Một số vấn đề sắp xếp lập kế hoạch gia công tối ưu trên mô hình máy đơn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN VIỆT HƯNG

MỘT SỐ VẤN ĐỀ SẮP XẾP LẬP KẾ HOẠCH
GIA CÔNG TỐI ƯU TRÊN MÔ HÌNH MÁY
ĐƠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN VIỆT HƯNG

MỘT SỐ VẤN ĐỀ SẮP XẾP LẬP KẾ HOẠCH
GIA CÔNG TỐI ƯU TRÊN MÔ HÌNH MÁY
ĐƠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

TS. PHẠM HỒNG TRƯỜNG

THÁI NGUYÊN - 2016


i

Mục lục
Lời nói đầu

1

Chương 1. Một số vấn đề lý luận về vấn đề trình tự sắp xếp
1.1 Vấn đề trình tự sắp xếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Lời dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
3
3

1.1.2 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Phân loại vấn đề trình tự sắp xếp . . . . . . . . . . . 10
1.2 Tìm lời giải (giải quyết) vấn đề trình tự sắp xếp . . . . . . . 12
1.2.1
1.2.2
1.2.3

Trình tự khả thi và trình tự tối ưu . . . . . . . . . . 12
Trình tự sắp xếp không trì hoãn . . . . . . . . . . . . 13
Sơ lược về thuật toán và độ phức tạp của thuật toán 14

1.2.4

Thuật toán và độ phức tạp của vấn đề trình tự sắp xếp 15

Chương 2. Vấn đề trình tự sắp xếp trên máy đơn
18
2.1 Vấn đề tổng thời gian hoàn thành gia công của các nhiệm
vụ có trọng số khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1
2.1.2

Vấn đề 1
wj Cj (xem [2]) . . . . . . . . . . . . . . 18
Vấn đề 1|chain| wj Cj (xem [2]) . . . . . . . . . . . 20

2.1.3 Vấn đề 1 | rj | Cj (xem [3]) . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Vấn đề trễ cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1 Vấn đề 1 Lmax (xem [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.2
2.2.3
2.2.4

Vấn đề 1 | rj , prmp | Lmax (xem [3]) . . . . . . . . . . 29
Vấn đề 1 | rj | Lmax (xem [1]) . . . . . . . . . . . . . 31
Vấn đề 1 | rj , pj = 1 | Lmax (xem [2]) . . . . . . . . . 34


ii

2.2.5

Vấn đề 1 | prec | Lmax (xem [3]) . . . . . . . . . . . . 35

Kết luận

39

Tài liệu tham khảo

40


1

Lời nói đầu
Tổ hợp tối ưu hóa là một trong những lĩnh vực kinh điển của toán học
có ảnh hưởng đến hầu hết các lĩnh vực khoa học – công nghệ và kinh tế
– xã hội. Trong thực tế, việc tìm giải pháp tối ưu cho một vấn đề nào đó
chiếm một vai trò rất quan trọng.
Trong luận văn này tôi xin trình bày về vấn đề sắp xếp lập kế hoạch
gia công tối ưu của một số vấn đề sắp xếp trên mô hình máy đơn. Lập
kế hoạch gia công là một phần ứng dụng của tối ưu hoá. Đó là một trong
những hoạt động cơ bản của quá trình quản lý cấp công ty, xét về mặt bản
chất thì hoạt động này nhằm mục đích xem xét các mục tiêu, các phương
án kinh doanh, bước đi trình tự và cách cải tiến hành các hoạt động sản
xuất kinh doanh.
Trong phạm vi một doanh nghiệp hay một tổ chức, lập kế hoạch gia
công là khâu đầu tiên, là chức năng quan trọng của quá trình quản lý và
là cơ sở để thúc đẩy hoạt động kinh doanh có hiệu quả cao, đạt được mục

tiêu đề ra. Các nhà quả lý cần phải lập kế hoạch bởi vì lập kế hoạch cho
biết phương hướng hoạt động trong tương lai, làm giảm sự tác động của
những thay đổi từ môi trường, tránh được sự lãnh phí và dư thừa nguồn
lực, thiết lập nhưng tiêu chuẩn thuận tiện cho công tác kiểm tra. Lập kế
hoạch gia công sẽ làm giảm sự chồng chéo và những hoạt động làm lãng
phí nguồn lực của doanh nghiệp để sử dụng nguồn lực một cách có hiệu
quả, cực tiểu hóa chi phí nhằm đạt được mục tiêu đã được lựa chọn.
Chính vì vậy việc nghiên cứu lập kế hoạch gia công tối ưu của một số
vấn đề gia công tối ưu của một số vấn đề gia công trên máy sản xuất đơn
hình kinh tế đóng vai trò rất quan trọng. Việc tìm ra và thiết lập được


