tin như nhau - mỗi nhà
được nối với mỗi dịch vụ, nhưng hai nhà không được nối với nhau và hai dịch vụ
cũng không được nối với nhau. Có thể thấy rằng hai hình vẽ trên là khác nhau
nhưng biểu diễn cùng một đồ thị.
Mặt khác, hai hình vẽ trông có vẻ giống nhau nhưng lại biểu diễn các đồ khác
nhau. Ví dụ, hai hình vẽ dưới đây tương tự nhau, nhưng lại không phải là đồ thị
giống nhau, có thể thấy AB là một cạnh của đồ thị thứ hai nhưng không là cạnh của
đồ thị thứ nhất:

Chúng ta biểu thị sự tương tự này bằng cách nói rằng các đồ thị đã được biểu
diễn bởi hai hình vẽ là đẳng hình. Điều này có nghĩa là hai đồ thị có cấu trúc thực
sự giống nhau: chúng ta có thể đánh lại nhãn các đỉnh trong đồ thị đầu tiên để nhận
được đồ thị thứ hai – trong trường hợp này, đơn giản chỉ việc thay đổi nhãn w và B.
Ta đi tới định nghĩa:
Định nghĩa
Hai đồ thị G và H là đẳng hình (đồng hình) nếu H thu được bằng việc thay
đổi nhãn các đỉnh của G nếu có tương ứng một – một giữa các đỉnh của G và các
đỉnh của H, sao cho số cạnh nối mỗi cặp đỉnh của G bằng số cạnh nối mỗi cặp đỉnh
tương ứng trong H.

TRẦN THỊ HOA – CH K21

4


ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG
Ví dụ:

Các đồ thị G và H được biểu diễn bởi các hình vẽ không giống nhau, nhưng
chúng là đẳng hình với nhau, khi đó ta có thể đánh lại nhãn các đỉnh trong đồ thị G
để nhận được đồ thị H, sử dụng sự tương ứng một – một dưới đây:

Các cạnh trong G cũng tương ứng các cạnh trong H, hai cạnh nối u và v trong
G tương ứng hai cạnh nối 4 và 3 trong H, cạnh uw trong G tương ứng cạnh 42 trong
H, khuyên ww trong G tương ứng khuyên 22 trong H.
Để kiểm tra hai đồ thị bất kì là giống nhau, cần phải kiểm tra tất cả các nhãn
tương ứng của chúng. Tuy nhiên, có thể kiểm tra nhanh hai đồ thị đẳng hình bằng
cách xem xét khả năng ta có thể đánh lại nhãn các đỉnh của một đồ thị bằng các
nhãn của đồ thị khác không? Để làm điều này, đầu tiên phải kiểm tra rằng các đồ thị

có số cạnh và số đỉnh giống nhau, sau đó nhìn vào các dấu hiệu đặc biệt trong hai
đồ thị: có khuyên, cạnh kép hoặc số cạnh của một đỉnh.
Ví dụ, hai đồ thị dưới đây đều có 5 đỉnh và 6 cạnh, nhưng không đẳng hình,
đồ thị thứ nhất có hai đỉnh có 2 cạnh liền kề, trong khi đồ thị thứ hai chỉ có một
đỉnh có hai cạnh liền kề.

TRẦN THỊ HOA – CH K21

5


ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG

Đôi khi các đồ thị không cần thiết phải có nhãn. Trong các trường hợp như
vậy chúng ta bỏ qua các nhãn coi đồ thị đó là đồ thị không có nhãn.
Ví dụ, đồ thị không có nhãn:

sẽ tương ứng một trong hai đồ thị đẳng hình:

Hai đồ thị dưới đây cũng đẳng hình với hai đồ thị trên:

Chúng ta nói rằng hai đồ thị không có nhãn nhãn là đẳng hình nếu các nhãn
có thể được thêm vào các đỉnh của chúng để chúng trở thành cùng một đồ thị.

