Điều kiện landesman lazer suy rộng đối với một số lớp bài toán biên elliptic không tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Bùi Quốc Hưng

ĐIỀU KIỆN LANDESMAN-LAZER SUY RỘNG ĐỐI
VỚI MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN BIÊN ELLIPTIC
KHÔNG TUYẾN TÍNH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2016


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Bùi Quốc Hưng

ĐIỀU KIỆN LANDESMAN-LAZER SUY RỘNG ĐỐI
VỚI MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN BIÊN ELLIPTIC
KHÔNG TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62460103

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. Hoàng Quốc Toàn

Hà Nội - 2016


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn thành
dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Hoàng Quốc Toàn. Các kết quả viết chung với
tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết
quả trong luận án là những kết quả mới và chưa từng được ai công bố trên bất
kỳ công trình nào khác.

Tác giả luận án

Bùi Quốc Hưng

i


LỜI CẢM ƠN

Luận án được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS
Hoàng Quốc Toàn. Thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong quá trình
làm luận án.
Tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Hoàng Quốc Toàn. Thầy đã hướng
dẫn tôi từ những bước đầu tiên, như cách đặt vấn đề nghiên cứu, làm thế nào
để viết một bài báo khoa học, cách mở rộng vấn đề nghiên cứu,. . . Nhờ sự chỉ
bảo của Thầy, tôi ngày càng tiến bộ hơn trong nghiên cứu khoa học. Bên cạnh
đó, Thầy đã dạy cho tôi rất nhiều điều về nhân cách và lối sống, định hướng
cho tôi, truyền cho tôi ý chí làm việc và phấn đấu, khiến cho tôi trưởng thành
hơn trong sự nghiệp và cuộc sống. Nhân cách và lối sống của Thầy cũng là điều

mà tôi đang phấn đấu và hoàn thiện bản thân. Từ tận đáy lòng, tôi xin bày tỏ
lòng cảm ơn sâu sắc tới Thầy, mong Thầy luôn mạnh khỏe để có thể cống hiến
nhiều hơn cho sự nghiệp giáo dục nước nhà.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy, các bạn đồng nghiệp
và các anh chị nghiên cứu sinh trong Bộ môn Toán Sinh thái và Môi trường, Bộ
môn Giải Tích-Khoa Toán Cơ Tin học đã luôn quan tâm, giúp đỡ, và trao đổi
những ý kiến qúy báu cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu.
Tôi trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám đốc, Ban Chủ nhiệm Khoa Công
nghệ Thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự, đặc biệt là các thầy cô giáo trong
Bộ môn Toán, Học viện Kỹ thuật Quân sự và tôi cũng xin được bày tỏ lòng
cảm ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Ban chủ nhiệm
Khoa Toán -Cơ -Tin học, Phòng Sau đại học và Bộ môn Giải tích, Bộ môn Toán
Sinh thái và Môi trường đã luôn giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá
trình học tập, nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành luận án của mình.
Cuối cùng, tôi xin được tỏ lòng biết ơn chân thành đến gia đình, bạn bè,
những người luôn sát cánh động viên, chia sẻ giúp đỡ tôi hoàn thành luận án
này.

ii


Mục lục
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

3

MỞ ĐẦU

4

1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

1.2

1.3

2

Các nguyên lý biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Phiếm hàm khả vi trong không gian Banach . . . . . . .
1.1.2 Tính khả vi của phiếm hàm tích phân . . . . . . . . . .
1.1.3 Tính nửa liên tục dưới yếu của phiếm hàm khả vi trong
không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Điều kiện Palais-Smale và sự tồn tại điểm tới hạn . . . . . . . .
1.2.1 Điều kiện Palais-Smale (P-S) . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Nguyên lý cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Định lý điểm yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Định lý qua núi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Điều kiện Landesman-Lazer và bài toán cộng hưởng . . . . . . .
1.3.1 Nguồn gốc của thuật ngữ "Bài toán cộng hưởng" . . . .
1.3.2 Bài toán cộng hưởng và điều kiện Landesman-Lazer. . .

13
13
13
14
16

18
18
19
19
20
22
22
23

BÀI TOÁN NEUMANN CỘNG HƯỞNG ĐỐI VỚI
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC PHI TUYẾN, KHÔNG ĐỀU TRONG MIỀN
KHÔNG BỊ CHẶN
29
2.1

Điều kiện Landesman-Lazer suy rộng và bài toán Neumann cộng
hưởng đối với phương trình elliptic nửa tuyến tính không đều
trong miền không bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

30
30


2.2

2.3
3

2.1.2 Định lý cơ bản thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Định lý cơ bản thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài toán cộng hưởng Neumann đối với hệ phương trình elliptic
nửa tuyến tính không đều trong miền không bị chặn với điều kiện
biên phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Sự tồn tại nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37
47

50
50
55
65

BÀI TOÁN CỘNG HƯỞNG ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG
TRÌNH (p, p)−LAPLACIAN TRONG MIỀN BỊ CHẶN 66
3.1
3.2
3.3
3.4

Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
Bài toán Dirichlet cộng hưởng đối với hệ phương trình (p, p)−Laplacian
không đều trong miền bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
Định lý Điểm yên ngựa và hệ phương trình elliptic cộng hưởng

tựa tuyến tính trong miền bị chặn. . . . . . . . . . . . . . . . .
83
Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98

KẾT LUẬN

99

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN
QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
101

TÀI LIỆU THAM KHẢO

102

2


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

Ω ⊂ RN là một tập mở hoặc đo được trong RN , Ω ⊂⊂ Ω là một tập compact
chứa trong Ω và u : Ω → R là một hàm đo được Lebesgue.
Cho Ω là tập đo được trong RN , Lp (Ω) = {u : Ω → R : Ω |u|p dx < +∞}, 1 ≤
p < ∞, là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm khả tích Lebesgue bậc p
trên Ω với chuẩn được xác định như sau:
1/p

u

Lp (Ω)

p

|u| dx

:=

.