2

kế hoạch gia công tối ưu sẽ giúp cho nhà sản xuất đảm bảo các điều kiện:
Đáp ứng kì hạn giao hàng, tối thiểu hóa sự chậm trễ (nếu có) của các công
việc tham gia vào quá trình gia công, tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn
thành công việc.
Luận văn phân tích, tìm hiểu, thiết lập phương pháp gia công các nguyên
liệu đầu vào của một quá trình sản xuất để đạt được quá trình gia công
tối ưu của một số vấn đề gia công trên máy sản xuất đơn trong sản xuất
kinh tế.
Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Phạm Hồng Trường,
tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy, người đã người dành
nhiều thời gian và tâm huyết để hướng dẫn tận tình, giúp đỡ tác giả trong
quá trình học tập, nghiên cứu và viết bản luận văn này.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo Trường Đại học Khoa
học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin cùng toàn
thể các thầy cô trong và ngoài trường đã giảng dạy giúp tôi trau dồi thêm

rất nhiều kiến thức phục vụ cho việc học tập và nghiên cứu của bản thân.
Đồng thời tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Toán
K8A (khóa 2014-2016) đã động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá
trình học tập. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô.
Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn động
viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập,
nghiên cứu và làm luận văn.
Xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, 30 tháng 06 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Việt Hưng


3

Chương 1

Một số vấn đề lý luận về vấn đề
trình tự sắp xếp
1.1
1.1.1

Vấn đề trình tự sắp xếp
Lời dẫn

Vấn đề trình tự sắp xếp ra đời chủ yếu là trong lĩnh vực chế tạo máy, về
sau được phát triển trong lĩnh vực hệ thống máy tính, lập kế hoạch trong
giao thông vận tải, quản lý sản xuất. . . Từ những sắp xếp kế hoạch trong
cuộc sống hàng ngày, lập kế hoạch của nhân viên, xây dựng thời khóa biểu

của nhà trường, từ những tính toán kế hoạch bay cho những chuyến bay
cho một sân bay lớn đều cần dùng đến phương pháp và lý luận của vấn đề
trình tự sắp xếp.
Trước khi đưa ra định nghĩa của vấn đề trình tự sắp xếp, chúng ta xem
xét một vài ví dụ ứng dụng thực tế trong lĩnh vực này.
Ví dụ 1.1.1 Gia công trong phân xưởng cơ khí
Xưởng cơ khí cần gia công một lô linh kiện, mỗi linh kiện đều có trình
tự gia công giống nhau, nghĩa là dựa vào thứ tự gia công như gia công trên
các máy khác nhau nhưng thời gian gia công của mỗi linh kiện trên mỗi
máy có thể không giống nhau. Mục tiêu đặt ra là sắp xếp thứ tự gia công
các linh kiện thế nào để thời gian hoàn thành lô linh kiện là ít nhất.
Ví dụ 1.1.2 Sắp xếp chuyến bay tại sân bay


4

Một sân bay, có vài chục cửa ra máy bay, mỗi ngày có vài trăm chuyến
bay cất cánh và hạ cánh. Cửa ra sân bay có kiểu và kích cỡ không giống
nhau, kích cỡ của các máy bay cũng khác nhau (số lượng hành khách có
thể chứa khác nhau) một vài cửa chỉ cho phép sắp xếp máy bay cỡ lớn và
một vài cửa chỉ cho phép sắp xếp với máy bay cỡ nhỏ.
Các máy bay đều có thời gian biểu để hạ cánh và cất cánh. Do ảnh
hưởng của thời tiết và các nhân tố khác của sân bay, thời gian biểu đó có
tính ngẫu nhiên rất lớn. Khi máy bay vào đến cửa ra vào để hành khách
lên xuống, máy bay cần bơm dầu, kiểm tra kỹ thuật, sửa chữa (nếu có),
sắp xếp hành lý. Nếu có máy bay không thể hạ cánh đúng giờ sẽ ảnh hưởng
đến các máy bay khác ở sân bay, ảnh hưởng đến việc chiếm hữu cửa ra
vào, thời gian lên máy bay bị lùi lại và các máy bay khác không thể được
đưa vào sử dụng.
Nhân viên phụ trách điều động của sân bay cần đưa ra phương pháp

sắp xếp các cửa ra vào cho các máy bay hạ cánh và cất cánh sao cho hiệu
suất sử dụng của sân bay là cao nhất, số máy bay bị trễ thời gian cất cánh
là ít nhất. Đây cũng là một vấn đề sắp xếp trình tự có ứng dụng rất lớn.
1.1.2

Định nghĩa

Vấn đề trình tự sắp xếp là một vấn đề tổ hợp tối ưu hóa quan trọng,
đó là sử dụng một số máy xử lý, máy móc, nguồn lực để hoàn thành tối
ưu một số lượng nhiệm vụ hoặc công việc đã cho. Khi thực hiện giải quyết
những nhiệm vụ hoặc những công việc này, cần thỏa mãn một số điều kiện
giới hạn như: thời gian đạt đến, thời gian hạn định phải hoàn thành, thứ
tự thực hiện các nhiệm vụ,. . . Mục đích là làm cho hàm mục tiêu đạt giá
trị tối ưu, trong đó hàm mục tiêu thông thường là khoảng thời gian gia
công, cách thức hiệu suất sử dụng của máy xử lý.
Trong vấn đề trình tự sắp xếp, số lượng, chủng loại của máy xử lý, thứ
tự của các công việc (nhiệm vụ), thời gian đạt đến, hạn chế hoàn thành
công việc,. . . là những nhân tố rắc rối phức tạp, rất khó dùng toán học mô
tả chính xác để đưa ra định nghĩa một thứ tự thông thường. Trong luận
văn này, ta dùng cách thức sau đây để mô tả vấn đề trình tự sắp xếp:


5

Cho tập hợp n nhiệm vụ
Tập hợp m máy xử lý

T = {T1 , . . . , Tn}
P = {P1 , . . . , Pm }

Tập hợp s loại nguồn lực
R = {R1, . . . , Rs }.
Mục đích của vấn đề trình tự sắp xếp đó là sắp xếp những điều kiện
được đưa ra nhất định để hoàn thành các hạng mục nhiệm vụ đưa ra, sắp
xếp các máy xử lý và các nguồn lực (nếu có) phân phối sắp xếp đối với
các nhiệm vụ để làm cho hàm mục tiêu đạt được tối ưu.
∗ Máy xử lý:
Vấn đề máy đơn : Vấn đề trình tự sắp xếp chỉ có một máy xử lý. Nếu
số máy xử lý nhiều hơn một, ta gọi là vấn đề trình tự sắp xếp đa máy.
Trong vấn đề trình tự sắp xếp đa máy, nếu tất cả các máy xử lý đều có
công năng như nhau thì ta gọi đó là vấn đề trình tự sắp xếp song song .
Máy song song phân thành 3 loại dựa vào tốc độ xử lý:
+ Đồng tốc độ: Tất cả các máy xử lý đều có tốc độ như nhau.
+ Hằng tốc độ: Tốc độ các máy không giống nhau, nhưng tốc độ xử lý
của các máy đều là hằng số, không phụ thuộc vào nhiệm vụ gia công.
+ Biến tốc độ : Tốc độ các máy phụ thuộc vào nhiệm vụ gia công.
Một trường hợp khác của đa máy xử lý đó là đa loại hình.
Mục đích của loại vấn đề này là sử dụng các máy có các công năng
khác nhau. Trong trường hợp xử lý đa máy, các nhiệm vụ cần gia công cần
được gia công xử lý trên những máy khác nhau. Trong trường hợp này các
nhiệm vụ được gọi cụ thể là công việc.
Giả sử có tập các công việc J = {J1 , . . . , Jn }. Mỗi công việc Jj có nj
quá trình gia công T1j , T2j , . . . Tnj .
Nếu mỗi công việc đều cần xử lý gia công trên các máy xử lý, tức là
nj = m, j = 1, 2, . . . , n mà quá trình gia công của mỗi công việc đều như
nhau, tức là thứ tự gia công trên mỗi máy giống nhau thì vấn đề này được
gọi là đồng thứ tự tuần tự.


6

Nếu mỗi công việc đều cần xử lý gia công trên các máy xử lý, mỗi công
việc có quá trình xử lý không giống nhau thì được gọi là thứ tự tuần tự
khác nhau.
Nếu mỗi công việc đều cần xử lý gia công trên các máy xử lý, mỗi công
việc có thể có thứ tự gia công xử lý bất kỳ thì được gọi là thứ tự gia công
mở.
∗ Nhiệm vụ và công việc:
Những điều kiện ràng buộc trong vấn đề trình tự sắp xếp chủ yếu là
những hạn định, yêu cầu trong quá trình gia công và tính chất của nhiệm
vụ công việc.
(1) Véctơ thời gian gia công
Vectơ thời gian gia công của nhiệm vụ là pj (p1j , p2j , . . . , pnj ) trong đó
pij là thời gian gia công cần thiết của nhiệm vụ Tj trên máy pi . Đối
với máy đồng tốc, ta có pij = pj với i = 1, 2, . . . , m. Đối với máy hằng
tốc, ta có pij = pj /bi với i = 1, 2, . . . , m. Trong đó pj là thời gian gia
công tiêu chuẩn (thông thường là thời gian gia công trên máy xử lý có
tốc độ chậm nhất), bi là tốc độ trên máy xử lý pi .
Trong vấn đề trình tự sắp xếp, vectơ thời gian gia công của công việc
Ji là pj = (p1j , p2j , . . . , pnj ). Trong đó pij là thời gian gia công tương
ứng trên máy xử lý của quá trình gia công Tij .
(2) Thời gian đạt đến hay thời gian chuẩn bị rj là thời gian đã chuẩn bị
xong để có thể tham gia vào quá trình gia công của nhiệm vụ Tj . Nếu
tất cả các nhiệm vụ đều có thời gian chuẩn bị đều như nhau, ta quy
ước rj = 0, ∀j = 1, 2, . . . , n.
(3) Kỳ hạn và hạn định kết thúc
Kỳ hạn dj biểu thị thời gian hoàn thành hạn định của nhiệm vụ Tj ,
nếu không hoàn thành đúng kỳ hạn sẽ bị “phạt”. Mốc thời gian tuyệt
đối không được kéo dài quá được gọi là hạn định kết thúc.
(4) Yếu tố ưu tiên

Yếu tố ưu tiên wj là một trọng số biểu thị mức độ ưu tiên quan trọng


7

của nhiệm vụ Tj , đối với các nhiệm vụ khác để tiện cho trình bày, ta
giả sử các tham số pi , ri , dj và wj là các số trị nguyên. Trên thực tế
chúng có thể là những số hữu tỷ bất kỳ.
Ta dùng vectơ và ma trận để đưa ra các số liệu này
r = (r1 , r2 , . . . , rn )
d = (d1 , d2 , . . . , dn )
w = (w1 , w2 , . . . , wn )
lần lượt là thời gian đạt đến, kỳ hạn và yếu tố ưu tiên của n nhiệm
vụ.
Ký hiệu


p11

p12 . . . p1n





 p21 p22 . . . p2n 

P =
... ... ... ...



