Đề thi Xác suất Thống kê Đại học Bách Khoa TPHCM

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM

ĐỀ THI XÁC SUẤT THỐNG KÊ

BỘ MƠN T0ÁN ỨNG DỤNG

THỜI LƯỢNG : 90 PHÚT

m 2 m t tờ

4

( SV CHỈ ƯỢC DÙNG MÁY TÍNH CÁ NHÂN VÀ BẢNG TR THƠNG DỤNG)

CÂU I Mỗi hộp có 16 sản phẩm, trong đó mỗi sản phẩm đều có thể là chính
phẩm hoặc phế phẩm với xác suất như nhau. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 6 sản phẩm
theo phương thức có hoàn lại thì được toàn chính phẩm. Tính xác suất để hộp có
chứa toàn chính phẩm.

CÂU II Cho vec tơ n ẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ đ n thời:

2
a x  y
  x, y   
0






khi 0  y 
ở nơi khác

x
1
.
2

a) Xác định a.
b) Tính covarian của véc tơ n ẫu nhiên (X, Y).

CÂU III Thốn kê điểm kiểm tra mơn tốn 1(X) và tốn 2 (Y) của một số SV năm
I có bản thốn kê sau:
Y

X

4
5
6
7

3

4

1

2
3

5

6

7

5

4

6

9

4

7

17

7

4

8

9

8

6

8
9
mj

8

9

ni

n

1) Hãy tính các đ c trưn của mẫu trên , viết phươn trình tươn quan tuyến tính
của Y theo X và tính hệ số tươn quan mẫu.
2) Hãy ước lượn điểm trun bình của các mơn tốn trên với độ tin cậy γ=0,95.

1


3) Qui định SV có điểm trun bình ≥8 thì đạt loại tốt , phòn đào tạo cơn bố tỷ
lệ SV đạt loại tốt của mơn tốn I là 0,39. Hãy cho nhận xét v cơn bố đó với
mức ý n hĩa α=0,01.
CÂU I V
• Thống kê về chiều cao của một loại cây sau hai tháng tuổi cho kết

•

quả sau
Độ cao (cm)

4-6

6-8

8-10

10-12

12-14

14-16

16-18

18-20

20-22

Số lượng

12

25

27

30

26

22

24

20

14

Với mức ý nghóa  = 0,01 hãy kiểm đònh xem mẫu trên có phù hợp với phân phối
chuẩn không?
•
CHỦ NHIỆM BỘ MƠN

PGS.TS.N uyễn ình Huy

2


3


HƯỚNG DẪN chi tiết cho câu 1:
Có thể viết lại giả thiết bài này:
Một hộp m 16 sản phẩm được lấy ra n ẫu nhiên từ 1 dây chuy n sản xuất có tỉ lệ chính
phẩm là 50%. Từ hộp đó n ười ta lấy ra 6 sản phẩm ( có hoàn lại sau mỗi lần lấy) thì được
cả 6 chính phẩm. Tìm xác suất hộp ban đầu đó chứa cả 16 chính phẩm.
Từ iả thiết có thể thấy ta khôn biết chắc chắn tron hộp ban đầu có bao nhiêu chính

phẩm và phế phẩm, các khả năn có thể xảy ra được liệt kê tron 17 trườn hợp như sau:
H0: Hộp có 0 chính phẩm và 16 phế phẩm.
H1: Hộp có 1 chính phẩm và 15 phế phẩm.
H2: Hộp có 2 chính phẩm và 14 phế phẩm.
…………..
H16: Hộp có 16 chính phẩm và 0 phế phẩm.
Theo côn thức Bernoulli, ta có thể tính được XS xảy ra của từn biến cố như sau:
P  H 0   C160 (0,5)0  (0,5)16  C160 .(0,5)16
P  H1   C161 (0,5)1  (0,5)15
P  H 2   C162 (0,5) 2  (0,5)14
............
P  H16   C1616 (0,5)16  (0,5)0

Gọi F là biến cố cả 6 sản phẩm lấy ra đ u là chính phẩm.
XS cần tìm là: P(H16/F)
Côn thức tươn ứn cần dùn là:
P( H16 F )

P( F )
(1)
P( H16 )  P( F / H16 )

P( H 0 ) P(F/ H 0 )  P( H1 ) P(F/ H1 )  ...  P( H16 ) P(F/ H16 )
P( H16 / F ) 

ở đây P(F) cần tính bằn côn thức xác suất toàn phần.
Giả sử rơi vào trườn hợp H3, tức là tron hộp ban đầu có 3 chính phẩm tron 16 sản
phẩm, thì xác suất lấy cả 6 lần được chính phẩm ( có hoàn lại) sẽ được tính bằn công
thức Bernoulli, bằn C66(3/16)6(13/16)0.
Tính tươn tự cho tất cả các trườn hợp:

