Nghiên cứu tính toán nội lực và chuyển vị của dầm trên nền đàn hồi bằng phương pháp phần tử biên (tt)

NGUYỄN THẾ THỊNH – KHÓA 2015- 2017, CHUYÊN NGÀNH KỸ THUẬT XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH DD&CN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BỘ XÂY DỰNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI

NGUYỄN THẾ THỊNH

NGHIÊN CỨU TÍNH NỘI LỰC VÀ
CHUYỂN VỊ CỦA DẦM TRÊN NỀN
ĐÀN HỒI BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ BIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ: KỸ THUẬT XÂY DỰNG
CÔNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP

Hà Nội - 2017


LỜI CẢM ƠN
Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả luận văn đã
nhận được sự quan tâm giúp đỡ và tạo điều kiện của các Thầy - Cô giảng
viên, gia đình, đồng nghiệp và bạn bè.
Tác giả luận văn xin trân trọng cảm ơn các Thầy - Cô giảng viên của
trường Đại học Kiến Trúc Hà Nội đã nhiệt tình giúp đỡ và tạo điều kiện
thuận lợi cho tác giả nghiên cứu và thực hiện luận văn này.
Đặc biệt, tác giả xin được bày tỏ sự biết ơn sâu sắc và trân trọng đến TS.
Vũ Thị Bích Quyên và TS. Đỗ Xuân Tùng, là những người đã hướng dẫn tác
giả có một định hướng toàn diện, xuyên suốt quá trình nghiên cứu và hoàn

thiện luận văn.
Tuy nhiên do trình độ và kiến thức còn hạn chế nên luận văn không thể
tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong thầy cô và các bạn giúp đỡ để đề tài
luận văn này được hoàn thiện.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, ngày tháng năm 2017
Tác giả

Nguyễn Thế Thịnh


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Luận văn thạc sĩ là công trình nghiên cứu khoa học
độc lập của tôi. Các số liệu khoa học, kết quả nghiên cứu của Luận văn là
trung thực nguồn gốc rõ ràng.

TÁC GIẢ LUẬN VĂN

Nguyễn Thế Thịnh


MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
DANH MỤC CÁC BẢNG
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
MỞ ĐẦU ……………………………………………………… .................. ………1

NỘI DUNG NGHIÊN CƯU .................................................................................. 3
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH DẦM TRÊN
NỀN ĐÀN HỒI ....................................................................................... 3
1.1. Khái niệm và một số giả thiết ............................................................. 3
1.2 Mô hình nền đàn hồi tuyến tính: ......................................................... 8
1.2.1 Mô hình nền Winkler........................................................................ 8
1.2.2 Mô hình bán không gian biến dạng tuyến tính .................................10
1.3. Phương trình vi phân đường đàn hồi :................................................10
1.4 Các phương pháp tính dầm trên nền đàn hồi .......................................13
1.4.1. Các phương pháp giải tích ..............................................................14
1.4.2. Các phương pháp số .......................................................................28
1.5 Giới thiệu phương pháp phần tử biên..................................................31
CHƯƠNG 2. XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TÍNH
DẦM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ
BIÊN .......................................................................................................33
2.1. Phương trình vi phân biến dạng dầm trên nền đàn hồi : .....................33
2.2 Xây dựng trình tự tính toán dầm trên nền đàn hồi bằng phương
pháp phần tử biên ..........................................................................38
2.2.1 Thiết lập điều kiện biên ...................................................................38
2.2.2 Thiết lập trình tự giải .......................................................................39
2.3 Áp dụng phần mềm Matlab tính dầm .................................................42


2.4. Xây dựng các phần tử mẫu, thiết lập sơ đồ khối và lập trình
bằng Matlab: .................................................................................43
2.4.2. Thiết lập sơ đồ khối ........................................................................48
2.4.3. Xây dựng các ma trận phần tử mẫu bằng các hàm Matlab: .............49
CHƯƠNG 3: VÍ DỤ TÍNH TOÁN ................................................................52
3.1 Ví dụ 1: ..............................................................................................52
3.2 Ví dụ 2: ..............................................................................................61

