Tài liệu slide giải tích 2 (full ĐH BKHN)

Bài tập tích phân mặt
Bài 1: Tính các tp sau
trên nửa mặt
I1 = �
�xdydz + ydzdx + zdxdy S là phía
cầu x2+y2+z2=4, z≥0
S
2
I2 = �
zdxdy
+
y
dxdz S là phía ngoài vật thể gh bởi
�
0 ≤z ≤1-x2-y2
S
2
2
I3 = �
y
dzdx
+
x
dydz - zdxdy S là phía dưới nửa
�
mặt cầu x2+y2+z2=4,
S
z≥0
I4 = �
�( y - z )dydz + (z - x )dzdx + ( x - y )dxdy
S

S là phía ngoài phần mặt nón x2+y2=z2, 0≤z≤1
x 2
2
I5 = �
zdxdy
+
(
+
)
dydz
+
(
y
+ z )dxdz S là phía
�
2 x
S
dưới phần mặt z=1-x2 với z≥0 bị chặn bởi -1≤y≤1


Bài tập tích phân mặt
S
là
phía
trên
nửa
mặt
I1 = �
xdydz

+
ydzdx
+
zdxdy
�
cầu x2+y2+z2=4, z≥0
S
Trước hết, ta tìm pháp vecto đơn vị của mặt S
Pt mặt S là F(x,y,z)=x2+y2+z2-4=0, z≥0, suy ra:
�F = (2 x,2y ,2z )
S là phía trên tức là pháp vecto của S cùng hướng
với nửa dương trục Oz nên γ≤π/2 → cosγ≥0
Suy ra, dấu ta lấy cho pháp vecto đơn vị là “+”
u
r
1
n = + ( x, y , z ), z �0
2
Tiếp theo, ta có thể chọn 1 trong 2 cách: Tính trực tiếp
hoặc chuyển về tp mặt loại 1


Bài tập tích phân mặt
Với tp này, ta sẽ chuyển về tp mặtu
rloại 1 bằng cách
dùng CT , với pháp vecto đơn vị n = (cos a,cos b,cos g)

�
�Rdxdy + Qdxdz + Pdzdy
S

=�
�( P cos a + Q cos b + R cos g) ds
S

u
r
1
Từ I1 = �
�xdydz + ydzdx + zdxdy , n = + 2 ( x, y , z ), z �0
S
1 2
2
2
x
+
y
+
z
Suy ra: I1 = �
) ds
�2 (
S
Với tp mặt loại 1 này, ta đang có : x2+y2+z2=4 (pt mặt)
2dxdy
2
2
Hình chiếu Dxy: x +y ≤4 Vi phân ds =
2
2
4- x - y

Bài tập tích phân mặt
1
2dxdy
I1 = �
4.
Vậy:
�
2 Dxy
4 - x2 - y 2
2
dr
x=rcosφ 2p
4 �dj �r
2
y=rsinφ 0
4- r
0

=16π


Bài tập tích phân mặt
2
I2 = �
zdxdy
+
y
dxdz S là phía ngoài vật thể gh bởi

�
0≤z≤1-x2-y2
S
Mặt S gồm 2 mặt: S1 là phía dưới mp z=1, S2 là phía
trên mặt paraboloid z=1-x2-y2
Trước hết, ta tìm pháp vecto
đơn vị của mặt S1:
ur
n1 = - (0,0,1)
Và pháp vecto đơn vị của
mặt S2:
uu
r
1
n2 = +
(2 x,2y ,1)
2
2
4 x + 4 y +1


Bài tập tích phân mặt
Ta tính tp trên mặt S1 bằng cách
ur chuyển về tp mặt
loại 1 vì S1 là mặt phẳng có n1 = - (0,0,1)
2
I21 = �
zdxdy
+
y

dxdz = �
�
�( (- 1)z ) ds = 0
S1

( z=0)

Còn tp trên mặt S2 thì ta sẽ tính trực tiếp
2
I22 = �
zdxdy
+
y
dxdz
�
S2

Tp theo dxdy với: pt mặt z=1-x2-y2, h/c Dxy: x2+y2≤1
uu
r
1
Pháp vecto: n2 = +
(2 x,2y ,1) → cosγ>0
4 x 2 + 4 y 2 +1
p
2
2
�(1- x - y )dxdy ↔ I221 = 2
Suy ra: I221 = +�
Dxy

Bài tập tích phân mặt
2
2
2
I
=
y
dxdz
Pt
mặt:
y
=z+x
-1
�
Tp theo dxdz: 222 �
S2
uu
r
1
(2 x,2y ,1) Suy ra:
Pháp vecto: n2 = +
2
2
4 x + 4y +1
cosβ cùng dấu với y, tức là ta phải chia S2 thành 2
nửa ứng với y dương và y âm.
Tuy nhiên, pt mặt paraboloid S2 chẵn với y nên 2 nửa
này đối xứng nhau qua mp y=0, hình chiếu xuống mp

y=0 của 2 nửa này như nhau
Do đó, tp I222 chia thành 2 tp mà sau khi chuyển về
tp kép thì là tổng của 2 tp kép trái dấu nhau. Tức là:
I222=0
Vậy: I2 = I21 + I221 + I222 = p
2