4


0 6
) 0
16
1
1
P  F/H1   ( ) 6  6
16
16
2
26
P  H 2   ( )6  6
16
16
............
P  F/H 0   (

P  H16   C1616 (0,5)16  (0,5) 0

Thay vào côn thức (1), ta tính được:
P( H16 / F ) 
6

 16 
C (0,5)   
 16 


16
16
16
6
0
16  0 
1
16  1 
2
16  2 
16
16  16 
C16 (0,5)     C16 (0,5)     C16 (0,5)     ...  C16 (0,5)   
 16 
 16 
 16 
 16 
6
16
 16
 0, 000463
k
6
 C16  k
16
16

16

k 1

5


Trường ĐHBK TP.HCM
BỘ MÔN TOÁN ƯD

ĐE À THI HỌC KỲ MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ
THỜI LƯNG 90 phút
ĐỀ THI GỒM 02 TRANG.
(Thí sinh được dùng bảng thông dụng và máy tính cá nhân, không dùng tài liệu )

Câu 1. Một túi chứa 4 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen. Hai người chơi A và B

lần lượt rút một quả cầu trong túi (rút xong không trả lại vào túi). Trò chơi
kết thúc khi có người rút được quả cầu đen. Người đó xem như thua cuộc và
phải trả cho người kia số tiền là số quả cầu đã rút ra nhân với 5 USD. Giả sử
A là người rút trước và X là số tiền A thu được.
a) Lập bảng phân bố xác suất của X.
b) Tính EX. Nếu chơi 150 ván thì trung bình A được bao nhiêu?
Câu 2. Cho X , Y là véc tơ ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời là:

 1

f ( x, y)   k.x2 y
0


nếu x  1 và

1
 yx
x

nếu trái lại

a)

Tìm hằng số k .

b)

Tìm hàm mật độ lề của X và của Y.

c)

Tính kỳ vọ ng của Y.

Câu 3: Bán kính của một số sản phẩm như sau
Bán kính xi 3,4

Số lượng ni

1

3,6

3,8

4,0

4,2

4,4

4,6

4,8

5

4

18

42

14

6

1

Với mức ý nghóa   0,05 , có thể coi bán kính các sản phẩm này tuân theo quy luật
chuẩn ?
Câu 4: Nghiên cứu sự phát triển của một loại cây người ta tiến hành đo đường kính
X(cm) và chiều cao Y(m) của một số cây. Số liệu ghi trong bảng sau:
Y

2

3

3

5

4

5

6

7

X
20
22

2

10

24

3

8

12

7

4

16

7

5

8

10

26
28


a) Ước lượng đường kính trung bình của cây với độ tin cậy 99% .
b)Viết phương trình đường hồi quy tuyến tính mẫu của Y theo X.
c)Những loại cây cao 6m trở lên là cây loại I. Hãy ước lượng tỉ lệ cây loại I với độ
tin cậy 90%.
d)Trước đây chiều cao trung bình của loại cây này là 5 m. Số liệu trên lấy ở
những cây áp dụng một biện pháp chăm sóc mới. Với mức ý nghóa 5%, hãy nhận
xét về tác dụng của biện pháp chăm só c đó.
PHO CHỦ NHIỆM BỘ MÔN

TS. NGUYỄN BÁ THI

Câu 1:
a) Bảng PPXS cho số quả cầu được rút ra (Z):
Z
1
2
3
P
3
2
6
7
7
35
Bảng PPXS cần tìm:
X
P

-25
-15
1
6
35
35
6
b) E(X)=
 - 0,8571.
7
900
150*E(X) =

.
7
Câu 2:
a) k=2.
 x dy
ln x
 2  2
x
b) f X ( x)   1 x 2 x y

 0
  dx
1
  2  2
 y 2x y 2 y

fY ( y )    dx
1

2

 2x y 2
 1y
0


-5
3
7

4
3
35

5
1
35

10
2
7

20
3
35

x 1
x 1
y 1
0  y 1
y0

c) Không có E(Y)
Câu 3:
n=91; x  4,1648;
s  0, 2473
GTKĐ H0 : X  N(a=4,1648; (0,2473)2 ).
GT H1 : X không có phân phối chuẩn.
 3,5  4,1648 
p1 =  

  0,5  0, 4964  0,5 = 0,0036
 0, 2473 

 3, 7  4,1648 
 3,5  4,1648 
 
p2 =  

  0, 4700  0, 4964 = 0,0265
 0, 2473 
 0, 2473 
p3 = 0,1120
p4 =0,2545
p5 =0,3111
p6 =0,2047
p7 =0,0724
p8 =0,0152.
2
02  17,0137 
0,05
(8  2  1)  11,07
Bác bỏ H0 .