3.3 Ví dụ 3: ..............................................................................................66
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ..............................................................................80
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

A

: Diện tích tiết diện ngang

Ae

: Ma trận hỗn hợp của phần tử

B

: Bề rộng dầm

dy
dx

: Đạo hàm bậc nhất hay hệ số góc của đường đàn hồi

E

: Môđun đàn hồi của vật liệu

h

: Chiều cao tiết diện dầm, tấm

J

: Mô men quán tính của tiết diện

k

: Hệ số nền

l

: Nhịp dầm

m

: Khối lượng

Mz , M : Mômen uốn của dầm phẳng
q

: Tải trọng phân bố

P

: Tải trọng tập trung

Qy, Q : Lực cắt trong dầm phẳng
r

: Chuyển vị tổng quát

y

: Chuyển vị của trục dầm hay đường đàn hồi của dầm.

Φ

: Góc xoay của trục dầm hay đường đàn hồi dầm

Z

: Ký hiệu phiếm hàm.

{X}

: Véc tơ nội lực, biến dạng nút của phần tử thanh chịu uốn.



: Ký hiệu biến phân.



: Biến dạng dài tương đối.

 x ,

: ứng suất pháp theo phương Ox.

y

: ứng suất pháp theo phương Oy.

 , xy

: ứng suất tiếp.


s

: Chiều dài đặc trưng của dầm.

BĐ

: Biểu đồ

TT

: Tập trung

PTHH : Phần tử hữu hạn
PTB

: phần tử biên

BKG : bán không gian

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Số hiệu hình

Tên hình

Hình 1.1.

Mô hình dầm trên nền đàn hồi

Hình 1.2.

Kết cấu móng băng

Hình 1.3.

Kết cấu giằng móng

Hình 1.4.

Tà vẹt

Hình 1.5.

Tường rào

Hình 1.6.

Mô hình tính toán dầm trên nền đàn hồi

Hình 1.7.

Mô hình nền Winkler

Hình 1.8.

Mô hình dầm thực tế và mô hình hóa nền biến dạng đàn hồi

Hình 1.9.

Biểu đồ thể hiện nghiệm dưới dạng các hàm Hyperbolic để
phân tích chuyển vị của kết cấu

Hình 1.10.

Các biểu đồ Y, θ, M, Q khi dầm dài vô hạn chịu tải trọng
tập trung

Hình 1.11.

Mô hình tính dầm dài vô hạn chịu mô men tập trung


Hình 1.12.

Mô hình tính dầm dài vô hạn chịu tải trọng phân bố đều

Hình 1.13.

Mô hình tính dầm dài nửa vô hạn chịu lực tập trung và
mômen

Hình 1.14.

Mô hình dầm ngắn trên nền đàn hồi

Hình 1.15.

Dầm ngắn bị gia tải trên một số đoạn bất kỳ

Hình 1.16.

Mô hình tính toán dầm theo phương pháp của GS. Jemôskin

Hình 1.17.

Mô hình lưới sai phân

Hình 1.18.

Một ví dụ về cách chia phần tử trong phương pháp PTHH

Hình 1.19.

Mô hình phương pháp phần tử biên

Hình 2.1.

Dầm trên nền đàn hồi chịu đồng thời lực tập trung, mô
men, lực phân bố

Hình 2.2.

Điều kiện biên tại các nút điển hình

Hình 2.3.

Sơ đồ đánh số phần tử và chỉ số ghép nối của dầm ghép

Hình 2.4.

Điều kiện biên dầm hai đầu tự do


Hình 2.5.

Điều kiện biên dầm một đầu ngàm, một đầu tự do

Hình 2.6.

Điều kiện biên dầm một đầu tự do, một đầu khớp

Hình 2.7.

Điều kiện biên dầm hai đầu ngàm

Hình 2.8.

Điều kiện biên dầm một đầu ngàm, một đầu khớp

Hình 2.9.

Điều kiện biên dầm hai đầu khớp

Hình 3.1.

