Bất đẳng thức tích chập suy rộng Kontorovich Lebedev – Fourier và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
——————————-

PHẠM VĂN HOẰNG

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG
KONTOROVICH-LEBEDEV - FOURIER VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
——————————-

PHẠM VĂN HOẰNG

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG
KONTOROVICH-LEBEDEV - FOURIER VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã ngành: 62460102

TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. NGUYỄN XUÂN THẢO
PGS. TS. TRỊNH TUÂN

Hà Nội - 2017


MỤC LỤC
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
3
5
8

Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1 Không gian Lebesgue Lp (Ω) và Lp (Ω; ρ) . . . . . . . . . . . . .
1.2 Biến đổi tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Bất đẳng thức tích chập Fourier . . . . . . . . . . . . .
1.3 Biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Tích chập Kontorovich-Lebedev . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev . . . . . . . .
1.4 Trường nhiễu xạ sóng âm, sóng điện từ với biên hình nón tròn
1.4.1 Biểu diễn trường nhiễu xạ sóng âm . . . . . . . . . . .
1.4.2 Biểu diễn thế Debye của trường nhiễu xạ sóng điện từ

15
15
17
17
18

20
24
25
27
27
32

LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . .
MỞ ĐẦU

Chương 2. BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG
KONTOROVICH-LEBEDEV-FOURIER

2.1

2.2
2.3

Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier sine - Fourier
cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Tính chất toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Tính không có ước của không . . . . . . . . . . . . . .
Biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev
- Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phương trình vi-tích phân liên quan tích chập suy rộng . . . .

34
34

34
36
42
44
49

Chương 3. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG KONTOROVICHLEBEDEV
53
3.1 Bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev
- Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1


.
.
.
.
.
.
.

53
57
62
62
66
68
74

Chương 4. MỘT SỐ ỨNG DỤNG

4.1 Trường nhiễu xạ sóng âm với trở kháng dạng nón . . . . . . .
4.1.1 Biểu diễn trường nhiễu xạ sóng âm theo tích chập suy
rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Tính bị chặn của trường nhiễu xạ sóng âm trên các
không gian Lp (R+ ), p 1 . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Ước lượng tại lân cận đỉnh nón . . . . . . . . . . . . .
4.2 Thế Debye của trường nhiễu xạ sóng điện từ . . . . . . . . .
4.2.1 Xác định hàm phổ của thế Debye trường nhiễu xạ . . .
4.2.2 Biểu diễn thế Debye trường nhiễu xạ theo tích chập
suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier . . . . . . . .
4.2.3 Ước lượng địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Phương trình dạng parabolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Phương trình parabolic tuyến tính liên quan tích chập
suy rộng Kontorovich-Lebedev . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Phương trình parabolic phi tuyến liên quan tích chập
Kontorovich-Lebedev . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN . . . .
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82
82

3.2

3.3

3.1.1 Bất đẳng thức kiểu Young . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Bất đẳng thức kiểu Saitoh . . . . . . . . . . . .
Bất đẳng thức đối với tích chập Kontorovich-Lebedev .

3.2.1 Bất đẳng thức kiểu Young . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Bất đẳng thức kiểu Saitoh . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Bất đẳng thức kiểu Saitoh ngược . . . . . . . .
Phương trình vi-tích phân liên quan đến toán tử Bessel

2

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

83
84
87
88
91
91
92
93
94
102
106
107
108


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, dưới sự hướng dẫn
của các thầy PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo và PGS. TS. Trịnh Tuân. Tất cả
các kết quả được trình bày trong Luận án là hoàn toàn trung thực và chưa
từng được các tác giả khác công bố trong bất kỳ công trình nào.