Ω

Chú ý rằng, khi 1 < p < +∞ thì Lp (Ω) là không gian Banach phản xạ.
L∞ (Ω) = u : Ω → R bị chặn trên Ω là không gian Banach bao gồm tất cả các
hàm đo được và bị chặn trên Ω h.k.n với chuẩn
u

L∞ (Ω)

= esssup u(x) .
x∈Ω

Lploc (Ω) = u : Ω → R : ∀Ω ⊂⊂ Ω, ta có u ∈ Lp (Ω ) .
Cho Ω là tập mở trong RN , C0∞ (Ω) là không gian các hàm khả vi vô hạn có giá
compact trong Ω.
H m,p (Ω) = u ∈ Lp (Ω) : Dα u ∈ Lp (Ω), với mọi đa chỉ số |α| ≤ m với chuẩn
u

H m,p

Dα u

=

Lp .

|α|≤m

H0m,p (Ω) là bao đóng của không gian C0∞ trong không gian H m,p (Ω). Nếu Ω là
miền bị chặn thì ta có thể xác định một chuẩn tương đương là
u

H0m,p

Dα u

=

Lp .

|α|=m

H −m,q (Ω) là không gian đối ngẫu của không gian H m,p (Ω) với
trường hợp p = q = 2, ta có thể viết ngắn gọn là H m (Ω).
3

1
p

+ 1q = 1. Trong


MỞ ĐẦU

Phương trình đạo hàm riêng xuất hiện từ thế kỷ 18 trong các công trình của
Euler, Dalembert, Lagrange, Laplace,. . . như là một phương tiện để mô tả các
mô hình của cơ học liên tục và để nghiên cứu giải tích các mô hình trong vật lý.
Việc giải tích các mô hình vật lý được duy trì cho đến ngày nay và là động lực
thúc đẩy sự phát triển của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng. Từ giữa thế
kỷ 19, phương trình đạo hàm riêng trở thành một phương tiện nghiên cứu chủ
yếu của nhiều ngành Toán học khác nhau. Poincaré mô tả vai trò của phương
trình đạo hàm riêng là chiếc cầu nối giữa các ngành toán học ứng dụng, khoa
học vật lý và các ngành toán học thuần túy. Vấn đề xuyên suốt trong nghiên
cứu lý thuyết và ứng dụng của phương trình đạo hàm riêng đó là bài toán tồn
tại nghiệm. Từ lâu người ta đã biết đến nhiều phương pháp để tìm nghiệm của
một phương trình đạo hàm riêng tuyến tính như phương pháp tách biến, phương
pháp chuỗi, phương pháp phương trình tích phân, phương pháp hàm Green,. . .
Cho đến đầu thế kỷ 20, nghiệm của một phương trình đạo hàm riêng được
hiểu theo một cách chung nhất đó là nghiệm khả vi đến cấp cao nhất của đạo
hàm có mặt trong phương trình. Tuy nhiên một điều dễ nhận thấy là để phản
ánh tương đối chính xác một quá trình vật lý hay cơ học thì việc chỉ quan tâm
đến các nghiệm khả vi thôi là chưa đủ. Hơn nữa một mô hình vật lý hay cơ
học nói chung được mô tả bởi một phương trình hay hệ phương trình đạo hàm
riêng không tuyến tính, mà một phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính
lại thường không tồn tại nghiệm khả vi. Vì vậy để cho việc nghiên cứu phương
trình đạo hàm riêng có ý nghĩa hơn đối với đối tượng mà nó phản ánh thì việc
mở rộng khái niệm nghiệm của một phương trình đạo hàm riêng là một vấn đề
cần thiết. Do đó khái niệm nghiệm suy rộng (hay nghiệm yếu) ra đời. Người ta
có thể đưa ra nhiều định nghĩa khác nhau về nghiệm suy rộng nhưng phải đảm

bảo nguyên tắc đó là vừa chặt chẽ về mặt toán học, vừa có ý nghĩa về phương
diện vật lý.
Vào những năm 50-60 của thế kỷ trước, khi mà lý thuyết phương trình đạo
hàm riêng tuyến tính đạt được những thành tựu tuyệt vời, mà một trong những
thành công nhất đó là lý thuyết bài toán biên elliptic trên các đa tạp compact
4


có biên và không biên thì xu hướng nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng
không tuyến tính được đẩy mạnh, đặc biệt là từ những năm cuối của thế kỷ 20
cho đến nay.
Do tính đa dạng của phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính nên
phương pháp nghiên cứu nó cũng rất phong phú, nhưng không có một phương
pháp chung nào cho tất cả các loại phương trình đạo hàm riêng không tuyến
tính. Có thể kể ra một số phương pháp thường được sử dụng như: phương pháp
trực giao, phương pháp toán tử đơn điệu, phương pháp nguyên lý điểm bất
động, phương pháp nghiệm trên - nghiệm dưới, phương pháp bậc tôpô của ánh
xạ, phương pháp biến phân,. . . Trong số các phương pháp đó, phương pháp biến
phân được áp dụng rộng rãi và tỏ ra có hiệu lực hơn cả.
Ý tưởng của phương pháp biến phân áp dụng vào phương trình đạo hàm
riêng dựa trên cơ sở lý thuyết điểm tới hạn của phiếm hàm khả vi trong không
gian Banach, mà nội dung của nó là đưa bài toán biên đang xét về việc nghiên
cứu một phiếm hàm J khả vi theo một nghĩa nào đó trong không gian Banach
X được xây dựng thích hợp (được gọi là phiếm hàm Euler-Lagrange liên kết với
bài toán) sao cho điểm tới hạn của phiếm hàm J là nghiệm suy rộng của bài
toán biên.
Một phương pháp thông thường để tìm điểm tới hạn của phiếm hàm khả vi
đó là tìm điểm cực tiểu của phiếm hàm đó. Tuy nhiên việc tìm điểm cực tiểu của
một phiếm hàm là không hề đơn giản, vả lại lớp phiếm hàm có thể cực tiểu hóa
tương đối hạn chế. Vì vậy trong nhiều trường hợp người ta quan tâm đến việc

tìm điểm yên ngựa (Saddle point) mà không phải là điểm cực tiểu của phiếm
hàm. Cơ sở để chứng minh sự tồn tại các điểm tới hạn của phiếm hàm khả vi
đó là dựa vào các nguyên lý biến phân mà chúng tôi sẽ kể đến dưới đây.
Đối tượng mà chúng tôi đề cập đến trong luận án này là sự tồn tại nghiệm
yếu của các phương trình hay hệ phương trình elliptic có dạng tổng quát là
−div (a(x, ∇u)) = f (x, u),

x ∈ Ω,

(0.1)

trong đó Ω là một tập mở trong RN , mà dạng thường gặp đó là:
−div h(x)|∇u|p−2 ∇u = f (x, u),

x ∈ Ω,

(0.2)

với p ≥ 2, h : Ω → R là một hàm nào đó.
Ta biết rằng toán tử dạng divergent −div (a(x, ∇u)) xuất hiện nhiều trong
các bài toán khuyếch tán không tuyến tính mà cổ điển nhất là mô hình toán học
của hiện tượng truyền nhiệt trong vật thể, hiện tượng truyền sóng trong không
gian, mô hình toán học của dòng chất lỏng không Newton, mô hình trong cơ
học lượng tử, cơ học môi trường liên tục, lý thuyết trường,. . .
5


Hai bài toán biên chủ yếu được nghiên cứu liên quan đến các phương trình
và hệ phương trình dạng (0.1), (0.2) là các bài toán với điều kiện biên Dirichlet
và Neumann.

