Bài giảng cơ học ứng dụng chương 3

17/09/201414

Chương III: Ứng suất và biến dạng

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

Chương III
3.1. Ứng suất

Ứng suất và Biến dạng

3.2. Trạng thái ứng suất.
3.3. Trạng thái ứng suất phẳng
3.4. TTƯS trong bài toán phẳng – P.P đồ thị
3.5. Biến dạng
3.6. Liên hệ giữa ứng suất và Biến dạng

HCM 08/2014
Hochiminh city University of Technology

Applied Mechanic

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.1. Ứng suất
3.1.1. Khái niệm

3.1. Ứng suất
3.1.1. Khái niệm

Chia vật bằng một mặt cắt và khảo sát tính chất của các lực tiếp xúc
truyền qua mặt này do phần tách ra tác động lên. Các lực tiếp xúc
phân bố khắp mặt cắt với chiếu và giá trị thay đổi, chúng được gọi là
ứng suất (hay ứng lực, sức căng) tại một điểm.

Ứng suất

Xét một điểm M trên mặt cắt và một phân tố điện tích chung quanh
thì ứng suất ⃗ tại M trên mặt
M: dF. Nếu gọi ứng lực trên dF là

phẳng vuông góc Oz là:
P1

p



 dP
Khi dF 0
p
dF

Ứng suất ⃗ được phân
thành 2 thành phần:
(I)


pB

Ứng suất: nội lực tại điểm
Applied Mechanic

(II)


pB




B

dP

M

P2

dF

i

P3

x




O k
j

z

y

: Ứng suất pháp hướng theo pháp tuyến mặt cắt
: Ứng suất tiếp nằm trong mặt cắt

* Ứng suất pháp: gây ra biến dạng dài
* Ứng suất tiếp: gây ra biến dạng góc
HCM 08/2014
Hochiminh city University of Technology

HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology

1


17/09/201414

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.1. Ứng suất

3.1.1. Khái niệm



P1



P2

Trong hệ trục Cartesian
như hình vẽ:

 zx
i





p   z k   zy j   zx i

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

P3

x

3.1. Ứng suất
3.1.2. Quan hệ Nội lực - Ứng suất

 zy p
z

M

O k
j

Mz

z
Qx

y

Mx
C

Nz

M

* Ứng suất pháp: z hướng theo phương z
* Ứng suất tiếp:  zx hướng theo phương x
* Ứng suất tiếp:  zy hướng theo phương y

x

y

z

Chương III. Ứng suất – Biến dạng



R   p.dF
F

Mx
C

Qx

Nz

M

y

y



M C   mC p.dF



F



O


p

z
z

z

 zx
x

Qy

x

 zy

( A)

dF

y

y

dF


 N z    z dF
F


Q y    zy dF
F

Q   dF
 x  zx

F
HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology

3.1. Ứng suất
3.1.3. Các thành phần ứng suất
Tổng quát: Tách một phân tố tại C bằng 6 mặt vi phân trực giao
với các trục tọa độ.

pz
Trên 3 mặt vi phân dương có các

vector ứng suất:   
py

px , p y , pz


 M x    z ydF
F


 M y     z xdF
F

 M  (  y   x) dF
zx
zy
 z 
F


Mỗi vector trong chúng có ba
thành phần song song với ba
trục tọa độ: 

HCM 08/2014

Applied Mechanic

z

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.1. Ứng suất
3.1.2. Quan hệ Nội lực - Ứng suất
Mz


p

 zx
x

Qy

HCM 08/2014
Hochiminh city University of Technology

Applied Mechanic

O

z

y

Qui ước dấu của các thành phần ứng suất:
- Ứng suất pháp xem là dương khi vector biểu diễn nó cùng
chiều với pháp tuyến ngoài của mặt cắt.
- Ứng suất tiếp là dương khi vector biểu diễn nó cùng chiều
Ox, Oy.

 zy

( A)

Hochiminh city University of Technology

px  x , xy , xz 

p y  y , yx , yz 

pz  z , zx , zy 

Applied Mechanic


px

HCM 08/2014
Hochiminh city University of Technology

2


17/09/201414

Chươ v   x   y  const
 uv   vu
HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology

4


17/09/201414

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

** Hai trường hợp đặc biệt

3.3.2. Ứng suất chính – Phương chính
Mặt chính là mặt có ứng suất tiếp bằng không. Để tìm mặt chính:

 uv 

x  y

s in2 0   xy cos 2 0  0

2
 1  2 xy
  0   tan 
  

y
 x

 Hai trị số
Thay vào

0

 tg 2 0 

 uv  0
2 xy

 x  y

a. Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt

(*)



  /2 
2
 

min

min

2



1
 
 2  4 2
2 2

 x   y  0;  xy  
Thay vào (**) ta được:

1
( x   y ) 2  4 xy2
2

 max   hay 1   3  
min 

2  
1 

(**)

HCM 08/2014

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.3.3. Ứng suất tiếp cực trị
d uv
 x  y