Hà Nội, Ngày 10 tháng 10 năm 2017

Thay mặt tập thể hướng dẫn

PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo

3

Tác giả

Phạm Văn Hoằng


LỜI CẢM ƠN
Luận án được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của
các thầy PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo và PGS. TS. Trịnh Tuân. Tác giả xin
được bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy, những người
đã dẫn dắt tác giả từ những bước đi đầu tiên trên con đường nghiên cứu,
động viên tác giả vượt qua khó khăn trong quá trình làm NCS.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô và các thành
viên trong Seminar Giải tích-Đại số trường ĐHKHTN-ĐHQGHN, Seminar
Giải tích Trường ĐHBK Hà Nội, những người luôn gần gũi, giúp đỡ và tạo
điều kiện thuận lợi để tác giả học tập và trao đổi chuyên môn.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy GS. TSKH. Vũ
Kim Tuấn (Đại học West Georgia, Mỹ), người đã luôn động viên và cho tác
giả nhiều ý kiến quý báu trong quá trình học tập.
Trong thời gian làm NCS tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tác giả
đã nhận được nhiều tình cảm cũng như sự giúp đỡ từ các thầy cô trong Bộ
môn Toán cơ bản, các thầy cô trong Viện Toán ứng dụng và Tin học. Tác
giả xin được chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn đến TS. Nguyễn Thanh Hồng (ĐHSP
Hà Nội), TS. Nguyễn Hoàng Thoan (Viện Vật lý kĩ thuật, ĐHBK Hà Nội),
TS. Tưởng Duy Hải (Khoa Vật lý, ĐHSP Hà Nội) về những giúp đỡ trong
quá trình làm NCS. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Lãnh đạo Sở
Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp thuộc Tổ
Toán-Tin, Trường THPT Kim Liên đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình
tác giả được học tập, công tác và hoàn thành Luận án.
Cuối cùng, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu nặng đến gia đình, bố
mẹ, vợ con, các anh chị em. Niềm tin yêu và hi vọng của mọi người là nguồn

động viên và là động lực to lớn để tác giả vượt qua mọi khó khăn trong suốt
quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành Luận án.
Tác giả

4


MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN
• R là tập tất cả các số thực.
• R+ = {x ∈ R, x > 0}.
• Rα = {x ∈ R, 0 < x < α}, với α là số thực dương.
• C là tập tất cả các số phức.
•
(z) là phần thực của số phức z.
•
(z) là phần ảo của số phức z.
• C0 (R+ ) là không gian các hàm liên tục trên R+ và triệt tiêu tại vô cùng
với chuẩn sup.
• C 2,1 (R2+ ) là không gian các hàm hai biến u(x, t) khả vi liên tục cấp 2
theo biến x trên R+ và khả vi liên tục theo biến t trên R+ .
• Ap,q (t) là biểu thức có dạng (xem trang 16)
1

Ap,q (t) = p

t− pq (1 − t)

− p1 − 1q

q

1

1

1

1

(1 − t p ) p (1 − t q ) q

.

• F là biến đổi tích phân Fourier (xem trang 17).
• Fc là biến đổi tích phân Fourier cosine (xem trang 17).
• Fs là biến đổi tích phân Fourier sine (xem trang 18).
• ∆ω là toán tử Laplace-Beltrami trên mặt cầu S 2 (xem trang 29).
• E là trường sóng điện (xem trang 32).
• H là trường sóng từ (xem trang 32).
• D1∞ là toán tử vi phân bậc vô hạn được xác định bởi công thức (xem
trang 44)


d2
d
−x 2 
x x−
N 
dx
dx 


D1∞ = lim
.
1 +
N →∞
(2k − 1)2


k=1

• D∞ là toán tử vi phân bậc vô hạn được xác định
trang 44)

d2
d
x
x
−
−
x
N 
dx
dx2

∞
D = lim
1 +
N →∞
k2


k=1

5

bởi công thức (xem



.



•

B là toán tử vi phân Bessel (xem trang 75).
∞

•

Γ(z) là hàm Gamma, Γ(z) =

tz−1 e−t dt, (z) > 0.

0

•
•
•

KL là biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev (xem trang 8, 22, 23).

Kν (z) là hàm Macdonald (xem trang 20).
L là toán tử vi phân bậc hai được xác định bởi công thức
L=

• Lp (R+ ), 1
mãn

∂2
∂
x
+
3x
+ 1 − x2 .
2
∂x
∂x
2

p < ∞, là không gian các hàm số f xác định trên R+ , thoả
∞

f

Lp (R+ )

p

|f (x)| dx

=

1
p

< ∞.