Việc nghiên cứu này thu hút sự quan tâm của một đội ngũ đông đảo các nhà
toán học lớn trên thế giới, chủ yếu tập trung ở các trung tâm lớn như: Mỹ, Pháp,
Italia,. . . Những kết quả đạt được từ những nghiên cứu này vừa có ý nghĩa về
mặt lý thuyết, vừa có ý nghĩa về ứng dụng.
Trong danh mục các tài liệu tham khảo của luận án dưới đây chỉ có thể kể
đến một lượng rất ít các tác giả cùng với các công trình của họ có liên qua đến
nội dung của luận án. Trong phần nội dung của luận án chúng tôi cũng chỉ quan
tâm đến một khía cạnh nào đó của phạm vi nghiên cứu lớn này.
Như được phản ánh trong đầu đề của luận án, mục tiêu của chúng tôi là
nghiên cứu các bài toán cộng hưởng đối với các phương trình và hệ phương
trình elliptic nửa tuyến tính hoặc tựa tuyến tính không đều trong miền không
bị chặn hoặc bị chặn của RN . Bằng phương pháp thích hợp đối với từng bài
toán biên cụ thể, chúng tôi đưa ra điều kiện dạng Landesman-Lazer suy rộng
đảm bảo cho phiếm hàm Euler-Lagrange liên kết với bài toán thỏa mãn điều
kiện Palais-Smale và điều kiện bức, dựa vào các nguyên lý cực tiểu hoặc định
lý điểm yên ngựa để chứng minh sự tồn tại điểm tới hạn của phiếm hàm, từ đó
suy ra sự tồn tại nghiệm yếu không tầm thường của bài toán biên.
Chú ý thêm rằng, khi xét bài toán biên không đều trong miền không bị chặn
thì sẽ gặp phải hai khó khăn phải khắc phục đó là:
• Phép nhúng trong không gian Sobolev trong miền không bị chặn không
compact.
• Đối với bài toán biên không đều, nói chung không tồn tại nghiệm yếu trong
không gian Sobolev thông thường, do đó chúng ta chỉ có thể tìm nghiệm
yếu trong một không gian con (hẹp hơn) nào đó của không gian Sobolev
được chọn thích hợp.
Nội dung luận án đã được công bố trong 4 bài báo khoa học và được trình bày
thành 3 chương, nội dung chính được trình bày trong các Chương 2, 3.
Chương 2 được viết dựa vào các bài báo [1], [2] (xem "Danh mục công trình
khoa học của tác giả liên quan đến luận án"). Chúng tôi xét sự tồn tại nghiệm
yếu của bài toán Neumann trong miền không bị chặn đối với phương trình và

hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính không đều. Nội dung Chương 2 gồm 2
mục chính.

6


Trong mục 2.1 chúng tôi xét sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán Neumann
đối với phương trình elliptic nửa tuyến tính không đều trong miền không bị
chặn. Nội dung của mục này được viết dựa vào bài báo [1] (xem "Danh mục
công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án").
Xét bài toán:


 −div (h(x)∇u) + a(x)u =λ1 θ(x)u + f (x, u) − h(x) trong Ω,
(0.3)
∂u


=g(x, u)
trên ∂Ω,
∂n
trong đó Ω là miền không bị chặn trong RN , (N ≥ 3) với biên ∂Ω trơn, bị chặn,
∂u
∂n là đạo hàm theo pháp tuyến ngoài đơn vị đối với ∂Ω, f : Ω × R → R,
g : ∂Ω × R → R là các hàm Carathédory thỏa mãn một số điều kiện thích hợp,
¯ h ∈ C(Ω),
¯ h(x) ≥ 1, x ∈ Ω. a(x) ∈ C(Ω),
¯ a(x) ≥ 1, a(x) → +∞
θ ∈ L∞ (Ω),
khi |x| → +∞ và λ1 > 0 là giá trị riêng thứ nhất của bài toán giá trị riêng:



 −div (h(x)∇u) + a(x)u =λθ(x)u trong Ω,
(0.4)
∂u


=0
trên ∂Ω,
∂n
và ϕ1 (x), x ∈ Ω là hàm riêng ứng với giá trị riêng λ1 .
¯ ⊂ L1 (Ω)
¯ nên nghiệm yếu của bài toán
Do sự xuất hiện của hàm h ∈ C(Ω)
loc
(0.3) nói chung không tồn tại trong H 1 (Ω) mà chỉ có thể tồn tại trong một
không gian con nào đó của H 1 (Ω).
Ta xác định không gian
E=

u ∈ H 1 (Ω) :

h(x)|∇u|2 + a(x)|u|2 dx < +∞ ,
Ω

với chuẩn
u

E

h(x)|∇u|2 + a(x)|u|2 dx

=

1
2

,

u ∈ E.

Ω

Ta thấy rằng không gian con E được xây dựng như trên là không gian Hilbert
và phép nhúng E → L2 (Ω) là compact. Với những giả thiết thích hợp, chúng
tôi sẽ chứng minh kết quả chính của chương 2 là: Bài toán (0.3) có ít nhất một
nghiệm yếu không tầm thường trong E nếu một trong hai điều kiện sau đây

7


thỏa mãn:
h(x)G+∞ (x)ϕ1 (x)ds <

F +∞ (x)ϕ1 (x)dx +

(L+ ) :

h(x)G−∞ (x)ϕ1 (x)ds,

F−∞ (x)ϕ1 (x)dx +

<

k(x)ϕ1 (x)dx
Ω

∂Ω

Ω

∂Ω

Ω

(0.5)
hoặc
(L− ) :

Ω

∂Ω

h(x)G+∞ (x)ϕ1 (x)ds,

F +∞ (x)ϕ1 (x)dx +

<

k(x)ϕ1 (x)dx

h(x)G−∞ (x)ϕ1 (x)ds <

F−∞ (x)ϕ1 (x)dx +
Ω

∂Ω

Ω

(0.6)
trong đó F (x, s) =

s
0 f (x, t)dt,

x ∈ Ω và G(x, s) =

s
0 g(x, t)dt,

F (x, s)
F (x, s)
, F−∞ (x) = lim sup
,
s→+∞
s
s
s→−∞
G(x, s)

G(x, s)
G+∞ (x) = lim inf
, G−∞ (x) = lim sup
,
s→+∞
s
s
s→−∞
F +∞ (x) = lim inf

x ∈ ∂Ω, ký hiệu:

x ∈ Ω,
x ∈ ∂Ω.