Từ bây giờ, chúng ta sử dụng thuật ngữ đồ thị để chỉ một đồ thị có nhãn,
hoặc thuật ngữ đồ thị không có nhãn để chỉ một đồ thị không được đánh nhãn.
TRẦN THỊ HOA – CH K21

6

ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG

Đếm các đồ thị (counting graphs)
Câu hỏi đặt ra là: có mối liên hệ gì giữa số lượng các đồ thị có nhãn và không
có nhãn với cùng số đỉnh?
Khi đếm các đồ thị có nhãn, chúng ta phân biệt giữa hai đồ thị bất kì nếu
chúng không giống nhau. Ví dụ, có tám đơn đồ thị có nhãn mà mỗi đồ thị gồm ba
đỉnh:

Khi đếm các đồ thị không có nhãn, chúng ta phân biệt hai đồ thị bất kì nếu
chúng không đẳng hình. Ví dụ, chỉ có bốn đơn đồ thị không có nhãn mà mỗi đồ thị
gồm ba đỉnh:

Bảng dưới đây liệt kê số các đơn đồ thị có nhãn và không có nhãn với tám
đỉnh:

Chú ý lịch sử
Vào năm 1935, nhà toán học người Hungari Georg pólya đã phát hiện ra một
công thức chung, từ đó có thể tính được số các đồ thị không có nhãn với một số
đỉnh và số cạnh bất kì. Phương pháp của pólya đã đượng áp dụng đối với một số bài
toán đếm đồ thị khác

TRẦN THỊ HOA – CH K21

7


ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG
Đồ thị con (Subgraphs)

Trong toán học chúng ta thường nghiên cứu các đối tượng phức tạp thông
qua các đối tượng đơn giản hơn: tập hợp con của một tập hợp, nhóm con của một
nhóm… Trong lý thuyết đồ thị chúng ta cũng định nghĩa khái niệm tương tự.
Định nghĩa
Một đồ thị con của đồ thị G là một đồ thị trong đó tất các các đỉnh của nó là
các đỉnh của G, và tất cả các cạnh của nó là các cạnh của G.
Chú ý: G là đồ thị con của chính nó.
Ví dụ, các đồ thị dưới đây là tất cả các đồ thị con của G với tập các đỉnh
{u, v, w, x} và các cạnh {1, 2, 3, 4, 5}

Ý tưởng về đồ thị con có thể được mở rộng từ các đồ thị không có nhãn. Các
đồ thị dưới đây là các đồ thị con của đồ thị không có nhãn H.

2. Bậc của đỉnh
Trong nhiều ứng dụng của lí thuyết đồ thị chúng ta cần một thuật ngữ cho số
cạnh gặp nhau ở một đỉnh. Ví dụ, ta muốn xác định số đường gặp nhau tại một điểm
giao nhau, số dây gặp nhau ở điểm cuối của một mạng lưới điện, hoặc số liên kết
hóa học nối một nguyên tử với các nguyên tử lân cận. Những tình huống đó được
minh họa dưới đây:
TRẦN THỊ HOA – CH K21

8


ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG

Trong hóa học, thuật ngữ hóa trị (valency) được sử dụng để chỉ ra liên kết kết
nối một nguyên tử với các nguyên tử liền kề nó. Ví dụ, một nguyên tử cacbon C có
hóa trị 4, một nguyên tử oxy O có hóa trị 2, và một nguyên tử hidro H có hóa trị 1
Trong đồ thị, ta sử dụng thuật ngữ bậc (degree).

Để có thể biết có bao nhiêu cạnh liên thuộc với một đỉnh, chúng ta đưa vào
định nghĩa sau:
Định nghĩa
Trong một đồ thị, bậc của đỉnh v là số cạnh liên thuộc với v. Khuyên được
tính hai lần. Bậc được kí hiệu là deg v
Nhận xét: Mỗi khuyên có bậc là 2
Ví dụ:

đồ thị (a) có các bậc ở đỉnh: deg u = 2 ; deg v = 1; deg w = 4; deg x = 3; deg y = 0
đồ thị (b) có các bậc ở đỉnh: deg u = 2; deg v = 5; deg w = 4; deg x = 5; deg y = 0
Đôi khi chúng ta cần phải liệt kê các bậc của tất cả các đỉnh trong một đồ thị.
Ta đi đến định nghĩa:

TRẦN THỊ HOA – CH K21

9


ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG
Định nghĩa
Thứ tự bậc của một đồ thị là thứ tự thu được bằng cách liệt kê bậc các đỉnh
của G theo thứ tự tăng dần, có thể lặp nếu cần thiết.
Ví dụ, theo hình trên, đồ thị (a) có thứ tự bậc (0,1,2,3,4)
đồ thị (b) có thứ tự bậc (0,2,4,5,5)
Bậc của đỉnh có tính chất:
Định lý: Handshaking Lemma
Trong đồ thị, tổng các bậc của tất cả các đỉnh bằng hai lần số cạnh.
Hệ quả:
Trong đồ thị vô hướng, số đỉnh bậc lẻ là một số chẵn.

3. Đường đi và chu trình
Nhiều ứng dụng của đồ thị xuất phát là từ mối liên hệ của một đỉnh với một
đỉnh khác.Ví dụ, muốn tìm đường đi ngắn nhất giữa hai thành phố; tổng lưu lượng
(hoặc thời gian, hoặc đường truyền) của một cuộc gọi giữa thuê bao này và thuê
bao khác; lưu lượng hiện tại giữa hai điểm cuối của một lưới (mạng) điện...
Trong đồ thị, người ta đưa vào các khái niệm:
Giả sử G = (V, E) là một đồ thị.
Định nghĩa
Đường đi trong đồ thị là một dãy các đỉnh: < x 1, x2,... , xi, xj+1,... , xk-1 , xk >
sao cho, mỗi đỉnh trong dãy (không kể đỉnh đầu tiên) kề với đỉnh trước nó bằng một
cạnh nào đó, nghĩa là: ∀ i = 2, 3,... , k-1, k : (xi-1, xi) ∈ E. Ta nói rằng đường đi
này đi từ đỉnh đầu x1 đến đỉnh cuối xk. Số cạnh của đường đi được gọi là độ dài
của đường đi đó.
Đường đi đơn là đường đi mà các đỉnh trên nó khác nhau từng đôi.
Định nghĩa
Chu trình là một đường đi khép kín (tức là đỉnh cuối của đường
trùng với đỉnh đầu của đường). Ta thường ký hiệu chu trình là:
[x1, x2,... , xi, xj+1,... xk-1, xk] , trong đó x1 = xk.
Để cho gọn, trong ký hiệu của chu trình thường không viết đỉnh cuối:
TRẦN THỊ HOA – CH K21

10


ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG
[x1, x2,... , xi, xj+1,... xk-1].
Khi nói đến một chu trình, ta cũng không cần xác định đỉnh đầu và đỉnh cuối
của chu trình đó.
Chu trình được gọi là chu trình đơn nếu các đỉnh trên nó khác nhau từng đôi.
Trong một đồ thị, đỉnh nút là đỉnh kề với chính nó. Hai cạnh có ít nhất một

đỉnh chung được gọi là hai cạnh kề nhau.

4. Đồ thị đều và đồ thị hai phía
Đồ thị đều (Regular graphs)
Định nghĩa
Một đồ thị là đều nếu tất cả các đỉnh của nó có bậc như nhau. Một đồ thị là
r – đều nếu mỗi đỉnh đều có bậc là r.
Ví dụ về các đồ thị đều:

Định lý
G là một đồ thị r – đều có n đỉnh, khi đó G có (n*r ∕ 2) cạnh

TRẦN THỊ HOA – CH K21

11


ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG
Chứng minh
G là một đồ thị với n đỉnh, mỗi đỉnh có bậc r
Khi đó, tổng số bậc của tất cả các đỉnh là n*r
Theo định lý Handshaking lemma, suy ra số cạnh là n*r∕2

Một số ví dụ về đồ thị đều
Đồ thị đầy đủ (Complete Graphs)
Một đồ thị đầy đủ là một đồ thị mà giữa hai đỉnh của nó có đúng một cạnh.
Kí hiệu Kn
Kn với các đỉnh có bậc n-1

Định lí

Kn có đúng Cn2 cạnh
Đồ thị rỗng (Null Graphs)
Một đồ thị rỗng là một đồ thị không có cạnh nào
Kí hiệu Nn
Nn với các đỉnh có bậc 0