Câu 4:
Số liệu bấm máy ( đề không yêu cầu hết):
n  100;
x  24,8
s X  2, 2978

y  24,8

sY  1,3076

sY  1,3142

xy  126, 66

r  0,8027

A  6,3191 B  0, 4568

2,58*2,3094
 0,5958
100
b) Y = -6,3191 + 0,4568 * X
a)  

s X  2,3094

. Khoảng UL: 24,8  0,5958

1, 64* 0,37*0, 63
Khoảng UL tỷ lệ: 0,37  0,0792
 0, 0792 .
100
d) GTKĐ
H0 : a= 5 m
H1: a  5 m.
5, 01  5

z0 
100  0, 0761  z  1,96.
1,3142
Chấp nhận H0 .
c)  


Trường ĐHBK TP HCM

ĐỀ THI MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Thời gian: 90 phút.
4

Bộ môn Toán ứng dụng

(Thí sinh được dùng
Câu 1(2đ).

và máy tính cá nhân )

Ba công nhân cùng sản xuất một loại sản phẩm. Xáùc suất để người
thứ nhất và người thứ hai làm ra chính phẩm bằng 0,92. Còn xác suất để
người thứ 3 làm ra chính phẩm bằng 0,85. Một người trong số đó làm ra 8
sản phẩm, thấy có 2 phế phẩm. Tìm xác suất để trong 8 sản phẩm tiếp
theo cũng do người đó sản xuất sẽ có 6 chính phẩm.

Câu 2 (2đ).
Thời gian đi từ nhà tới trường của sinh viên A là một đại lượng ngẫu
nhiên T (đơn vò là phút) có phân bố chuẩn. Biết rằng 68% số ngày A đến

trường mất hơn 20 phút và 9% số ngày An đi mất hơn 30 phút.
a) Tính thời gian đến trường trung bình của sinh viên A và độ lệch
tiêu chuẩn.
b) Giả sử sinh viên A xuất phát từ nhà trước giờ vào học 26 phút.
Tính xác suất để A bò muộn học.

Câu 3 (3đ).
Để nghiên cứu về sự ảnh hưởng của mức thu nhập X (triệu đồng) của
các hộ gia đình đối với mức độ tiêu dùng Y (kg) về một loại thực phẩm
hàng tháng, người ta điều tra ở một số gia đình và thu được bảng số liệu
sau đây:
Y
15
20
25
30
35

X
10
4

20
5
15

30
21
11
8

40

50

60

17
10
7

8
6
3

4
2

a) Tinh cac đ c trưng cua mẫu trên. Tìm phương trình hồi quy tuyến tính
mẫu của X đối với Y và tính hệ số tương quan mẫu .


b) Với độ tin cậy 0,99, tìm các khoảng tin cậy cho phương sai của mức thu
nhập và mức độ tiêu dùng của loại thực phẩm của các gia đình.
c) Có tài liệu nói tỷ lệ gia đình có thu nhập cao ( từ 50 triệu trở lên) là
25%. Với mức ý nghóa 0,01 hãy cho nhận xét về độ tin cậy của tài liệu
trên.

Câu 4 (3đ).
Khảo sát điểm trung bình học tập của một số sinh viên, người ta có số

liệu:
Lớp

ni

(0; 3)

6

(3; 5)

22

(5; 7)

44

(7; 8)

18

(8; 10)

10

Với mức ý nghóa 0,01, hãy kiểm đònh giả thiết điểm trung bình học
tập của các sinh viên trên tuân theo luật phân phối chuẩn.

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN

PGS.TS.Nguyễn Đình Huy


ÁP ÁN
Các chữ số gần đúng phải lấy làm tròn 4 chữ số phần thập phân.
Các bài kiểm định phải có đầy đủ giả thiết Ho và H1.
Câu 1: ( đ)
Gọi F1 là biến cố lần đầu người đó sản xuất ra 8 sản phẩm thì có 2 phế phẩm.
Gọi F2 là biến cố lần sau người đó sản xuất ra 8 sản phẩm thì có 2 phế phẩm.
1 2
6
2
.C8  0,92   0, 08 
3
0, 238852
P(CN1/F1)= P(CN2/F1) =
2 2
1 2
6
2
6
2
.C8  0,92   0, 08   C8  0,85   0,15 
3
3
1 2
6
2
.C8  0,85   0,15 
3

0,522297
P(CN3/F1) =
2 2
1 2
6
2
6
2
.C8  0,92   0, 08   C8  0,85   0,15 
3
3
6
2
6
2
2
P(F2/F1) = 2*0, 238852* C8  0,92  0,08  0.522297* C82  0,85  0,15  0,176007

Câu 2: ( đ)
20  a

 20  a
P(T  20)  0,5   (
)  0, 68 (
)  0,18   (0, 47)






2
T  N(a,  ) thỏa: 

 P(T  30)  0,5   ( 30  a )  0, 09
  ( 30  a )  0, 41   (1,34)