(0.7)

Trong mục 2.2, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của hệ cộng hưởng
các phương trình elliptic nửa tuyến tính, không đều trong miền không bị chặn
với điều kiện biên Neumann. Nội dung của mục này được viết dựa vào bài báo
[2] (xem "Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án").
Xét hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính, không đều trong miền không bị
chặn dạng:

 -div (h1 (x)∇u) + a1 (x)u =λ11 θ1 (x)u + f1 (x, u, v) − k1 (x)
 -div (h (x)∇v) + a (x)v =λ θ (x)v + f (x, u, v) − k (x)
2
2
21 2
2

2

trong Ω,
(0.8)

với các điều kiện biên

∂u


=g1 (x, u, v)
∂n

 ∂v =g2 (x, u, v) trên ∂Ω,
∂n

(0.9)

trong đó Ω là miền không bị chặn trong RN , (N ≥ 3) với biên ∂Ω trơn và bị
8


chặn, λi1 , (i = 1, 2) là các giá trị riêng thứ nhất của bài toán giá trị riêng


 -div (hi (x)∇z) + ai (x)z = λi θi (x)z trong Ω
(0.10)
∂z



=0
trên ∂Ω.
∂n
Tổng quát hơn các hệ cộng hưởng đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả trước
đây (xem [20], [29], [36]), trong hệ (0.8) các hàm phi tuyến fi (x, u, v), gi (x, u, v),
(i = 1, 2) phụ thuộc vào cả hai biến u và v.
Với những giả thiết thích hợp ấn định lên các hàm fi (x, u, v), gi (x, u, v),
(i = 1, 2) chúng tôi đưa ra điều kiện loại Landesman-Lazer suy rộng đảm bảo
cho phiếm hàm Euler-Lagrange liên kết với bài toán (0.8) thỏa mãn điều kiện
Palais-Smale và điều kiện bức. Áp dụng nguyên lý cực tiểu và định lý điểm yên
ngựa chúng tôi đã chứng minh được rằng bài toán (0.8) tồn tại nghiệm yếu
w = (u, v) không tầm thường trong không gian Hilbert loại Sobolev có trọng
sau đây:
E=

(h1 (x) |∇u|2 + h2 (x)|∇v|2

w = (u, v) :
Ω

(0.11)
+a1 (x)|u|2 + a2 (x)|v|2 dx < +∞ .

Chương 3, chúng tôi nghiên cứu hệ cộng hưởng loại (p, p)−Laplacian trong
miền bị chặn Ω ⊂ RN , (N ≥ 3) sau đây:



−div h1 (x)|∇u|p−2 ∇u =λ1 |u|α−1 |v|β−1 v + f (x, u, v) − k1 (x) trong Ω,




−div h2 (x)|∇v|p−2 ∇v =λ1 |u|α−1 |v|β−1 u + g(x, u, v) − k2 (x) trong Ω,





u = v =0
trên ∂Ω,
(0.12)
trong đó
p ≥ 2, α ≥ 1, β ≥ 1, α + β = p,
(0.13)
hi ∈

L1loc (Ω), hi (x)

≥ 1, x ∈ Ω,

¯ (i = 1, 2).
và ki ∈ Lp (Ω), p = p/(p − 1), ki (x) > 0, với h.k. x ∈ Ω,
Ký hiệu λ1 là giá trị riêng thứ nhất của bài toán giá trị riêng

 −∆p u =λ|u|α−1 |v|β−1 v,
 −∆ v =λ|u|α−1 |v|β−1 u,
p
9

(0.14)

với (u, v) ∈ X = W01,p (Ω) × W01,p (Ω), p ≥ 2, α ≥ 1, β ≥ 1, α + β = p.
Trong nghiên cứu này, chúng tôi xét hai trường hợp khi hi (x) ≡ 1, (i = 1, 2),
x ∈ Ω và khi các hàm hi (x), (i = 1, 2) thỏa mãn điều kiện (0.13) tổng quát hơn.
Nội dung chương 3 được viết dựa trên 2 bài báo khoa học [3], [4] (xem "Danh
mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án") và được chia làm
3 mục.
Mục 3.2, xét sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán cộng hưởng, không đều
(0.12). Nội dung của mục này được viết dựa vào bài báo [4] (xem "Danh mục
công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án"). Do có sự xuất hiện
của hàm hi ∈ L1loc (Ω), (i = 1, 2) nghiệm yếu của bài toán nói chung không thể
tồn tại trong không gian X = W01,p (Ω) × W01,p (Ω) mà chỉ có thể được tìm trong
một không gian con nào đó của không gian X được chọn thích hợp. Ký hiệu
E=

(h1 (x)|∇u|p + h2 (x)|∇v|p ) dx < +∞ .

w = (u, v) ∈ X :
Ω

Lập luận của chúng tôi dựa vào lý thuyết điểm tới hạn, nguyên lý cực tiểu,
chúng tôi đã chứng minh được rằng bài toán (0.12) có nghiệm yếu không tầm
thường w = (u, v) ∈ E nếu điều kiện sau đây thỏa mãn:
(F1 (x)ϕ1 (x) + G1 (x)ϕ2 (x)) dx <2

(L) :
Ω

(αk1 (x)ϕ1 (x) + βk2 (x)ϕ2 (x)) dx

Ω

<

(F2 (x)ϕ1 (x) + G2 (x)ϕ2 (x)) dx,
Ω

(0.15)
trong đó, với i, j = 1, 2:
α
Fi (x) = lim sup
τ →+∞ τ

τ

f x, (−1)1+i yϕ1 , (−1)1+i τ ϕ2
0

+f x, (−1)1+i yϕ1 , 0
β
Gj (x) = lim sup
τ →+∞ τ

dy,
(0.16)

τ
1+j

g x, (−1)

τ ϕ1 , (−1)

1+j

yϕ2

0

+g x, 0, (−1)1+j yϕ2

dy.