Sơ đồ dầm trên nền đàn hồi chịu lực ví dụ 1

Hình 3.2.

Sơ đồ phần tử, tọa độ các điểm đặt lực trong ví dụ 1

Hình 3.3.

Biểu đồ y, φ, M, Q theo phương pháp giải tích trong ví dụ 1

Hình 3.4.

Hình 3.4. Biểu đồ Y, Φ, M, Q theo phương pháp phần tử
biên trong ví dụ 1

Hình 3.5

Sơ đồ dầm trên nền đàn hồi chịu lực ví dụ 2

Hình 3.6.

Sơ đồ nút, phần tử dầm và tọa độ các điểm đặt lực ví dụ 2

Hình 3.7.

Biểu đồ độ võng của dầm ví dụ 2

Hình 3.8.

Biểu đồ góc xoay của dầm ví dụ 2


Hình 3.9.

Biểu đồ mô men uốn của dầm ví dụ 2

Hình 3.10.

Biểu đồ lực cắt của dầm ví dụ 2

Hình 3.11.

Sơ đồ dầm trên nền đàn hồi chịu lực ví dụ 3

Hình 3.12.

Sơ đồ nút, phần tử dầm và tọa độ các điểm đặt lực ví dụ 3

Hình 3.13.

Biểu đồ chuyển vị của toàn bộ dầm trong ví dụ 3

Hình 3.14.

Biểu đồ góc xoay của toàn bộ dầm trong ví dụ 3

Hình 3.15.

Biểu đồ mô men của toàn bộ dầm trong ví dụ 3

Hình 3.16.

Biểu đồ lực cắt của toàn bộ dầm trong ví dụ 3


DANH MỤC CÁC BẢNG

Số hiệu bảng

Tên bảng
Bảng thống kê kết quả chuyển vị, góc xoay, mô men, lực cắt

Bảng 3.1.

tại các vị trí bất kỳ trên dầm ví dụ 1 theo hai phương pháp
giải tích và phần tử biên

Bảng 3.2.

Bảng kết quả chuyển vị, góc xoay, mô men, lực cắt tại các vị
trí bất kỳ trên dầm ví dụ 2


1

MỞ ĐẦU
Tên đề tài
Nghiên cứu tính nội lực và chuyển vị của dầm trên nền đàn hồi
bằng phương pháp phần tử biên.
Lý do chọn đề tài
Dầm trên nền đàn hồi là kết cấu được sử dụng phổ biến trong xây dựng
công trình, giao thông, thủy lợi. Các mô hình dầm trên nền đàn hồi được xây
dựng trên cơ sở giả thiết về tương tác giữa dầm và đất nền. Bài toán dầm trên
nền đàn hồi là một bài toán siêu tĩnh đặc biệt, trong đó phản lực nền là một hệ
lực phân bố liên tục phụ thuộc vào biến dạng của dầm và quan niệm về mô
hình nền. Trong phương trình vi phân độ võng của dầm trên nền đàn hồi
ngoài yếu tố tải trọng tác dụng còn có thêm đặc trưng của đất nền. Điều này
dẫn đến việc tìm nghiệm giải tích tường minh trong bài toán dầm trên nền đàn
hồi tương đối phức tạp và chỉ thực hiện được cho một số trường hợp đơn giản.
Với các bài toán phức tạp, thông thường cần sử dụng phương pháp số. Các
phương pháp số phổ biến nhất hiện nay là phần tử hữu hạn (FEM), sai phân
hữu hạn (FDM) cho phép giải bài toán dầm trền nền đàn hồi bất kỳ và cho kết
quả gần đúng tại nút của phần tử. Phương pháp phần tử biên (BEM) [1] là
phương pháp giải tích số được xây dựng trên cơ sở lời giải phương trình tích
phân biên, cho phép xác định nghiệm là các hàm chuyển vị và nội lực dọc
theo trục thanh, nhưng còn ít được sử dụng tại Việt Nam.
Do đó tác giả chọn đề tài nghiên cứu “Nghiên cứu tính nội lực và chuyển
vị của dầm trên nền đàn hồi bằng phương pháp phần tử biên”.
Mục đích nghiên cứu:
Nghiên cứu phương pháp tính nội lực và chuyển vị của dầm trên nền
đàn hồi bằng phương pháp phần tử biên.