 20  a
   0, 47 a  22,5967
Dẫn đến hệ 

30

a
   5,5249

 1,34
 

Xác suất sinh viên A đi học trễ:
 26  22,5967 
  0,5  0, 231053  0.26895
 5,5247 

P(T >26) = 0,5   
Câu 3: (3đ)

a) Các đ c trưng mẫu:
x  34, 7934

s X  11, 6491

s X  11, 6975

n  121

y  24,9174

sY  5,5292

sY  5,5526

( xy  914, 0496)

Hệ số tương quan: rXY  0,7311 .
Phương trình đường hồi quy tuyến tính mẫu: X  3,5875  1,5403Y
b) Tra bảng:  20.005 (120)  163,65
 20.995 (120)  83,85


 Khoảng ƯL cho phương sai của X:
 120*11, 69752 120*11, 69752 
;

  100,3350; 195,8239 
163, 65

83,85



 Khoảng ƯL cho phương sai của Y:
 120*5,55222 120*5,55222 
;

   22, 6042; 44,1166 
163,
65
83,85



c) Gọi p là tỉ lệ gia đình có thu nhập cao.
Giả thiết kiểm định H0 : p = 25%.
Giả thiết đối H1 : p  25%.
Tra bảng z  2,58
23
 0, 25
121
121  1,5221
Tính tckđ: z0 
0, 25*0, 75

KL: Chấp nhận H0. (Chưa đủ cơ s để bác bỏ H0 )

Câu 4: (3đ)
Các đ c trưng mẫu: x  5,86

sX  1,8386
(sX  1,8478)
n  100
Giả thiết Kiểm định H0 : Mẫu phù hợp phân phối chuẩn.
H1: Mẫu không phù hợp phân phối chuẩn.
2
Tra bảng 0,01 (2)  9, 21 .
p1 = 0.05991
p2 = 0.260073
p3 = 0.412401
p4 =0.14539 p5 =0.122226
2
2
Tính tckđ: 0  2,0302   nên chấp nhận H0.


ĐỀ THI MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Thời lượng: 90 phút.
Đêề gồm 2 m t tờ A4

Trường ĐHBK TP HCM
Bộ môn Toán ứng dụng

- Thí sinh chỉ được dùng bang tra số và máy tính bỏ túi
- Các giá trò gần đúng được lấy 4 chữ số phần thập phân
Câu 1. (2 đ).
Một người viết n bức thư cho n người bạn (mỗi người một bức thư khác
nhau). Trong mỗi phong bì anh ta bỏ một bức thư , rồi ghi ngẫu nhiên đđịa chỉ
của một trong n người bạn ( mỗi đđịa chỉ ghi một lần) . Hãy tính xác suất để có ít
nhất một bức thư ghi đúng đòa chỉ.

Câu 2. (2 đ).
Hai cầu thủ bóng rổ lần lượt ném bóng vào rổ cho đến chừng nào một
người ném lọt rổ thì dừng lại. Người thứ nhất ném trước. Lập bảng phân phối
xác suất của biến ngẫu nhiên X chỉ số lần ném bóng của người thứ nhất, biết
xác suất ném lọt rổ của người thứ nhất là 0,45 và của người thứ hai là 0,36. Tính
kỳ vọng E(X), phương sai D(X).
Câu 3. (3 đ)
Khi nghiên cứu về sự ảnh hưởng của thu nhập X(triệu đồng ) đối với mức
độ tiêu dùng Y(kg) về một loại thực phẩm hàng tháng , người ta điều tra ở các
gia đình và thu được bảng số liệu sau đây:
Y
15
25
35
45
55

X
10
7

20
8
6

30
8
15
6

40

50

60

14
11
9

9
7
7

6
8

a) Tìm phương trình hồi quy tuyến tính mẫu của X đối với Y và tính hệ số tương
quan mẫu .


b) Với độ tin cậy 0,95, hãy tìm các khoảng tin cậy cho phương sai của mức thu
nhập và mức độ tiêu dùng đối với loại thực phẩm này của các gia đình trên .
c) Có tài liệu nói tỷ lệ gia đình có thu nhập cao ( từ 50 triệu trở lên) là 31%. Với
mức ý nghóa 0,05 hãy cho nhận xét về độ tin cậy của tài liệu trên.
Câu 4. (3 đ)
Trong một thí nghiệm khoa học người ta nghiên cứu độ dày của lớp mạ
kền thu được khi dùng ba loại bể mạ khác nhau. Sau một thời gian mạ, người ta
đo độ dày của lớp mạ nhận được ở các bể và được số liệu sau:
Độ dày lớp mạ

kền

A

Số lần đo ở bể mạ
B

C

tính bằng m
4–8

35

51

68

8 – 12

100

95

85

12 - 16

34

32

26

16 - 20

41

24

28

20 - 24

25

28

28

Với mức ý nghóa  = 0,01, hãy kiểm đònh giả thiết: độ dày lớp mạ sau khoảng
thời gian nói trên không phụ thuộc loại bể mạ được dùng.