pm1 pm2 . . . pmn
trong đó dòng thứ i, vectơ (pi1 , . . . , pin ) biểu thị thời gian gia công của
n nhiệm vụ trên máy thứ i. Một ràng buộc quan trọng khi nhiệm vụ
được gia công đó là có thể gián đoạn hoặc không được gián đoạn.
Một hạn chế quan trọng khác khi gia công nhiệm vụ đó là ràng buộc
ưu tiên giữa các nhiệm vụ trên tập các nhiệm vụ J, thiết lập một quan
hệ ưu tiên ≺. Nếu viết Ti ≺ Tj thì được hiểu là cần thiết phải gia công
xong Ti rồi mới được bắt đầu gia công Tj . Ta dùng đồ thị ràng buộc
ưu tiên để biểu thị mức độ ưu tiên của những nhiệm vụ, ví dụ:
Trong ràng buộc ưu tiên có 3 trường hợp ràng buộc đặc biệt quan
trọng:
- Đồ thị ràng buộc ưu tiên dạng xích: Mỗi nhiệm vụ có nhiều nhất
một nhiệm vụ ngay trước nó và một nhiệm vụ tiếp ngay sau nó.


8
T6
T1

T3

T9

T7

T4

T10
T8

T2
T5

Hình 1.1: Ví dụ của đồ thị ràng buộc ưu tiên

- Đồ thị ràng buộc ưu tiên dạng cây nhập: mỗi nhiệm vụ có nhiều
nhất một nhiệm vụ tiếp ngay sau nó.
- Đồ thị ràng buộc ưu tiên dạng cây xuất: mỗi nhiệm vụ có nhiều
nhất một nhiệm vụ tiếp ngay trước nó.
T1

T2

T1

T4

T2

T5

T3

T6

(a)

T3

T4

T6

T7

T5

T3

T1

T4

T6

T2

(b)

T5

(c)

Hình 1.2: Ví dụ của đồ thị ràng buộc ưu tiên

(a) dạng xích; (b) dạng cây nhập; (c) dạng cây xuất .
∗ Hàm mục tiêu:
Kí hiệu C = (C1 , C2 , . . . , Cn ) biểu thị thời gian gia công hoàn thành
nhiệm vụ mục tiêu là cực tiểu hóa thời gian hoàn thành các nhiệm vụ.

Hàm mục tiêu có một số loại chủ yếu sau:
(1) Độ dài thời gian gia công
Độ dài thời gian gia công được định nghĩa là:
Cmax = max{Cj }


9

Nghĩa là thời gian hoàn thành gia công của nhiệm vụ cuối cùng. Nếu
độ dài thời gian gia công ngắn thì có nghĩa là máy xử lý có hiệu suất
làm việc cao.
(2) Tổng thời gian hoàn thành của các nhiệm vụ có trọng số khác nhau
n

C=

wj Cj
j=1

Đặc biệt khi wj = 1, ∀j = 1, 2, . . . , n thì tổng thời gian hoàn thành
của các nhiệm vụ có trọng số khác nhau trở thành tổng thời gian hoàn
thành của các nhiệm vụ (total completion time)
n

C=

Cj
j=1

(3) Chậm trễ lớn nhất

Chậm trễ lớn nhất (maximum lateness) được định nghĩa là:
Lmax = max{Lj }
trong đó, Lj = Cj − dj , là thời gian chậm trễ của nhiệm vụ Tj
(4) Tổng trễ hẹn của các nhiệm vụ có trọng số khác nhau (total weighted
tardiness)
n

D=

wj Dj
j=1

trong đó, Dj = max {Cj − dj , 0} = max {Lj , 0} là thời gian trễ hẹn
gia công của nhiệm vụ Tj .
(5) Số nhiệm vụ trễ hẹn của các nhiệm vụ có trọng số khác nhau (weighted
number of tardy task)

n

U=

wj Uj
j=1


10


1, C > d
j

j
trong đó Uj =
0, C
dj
j
hẹn Tj .

1.1.3

là đơn vị phạt của nhiệm vụ trễ

Phân loại vấn đề trình tự sắp xếp

Trong phân loại vấn đề trình tự sắp xếp, nếu như tất cả những dữ liệu
số liệu đều được biết trước khi tiến hành thực hiện thì được gọi là vấn đề
trình tự sắp xếp xác định. Nếu như có một vài dữ liệu số liệu chưa được
biết, những số liệu đó là một vài biến lượng ngẫu nhiên, nhưng sự phân
bố của chúng là đã biết, khi đó vấn đề này được gọi là vấn đề trình tự sắp
xếp ngẫu nhiên. Dù là vấn đề trình tự sắp xếp ngẫu nhiên hay xác định,
ta đều có thể giả sử như sau:
(1) Số nhiệm vụ (hoặc công việc) và số máy xử lý là hữu hạn.
(2) Trong bất kỳ một khoảng thời gian trên bất kỳ 1 máy xử lý nào chỉ
được xử lý duy nhất 1 nhiệm vụ hoặc thứ tự nhiệm vụ nào đó.
Ba yếu tố : máy xử lý, nhiệm vụ (hoặc công việc) và hàm mục tiêu tạo
thành vấn đề trình tự sắp xếp. Số lượng loại hình và điều kiện của các máy
xử lý có gần 10 trường hợp khác nhau, điều kiện ràng buộc của các nhiệm
vụ (công việc) và dữ liệu hiện có cực kỳ phức tạp và rắc rối, thêm vào đó
là yêu cầu cần đặt ra không giống nhau của các hàm mục tiêu đã tạo ra
nhiều loại hình trình tự sắp xếp phong phú đa dạng.
Ta dùng ba thành phần cơ bản trong dạng thức các loại hình của vấn