2

Đối tượng và Phạm vi nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu: Dầm trên nền đàn hồi chịu tải trọng tĩnh và có
điều kiện biên bất kỳ.
Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu tính toán dầm có chiều dài hữu hạn đặt
trên nền chịu tải trọng tĩnh có điều kiện biên bất kỳ, làm việc trong giai đoạn
đoạn đàn hồi, trên cơ sở các thông số nền đã biết.
Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý thuyết. Nghiên cứu các mô hình tính dầm
trên nền đàn hồi. Phân tích các phương pháp tính để lựa chọn phương pháp
phù hợp. Trên cơ sở phương pháp phần tử biên được lựa chọn xây dựng bài
toán và thuật toán giải. Sử dụng các phần mềm ứng dụng (Matlab) lập trình
giải các bài toán đã xây dựng.
Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề xuất một phương pháp tính toán và xác định phương trình trạng thái
của dầm chịu tải trọng tĩnh có điều kiện biên bất kỳ.
Các kết quả nghiên cứu có thể áp dụng trong việc thiết kế tính toán kết
cấu công trình (đặc biệt trong bài toán xác định sơ đồ biến dạng của kết cấu)


THÔNG BÁO
Để xem được phần chính văn của tài liệu này, vui
lòng liên hệ với Trung Tâm Thông tin Thư viện
– Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội.
Địa chỉ: T.13 – Nhà H – Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội
Đ/c: Km 10 – Nguyễn Trãi – Thanh Xuân Hà Nội.
Email:

TRUNG TÂM THÔNG TIN THƯ VIỆN

80

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
I. KẾT LUẬN
Trong luận văn, tác giả đã tìm hiểu về lý thuyết và các mô hình tính,
các phương pháp giải tích và số tính nội lực và chuyển dầm trên nền đàn đàn
hồi chịu tải trọng tĩnh. Trên cơ sở đó lựa chọn phương pháp phần tử biên tính
nội lực và chuyển vị dầm theo mô hình nền một thông số Winkle.
Trong luận văn, tác giả sử dụng các hàm gián đoạn tải trọng, xây dựng
lời giải phương trình vi phân dầm trên nền đàn hồi theo mô hình Winkle. Từ
đó thiết lập hệ phương trình đại số tính nội lực và chuyển vị dầm theo phương
pháp phần tử biên.
Trong luận văn, tác giả đã xây dựng sơ đồ và thuật toán giải hệ phương
trình xác định các thông số biên của dầm trên nền đàn hồi. Tác giả đã thực
hiện các ví dụ tính nội lực và chuyển vị cho hệ thanh dầm trên nền đàn hồi với
các điều kiện biên khác nhau. Các ví dụ tính toán được thực hiện với sự trợ
giúp của phần mềm lập trình Matlab.
Trên cơ sở kết quả nhận được từ các ví dụ đã thực hiện có thể đưa ra
một số nhận xét sau:
 Các kết quả tính bằng phương pháp phần tử biên hoàn toàn trùng
khớp với kết quả tính bằng phương pháp giải tích. Không giống như những
phương pháp số khác chỉ cho kết quả là các thông số nội lực và chuyển vị tại
nút, phương pháp phần tử biên cho kết quả là các hàm trạng thái.
 Trình tự giải bài toán bằng phương pháp phần tử biên có sự tương
đồng với phương pháp phần tử hữu hạn. Khác với phương pháp phần tử hữu
hạn trong phương pháp phần tử biên các ma trận trong phương trình không
đối xứng và khi giải bằng phương pháp phần tử biên yêu cầu một số thủ thuật
về mặt toán học khi xây dựng phương trình giải.
II. KIẾN NGHỊ
Sử dụng phương pháp phần tử biên xây dựng phương trình giải cho dầm

trên nền đàn hồi theo các mô hình khác..


TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt:
1. Dương Văn Thứ, Nguyễn Ngọc Oanh. Cơ học môi trường liên tục. Nhà
xuất bản từ điển bách khoa, Hà Nội 2007.
2. Đào Huy Bích. Lý thuyết đàn hồi. Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà
Nội, Hà Nội 2000.
3. Đào Huy Bích, Phạm Huyễn, Phạm Hữu Vinh. Giáo trình cơ học lý
thuyết. Tủ sách Đại học Tổng hợp, Hà Nội 1997.
4. Phan Hồng Quân. Nền và móng. Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, Hà
Nội 2009.
5. Phan Thanh Điệp. Tính toán nội lực và chuyển vị của dầm chịu uốn có
xét đến biến dạng trượt theo phương pháp PTHH; Luận văn thạc sỹ, Trường
Đại học Kiến trúc Hà Nội, năm 2012.
6. Lê Ngọc Hồng. Sức bền vật liệu. Nhà xuất bản khoa học kỹ thuật, Hà
Nội 2011.
7. Lều Thọ Trình, Hồ Anh Tuấn. Cơ học kết cấu tập 1, tập 2, tập 3. Nhà
xuất bản Đại học và trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 2006.
8. Nhữ Phương Mai. Lý thuyến đàn hồi. Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam,
Hà Nội 2009.
9. Nguyễn Đình Trí, chủ biên. Toán học cao cấp tập một, tập hai và tập ba.
Nhà xuất bản giáo dục, Hà Nội.
10. Nguyễn Đức Nguôn. Địa kỹ thuật trong xây dựng công trình ngầm dân
dụng và công nghiệp . Nhà xuất bản xây dựng, Hà Nội 2011.
11. Trần Đức Văn. Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng. Nhà xuất
bản Đại học quốc gia, Hà Nội 2005.
12. Nguyễn Hoài Sơn, Đỗ Thanh Việt, Bùi Xuân Lâm. Ứng dụng MATLAB
trong tính toán kỹ thuật. Nhà xuất bản Đại học quốc gia TPHCM, 2000.

13. Nguyễn Mạnh Yên. Phương pháp số trong cơ học kết cấu. Nhà xuất
bản Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội 2000.
14. Nguyễn Trâm. Phương pháp số. Tủ sách sau đại học, Trường đại học
xây dựng Hà Nội, Hà Nội 2000.
15. Nguyễn Văn Đạo. Cơ học giải tích. Nhà xuất bản Đại học Quốc gia
Hà Nội, 2001.
16. Nguyễn Văn Quảng, Nguyễn Hữu Kháng, Uông Đình Chất. Nền và móng
các công trình Dân Dụng và Công Nghiệp. Nhà xuất bản Xây dựng, Hà Nội 2000.
17. Vũ Đình Lai, Nguyễn Xuân Lựu, Bùi Đình Nghi. Sức bền vật liệu,
Nhà xuất bản giao thông vận tải, Hà Nội 2000.
18. Vũ Thị Bích Quyên , “Phương pháp phần tử biên giải bài toán tĩnh
hệ thanh biến dạng đàn hồi”, Tập 2 - Tuyển tập Hội nghị Khoa học toàn quốc
Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ 12, Đà nẵng 2015.
19. Vũ Thanh Thủy. Nghiên cứu chuyển vị và nội lực của dầm xét biến dạng
trượt. Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội, Luận án tiến sĩ, 2010.
20. X.P. Timosenko và X.Vôinôpki - Krige. Tấm và vỏ. Phạm Hồng
Giang, Vũ Thanh Hải, Nguyễn Khải, Đoàn Hữu Quang dịch. Nhà xuất bản
Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội 1976.
Tiếng Anh
21. Bathe Klaus Jỹrgen. Finite Element Procedures. Prentice-Hall,
International, Inc. 1996.
22. Bean P. J., Schulz A. E., Drake C. R. (2007). “Behaviour of Slender,
Post tensioned Masonry Walls under Transverse Loading”. ASCE Journal of
Structural Engineering, 133(11), pp 1541-1555.
23. CEN - EN 1996-1-1 (2005) Eurocode 6: “Design of masonry
structures. Part 1-1: General rules for reinforced and unreinforced masonry
structures”.