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN

PGS.TS.Nguyễn Đình Huy


HƯỚNG DẪN
Câu 1: (2đ)

Gọi Ai là biến cố lá thư thứ i ghi đúng địa chỉ. i = 1,2,…n.
Gọi B là biến cố có ít nhất 1 lá thư đến đúng địa chỉ.
B = A1 + A2 + ….. + An .


n



n



i=1

Xác suất cần tìm: P(B) = P   Ai  = P(Ai )- P(A1A j )+.....+(-1)n-1P(A1A2 ...An )
 i1

i
1
1 1
1 1 1
1
1 1
1
= n. - C2n . .
+C3n . .
.
- ....+(-1) n-1

= 1- + -.....+(-1) n-1
n
n n-1
n n-1 n-2
n!
2! 3!
n!
Lưu ý là các biến cố Ai không xung khắc và không độc lập đôi một.

Câu 2: (2đ)
Gọi Ai là biến cố người thứ nhất ném trúng ở lần thứ i; i= 1,2,3…
Gọi Bi là biến cố người thứ hai ném trúng ở lần thứ i; i= 1,2,3…
P(X=1) = P(A1) + P( A1 B1) = a+ (1-a)b = 0,648
( a= 0,45; b= 0,36 )
P(X=2) = P( A1B1 A2) + P( A1B1A 2 B2) = (1-a)(1-b)[ a+ (1-a)b] = 0,352*0,648
P(X=3) = …. = (1-a)2(1-b)2[ a+ (1-a)b] = 0,3522*0,648
……

P(X=k) = …. = (1-a)k-1(1-b)k-1[ a+ (1-a)b] = 0,352k-1*0,648
…
+

E(X)= k.p.q k-1 =
k=1

1
1
( công thuc)=
=1,5432 .
p

0,648

p = 0,648; q = 1- 0,648.

2

1
1 1
1
1
D(X)= k .p.q -   = 2 - ( công thuc)=

=0,8383 .
2
0,648 0,648
k=1
p p p
+

2

k-1

Câu 3: (3đ)
a) Các đặc trưng mẫu (tham khảo):
x  37, 7686

s X  13,5138

s X  13,5700

n  121

y  37,8099

sY  12,5457

sY  12,5978

( xy  1560, 7438)

Hệ số tương quan: rXY  0,7828 .
Phương trình đường hồi quy tuyến tính mẫu: X  5,8868  0,8432 Y
b) Tra bảng:  20.025 (120)  152, 21
 20.975 (120)  91,58
 Khoảng ƯL cho phương sai của X:
 120*13,57002 120*13,57002 
;

  145,1770; 241, 2905
152, 21
91,58



 Khoảng ƯL cho phương sai của Y:
 120*12,59782 120*12,59782 
;

  125,1202; 207,9553

152, 21
91,58




c) Gọi p là tỉ lệ gia đình có thu nhập cao.
Giả thiết kiểm định H0 : p = 31%. Giả thiết đối H1 : p  31%.
Tra bảng z  1,96
37
 0,31
121
Tính tckđ: z0 
121  0,1002
0,31*0, 69

KL: Chấp nhận H0.

Câu 4: (3đ)
Giả thiết kiểm định H0: Độ dày lớp mạ không phụ thuộc loại bể mạ được dùng.
H1: Độ dày lớp mạ phụ thuộc loại bể mạ được dùng.
Bảng tần số thực nghiệm:

35

51

68

154

100

95

85

280

34

32

26

92

41

24

28

93

25

28

28

81

235

n=700

230
235
Bảng tần số lý thuyết:

51.7

50.6

51.7

94

92

94

30.8857 30.2286

30.8857

31.2214 30.5571

31.2214

27.1929 26.6143

27.1929

 02 =

  
2

18.1449

(8) 

2
0,01

20.09

Cách khác để tính tckđ  02 :


h


 352

512
282
 1  700* 


 ... 
 1
235*81 
j 1 ni * m j

 235*154 230*154
 700*1.02592 1  18,1449
k

02  n. 
 i 1

nij2

Chấp nhận giả thiết H0.


Trường ĐHBK TPHCM

ĐỀ THI HỌC KỲ
MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Bộ môn Toán ứng dụng

Thời gian: 90 phút.
- Đề thi gồm 2 trang.
- Thí sinh được dùng các bảng tra số và máy tính bỏ túi.
- Không sử dụng tài liệu.