đề trình tự sắp xếp:
α|β|γ
trong đó, vị trí α biểu thị số lượng loại hình, điều kiện máy xử lý, vị trí đó
có thể là:
+ 1: máy đơn (1 máy xử lý).
+ Pm : m máy đồng tốc.
+ Qm : m máy hằng tốc.


11

+ R: m máy biến tốc.
Vị trí β biểu thị tính chất, hạn chế, yêu cầu, chủng loại dữ liệu. Số lượng
và điều kiện ràng buộc ảnh hưởng của các nhiệm vụ (hoặc công việc). Vị
trí này có thể có cùng lúc nhiều điều kiện theo yêu cầu của vấn đề. Vị trí
đó có thể là:
+ ri : các nhiệm vụ có thời gian đạt đến không giống nhau. Nếu vị trí β
không có mặt ri , điều đó có nghĩa là ri = 0, ∀j = 1, 2, . . . , m.
+ pmtn: thời gian gia công có thể gián đoạn.
+ prec, chains, intree, ontree: biểu thị tính tương quan giữa các nhiệm
vụ, lần lượt biểu thị là ràng buộc ưu tiên thông thường, xích, cây nhập,
cây xuất. Nếu vị trí β không có xuất hiện những yêu cầu này, điều đó
có nghĩa là tập nhiệm vụ là không có quan hệ (các nhiệm vụ không
có ràng buộc lẫn nhau).
Vị trí γ biểu thị hàm mục tiêu cần tối ưu hóa, vị trí đó có thể là:
Cmax : độ dài thời gian biểu tối đa;
Cj : tổng thời gian hoàn thành;
wj Cj : tổng thời gian hoàn thành của các công việc có trọng số khác
nhau;
Lmax : chậm trễ tối đa.

Ví dụ 1.1.3 1 | rj , pmtn |

wj Cj là vấn đề trình tự sắp xếp trên máy

đơn, có thể gián đoạn, các nhiệm vụ có thời gian chuẩn bị không giống
nhau, hàm mục tiêu cần cực tiểu hóa là tổng thời gian hoàn thành của các
nhiệm vụ có trọng số khác nhau.
Ví dụ 1.1.4 P m

Cmax là vấn đề sắp xếp trên m máy đồng tốc, các

nhiệm vụ không có quan hệ với nhau, không được gián đoạn, hàm mục
tiêu là cực tiểu hóa thời gian hoàn thành của nhiệm vụ có thời gian gia
công lâu nhất (cực tiểu hóa độ dài thời gian biểu dãy sắp xếp).


12

1.2
1.2.1

Tìm lời giải (giải quyết) vấn đề trình tự sắp xếp
Trình tự khả thi và trình tự tối ưu

Vấn đề trình tự sắp xếp là một vấn đề của tổ hợp tối ưu hóa. Do các
nhiệm vụ, số lượng các máy cần xử lý trong vấn đề trình tự sắp xếp đều
là hữu hạn, nên lời giải tối ưu của đại bộ phận vấn đề trình tự đều được
tìm ra từ hữu hạn các lời giải khả thi của vấn đề trật tự ban đầu, làm cho
hàm mục tiêu đạt giá trị tối ưu. Trong vấn đề trình tự sắp xếp, ta gọi lời
giải khả thi là trình tự khả thi, lời giải tối ưu được gọi là trình tự tối ưu

(optimal schedule).
Trong vấn đề trình tự sắp xếp, một trình tự khả thi là một dãy thứ tự
mà dựa vào đó có thể sắp xếp tất cả các nhiệm vụ gia công trên máy xử
lý.
Ví dụ 1.2.1 Cho vấn đề trình tự sắp xếp
4

Cj , trong đó n = 4, p = (3, 2, 5, 1), r = (0, 1, 0, 0).

1 | rj |
j=1

Khi đó [p1 , p3 , p4 , p2 ] là một trình tự khả thi, tổng thời gian gia công là
31; [p4, p2 , p1 , p3 ] là một trình tự tối ưu, tổng thời gian gia công tối ưu là
21.
Ví dụ 1.2.2 cho vấn đề trình tự sắp xếp
F2 ||Cmax , trong đó n = 5.

P =

4 4 10 6 2
5 1 4 10 3

Một trình tự sắp xếp bất kỳ của tập các công việc đều là trình tự khả
thi, trong đó [J5, J1 , J4 , J3 , J2] là trình tự tối ưu.