0

s in2    xy cos 2 
  uv 
d
2



x  y
2

2 cos 2  2 xy sin 2  tg 2  

1
So sánh với (*), ta được: tg 2  
tg 2 0

   0 



4

 x  y
2 xy

min

2
x y
2

Chuyển vế

2

s in2   xy cos 2

x  y
2

2

qua trái, bình phương 2 vế, cộng 2 vế cho  uv

Ta thu được phương trình vòng tròn Mohr ứng suất

 Mặt có ưs tiếp cực trị tạo với
mặt chính một góc 450

2

2

x  y 
2

 x  y 
2
 u 
   uv   

   xy 
2
2





1
( x   y ) 2  4 xy2
2

Tâm:

 

x

  y  2;0


2

HCM 08/2014

Applied Mechanic

3.4. TTƯS trong bài toán phẳng – P.P đồ thị
3.4.1. Cơ sở của phương pháp
  y  x  y


u  x
cos 2   xy s in2
 uv 

Thay vào  uv ta được:

 max  

Hochiminh city University of Technology

Applied Mechanic

Chương III. Ứng suất – Biến dạng





4

4

HCM 08/2014
Hochiminh city University of Technology

Applied Mechanic





b. Trạng thái ứng suất trượt thuần túy

 u , ta thu được các ứng suất chính

 max 



Thay vào (**) ta được:

 max

khác biệt nhau 900  Hai phương chính

x  y

 x   ;  y  0;  xy  

Hochiminh city University of Technology

  x  y 
2
R 
  xy
Applied Mechanic
 2 

Bán kính:

Trục hoành:



Trục tung:



Tọa độ các điểm trên vòng tròn Mohr
ứng suất cho ta giá trị các ưs pháp và
ưs tiếp nằm trên những mặt khác nhau
HCM 08/2014
đi qua điểm có trạng thái ưs ta đang xét.
Hochiminh city University of Technology

5


17/09/201414

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.4. TTƯS trong bài toán phẳng – P.P đồ thị
3.4.2. Cách vẽ vòng tròn Mohr
Cho một phân tố ứng suất. Biết:  x ,  y , xy

3.4. TTƯS trong bài toán phẳng – P.P đồ thị

3.4.2. Cách vẽ vòng tròn Mohr


Tìm:  max ,  min , max , min , các phương chính, ưs pháp, ưs tiếp tại
mặt nghiêng bất kì

 max
 uv

-Dựng hệ trục tọa độ:  O

 x y 
;0 
 2
     2
x
y
2
-Xác định bán kính R của vòng tròn: R  
   xy
2


-Xác định điểm cực P: P  y ;  xy 
-Xác định tâm C vòng tròn: C 

 max
v
 vu

u
M

A
O

I

 min

y

u
x

C

 min

2

 max



B
 max

1



 xy

 uv

P

J

 min



 min

1  tan 1 

  max

HCM 08/2014
Hochiminh city University of Technology

Applied Mechanic

HCM 08/2014
Hochiminh city University of Technology

Applied Mechanic

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.4. TTƯS trong bài toán phẳng – P.P đồ thị

3.4. TTƯS trong bài toán phẳng – P.P đồ thị
Ví dụ:

Ví dụ:
y

u 

 y  10

10

 x  18

v

 uv 
 x  18
  10
 y

18

600

u

6


 xy  6
  300


 xy  6
x

  300
Hochiminh city University of Technology

x  y
2
 x  y
2

 max   j 
min

k



 x  y
2

cos 2   xy s in2

s in2   xy cos 2

x  y
2



1
( x   y ) 2  4 xy2
2

  xy

 max  1  tan 1 
  max   y 


0





90
1
2
1

HCM 08/2014

Applied Mechanic



  y 

 xy

HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology

6


17/09/201414

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

v
I 
 vu
max

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.5. Biến dạng

9.1
11.2 P
15.2
O

108.2

1

C

v
 min

19.2

6

4



16.2
 u 18  max

 max

min

2

  30

9.1  uv

 uv

J

Applied Mechanic

u

0

v

u

 min

HCM 08/2014
Hochiminh city University of Technology

HCM 08/2014

Applied Mechanic

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

Hochiminh city University of Technology

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.5. Biến dạng

3.5. Biến dạng

3.5.1. Khái niệm
Khi chịu tác dụng của ngoại lực hay sự biến thiên nhiệt độ thì

3.5.1. Khái niệm

khoảng cách giữa các điểm thuộc vật thể thay đổi, gây ra sự
thay đổi về hình dạng và kích thước của vật. Sự thay đổi này
gọi là sự biến dạng.
Có hai khái niệm biến dạng: Biến dạng của toàn vật và biến
dạng tại một điểm.
Biến dạng tại một điểm: biến dạng của một phân tố VCB
quanh điểm khảo sát bao gồm biến dạng dài và biến dạng góc.
Biến dạng dài:

 s '  s

HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology

Biến dạng góc


HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology

7


17/09/201414

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.5. Biến dạng
3.5.2. Trạng thái biến dạng của điểm
Là tập hợp các biến dạng dài và biến dạng góc của điểm.
Trạng thái biến dạng của điểm sẽ hoàn toàn xác định nếu được
cho trước biến dạng dài theo ba phương vuông góc nhau bất kỳ
và ba biến dạng góc trên ba mặt vuông góc nhau tạo bởi ba
phương đó.
Các thành phần biến dạng:  x ,  y ,  z ,  xy ,  yz ,  xz