Mục 3.3, xét hệ cộng hưởng khi hi (x) ≡ 1, (i = 1, 2) trong Ω. Nội dung của
mục này được viết dựa vào bài báo [3] (xem "Danh mục công trình khoa học
của tác giả liên quan đến luận án").
Xét bài toán sau đây:

 −∆p u =λ1 |u|α−1 |v|β−1 v + f (x, u, v) − k1 (x) trong Ω,
(0.17)
 −∆ v =λ |u|α−1 |v|β−1 u + g(x, u, v) − k (x) trong Ω,
p
1
2
10


với (u, v) ∈ X.
Giả thiết rằng các hàm phi tuyến f (x, u, v), g(x, u, v) ở vế phải (0.17) thỏa
mãn điều kiện

α

∂f (x, s, t)
∂g(x, s, t)
=β
∂t
∂s

với h.k. x ∈ Ω.

(0.18)

Bằng các kỹ thuật của phương pháp biến phân, dựa vào định lý điểm yên
ngựa cùng với điều kiện dạng Landesman-Lazer suy rộng, chúng tôi đã chứng
minh được rằng: Bài toán cộng hưởng (0.17) có nghiệm không tầm thường
w = (u, v) ∈ X nếu các điều kiện sau đây thỏa mãn:
i)
f +∞ (x) < k1 (x) < f −∞ (x)
g

+∞

(x) < k2 (x) < g

−∞

(0.19)
với h.k. x ∈ Ω.

(x)

ii)
1
α
β
(αF2 (x)ϕ1 + βG2 (x)ϕ2 ) − f −∞ (x)ϕ1 − g −∞ (x)ϕ2 dx
p
p
Ω 2
1
(αk1 (x)ϕ1 + βk2 (x)ϕ2 ) dx
< 1−
p
Ω
1
α
β
<
(αF1 (x)ϕ1 + βG1 (x)ϕ2 ) − f +∞ (x)ϕ1 − g +∞ (x)ϕ2 dx,
p
p
Ω 2
(0.20)
trong đó
lim g(x, s, t) = g +∞ (x),

lim f (x, s, t) = f +∞ (x),

s→+∞
t→+∞

s→+∞
t→+∞

lim f (x, s, t) = f

−∞

s→−∞
t→−∞

(x),

(0.21)

lim g(x, s, t) = g

−∞

s→−∞
t→−∞

(x),

và với i, j = 1, 2
1
Fi (x) = lim
τ →+∞ τ

τ

f x, (−1)1+i yϕ1 , (−1)1+i τ ϕ2
0

+f x, (−1)1+i yϕ1 , 0
1
Gj (x) = lim
τ →+∞ τ

dy,
(0.22)

τ

g x, (−1)

1+j

1+j

τ ϕ1 , (−1)

yϕ2

0

+g x, 0, (−1)1+j yϕ2

dy,

trong đó ϕ = (ϕ1 , ϕ2 ) là hàm riêng của bài toán (0.14) ứng với giá trị riêng
λ1 .
11


Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các ký hiệu, danh mục các công
trình khoa học của tác giả, tài liệu tham khảo, luận án gồm 3 chương như sau:
• Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị.
• Chương 2. Bài toán Neumann cộng hưởng đối với phương trình và hệ
phương trình elliptic phi tuyến, không đều trong miền không bị chặn.
• Chương 3. Bài toán cộng hưởng đối với hệ phương trình (p, p)−Laplacian
trong miền bị chặn.
Các kết quả của luận án được hoàn thành dựa trên bốn bài báo đăng trên các
tạp chí chuyên ngành và được báo cáo tại :
• Seminar Phương trình Vi phân – Tích phân, Bộ môn Toán Sinh thái – Môi
trường, Bộ môn Giải tích, Khoa Toán – Cơ – Tin học, Đại học Khoa học
Tự nhiên – ĐHQGHN.
• Seminar Bộ môn Toán, Khoa CNTT – Học viện Kỹ thuật Quân sự.
• Hội nghị khoa học Khoa Toán – Cơ – Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên
– ĐHQGHN, (2012), (2014).
• Hội nghị Khoa học các nhà nghiên cứu trẻ lần thứ IX,X Học viện Kỹ thuật
Quân sự – BQP, (2014), (2015).
Hà Nội, năm 2016
Nghiên cứu sinh

Bùi Quốc Hưng.

12

Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trích dẫn các khái niệm, định lý và một số kiến
thức bổ trợ được sử dụng trong luận án.

1.1
1.1.1

Các nguyên lý biến phân
Phiếm hàm khả vi trong không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1. (Đạo hàm Fréchet) Cho V là không gian Banach, f là phiếm
hàm xác định trên V. Ta nói phiếm hàm f khả vi Fréchet tại điểm u ∈ V nếu
tồn tại một ánh xạ tuyến tính bị chặn, ký hiệu là f (u) ∈ V ∗ và được gọi là đạo
hàm Fréchet của f tại u sao cho
|f (u + v) − f (u) − f (u)v|
= 0.
v→0
v V
lim

Nếu ánh xạ u → f (u) là liên tục thì ta nói phiếm hàm f thuộc lớp C 1 (V ).
Chuẩn của f (u) được xác định
f (u) = sup {|f (u)(h)| : h ∈ V, h

V

= 1} .

Giả sử f là phiếm hàm khả vi Fréchet trong không gian Banach V và ánh xạ
f : V → V ∗,
là đạo hàm Fréchet của f. Khi đó với mọi h ∈ V , ta ký hiệu
f (u)(h) = f (u), h , với mọi u ∈ V.
13


Định nghĩa 1.1.2. (Đạo hàm Gâteaux) Giả sử X, Y là các không gian Banach,
U là một tập mở trong X, x ∈ U, f : U → Y là một hàm xác định trên U. Ta
nói f khả vi Gâteaux tại điểm x theo hướng h nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính
DG f (x) ∈ L(X, Y ) sao cho
f (x + th) − f (x)
= DG f (x)h,
t→0
t

lim

h ∈ X.