Câu 1:
Một nhà ăn phải phục vụ bữa trưa cho 1000 khách trong hai đợt liên tiếp. Số chỗ
ngồi của nhà ăn phải ít nhất là bao nhiêu để xác suất của biến cố: “không đủ chỗ
cho khách đến ăn” là bé hơn 1%? Giả thiết rằng mỗi khách có thể đến ngẫu
nhiên một trong hai đợt.
Câu 2:
Tỷ lệ phế phẩm của một máy là 5%. Tất cả các sản phẩm của máy sẽ được kiểm
tra chất lượng bởi một thiết bò tự động. Tuy nhiên tỷ lệ kết luận sai của thiết bò
này đối với chính phẩm là 4%, còn đối với phế phẩm là 1%. Nếu sản phẩm bò
thiết bò kết luận là phế phẩm thì sẽ bò loại.
a) Tìm tỷ lệ sản phẩm bò thiết bò kiểm tra đó kết luận nhầm.
b) Tìm tỷ lệ sản phẩm bò thiết bò loại sai.
Câu 3:
Bán kính của một số sản phẩm được khảo sát ngẫu nhiên như sau:
Bán kính

3,5 – 3,7

3,7 – 3,9

3,9 – 4,1

4,1 – 4,3

4,3 – 4,5

4,5 – 4,7

8

12

28

42

14

6

xi (mm)
Số lượng
ni
Với mức ý nghóa   0,05 , có thể coi bán kính các sản phẩm này tuân theo quy
luật chuẩn đđược không ?
Câu 4:
Tiến hành khảo sát số gạo bán ra hằng ngày ở một cửa hàng, người ta có kết
quả:
Số gạo bán ra
(kg)

130

150

160

180

190

210

220

Số ngày

9

12

25

30

20

13

4


Ông chủ cửûa hàng cho rằng nếu trung bình một ngày bán ra không quá 170 kg
thì tốt hơn là nghỉ bán. Từ số liệu trên, với mức ý nghóa 5%, hãy cho biết cửûa
hàng nên quyết đònh thế nào ?
Câu 5:
Khi nghiên cứu sự phát triển của một loại cây, người ta tiến hành đo đường
kính X(cm) và chiều cao Y(m) của một số cây. Số liệu ghi trong bảng sau:
Y

2

3

3

5

4

5

6

7

X
20
22

2

10

24

3

8

12

7

4

16

7

5

8

10

26
28

a) Những cây cao từ 5 m và có đường kính từ 26 cm trở lên là cây loại I. Hãy
ước lượng tỉ lệ cây loại I với độ tin cậy 90%.
b) Ước lượng đường kính trung bình của cây loại 1 với độ tin cậy 99%.
c) Trước đây chiều cao trung bình của loại cây này là 5,2 m. Số liệu trên lấy ở
những cây áp dụng một biện pháp chăm sóc mới. Với mức ý nghóa 5%, hãy nhận
xét về tác dụng của biện pháp chăm sóc đó.
PHÓ CHỦ NHIỆM BỘ MÔN

TS. NGUYỄN BÁ THI

ĐÁP ÁN
Câu 1: (2 đ) Phần sửa chi tiết hơn ở cuối trang
Gọi m là số ghế ngồi trong nhà ăn. ( 500 < m <1000)
Gọi X là số khách vào nhà ăn trong đợt 1.
X có phân phối Nhò thức với n =1000, p=1/2.
Xác suất đủ chỗ ngồi cho khách = P( số khách đến ca 1 ≤ m và số khách đến ca 2 ≤ m )
 m  500 
 1000  m  500 
 m  500 
= P(1000-m ≤ X ≤ m)   
 
  2  

250
 250 


 250 
Từ giả thiết XS đủ chỗ ngồi cho khách > 0,99 
 m  500 
 m  500 
2  
  0,99   
  0, 495  (2,58)
 250 
 250 
m  500

 2,58
 m  2,58  250  500  m  541

250
Câu 2: ( 2 đ)
a) Tỷ lệ KL sai của thiết bò: 95%* 4% + 5% *1% = 3,85%.
0,95*4%
b) P(sản phẩm là chính phẩm/ sản phẩm bò loại)=
 43, 43%
0,95*4%  0, 05*99%
Câu 3: (2 đ)
Ho: Bán kính phù hợp với phân phối chuẩn.
H1: Bán kính không phù hợp với phân phối chuẩn.

2 (3)  7,81 n  110;

x  4,1091

s  0, 2437

Các giá trò trung gian:
Pi
Ei =n*pi
0.0466
5.1265
0.1488 16.3719
0.2897 31.8633
0.2982 32.7998
0.1624 17.8595
0.0544
5.9790

02  6,6612  2

(Oi-Ei)^2/Ei
1.6106
1.1674
0.4684
2.5806
0.8340
0.0001
6.6612

Chấp nhận Ho.