13

J5

P1

P2

0

2

J1

J4

J3

J5

J1

J4

5 6

J2

J3

11 12

22

J2

26 27

Hình 1.3: Sơ đồ Grant Charts

1.2.2

Trình tự sắp xếp không trì hoãn

Trong quá trình giải quyết các vấn đề trình tự sắp xếp, có một loại trình
tự khả thi rất quan trọng được định nghĩa.
Định nghĩa: Đối với một trình tự khả thi, nếu có các công việc đều được
chuẩn bị trước, máy xử lý không có thời gian nghỉ trong cả quá trình gia
công, loại trình tự sắp xếp này gọi là trình tự sắp xếp không trì hoãn. Nếu
ngược lại, sẽ được gọi là trình tự sắp xếp trì hoãn được.
Trình tự sắp xếp không trì hoãn tương đương với việc không được để
máy xử lý có thời gian nghỉ trong quá trình gia công. Đối với đại đa số
các vấn đề trình tự sắp xếp, bao gồm tất cả các trình tự sắp xếp có thể
gián đoạn, trình tự tối ưu là tình tự không trì hoãn, tuy nhiên cũng có
một vài vấn đề trình tự sắp xếp có thể gián đoạn mà trình tự tối ưu của
nó là trình tự trì hoãn được.
Ví dụ 1.2.3 Trình tự sắp xếp 1|rj |

wj Cj , n = 2, p = (10, 5), r = (0, 1), w =

(1, 5).
Vấn đề này có hai trình tự khả thi đó là:
T2

T1

P

0

(a)

10

15


14
P

0

T2

1

T1

6

(b)

16

Hình 1.4: Trình tự khả thi của ví dụ 1.2.3

1.2.3

Sơ lược về thuật toán và độ phức tạp của thuật toán

Lý thuyết độ phức tạp tính toán là một nhánh của lý thuyết tính toán
trong lý thuyết khoa học máy tính và toán học tập trung vào phân loại các
vấn đề tính toán theo độ khó nội tại của chúng. Ở đây, một vấn đề tính
toán được hiểu là một vấn đề có thể giải được bằng máy tính (nói chung
có nghĩa là vấn đề có thể được diễn đạt dưới dạng toán học). Một vấn đề
tính toán có thể hiểu là một tập các trường hợp và lời giải cho các trường
hợp đó. Ví dụ như kiểm tra tính nguyên tố là vấn đề xác định xem một số
cho trước có phải số nguyên tố hay không. Mỗi trường hợp của vấn đề là
một số tự nhiên, và lời giải cho mỗi trường hợp là có hoặc không tùy theo
số đó có là nguyên tố hay không.
Một vấn đề được coi là khó nếu lời giải của nó đòi hỏi nhiều tài nguyên,
bất kể sử dụng thuật toán nào. Lý thuyết độ phức tạp tính toán chuyển
ý tưởng trực quan này thành mệnh đề toán học chặt chẽ, bằng cách đưa
ra các mô hình tính toán để nghiên cứu các vấn đề này và tính lượng tài
nguyên cần thiết để giải quyết chúng, chẳng hạn như thời gian hay bộ nhớ.
Ngoài ra còn có những tài nguyên khác cũng được sử dụng, chẳng hạn như
lượng thông tin liên lạc (dùng trong độ phức tạp truyền thông), số lượng
cổng logic trong mạch (dùng trong độ phức tạp mạch) và số lượng bộ xử
lý (dùng trong tính toán song song). Một trong những nhiệm vụ của lý
thuyết độ phức tạp tính toán là xác định các giới hạn của những gì máy
tính có thể làm và không thể làm.
Hai ngành khác trong lý thuyết khoa học máy tính có liên hệ chặt chẽ
với độ phức tạp tính toán là phân tích thuật toán và lý thuyết khả tính.

Điểm khác biệt mấu chốt giữa phân tích thuật toán và lý thuyết độ phức
tạp tính toán là ngành thứ nhất tập trung vào phân tích lượng tài nguyên
cần thiết cho một thuật toán nhất định, trong khi ngành thứ hai nghiên
cứu các câu hỏi về tất cả các thuật toán có thể dùng để giải quyết vấn


15

đề. Cụ thể hơn, nó tìm cách phân loại các vấn đề theo lượng tài nguyên
cần thiết để giải quyết chúng. Việc giới hạn lượng tài nguyên là điểm khác
biệt giữa độ phức tạp tính toán và lý thuyết khả tính: lý thuyết khả tính
nghiên cứu xem những vấn đề nào có thể giải được về mặt nguyên tắc, mà
không giới hạn tài nguyên.
1.2.4

Thuật toán và độ phức tạp của vấn đề trình tự sắp xếp

Vấn đề trình tự sắp xếp là một loại hình của tổ hợp tối ưu hóa, ý tưởng
cơ bản để giải quyết vấn đề này đó là: Sử dụng những phương pháp của
các vấn đề tổ hợp tối ưu hóa khác, tích cực sử dụng các tính chất đặc
trưng của bản thân vấn đề trình tự sắp xếp, từ đó xác định trình tự tối
ưu thỏa mãn điều kiện ràng buộc. Có một vài vấn đề trình tự có thể trực
tiếp chuyển hóa thành các vấn đề tổ hợp tối ưu hóa khác để giải quyết.
Đối với vấn đề trình tự sắp xếp có thuật toán đa thức, cần cố gắng tìm
ra thuật toán tốt và độ phức tạp và thời gian tính toán thuật toán đó.
Đối với những vấn đề trình tự sắp xếp mà chưa biết thuật toán có phải là
thuật toán đa thức hay không, trước tiên cần dùng lý luận về độ phức tạp
tiến hành phân tích xem xét vấn đề đó có phải là NP-hard hay không để
biết được độ khó của việc giải quyết loại vấn đề đó.
Thông thường có một số trường hợp sau, thuật toán của một loại vấn