Nếu f khả vi Gâteaux tại mọi điểm x ∈ U khi đó ta nói f khả vi Gâteaux
trên tập U.
Nếu f : U → R khả vi Fréchet tại x thì f khả vi Gâteaux tại x. Nếu f : U → R
có đạo hàm Gâteaux DG f liên tục trong U thì f khả vi Fréchet và f ∈ C 1 (U, R).
Điểm u ∈ V thỏa mãn phương trình f (u) = 0 được gọi là điểm tới hạn,
ngược lại nếu f (u) = 0 thì u được gọi là điểm đều (hay điểm chính quy) của f.
Số β ∈ R được gọi là giá trị tới hạn của f nếu tồn tại một điểm tới hạn u ∈ V
sao cho
f (u) = β và f (u) = 0.
Giả sử M là một tập con của V. Điểm u0 ∈ M là điểm cực tiểu tuyệt đối của f

trên M nếu f (v) ≥ f (u0 ) với mọi v ∈ M. Điểm u0 ∈ M là điểm cực tiểu tương
đối của f trên M nếu tồn tại một lân cận W của u0 trong V sao cho
f (v) ≥ f (u0 ), với mọi v ∈ M ∩ W.
Hơn nữa, trong trường hợp f khả vi, ta sẽ nói đến sự tồn tại điểm yên ngựa
(Saddle Point), tức là điểm tới hạn u của hàm f sao cho trong mọi lân cận W
của u trong V đều chứa các điểm v1 , v2 ∈ V ∩ W sao cho
f (v1 ) < f (u) < f (v2 ).
Trong các hệ vật lý, điểm yên ngựa xuất hiện như là trạng thái cân bằng không
bền vững.

1.1.2

Tính khả vi của phiếm hàm tích phân

Để đơn giản, ta ký hiệu H 1,2 (Ω), H01,2 (Ω) lần lượt là H 1 (Ω) và H01 (Ω). Cho
Ω ⊂ Rn . Ta xét phiếm hàm dạng
F (x, u(x), ∇u(x)) dx, với u ∈ H 1 (Ω),

f (u) =

(1.1)

Ω

trong đó F : Ω × R × Rn → R. Rõ ràng tính khả vi của f trên H 1 (Ω) phụ thuộc
vào dáng điệu của F. Ta có định lý sau đây
14


Định lý 1.1.3. (xem Định lý C.1 trong [30]) Giả sử hàm F : Ω × R × Rn → R

là hàm đo được theo x, khả vi liên tục theo u ∈ R và p ∈ Rn . Ký hiệu
Fu =

∂F
∂F
, Fp =
.
∂u
∂p

Giả thiết F thỏa mãn các điều kiện tăng sau đây:
1. |F (x, u, p)| ≤ c 1 + |u|s1 + |p|2 , với s1 ≤

2n
n−2 ,

nếu n ≥ 3.

2. |Fu (x, u, p)| ≤ c (1 + |u|s2 + |p|t2 ) , với t2 < 2 nếu n ≤ 2 và s2 ≤
n+2
n nếu n ≥ 3.
3. |Fp (x, u, p)| ≤ c (1 + |u|s3 + |p|) , với s3 ≤

n
n−2 ,

n+2
n−2 , t2

≤

nếu n ≥ 3.

Khi đó phiếm hàm f (u) ∈ H 1 (Ω) thuộc lớp C 1 (H 1 ). Hơn nữa f (u) được xác
định bởi công thức
(Fu (x, u, ∇u)v + Fp (x, u, ∇u).∇v)dx, với mọi v ∈ H 1 (Ω).

f (u), v =
Ω

Chẳng hạn các phiếm hàm sau đây thỏa mãn định lý trên
a) f (u) =

Ω |u|

b) D(u) =

1
2

p

dx, với p ≤

Ω |∇u|

2

2n
n−2 , n

≥ 3.

dx, (tích phân Dirichlet).

Định lý trên dựa trên một kết quả của Krasnoselskii. Để đơn giản ta phát biểu
kết quả đó đối với hàm
g : Ω × Rm → R.
Để đảm bảo tính đo được của hàm g(x, u) với u ∈ Lp ta giả thiết g(x, u) là hàm
Carathéodory, tức là hàm g đo được theo x ∈ Ω và liên tục theo u ∈ Rm .
Định lý 1.1.4. (xem Định lý C.2 trong [30]) Giả thiết g : Ω × Rm → R là hàm
Carathéodory thỏa mãn điều kiện tăng
|g(x, u)| ≤ c(1 + |u|s ), với s ≥ 1.
Khi đó toán tử u → g(x, u) là liên tục từ Lsp (Ω) vào Lp (Ω) với mọi 1 ≤ p < +∞.
Chú ý thêm rằng các điều kiện tăng của định lý trước đòi hỏi cấu trúc khá
đặc biệt. Một cách tổng quát ta có thể giả thiết hàm F thỏa mãn các điều kiện
tăng sau đây:
15


F1) |p|2 ≤ F (x, u, p) ≤ c(|u|) 1 + |p|2 .
F2) Fu (x, u, p) ≤ c(|u|) 1 + |p|2 .
F3) Fp (x, u, p) ≤ c(|u|)(1 + |p|),
trong đó x ∈ Ω, u ∈ R, p ∈ Rn .
Với những giả thiết như vậy, nói chung phiếm hàm f (u) không khả vi Fréchet
trong H 1 (Ω). Tuy nhiên, cực tiểu (trong H01 (Ω) chẳng hạn) có thể tồn tại. Liệu
nó có thể mô tả điều kiện cần của cực trị dưới dạng phương trình Euler-Lagrange
được hay không? Để trả lời câu hỏi này ta có định lý sau:
Định lý 1.1.5. (xem Định lý C.3 trong [30]) Giả sử phiếm hàm f xác định như
(1.1) trong đó F là hàm Carathéodory thuộc lớp C 1 theo u và p thỏa mãn các

điều kiện tăng tự nhiên F 1) − F 3). Khi đó, nếu u, ϕ ∈ H 1 (Ω) ∩ L∞ (Ω), đạo hàm
theo hướng ϕ của f tại u tồn tại và được xác định bởi công thức
d
f (u + ϕ)| =0 =
d

(Fu (x, u, ∇u)ϕ + Fp (x, u, ∇u)∇ϕ) dx = 0,
Ω

với mọi ϕ ∈ H 1 (Ω) ∩ L∞ (Ω).