24. Edward Tsudik, Analysis of Structures on elastic foundations, U.S.A,
2013.
25. Iancu-Bogdan Teodoru, Analysis of beams on elastic foundation, The
finite defferences approach, Gheorghe Asachi Technical University, 2016.
26. Miklos Hetenyi, Beams on elastic foundation, Theory with
Applications in the fields of civil and mechanical engineering, Oxford
university press, 1946.
27. Owen D.R.J & Hinton E. Finite elements in plasticity - Theory and
practice. Pineridge Press Limited Swansea, UK.
28. P.K. Banerjee and R. Butterfield , Boundary Element Methods in
Engineering Science, McGraw-Hill Book Company (UK) Limited 1981.
29. S.Timoshenko, Strength of Materials, Part I + II, D.Van Nostrand
company, London, New York 1947.
30. Wilson Edward L. Professor Emeritus of Structural Engineering
University of California at Berkeley. Three-Dimensional Static and Dynamic
Analysis of Structures. Computers and Structures, Inc. Berkeley, California,
USA. Third Edition, Reprint January 2002.
Tiếng Nga:
30. В. А. Баженов, В. Ф. Оробей, А. Ф. Дащенко, Л. В. Коломиец,
Специальный курс. Применение метода граничных элементов. Одесса,
2004.
31. Лазарян В.А., Конашенко С.И. Обобщенные функции в
задачах механики, Киев.: Наукова думка, 1974. – 191с.
32. Масленников А.М., Расчет строительных конструкций
численными методами, Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1987. – 225с.


PHỤ LỤC
Phụ lục 1: Lập trình Matlab giải bài toán ví dụ 1:

Phương pháp giải tích:
A =
B =
C =
D =
end

function [A, B, C, D] = hs_gt(alpha,x)
cosh(alpha*x)*cos(alpha*x);
(cosh(alpha*x)*sin(alpha*x)+sinh(alpha*x)*cos(alpha*x))./2;
(sinh(alpha*x)*sin(alpha*x))./2;
(cosh(alpha*x)*sin(alpha*x)-sinh(alpha*x)*cos(alpha*x))./4;

%% Vi du giai tich
close all, clear all, clc
% Input
b=1.2; h=0.6; E=1.5*10^7;k0=5000; k1=k0*b;l=10;q=0;Mo=0;
P=200; m=0; l1=4; n=0; k=0;
% Tinh cac thong so dau
I=(b*h^3)/12;
EI=I*E;
alpha=(k1/(4*EI))^(1/4)
% Tinh cac he so A,B,C,D
[A1 B1 C1 D1] = hs_gt(alpha,l);
[A2 B2 C2 D2] = hs_gt(alpha,(l-l1));
% Tim y0, Phi0
syms Phi0 y0
MLL = 4*alpha^2*C1*EI*y0 + 4*alpha*D1*EI*Phi0 - (P/alpha)*B2;
QLL = 4*alpha^3*B1*EI*y0 + 4*alpha^2*C1*EI*Phi0 - P*A2;
MLL=vpa(MLL,4)

QLL=vpa(QLL,4)
[Phi0,y0] = solve(MLL,QLL,y0,Phi0);
y0=vpa(y0,4);
Phi0=vpa(Phi0,4);
y0=double(y0)
Phi0=double(Phi0)
% Chay toa do x khac nhau
j=1;
for i=1:(l+1)
z=i-1;
%get constants
[A1, B1, C1, D1] = hs_gt(alpha,z);
%tinh Y1,Phi1,M1, Q1
Y1
= A1*y0 + (1/alpha)*B1*Phi0;
Phi1 = -4*alpha*D1*y0 + A1*Phi0;
M1
= 4*alpha^2*C1*EI*y0 + 4*alpha*D1*EI*Phi0;
Q1
= 4*alpha^3*B1*EI*y0 + 4*alpha^2*C1*EI*Phi0;
if z<=l1
Yx(j)
= Y1;
Phix(j)
= Phi1
Mx(j)
= M1;
Qx(j)
= Q1;
else