đề trình tự sắp xếp có thể dùng để giải quyết một vấn đề trình tự sắp xếp
khác. Ví dụ như vấn đề 1
Cj là một trường hợp đặc biệt của 1
wj Cj ,
do đó thuật toán giải quyết vấn đề 1
wj Cj cũng có thể được dùng để
giải quyết vấn đề 1
Cj . Trong lý luận về độ phức tạp, ta gọi quan hệ
này là tổng quát hóa đa thức thời gian. Ta nói 1
Cj tổng quát hóa đến
1
wj Cj , ký hiệu 1
Cj ∝ 1
wj Cj . Dựa trên định nghĩa cơ bản
này, ta có thể xây dựng được rất nhiều chuỗi tổng quát hóa.
Ví dụ 1.2.4
1

Cj ∝ 1

wj Cj ∝ P m

wj Cj ∝ Qm | prec | wj Cj

Tổng quát hóa là 1 loại quan hệ thứ tự, có rất nhiều vấn đề không thể


16

tổng quát hóa lẫn nhau, ví dụ như Pm

wj Cj và Jm

Cmax .

Hình 1.5, 1.6, 1.7 chỉ ra quan hệ tổng quát hóa của một số vấn đề trình
tự sắp xếp. Trong đó, hình 1.5 sắp xếp dựa vào điều kiện máy xử lý, hình
1.6 sắp xếp dựa vào ràng buộc gia công, hình 1.7 sắp xếp dựa theo hàm
mục tiêu. Chú ý rằng quan hệ ∝ được thay thế bằng "−→" để biểu thị ký
hiệu 0 trong hình 1.6 biểu thị không có ràng buộc tương ứng. Nghiên
cứu ranh giới giữa những vấn đề có thể giải được theo đa thức thời gian
trong quan hệ tổng quát hóa và NP-hard là một việc rất quan trọng.
Rm

Qm

FFs

Jm

Pm

Fm

Om

1

Hình 1.5: Quan hệ tổng quát hóa của một số vấn đề trình tự sắp xếp dựa theo điều kiện của máy xử
lý.

block

0

rj

0

sjk prmp

0

0

prec

0

Mj

0

nwt

recrc

0

0

brkdwn

0

Hình 1.6: Quan hệ tổng quát hóa của một số vấn đề trình tự sắp xếp dựa theo điều kiện ràng buộc.

Ví dụ trong chuỗi tổng quát hóa trên, vấn đề P m

wj Cj là NP-hard,

điều này nói lên rằng Qm|pree| wj Cj cũng là NP-hard.
Ta có một số quan hệ tổng quát hóa được phân chia theo ranh giới giữa
vấn đề “dễ giải quyết” và vấn đề NP-hard như sau:


17

wj Dj

Wj Cj

Cj

Dj

wj Uj

Uj

Lmax

Cmax

Hình 1.7: Quan hệ tổng quát hóa của một số vấn đề trình tự sắp xếp dựa theo điều kiện hàm mục
tiêu.

F F s || Cmax

J2 || Cmax

P 2 || Cmax

F 2 || Cmax

NP-hard
1 || Cmax

Hình 1.8

P m || Lmax

NP-hard

1 | rj | Lmax 1 | rj .prmp | Lmax
1 || Lmax

Hình 1.9

1 | prmp | Lmax

18

Chương 2

Vấn đề trình tự sắp xếp trên máy
đơn
Vấn đề trình tự sắp xếp trên máy đơn là một trong những vấn đề trình
tự sắp xếp đơn giản nhất, đồng thời cũng là một trong những vấn đề sắp
xếp quan trọng nhất. Vấn đề trình tự sắp xếp trên máy đơn tương đối
dễ tìm ra phương pháp giải quyết, những phương pháp này có những tác
dụng cụ thể đối với việc nghiên cứu những vấn đề trình tự sắp xếp phức
tạp hơn, có thể giúp cho việc tìm ra những thuật toán xấp xỉ đối với những
vấn đề trình tự sắp xếp trên máy đơn được giới thiệu là những vấn đề tồn
tại trong cuộc sống hiện thực, có bối cảnh thực tế. Vì vậy, vấn đề trình tự
sắp xếp trên máy đơn có phạm vi ứng dụng lớn, nâng cao hiệu xuất lao
động, có ý nghĩa cực kỳ to lớn.
2.1
2.1.1

Vấn đề tổng thời gian hoàn thành gia công của các nhiệm
vụ có trọng số khác nhau
Vấn đề 1

wj Cj (xem [2])

Một trong những hàm mục tiêu quan trọng của vấn đề trình tự sắp xếp
trên máy đơn là cực tiểu hóa thời gian hoàn thành gia công của các nhiệm
vụ có trọng số khác nhau.