Bài tập tích phân mặt
2
I2 = �
zdxdy
+
y
dxdz S là phía ngoài vật thể gh bởi
�
0≤z≤1-x2-y2
S
S là mặt cong kín phía ngoài nên ta sẽ áp dụng CT
Gauss để tính I2 nhanh hơn
CT Gauss:
�
�Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
S

= ��
)dxdydz
�
�(Px�+ Qy�+ Rz�
V

Ta có:
I2 = +�
�
�(0 + 2y +1)dxdydz
V


Bài tập tích phân mặt
I2 = +�
�
�(0 + 2y +1)dxdydz
V

I2 =

1- x 2 - y 2

�
� dxdy

x 2 +y 2 �1

2p

1

0

0

� (2y +1)dz
0

I2 = �dj �r (2r sin j +1)(1- r 2 )dr
p
I2 =
2


Bài tập tích phân mặt
2
2
I3 = �
y
dzdx
+
x
dydz - zdxdy S là phía dưới nửa
�
mặt cầu x2+y2+z2=4,
S
z≥0

Nhận xét: Pt mặt S chẵn với
2 biến x, y nên khi tính tp
theo dydz, dzdx ta sẽ chia S
thành 2 nửa đối xứng có 2
pháp vecto tương ứng
ngược dấu nhau. Vậy mỗi tp

đó trở thành tổng 2 tp kép
có miền lấy tp như nhau,
hàm dưới dấu tp như nhau
nhưng trái dấu nhau.


Bài tập tích phân mặt
2
y
Từ đó ta được: I31 = �
� dxdz = 0
S

2
I32 = �
x
� dydz = 0
S

Còn lại tp thứ ba: I33 = - �
�zdydx
S

Pt mặt S (z dương): z = 4 - x 2 - y 2
Hình chiếu Dxy: x2+y2≤4
S là phía dưới tức là pháp vecto quay xuống dưới
so với nửa dương trục Oz nên γ≥π/2 → cosγ≤0
2
2
16p

Vậy: I = I = 4
x
y
dxdy
=
�
�
3
31
3
x 2 +y 2 �4


Bài tập tích phân mặt
I4 = �
�( y - z )dydz + (z - x )dzdx + ( x - y )dxdy
S

S là phía ngoài phần mặt nón x2+y2=z2, 0≤z≤1
Ta viết lại pt mặt S:

F ( x, y , z ) = x 2 + y 2 - z(= 0)

� x
y
�
�F = �
,
,�
�

� x2 + y 2 x2 + y 2
S là phía ngoài nón tức là
pháp vecto quay xuống
dưới, cosγ≤0 nên
u
r
1 �
x
y
�
n =+ �
,
,�
2�
� x2 + y 2 x2 + y 2

�
�
1�
�
�
�
�

�
�
1�
�
�
�

�


Bài tập tích phân mặt
Đưa tp I4 về tp mặt loại 1 với
�
u
r
1 � x
y
n =+ �
,
,�
2
2
2
2
2�
x +y
�x +y

�
�
1�
�
�
�
�

I4 = �

�( y - z )dydz + (z - x )dzdx + ( x - y )dxdy
S

�
�
1
x
y
�
I4 =
(
y
z
)
+
(
z
x
)
+
(
1)(
x
y
)
�
��
�
2
2

2
2
2 S �
x +y
x +y
�
�
�
�
�
�
1
- xz + yz
�
�
I4 =
+
(
1)(
x
y
)
ds
�
�� 2
�
2 S �x + y 2
�
�
�

1
I4 =
2( y - x ) 2dxdy = 0
�
�
2 x 2 +y 2 �1


Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
Tính diện tích miền D giới hạn bởi
1. x=y2-2y, x+y=0
2. y2=10x+25, y2=-6x+9
3. y=lnx, x=y+1, y=-1
4. y=4x-x2, y=2x2-5x
5. y2=4-4x, x2+y2=4 (phía ngoài parabol)
Giải:
Nhắc lại công thức

S (D ) = �
�dxdy
D


Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
1. Ta tìm cận tích phân theo dy bằng cách khử x từ
2 phương trình 2 mặt
x=y2-2y=-y (1) ↔ y2-y=0 ↔ y=0, y=1
Từ đó suy ra 0≤y≤1, ta lấy ngược lại phương trình 1
để được tiếp cận đối với tích phân theo dx
y2-2y ≤x ≤ -y