1.1.3

Tính nửa liên tục dưới yếu của phiếm hàm khả vi
trong không gian Banach

Định nghĩa 1.1.6. Cho V là không gian Banach, V ∗ là đối ngẫu của V. Dãy
{um } ⊂ V được gọi là dãy hội tụ yếu trong V nếu: ∀f ∈ V ∗ : { f, um } là dãy
hội tụ.
Nếu dãy {um } ⊂ V hội tụ yếu đến u ∈ V, ta ký hiệu : um
u.
Ta có các kết luận sau:
• Nếu {um } là dãy hội tụ yếu trong V thì bị chặn.
• Nếu {um } là dãy bị chặn trong không gian Banach phản xạ V thì tồn tại
dãy con {um }∞
k=0 hội tụ yếu trong V.
Ta xét phiếm hàm dạng tích phân
F (x, u, ∇u)dx, với u ∈ W01,q (Ω),

f (u) =

(1.2)

Ω

trong đó Ω là tập mở trong RN . Giả sử rằng f (u) thỏa mãn điều kiện bức,
tức là f (u) → +∞ nếu u → +∞.
16


Ký hiệu
m=

inf

u∈W01,q (Ω)

f (u),

và chọn dãy {uk } ⊂ W01,q (Ω) sao cho: f (uk ) → m khi k → +∞.
Dãy {uk } như vậy được gọi là dãy cực tiểu của phiếm hàm f. Vì f thỏa mãn
điều kiện bức, ta suy ra dãy {uk } là dãy bị chặn trong W01,q (Ω). Do 1 < q < ∞,
nên W01,q (Ω) là không gian phản xạ và đối ngẫu của nó là W −1,p (Ω), với p1 + 1q = 1,
cho nên từ dãy {uk } ta có thể trích ra một dãy con {ukj } hội tụ yếu tới u trong
W01,q (Ω). Tuy nhiên, ta không thể khẳng định được rằng
f (u) = lim f (ukj ),
j→∞

do đó không thể suy ra u là điểm cực tiểu, tức là không thể suy ra f (u) = m.
Như vậy nếu phiếm hàm f liên tục theo sự hội tụ yếu thì f (u) = m. Nhưng điều

kiện này ấn định lên phiếm hàm f là một điều kiện khá mạnh mà dưới đây ta
có thể thay bằng một điều kiện khác yếu hơn như sau.
Định nghĩa 1.1.7. Ta nói phiếm hàm f (u), u ∈ W01,q (Ω), là nửa liên tục dưới
yếu nếu với mọi dãy {uk } hội tụ yếu đến u ∈ W01,q (Ω) thì
f (u) ≤ lim inf f (uk ).
k→∞

(1.3)

Ta thấy rằng, nếu dãy {uk } là dãy cực tiểu của phiếm hàm f và f là nửa
liên tục dưới yếu thì
f (u) ≤ inf
f (u).
1,q
u∈W0 (Ω)

Vì u ∈ W01,q (Ω) nên f (u) ≥ m, từ đó suy ra f (u) = m, tức là f đạt cực tiểu
trong W01,q (Ω).
Ta có điều kiện đủ sau đây về tính nửa liên tục dưới yếu của phiếm hàm.
Định lý 1.1.8. (Tính nửa liên tục dưới yếu)(xem Định lý 1.6 trong [30])
Giả sử hàm Lagrange F (x, z, p) bị chặn dưới và lồi theo p với mỗi x ∈ Ω. Khi
đó phiếm hàm f (u) xác định bởi (1.2) là nửa liên tục dưới yếu trong W01,q (Ω).
Sau đây ta sẽ đưa ra một số điều kiện đủ để cho phiếm hàm bị chặn dưới và
đạt cực tiểu.
Định lý 1.1.9. Giả sử M là không gian Haussdorff và f : M → R ∪ {+∞}
thỏa mãn điều kiện compact bị chặn. Với mọi α ∈ R, tập hợp
Kα = {u ∈ M : f (u) ≤ α} ,
17

(1.4)

là compact (tính chất Heine-Borel). Khi đó f bị chặn dưới đều trên M và đạt
cực tiểu.
Định lý 1.1.10. (Nguyên lý cực tiểu)(xem Định lý 1.2 trong [30] ) Giả sử
V là không gian Banach phản xạ, M là tập hợp con đóng yếu của V. Giả sử
f : M → R ∪ {+∞} thỏa mãn điều kiện bức và nửa liên tục dưới yếu trên M,
tức là
i) f (u) → ∞ nếu u → ∞, u ∈ M.
ii) Với mọi u ∈ M, với mọi dãy {um } ⊂ M sao cho um

u trong V thì

f (u) ≤ lim inf f (um ).
m→∞

Khi đó, f (u) bị chặn dưới trên M và đạt cực tiểu trong M.

1.2

Điều kiện Palais-Smale và sự tồn tại điểm
tới hạn

1.2.1

Điều kiện Palais-Smale (P-S)

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử H là không gian Banach, f là một phiếm hàm xác
định trên H. Giả thiết f ∈ C 1 (H), ta nói rằng dãy {un } ⊂ H là một dãy
Palais-Smale tại β của f, ký hiệu là (P S)β nếu

f (un ) → β,

f (un ) → 0 khi n → ∞,

trong đó f là đạo hàm Fréchet của f trong H.
Ta nói rằng f thỏa mãn điều kiện Palais-Smale tại β nếu mọi dãy (P S)β đều
chứa một dãy con hội tụ.
Ta nói rằng f thỏa mãn điều kiện Palais-Smale (PS) nếu nó thỏa mãn điều
kiện (P S)β với mọi β.
Ta thấy định nghĩa này là khá chặt chẽ vì đòi hỏi dãy {f (un )} hội tụ. Trong
nhiều trường hợp ta có thể áp dụng định nghĩa tổng quát hơn sau đây: Dãy
{un } ⊂ H được gọi là dãy (P S) của f nếu
|f (un )| ≤ c,

f (un ) → 0 khi n → ∞.

Một biến dạng của điều kiện Palais-Smale là điều kiện Cerami. Ta có định
nghĩa sau:
18


Định nghĩa 1.2.2. Giả sử f là phiếm hàm xác định trong không gian Banach
X. Ta nói rằng hàm f thỏa mãn điều kiện Cerami nếu: mọi dãy {um } ⊂ X sao
cho:
i) |f (um )| ≤ c, c là hằng số dương.
ii) f (um )

X∗

(1 + um ) → 0 khi m → +∞.

đều tồn tại dãy con {umk } hội tụ mạnh đến u ∈ X.
Điều kiện Palais-Smale đảm bảo cho một phiếm hàm khả vi trong không
gian Banach X có điểm tới hạn. Sau đây ta có thể kể ra một số nguyên lý biến
phân khẳng định sự tồn tại điểm tới hạn của các phiếm hàm khả vi trong không
gian Banach sẽ được nhắc đến trong luận án.