Câu 4: ( 1 đ) Gọi a là lượng gạo bán ra trung bình hàng ngày.
Ho: a = 170 kg
( hay a<=170 kg , dấu = phải ở biểu thức của Ho)
H1: a > 170 kg
Do   5%  z2  1,645
 W  (1,645;  )
n  113;

x  175,0442 s  23, 2657

x  a0
n = 2,3047 W nên bác bỏ Ho. Chấp nhận H1.
s
Cửa hàng nên tiếp tục bán.
TCKĐ Zo 

Cách khác:

Ho: a = 170 kg
H1: a  170 kg
z  1,96
n  113;
x  175,0442 s  23, 2657
TCKĐ Zo 

x  a0

n = 2,3047
s
Bác bỏ Ho. Chấp nhận H1. Coi như lượng gạo TB bán được hàng ngày thực sự khác 170 kg.
Do khối lượng gạo bán TB hàng ngày x >170 kg nên ta coi như a > 170 kg.
Nên cửa hàng cần tiếp tục bán.
Câu 5: ( 3 đ)
a) z  1,64

n  100;

f  0, 46

Khoảng Ư L: (0,3783; 0,5413)
b) z  2,58
n  46;
x  26,7826
Khoảng UL: (26,4072; 27,1580)
c) Ho: a=5,2m H1: a 5,2 m
z  1,96
n  100;

y  0,51
TCKđ: Zo= -1,4457.
Chấp nhận Ho.
Cách 2 cũng tương tự.

  0,0817
s  0,9869

s  1,3142

  0,3754


Caâu 1: (2 đ) Phần sửa chi tiết hơn
Mỗi khách hàng có thể đến nhà ăn vào ca 1 với xác suất p = 0,5 và đến vào ca 2 với xác suất
q=0,5. Các khách đến nhà ăn được coi là độc lập với nhau. (Như vậy đã xuất hiện dạng bài
Bernoulli ở đây).
Chúng ta có 1000 khách hàng như vậy.
Gọi X là BNN chỉ số khách hàng ( trong 1000 khách nói trên) đến nhà ăn vào ca 1. Khi đó
1000-X là số khách hàng vào ăn ở ca 2.
Có thể nhận thấy biến ngẫu nhiên X có phân phối Nhị thức với n = 1000, p=0,5; q=0,5.
{ giải thích chi tiết hơn qua ví dụ:
100
P(X=100)=C100
(0,5)900
1000 (0,5)
………..}
150
P(X=150)=C150
(0,5)850

1000 (0,5)
Gọi m là số ghế đã có trong nhà ăn. ( m là 1 hằng số).
Muốn đủ chỗ cho khách ở ca 1 thì m >= X
(1);
muốn đủ chỗ cho khách ở ca 2 thì m >= 1000 –X (2)
Muốn đủ chỗ cho khách ở cả 2 ca thì 1000-m ≤ X ≤ m (3)
Gọi A là biến cố đủ chỗ ngồi cho khách ở cả 2 ca.
{ Nói thêm: Nếu muốn A luôn xảy ra ( xác suất 100%) thì cần m >=1000. Nhưng đề chỉ yêu cầu
xác suất không đủ chỗ ngồi nhỏ hơn 1%, tức là A xảy ra với xác suất lớn hơn 99% nên có thể
thấy m cần tìm có thể nhỏ hơn 1000}
YCBT: P(A) > 99%, dẫn đến P(1000-m ≤ X ≤ m) > 99% (4)
Nếu dùng trực tiếp công thức P(1000  m  X  m) 

m



1000  m

k
C1000
(0,5)k (0,5)1000k

thì rõ ràng không dễ dàng gì. May mắn chúng ta có định lý giới hạn: khi n lớn ta coi X xấp xỉ
phân phối chuẩn N(a= np; 2= npq) , biểu thị qua công thức:
 k  np 
 k  np 
P(k1  X  k2 )    2
 1


 npq 
 npq 




Suy ra:
 m  500 
 1000  m  500 
 m  500 
P(1000-m ≤ X ≤ m)   
  
  2  

250
 250 


 250 
(4) 
 m  500 
 m  500 
2  
  0,99   
  0, 495  (2,58)
 250 
 250 
m  500

 2,58

 m  2,58  250  500  m  541
250
* Nếu không ghép (1) (2) thành (3) thì ta giải P(1) + P(2) > 99% thì cũng ra kết quả tương tự.


Trường ĐHBK TPHCM
Bộ môn Toán ứng dụng

ĐỀ THI HỌC KỲ
MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Thời gian: 90 phút.

- Đề thi gồm 2 trang.
- Thí sinh được dùng các bảng tra số và máy tính bỏ túi.
- Các số gần đúng làm tròn đến 4 chữ số phần thập phân.