TRẦN THỊ HOA – CH K21

12


ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG
Đồ thị vòng (Cycle Graphs)
Đồ thị vòng là một đồ thị gồm một vòng đơn các đỉnh và các cạnh
Kí hiệu Cn
Cn với các đỉnh có bậc 2

Đồ thị platonic (platonic Graphs)
Năm khối dưới đây được gọi là các khối platonic

Nhận thấy các đỉnh và các cạnh của mỗi khối giống như các đỉnh và các cạnh
của mỗi đồ thị đều. Năm đồ thị được coi là năm đồ thị platonic, được biểu diễn như
sau:

Trong đó, tetrahedron, cube, dodecahedron là 3–đều, đồ thị octahedron là
4-đều và đồ thị icosahedron là 5–đều.

TRẦN THỊ HOA – CH K21

13

ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG
Đồ thị petersen (petersen graphs)
Đồ thị petersen được đặt theo tên của một nhà toán học Đan Mạch Julius
petersen; ông đã bàn về đồ thị này trong một bài báo vào năm 1898. Đồ thị petersen
là đồ thị 3 – đều với 10 đỉnh và 15 cạnh; nó được vẽ theo nhiều cách khác nhau,
dưới đây là hai cách vẽ thông dụng:

Đồ thị hai phía (Bipartite graphs)
Định nghĩa

Đồ thị hai phía là đồ thị mà tập hợp các đỉnh của nó có thể được phân thành
hai tập con A và B, trong đó mỗi một cạnh của đồ thị nối một đỉnh của tập A với
một đỉnh của tập B.
Chúng ta có thể phân biệt các đỉnh trong tập A với các đỉnh trong tập B bằng
cách vẽ một tập hợp với màu trắng và tập kia là màu đen ; khi đó mỗi một cạnh sẽ
nối một đỉnh trắng với một đỉnh đen.
Ví dụ :

TRẦN THỊ HOA – CH K21

14


ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG

Một số ví dụ về đồ thị hai phía
Đồ thị hai phía đầy đủ
Đồ thị hai phía đầy đủ là đồ thị hai phía trong đó mỗi đỉnh của tập A nối với

đúng một đỉnh trong tập B. Đồ thị hai phía đầy đủ r đỉnh trong A và s đỉnh trong B
kí hiệu là Kr,s. Đồ thị Kr,s có r + s đỉnh và rs cạnh
Ví dụ :

Cây (Trees)
Một trong những phần quan trọng nhất của đồ thị hai phía là cây. Cây là đồ
thị liên thông không có chu trình.
Ví dụ :

Đồ thị đường đi (path Graphs)
Đồ thị đường đi là một cây chứa một đường đi đơn qua tất cả các đỉnh của
nó. Đồ thị đường đi n đỉnh kí hiệu là pn.

Đồ thị pn có n-1 cạnh và có thể nhận được từ đồ thị vòng C n bằng cách bỏ đi
một số cạnh.

Đồ thị lập phương (Cubes)
TRẦN THỊ HOA – CH K21

15


ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG
Hình lập phương có nhiều ứng dụng quan trọng trong lí thuyết mật mã.
Đồ thị lập phương n đỉnh, kí hiệu Q n là đồ thị với các đỉnh biểu diễn 2 n xâu
nhị phân độ dài n. Hai đỉnh của nó là kề nhau nếu như hai xâu nhị phân tương ứng
chỉ khác nhau một bit.

Đồ thị Qn có 2n đỉnh, và là đều bậc k. Qn có

n*2n-1 cạnh.

5. Ứng dụng
Bài toán bốn khối lập phương (Four Cubes Problem)
Là một trò chơi gây rối, được gọi dưới tên Instant Insanity, liên quan tới 4
khối lập phương. Các mặt của mỗi khối được tô một trong bốn màu: đỏ (R), xanh
(B), xanh lá (G), vàng (Y). Các khối lập phương được biểu diễn phẳng như sau:

Bài toán đặt ra là: Có thể xếp các khối lập phương chồng lên nhau sao cho
cả 4 màu đều xuất hiện trên mỗi mặt của khối chồng (stack) hay không?