Đầu tiên, ta thảo luận vấn đề
1

wj Cj


19

Trong đó, Cj là thời gian hoàn thành gia công của nhiệm vụ Tj , wj là
trọng số của nhiệm vụ Tj . Đối với vấn đề 2.1, áp dụng quy tắc WSPT
(Weight Shortest Processing Time first) ta đạt được trình tự sắp xếp tối
ưu. Theo quy tắc này, các nhiệm vụ dựa vào thứ tự không tăng của tỷ số
wj /pj để gia công n. Đối với trường hợp các wj tương đương nhau quy tắc
WSPT trở thành quy tắc SPT (Shortest Procesing Time first).
Định lý 2.1.1 Quy tắc WSPT tạo thành trình tự tối ưu đối với vấn đề
2.1
Chứng minh. Giả sử trong dãy trình tự tối ưu π không tuân theo quy
tắc WSPT khi đó trong dãy trình tự này tồn tại ít nhất hai nhiệm vụ cạnh
nhau Tj và Tk (Tj đứng trước Tk ) sao cho wj /Tk < wk /Tk . Giả sử nhiệm
vụ Tj bắt đầu gia công vào thời điểm t. Ta thay đổi thứ tự trong π như
sau: đối với hai nhiệm vụ Tj và Tk giữ nguyên vị trí các nhiệm vụ khác ta
được một dãy trình tự khác, giả sử là π .
′
Theo hình 2.1 trong dãy π , thời gian bắt đầu gia công của Tk là t, Tj
ngay sau Tk .
′

π

Tj

t

π

′

t + pj + pk
Tk

t

Tk

Tj
t + pj + pk

Hình 2.1: Sơ đồ thay đổi vị trí gia công của nhiệm vụ Tj và Tk


20

Để thấy rằng, sự khác biệt về tổng thời gian hoàn thành các nhiệm vụ
′
có trọng số khác nhau, trên π và π chỉ phụ thuộc vào tổng thời gian hoàn
thành đối với nhiệm vụ Tj và Tk trong dãy trình tự π, thời gian hoàn thành
(của các nhiệm vụ có trọng số khác nhau) của Tj và Tk là
(t + pj )wj + (t + pj + pk )wk
Còn trong dãy trình tự π là
′

(t + pk )wk + (t + pk + pj )wj
Do đó, chênh lệch của tổng thời gian hoàn thành (của các nhiệm vụ có
trọng số khác nhau) của hai dãy trình tự là
( wj Cj )π − ( wj Cj )π′ = (t + pj )wj + (t + pj + pk )wk − (t + pk )wk −
(t + pk + pj )wj
wk wj
−
Do vậy trình tự
pk
pj
π không phải là trình tự tối ưu. Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy ta
có điều phải chứng minh.
= wk pj − wj pk = pj pk

Ví dụ 2.1.2 Xét vấn đề trình tự sắp xếp 1
wj Cj , trong đó n = 5, p =
(12, 4, 7, 11, 6), w = (4, 2, 5, 5, 6).
Theo quy tắc WSPT, ta đã được trình tự tối ưu là [T5 , T3 , T2, T4 , T1].
Tổng thời gian hoàn thành của các nhiệm vụ có trọng số khác nhau là:
wj Cj = 435
2.1.2

Vấn đề 1|chain|

wj Cj (xem [2])

Khi giữa các nhiệm vụ có ràng buộc ưu tiên, vấn đề trình tự sắp xếp
thay đổi tương đối phức tạp. Đối với ràng buộc ưu tiên thông thường, vấn
đề đó sẽ là NP-hard. Tiếp theo chúng ta xem xét ràng buộc ưu tiên đơn
giản nhất, đó là trường hợp ràng buộc xuất hiện dạng chuỗi song song

loại vấn đề này được ký hiệu là:
1|chain|

wj Cj

(2.2)


21

Hình 2.2: Đồ thị biểu thị ràng buộc của chuỗi nhiệm vụ song song

Từ việc thỏa mãn các tính chất cụ thể các ràng buộc ưu tiên của vấn
đề, có thể tìm ra được thuật toán đa thức.
Đầu tiên, chúng ta xem xét trường hợp không thể xảy ra gián đoạn, tức
là khi đã bắt đầu gia công một chuỗi nhiệm vụ thì cần phải gia công xong
tất cả các nhiệm vụ của chuỗi đó, sau đó mới được tiếp tục gia công chuỗi
nhiệm vụ khác.
Trước tiên, ta xem xét trường hợp chỉ có hai chuỗi nhiệm vụ. Giả sử
rằng trong chuỗi thứ nhất gồm có các nhiệm vụ T1, T2 , . . . , Tk , chuỗi thứ 2
gồm các nhiệm vụ Tk+1 , . . . , Tn với ưu tiên ràng buộc như sau:
T1
Tk+1

T2

Tk

Tk+2

Tn

Đối với vấn đề trình tự sắp xếp chỉ có hai chuỗi nhiệm vụ, nếu cần
thực hiện gia công sao cho tổng thời gian hoàn thành của các nhiệm vụ
có trọng số khác nhau đạt giá trị nhỏ nhất thì cần gia công dãy nhiệm vụ
nào trước? Ta có định lý sau đây.
Định lý 2.1.3 Nếu
n

k

wj

wj
j=1

>

k

j=k+1
n

pj

pj
j=1

j=k+1

thì chuỗi hợp bởi các nhiệm vụ T1 , . . . , Tk sẽ được gia công trước dãy hợp
bởi các nhiệm vụ Tk+1, . . . , Tn .