1.2.2

Nguyên lý cực tiểu

Định lý 1.2.3. (Nguyên lý cực tiểu (Rabinowitz)) (xem [35]). Cho X là không
gian Banach, I ∈ C 1 (X). Giả sử
i) I bị chặn dưới trên X và c = inf u∈X I(u).
ii) I thỏa mãn điều kiện Palais-Smale trong X.
Khi đó, tồn tại u0 ∈ X sao cho: I(u0 ) = c và I (u0 ) = 0.
Chú ý 1.2.4. Trong bài báo [28] các tác giả đã chứng minh được định lý 1.2.3
vẫn đúng với trường hợp phiếm hàm I ∈ Cw1 (X).

1.2.3

Định lý điểm yên ngựa

Định lý điểm yên ngựa (Rabinowitz) là một trong những công cụ hiệu quả dùng
để nghiên cứu sự tồn tại điểm tới hạn, trong đó điểm tới hạn không phải là điểm
cực tiểu địa phương. Ta có Định lý sau:
Định lý 1.2.5. (Định lý Điểm yên ngựa (Rabinowitz)) (xem Định lý 7.6.12
trong [12]). Cho X = Z ⊕ Y là không gian Banach với Y là không gian đóng
trong X và dimZ < ∞. Với σ > 0, ta định nghĩa
M := {u ∈ Z : u ≤ σ} , M0 := {u ∈ Z : u = σ} .

19


Cho F ∈ C 1 (X, R) là hàm thỏa mãn
b := inf F (u) > a := max F (u).
u∈Y

u∈M0

Nếu phiếm hàm F thỏa mãn điều kiện (P S)c với
c := inf max F (γ(u)), trong đó Γ := {γ ∈ C(M, X) : γ|M0 = I} ,
γ∈Γ u∈M

khi đó, c là giá trị tới hạn của phiếm hàm F.

1.2.4

Định lý qua núi

Định lý qua núi (Mountain pass Theorem) là một trong những định lý nổi tiếng
trong nguyên lý biến phân để khẳng định sự tồn tại điểm tới hạn của phiếm
hàm trong không gian Banach. Định lý qua núi lần đầu được được R.Courant
chứng minh vào năm 1950 cho các phiếm hàm xác định trong không gian hữu
hạn chiều. Sau đó, năm 1973, A.Ambrossetti và P.H. Rabinowitz đã chứng minh
Định lý qua núi cho phiếm hàm khả vi liên tục Fréchet trong không gian Banach.
Định lý 1.2.6. (Định lý qua núi (xem Định lý 10.3 trong [1])) Giả sử (X, . )
là một không gian Banach, J : X → R là một phiếm hàm khả vi Fréchet liên
tục trên X, thoả mãn điều kiện Palais-Smale, tức là với mọi dãy {um } ⊂ X thoả
mãn |J(um )| ≤ c, ∀m và DJ(um ) → 0 khi m → +∞, đều có thể trích được một
dãy con hội tụ trong X. Hơn nữa, phiếm hàm J thoả mãn các điều kiện sau:

i) J(0) = 0.
ii) Tồn tại các hằng số dương α, r sao cho J(v) ≥ α với mọi v ∈ X, v = r.
iii) Tồn tại v0 ∈ X với v0 > r sao cho J(v0 ) < 0.
Đặt
c¯ = inf {max J(ϕ(t)) : ϕ ∈ C ([0, 1], X) , ϕ(0) = 0, ϕ(1) = v0 } .
Khi đó, c¯ là một giá trị tới hạn của J, tức là tồn tại u ∈ X sao cho
c¯ = J(u) ≥ α > 0 và DJ(u) = 0.
Định lý qua núi cùng với lý thuyết điểm tới hạn đã góp phần quan trọng
trong việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu cho một lớp các bài toán biên đối
với phương trình và hệ phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính. Những
20


cải tiến của Định lý qua núi cùng với điều kiện Palais-Smale đã được nhiều nhà
toán học lớn quan tâm nghiên cứu.
Năm 1989, Dương Minh Đức trong công trình [13] đã thiết lập lại Bổ đề
biến dạng và chứng minh định lý qua núi cho lớp phiếm hàm khả vi liên tục yếu
trong không gian Banach. Kết quả này đặc biệt hữu ích khi áp dụng để nghiên
cứu các bài toán biên với phương trình elliptic với hệ số không trơn. Thực chất
định lý qua núi dạng yếu mà Dương Minh Đức đưa ra là thay giả thiết về tính
khả vi Fréchet của phiếm hàm J bởi tính khả vi liên tục yếu.
Định nghĩa 1.2.7. (xem Định nghĩa 2.1 trong [13]) Cho J là một phiếm hàm từ
không gian Banach Y vào R. Ta nói J là khả vi liên tục yếu (weakly continuously
differentiable) trên Y nếu và chỉ nếu ba điều kiện sau thoả mãn:
i) J là liên tục trên Y.
ii) Với mỗi u ∈ Y tồn tại một ánh xạ tuyến tính DJ(u) : Y → R sao cho
J(u + tϕ) − J(u)
= DJ(u), ϕ , ∀ϕ ∈ Y.
t→0
t

lim

iii) Với mỗi ϕ ∈ Y, ánh xạ u → DJ(u), ϕ là liên tục trên Y.
Ký hiệu Cw1 (Y ) là tập các phiếm hàm khả vi liên tục yếu trên Y. Rõ ràng
C 1 (Y ) ⊂ Cw1 (Y ), với C 1 (Y ) là tập các phiếm hàm khả vi liên tục Fréchet trên
Y.
Nhận xét 1.2.8. Định nghĩa về tính khả vi liên tục yếu của phiếm hàm trong
không gian Banach lần đầu tiên được Dương Minh Đức đưa ra trong công trình
[13] không có điều kiện i). Nhưng trong các công trình tiếp sau đó tác giả đã
đưa thêm điều kiện i) vào định nghĩa này. Do đó trong Định nghĩa 1.2.6 chúng
tôi đã đưa thêm điều kiện i) để phù hợp với định nghĩa của tác giả Dương Minh
Đức.
Định lý 1.2.9. (Định lý qua núi dạng yếu) (xem Định lý 2.1 trong [13].) Giả
sử (X, . X ) là một không gian Banach, J ∈ Cw1 (X), J thoả mãn điều kiện
Palais-Smale. Hơn nữa, phiếm hàm J thoả mãn các điều kiện sau:
i) J(0) = 0.
ii) Tồn tại các hằng số dương α, r sao cho J(v) ≥ α với mọi v ∈ X, v = r.

21