%get constants A2-D2
[A2, B2, C2, D2] = hs_gt(alpha,z-l1);
%--Yx(j) = Y1
+ (P*D2)/(EI*alpha^3);


Phix(j)= Phi1 + (P*C2)/(EI*alpha^2);
Mx(j) = M1
- (P/alpha)*B2;
Qx(j) = Q1
- (P*A2);
end
j=j+1;
end
Result=[Yx' Phix' Mx' Qx']
%% Ve do thi
%ve dam
aa=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];
%-----figure (5)
% Bieu do Chuyen vi Y(x)
ax1=subplot(2,2,1);
hold on
plot(0:1:l,aa,'-k','LineWidth',1.5)
plot(0:1:l,Yx,'-r','LineWidth',3)
xlabel('Do dai dam (m)');
ylabel('Chuyen vi dam (y)')
xlim([0 10])
grid on
% Bieu do Phi(x)
ax2=subplot(2,2,2);

hold on
plot(0:1:l,aa,'-k','LineWidth',1.5)
plot(0:1:l,Phix,'-b','LineWidth',3)
xlabel('Do dai dam (m)');
ylabel('Goc xoay (Phi))')
xlim([0 10])
grid on
% Bieu do mo men M(x)
ax3=subplot(2,2,3);
hold on
plot(0:1:l,aa,'-k','LineWidth',1.5)
plot(0:1:l,Mx,'-g','LineWidth',3)
xlabel('Do dai dam (m)');
ylabel('Mo men (M)')
xlim([0 10])
grid on
% Bieu do luc cat Q(x)
%figure (1)
ax4=subplot(2,2,4);
hold on
aaa=[l1 l1]
Qx=[Qx Qx(end)]
plot(0:1:l,aa,'-k','LineWidth',1.5)
plot(0:1:l1,Qx(1:l1+1),'-m','LineWidth',3)
plot(aaa,Qx(l1+1:l1+2),'-m','LineWidth',3)
plot(l1:1:l,Qx(l1+2:end),'-m','LineWidth',3)
xlim([0 10])
grid on

Phương pháp phần tử biên:
function y = ff(ind,alpha,x,a,ref)
if ref==1
if xx=0;
else x=x-a;
end
if ind==1
y = cosh(alpha*x)*cos(alpha*x);
else
if ind==2
y = (cosh(alpha*x)*sin(alpha*x)+sinh(alpha*x)*cos(alpha*x))./2;
else
if ind==3
y = (sinh(alpha*x)*sin(alpha*x))./2;
else
y = (cosh(alpha*x)*sin(alpha*x)sinh(alpha*x)*cos(alpha*x))./4;
end
end
end
else
if xy=0;
else
x=x-a;
if ind==1
y = cosh(alpha*x)*cos(alpha*x);
else
if ind==2
y =

(cosh(alpha*x)*sin(alpha*x)+sinh(alpha*x)*cos(alpha*x))./2;
else
if ind==3
y = (sinh(alpha*x)*sin(alpha*x))./2;
else
y = (cosh(alpha*x)*sin(alpha*x)sinh(alpha*x)*cos(alpha*x))./4;
end
end
end
end
end
end
%PHUONG PHAP PHAN TU BIEN (VI DU 1)
%% VD1
%Input
%{
b=1.1; h=0.5; M=3*10^7;k0=50000; k1=k0*b;l=10;q=200;Mo=100;
F=250; m=4; f=1; n=5; k=10;
%}
b=1.2; h=0.6; E=1.5*10^7;k0=5000; k1=k0*b;l=10;q=0;Mo=0;
F=200; m=0; f=4; n=0; k=0;
% Calculate inputs