0

• Lp (R+ , ρ), 1
R+ , thoả mãn

p < ∞, là không gian các hàm số f xác định trên trên
∞

f

Lp (R+ ,ρ)

p

|f (x)| ρ(x)dx

=

1
p

< ∞,

0

ở đây ρ(x) là một hàm trọng dương.
• L∞ (R+ ) là không gian gồm các hàm bị chặn theo chuẩn ess sup trên R+
f

∞

= ess sup |f | := inf{M > 0 : µ(x ∈ R+ : |f (x)| > M ) = 0, h.k.n.}

•

(· ∗ ·) là tích chập Kontorovich-Lebedev (xem trang 9).

•

(· ∗ ·) là tích chập Fourier (xem trang 10).

•

(· ∗ ·) là tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier cosine thứ

KL
F

1

nhất (xem trang 25).
• (· ∗ ·) là tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier cosine thứ hai
2

(xem trang 25).
• (· ∗ ·) là tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier sine (xem
3

trang 25).
• (· ∗ ·) là tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier sine - Fourier
cosine (xem trang 34).
• T1,h là biến đổi tích phân kiểu tích chập Kontorovich-Lebedev (xem trang
6


25)
• Th là biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Kontorovich-LebedevFourier (xem trang 45).
f (z)
≤ M < ∞ với mọi z thuộc
• f (z) = O(g(z)), z → a, có nghĩa là
g(z)
vào một lân cận của a.
f (z)
• f (z) = ◦(g(z)), z → a, có nghĩa là lim
= 0.
z→a g(z)
f (z)
• f (z) ∼ g(z), z → a, có nghĩa là lim
= 1.
z→a g(z)

7

MỞ ĐẦU
1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài
Bên cạnh những biến đổi tích phân nổi tiếng có vai trò quan trọng trong
giải tích toán học nói riêng và các ngành khoa học nói chung như các biến đổi
tích phân Fourier, Laplace, Mellin, Hankel..., những năm 38-39 của thế kỷ
trước, hai nhà toán học Nga là Kontorovich M.I. và Lebedev N.N. trong khi
nghiên cứu bài toán về nhiễu xạ sóng điện từ với biên hình nêm đã xây dựng
biến đổi tích phân mà sau này được gọi là biến đổi tích phân KontorovichLebedev (xem [29, 30, 67]). Các tính chất của biến đổi tích phân KontorovichLebedev trong không gian L1 , L2 , công thức biến đổi ngược và các ứng dụng
được nghiên cứu sau đó bởi Lebedev N.N., Sneddon I.N., Lowndes J.S., Jones
D.S. (xem [24, 33, 34, 35, 36, 40, 41, 57]).
Ảnh của hàm f qua phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev, kí hiệu
là KL[f ], được xác định bởi công thức
∞

KL[f ](y) =

Kiy (x)f (x)dx,

y ∈ R+ ,

(0.1)

0

với Kν (x) là hàm Macdonald có chỉ số thuần ảo ν = iy (xem [29, 30, 67]).
Điều đáng chú ý, khác với các biến đổi tích phân kể trên, trong nhân của
phép biến đổi tích phân này là hàm đặc biệt Macdonald, một trong những
hàm có nhiều ứng dụng trong khoa học và kĩ thuật.
Đến nay, những kết quả về biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev trên
các không gian hàm với hệ toạ độ trụ, hệ toạ độ cầu; không gian Lebesgue

Lp với trọng cũng như xem xét trên không gian hàm suy rộng đã khá phong
phú và sâu sắc (xem [18, 20, 21, 66, 71, 81]). Biến đổi tích phân KontorovichLebedev trên không gian hai chiều, không gian nhiều chiều; biến đổi rời rạc,
biến đổi hữu hạn liên quan đến biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev cũng
đã được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu (xem [72, 78, 82]).
Cùng với các biến đổi tích phân kể trên, tích chập đối với các biến đổi tích
phân này đã được xây dựng và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Năm 1998, Kakichev V.A. và Thao N.X. đã đưa ra định nghĩa tích chập suy
γ
rộng f ∗ h với hàm trọng γ của hai hàm f và h đối với ba phép biến đổi
8


Luận án đầy đủ ở file: Luận án full