3.5. Biến dạng
3.5.2. Trạng thái biến dạng của điểm
Trạng thái ứng suất và biến dạng tại mỗi điểm được xác định bởi

Trạng thái biến dạng tại mỗi điểm được xác định bởi Tensor biến
dạng:

  x  xy

T  
y
 Sym


 xz 
 yz 
 z 

các Tensor:

  x  xy  xz 

T  
 y  yz 
 Sym
 z 


  x  xy


T  
y
 Sym


Quan hệ giữa các thành phần ứng suất và các thành phần biến
dạng:
- Ứng suất pháp gây ra biến dạng dài.
- Ứng suất tiếp gây ra biến dạng góc

HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology

HCM 08/2014

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.6. Liên hệ giữa ứng suất và Biến dạng
Định luật Hooke tổng quát
Quan hệ giữa ứng suất pháp và biến

x 

3.6. Liên hệ giữa ứng suất và Biến dạng
Định luật Hooke tổng quát
Đối với trạng thái ứng suất khối tổng quát, biến dạng dài theo
phương x:

x

- Biến dạng dài theo phương x do  x

E

gây ra :

Trong đó: E là module đàn hồi, là

 xx   x / E

- Biến dạng dài theo phương x do  y ,  z

hằng số vật liệu

 x cũng

gây ra biến dạng dài theo các phương còn
x
lại(phương y, z).

 y   z   x  

E

gây ra :

 xy   y / E; xz   z / E

Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng: Biến dạng dài theo
phương x:
1

x 

Trong đó:  là hệ số possion, là hằng số vật liệu
HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology

Applied Mechanic

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

dạng dài:

 xz 
 yz 
 z 

Hochiminh city University of Technology

 x   ( y   z )
E

HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology

8


17/09/201414

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.6. Liên hệ giữa ứng suất và Biến dạng
Định luật Hooke tổng quát
Biến dạng dài theo phương y:

3.6. Liên hệ giữa ứng suất và Biến dạng
Định luật Hooke tổng quát
Biến dạng dài theo phương z:

- Biến dạng dài theo phương y do  y

- Biến dạng dài theo phương z do  z

gây ra :

gây ra :

 yy   y / E

 zz   z / E

- Biến dạng dài theo phương y do  x ,  z

- Biến dạng dài theo phương z do  x ,  y

gây ra :

gây ra :

 yx   x / E; yz   z / E

 zx   x / E;  zy   y / E

Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng: Biến dạng dài theo
phương y:

y 

1
 y   ( x   z )
E

Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng: Biến dạng dài theo
phương z:

z 
HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology

1
 z   ( x   y )
E

Applied Mechanic

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.6. Liên hệ giữa ứng suất và Biến dạng
Định luật Hooke tổng quát

3.6. Liên hệ giữa ứng suất và Biến dạng
Định luật Hooke tổng quát

Biến dạng dài theo phương các phương chính:

Khi phân tố bị trượt thuần túy, chỉ

Cũng dựa trên nguyên lý cộng tác dụng ta có:

có  xy , biến dạng góc  xy quan hệ
với  xy theo định luật Hooke về

1
1   ( 2   3 )
E
1
 2   2   (1   3 )
E

1 

3 

trượt.

 xy   xy / G

Trong đó: G là module đàn hồi Vậy biến dạng góc trong
trượt, là hằng số vật liệu
mặt xy là:

1
 3   (1   2 )
E

G
HCM 08/2014

Applied Mechanic

HCM 08/2014

Hochiminh city University of Technology

Hochiminh city University of Technology

E
2(1   )

Applied Mechanic

 xy 

2 xy 1  
EHCM 08/2014

Hochiminh city University of Technology

9


17/09/201414

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.6. Liên hệ giữa ứng suất và Biến dạng
Định luật Hooke tổng quát

3.6. Liên hệ giữa ứng suất và Biến dạng
Vậy:

Vậy biến dạng góc trong các mặt
yz, xz là:

 yz 
 xz 

 yz
G

 xz
G




x 

1
 x   ( y   z )
E

y 

1
 y   ( x   z )
E

 yz 

z 

1
 z   ( x   y )
E

 xz 

2 yz 1  
E
2 xz 1  
E

 xy 

2 xy 1  

 yz
G

 xz
G




HCM 08/2014
Hochiminh city University of Technology

Applied Mechanic

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

E
2 yz 1  
E
2 xz 1  
E
HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology

Chương III. Ứng suất – Biến dạng

Một số ví dụ
Cho phân tố ứng suất như hình vẽ.

y

6

12
600

4

 x  12 kN / cm 2


2
 y   6 kN / cm

2
 xy   4 kN / cm

0
   150

x

u

HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology

HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology

10