TRẦN THỊ HOA – CH K21

16


ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG

Như chúng ta thấy, bản chất là chỉ có một cách để thực hiện yêu cầu bài
toán đối với tập hợp các khối lập phương này. Cách thử sai đối với bài toán này là
một lựa chọn không khôn ngoan khi mà có tới hàng nghìn cách khác nhau để sắp
xếp các khối lập phương.
Chúng ta hãy để ý, nếu một mặt của một khối lập phương xuất hiện ở một
mặt của stack thì mặt đối diện của nó sẽ xuất hiện ở mặt đối diện của stack. Theo
đó, mấu chốt của vấn đề chính là cặp mặt đối diện, và ta phải quyết định xem hai
trong ba cặp mặt đối diện nào sẽ xuất hiện ở các mặt của stack (mặt xung quanh của
stack).
Để giải quyết vấn đề này, ta biểu diễn mỗi khối lập phương bởi một đồ thị
để có thể thấy các cặp màu sắc nào xuất hiện trên các mặt đối diện.
Đồ thị của mỗi khối lập phương gồm 4 đỉnh R, B, G, Y (tương ứng 4 màu).

Hai đỉnh của đồ thị là liền kề khi khối lập phương trong câu hỏi có các màu sắc
tương ứng nằm trên các mặt đối diện.
Ví dụ, trong khối lập phương thứ nhất màu xanh và màu vàng xuất hiện trên
các mặt đối diện, do đó đỉnh B và Y sẽ được nối với nhau trong đồ thị tương ứng.
Đồ thị biểu diễn 4 khối lập phương ban đầu:

TRẦN THỊ HOA – CH K21

17


ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG
Sau đó ta ghép 4 đồ thị của mỗi khối lập phương thành 1 đồ thị mới G:

Lời giải cho bài toán bốn khối lập phương sẽ thu được khi tìm được hai
đồ thị con thành phần H1 và H2 của G. Đồ thị con H1 biểu diễn các cặp màu sắc
xuất hiện ở mặt trước và sau của mỗi khối lập phương; và đồ thị con H2 biểu diễn
các cặp màu sắc xuất hiện ở mặt trái và mặt phải của mỗi khối lập phương. Đồ thị
con H1 và H2 cần thỏa mãn ba tính chất sau:
(a) mỗi đồ thị chứa đúng 1 cạnh của mỗi khối lập phương.
(b) Các đồ thị con không chứa cạnh chung.
(c) mỗi đỉnh nối đúng 2 cạnh.
Tính chất (a) đảm bảo cho mỗi khối lập phương có 1 mặt trước và 1 mặt
sau, một mặt trái và một mặt phải. H1, H2 cho biết cặp màu sắc nào xuất hiện ở các
mặt của khối lập phương.
Tính chất (b) đảm bảo các mặt xuất hiện ở trước và sau của mỗi khối lập
phương không thể giống nhau khi xuất hiện ở mặt của stack. Tức là, nếu cube có 2
mặt đối diện cùng màu thì hai mặt này không được xuất hiện ở mặt (xung quanh)
của stack.
Tính chất (c) đảm bảo mỗi màu chỉ xuất hiện đúng 2 lần ở bên trái của stack

(một ở bên trái và một ở bên phải), và đúng 2 lần trên mặt trước và sau (một ở mặt
trước và một ở mặt sau).
Một lời giải cho tập hợp các khối lập phương trên được chỉ ra dưới đây.
Trong lời giải này, đồ thị con H1 cho thấy khối lập phương thứ nhất có màu vàng ở
mặt trước và màu xanh ở mặt sau (từ H1), có màu đỏ ở mặt trái và màu xanh lá ở
mặt phải (từ H2). Tương tự đối với các khối lập phương khác.

TRẦN THỊ HOA – CH K21

18


ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG

Đồ thị lời giải H1 và H2

Nhận xét


Đối với bài toán này chỉ có 1 lời giải duy nhất.



Một số bài toán có thể có nhiều lời giải hoặc không có lời giải nào

Ví dụ, tập hợp các khối lập phương được biểu diễn phẳng dưới đây là bài
toán không có lời giải.

TRẦN THỊ HOA – CH K21

19