1

Vậy : S(D1) = dy
�
0

- y

1

1
dx = ( y - y )dy =
�
�
6
2
y - 2y
0
2


Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
2. Khử x từ 2 phương trình đã cho
1 2
1
2
( y - 25) = (9 - y ) (1) � y = � 15
10
6
Suy ra cận tích phân theo dy, tương tự như trên, ta

thay vào phương trình (1) để có cận tích phân theo dx
Vậy :
15

S(D2) =
-

1
(9- y 2 )
6

�dy �
15

1 2
( y - 25)
10

15

1
16 15
2
dx = � (120 - 8 y )dy =
30
3
- 15


Bài tập phần UD hình học của tích phân kép

3. Ta sẽ vẽ miền D3 để xác định cận tích phân
ey

0

1

y +1

y=
l

- 1

nx

S(D3 ) = �
dy �
dx
-1

1 1
S(D3 ) = 2 e

4. Tìm giao điểm 2 đường giới hạn D
4x-x2=2x2-5x ↔ 0=3x2-9x ↔ x=0, x=3
Suy ra : 0≤x ≤3 ↔ 0 ≤3x2-9x ↔ 4x-x2 ≤2x2-5x
3

S(D4 ) = �

dx
0

2 x2- 5 x

� dy

4 x- x 2

=27/2


Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
5. Tìm giao điểm của 2 đường đã cho
4-4x=4-x2 ↔ x2-4x=0 ↔ x=0, x=4 (Loại vì y2=4-4x<0)
Ta vẽ hình để có cận tích phân theo dx
4- y 2

2

S(D5 ) = �
dy
- 2

�dx

2
y
1-

2

4

1

8
S(D5 ) = 2p 3
-2


Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
Bài 1: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi 2 mặt
1. V1: x2+y2+z2=2, z2=x2+y2, z≥0
2. V2: x2+y2+z2=4, x2+y2=2x, phần trong hình trụ
3. V3: x2+y2=1, x2+z2=1
3a. V3a: y2+z2-x2=0, x=6-y2-z2
Ta sẽ tìm hình chiếu của vật thể xuống mặt phẳng
z=0 (x=0, y=0) bằng cách khử z ( khử x, khử y) từ 2
phương trình 2 mặt tạo nên vật thể


Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
1. z2 = 2-x2-y2=x2+y2 ↔ 1= x2+y2
Như vậy, hình chiếu của V1 xuống mp z=0 là hình tròn
x2+y2 ≤1 ↔ x2+y2 ≤2-x2-y2. (Làm ngược lại với pt trên)
Tức là ta cũng xác định được mặt nằm trên, nằm dưới
trong miền V1.
2
2

2
2
Vậy : V1 = �
[(2
x
y
)
(
x
+
y
)]dxdy
�
x 2 +y 2 �1

Vì miền lấy tích phân là hình tròn có tâm là gốc tọa độ
nên ta sẽ đổi biến tp trên sang tọa độ cực bằng cách
đặt x=rcosφ, y=rsinφ
2p

1

1

p
4
3
V1 = �
dj �
r (2 - 2r )dr = 2p(r r ) =

4
2
0
0
0
2

2


Bài tập phần UD hình học của tích phân kép

1

0≤φ≤2π 0≤r ≤1


Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
2. Trong 2 mặt đã cho có 1 mặt trụ kín nên hình
chiếu chính là hình tròn x2+y2≤2x
2 mặt còn lại là nửa dương và nửa âm của mặt cầu.
Vì cả 2 mặt đã cho đều nhận z=0 là mặt đối xứng
nên ta sẽ tính thể tích nửa phía trên và nhân đôi

�
�

V2 = 2

4 - x 2 - y 2dxdy

x 2 +y 2 �2 x

Miền lấy tp là hình tròn đi qua gốc tọa độ nên ta đổi
biến bằng cách đặt x=rcosφ, y=rsinφ
p

2

V2 = 2 �dj
-p

2

2cos j

�r
0

2

4 - r dr


Bài tập phần UD hình học của tích phân kép

2

-π/2≤φ≤π/2

0 ≤r ≤2cos φ


Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
3. Vật thể giới hạn bởi 2 hình trụ kín nên ta có thể
chọn 1 trong 2 hình trụ đó để chiếu xuống mặt z=0
hoặc y=0. Chẳng hạn, ta chọn chiếu xuống mặt z=0
để hình chiếu là hình tròn D: x2+y2≤1
Cả 2 hình trụ tạo nên V3 đều nhận cả 3 mặt tọa độ là
các mặt đối xứng nên ta sẽ chỉ tính thể tích V3 phần
ứng với x, y, z ≥ 0 rồi nhân với 8
Khi đó, hình chiếu chỉ còn là ¼ hình tròn với x, y ≥ 0
và giới hạn bởi 0 �z � 1- x 2
p

V3 = 8

�
�

x 2 +y 2 �1,x�0,y �0

4

1- x 2dxdy = 8 �
dj
0

1

�r
0

2

2

1- r cos j dr


Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
p

4

1

3
- 1
2
2
2
V3 = 8 �
dj (
(1
r
cos
j
)
2

3cos
j
0
0
p

4

3
- 1
2
2
V3 = 8 �
dj (
((1
cos
j
)
- 1)
2
3cos j
0
p

4

- 1
3
V3 = 8 �
dj (

(sin
j - 1))
2
3 cos j
0
Ghi chú: Hình vẽ cho 1/8 thể tích đã có trong bài
giảng lý thuyết