Câu 1 (2,5 đ) Một hệ thống kỹ thuật gồm n bộ phận mắc nối tiếp nhau. Xác
suất hoạt động tốt của mỗi bộ phận trong khoảng thời gian T là p. Hệ
thống sẽ ngừng hoạt động khi có ít nhất một bộ phận bò hỏng.
Để nâng cao độ tin cậy của hệ thống, người ta dự trữ thêm n bộ phận nữa
theo phương thức a) hoặc phương thức b) như sau:
a)
P

P

P

P

P

P

b)
P

P

P

P

P

P

a) Tìm xác suất hoạt động tốt của các hệ thống dự trữ theo 2 phương
thức trên trong khoảng thời gian T.
b) Hỏi phương thức dự trữ nào mang lại độ tin cậy cao hơn cho cả hệ
thống?
Câu 2 ( 2,5 đ) Một nhà máy bán một loại sản phẩm với giá 1 USD một sản
phẩm. Trọng lượng của sản phẩm là một ĐLNN có phân bố chuẩn với kỳ
vọng a kg và độ lệch tiêu chuẩn  2  1 kg2. Giá thành làm ra một sản
phẩm là: c = 0,051a + 0,32. Nếu sản phẩm có trọng lượng bé hơn 8kg
thì phải loại bỏ vì không bán được.
Hãy xác đònh a để lợi nhuận của nhà máy là lớn nhất.
Câu 3 ( 3 đ) Khi nghiên cứu về sự ảnh hưởng của mức thu nhập X của các hộ
gia đình (đơn vò: triệu đồng/ tháng) đối với mức độ tiêu dùng Y đối với một

1


loại thực phẩm (đơn vò: kg/ tháng), người ta khảo sát ngẫu nhiên 168 gia
đình trong vùng và thu được bảng số liệu sau đây:
X

Y
2
4
6
8
10

10
5

20
7
13

30
18
25
15

40

50

60

27
11
9

2
20
7

6
3

a) Tìm phương trình hồi quy tuyến tính mẫu của X đối với Y và tính hệ số tương quan
mẫu.
b) Với độ tin cậy 95%, hãy tìm các khoảng tin cậy cho trung bình của mức thu nhập và
trung bình của mức tiêu dùng loại thực phẩm này của các gia đình trong vùng.
c) Có tài liệu nói tỷ lệ gia đình có thu nhập cao ( từ 50 triệu trở lên) là 28%. Với mức
ý nghóa 3%, hãy cho nhận xét về độ tin cậy của tài liệu trên.
Câu 4:. ( 2 đ) Dưới đây là một mẫu thống kê về chiều cao của một loại cây sau hai
tháng tuổi:
Độ cao (cm)
Số lượng

6-8

8-10

10-12

12-14

14-16

16-18

6

27

52

68

33

14

Với mức ý nghóa  = 0,01 hãy kiểm đònh xem mẫu trên có phù hợp với phân phối
chuẩn không?

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN

PGS.TS.Nguyễn Đình Huy

2


ÑAÙP AÙN
Caâu 1: 2ñ + 0,5 ñ

a) Theo phöông thöùc a): Pa = (1- q2)n .
q=1-p
n 2
Theo phöông thöùc b): Pb = 1- (1- p )
b) Pa = pn * ( 2- p )n
> Pb = pn * ( 2 – pn). ( tính chất hàm mũ)
Caâu 2:
Gọi X là trọng lượng sản phẩm. Y là số tiền thu được khi sản xuất 1 sản phẩm.
E(Y) = -c * P(X<8) + (1- c) * P(X>=8)
= - 0,051 a + 0,18 - (8-a)
E’a = - 0,051 + f(8-a)

f(x) : hàm mật độ Gauss.

E’a = 0 khi f(8-a) = 0,051  8-a =  2,02 ( tra bảng)  a= 5,98 ; a= 10,02.
Xét dấu E’ dựa vào hàm f ….. E(Y) đạt GTLN tại a= 10,02.
Caâu 3: 1đ + 1đ+ 1đ
a) R = 0,7538.

Phương trình hồi quy x = 10,5681 +3,9746 y

b) Khoảng ƯL cho mức thu nhập trung bình:
36,0714  1,96 11,5316/168 =
36,0714  1,7438
 (34,3277 ; 37,8152 )
Khoảng ƯL cho nhu cầu trung bình:
6,4167  1,96 2,2187/168 = 6,4167  0,3307  (6,0859 ; 6,7474 )
c) Ho : p= 28%; H1: p ≠ 28%
z= 2,17
Miền bác bỏ W = ( -; -2,17) ( 2,17; +)

f = 38/168 = 0,2262
zqs = (0,2262 – 0,28)* 168/ (0,28* 0,72) = -1,5533  W.
Chấp nhận Ho. Tài liệu được coi như đáng tin.

Caâu 4: 2 đ
Ho: Mẫu phù hợp phân phối chuẩn a = 12,37 ;  = 2,3797.
H1: Mẫu không phù hợp phân phối chuẩn.
Tra bảng 2= 11,34 . Miền bác bỏ W = (11,34 ; +)
Pi
Ei =n*pi

0.033152
6.630356

0.126492 0.278577 0.315095
25.29836 55.71544 63.01895

0.183105 0.063579
36.62102 12.71588

2qs = 1,3036  W. Chấp nhận Ho. Mẫu phù hợp với phân phối chuẩn.
3