I=(b*h^3)/12;
EI=I*E;
alpha=(k1/(4*EI))^(1/4);
syms V0 Phi0
ML=4*(alpha^2)*ham_f(3,alpha,l,0)*V0 + 4*alpha*ham_f(4,alpha,l,0)*Phi0 +
ham_f(1,alpha,(l-m),0)*Mo - (ham_f(2,alpha,(l-f),0)/alpha)*F (q/alpha^2)*(ham_f(3,alpha,(l-n),0)-ham_f(3,alpha,(l-k),0));

QL=4*(alpha^3)*ham_f(2,alpha,l,0)*V0 +
4*(alpha^2)*ham_f(3,alpha,l,0)*Phi0 - 4*alpha*ham_f(4,alpha,(l-m),0)*Mo ham_f(1,alpha,(l-f),0)*F - (q/alpha)*(ham_f(2,alpha,(l-n),0) ham_f(2,alpha,(l-k),0));
ML=vpa(ML,4)
QL=vpa(QL,4)
[Phi0, V0]=solve(ML,QL,V0,Phi0);
V0=vpa(V0,4);
Phi0=vpa(Phi0,4);
Phi1=double(V0)
V1=double(Phi0)
for j=1:(l+1)
ll=j-1;
Vx(j) = ff(1,alpha,ll,0,0)*Phi1 + (1/alpha)*(ff(2,alpha,ll,0,0)*V1)
- (1/alpha^2)*(ff(3,alpha,ll,m,0)*Mo) +
(1/alpha^3)*(ff(4,alpha,ll,f,0)*F) - (q/(4*alpha^4))*(ff(1,alpha,ll,n,1)ff(1,alpha,ll,k,1));
Phix(j)= -4*alpha*ff(4,alpha,ll,0,0)*Phi1 + ff(1,alpha,ll,0,0)*V1 (1/alpha)*ff(2,alpha,ll,m,0)*Mo +(1/alpha^2)*ff(3,alpha,ll,f,0)*F +
(q/alpha^3)*(ff(4,alpha,ll,n,1)-ff(4,alpha,ll,k,1));
Mx(j) = (4*alpha^2)*ff(3,alpha,ll,0,0)*Phi1 +
4*alpha*ff(4,alpha,ll,0,0)*V1 + ff(1,alpha,ll,m,0)*Mo (1/alpha)*ff(2,alpha,ll,f,0)*F - (q/alpha^2)*(ff(3,alpha,ll,n,1)ff(3,alpha,ll,k,1));
Qx(j) = (4*alpha^3)*ff(2,alpha,ll,0,0)*Phi1 +
(4*alpha^2)*ff(3,alpha,ll,0,0)*V1 - 4*alpha*ff(4,alpha,ll,m,0)*Mo ff(1,alpha,ll,f,0)*F -(q/alpha)*(ff(2,alpha,ll,n,1)-ff(2,alpha,ll,k,1));
end
Vx=Vx'; Phix=Phix'; Mx=Mx'; Qx=Qx';
Result=[Vx Phix Mx Qx]
a=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];
cc=length(a)
%{
%% Bieu do Chuyen vi Y(x)
figure(1)
hold on
grid on

%plot(0:l,Vx,'-','LineWidth',2)
plot(0:1:l,a,'-k','LineWidth',5)
plot(0:1:l,Vx,'-r','LineWidth',3)
xlabel('Do dai dam (m)');
ylabel('Chuyen vi dam (y)')
xlim([0 11])
%% Bieu do Phi(x)
figure(2)
hold on
grid on
%plot(0:l,Vx,'-','LineWidth',2)
plot(0:1:l,a,'-k','LineWidth',5)
plot(0:1:l,Phix,'-b','LineWidth',3)
xlabel('Do dai dam (m)');


ylabel('Goc xoay (Phi)')
xlim([0 11])
%% Bieu do mo men M(x)
figure(3)
hold on
grid on
%plot(0:l,Vx,'-','LineWidth',2)
plot(0:1:l,a,'-k','LineWidth',5)
plot(0:1:l,Mx,'-g','LineWidth',3)
xlabel('Do dai dam (m)');
ylabel('Mo men (M)')
xlim([0 11])
%% Bieu do luc cat Q(x)
figure(4)

hold on
grid on
%plot(0:l,Vx,'-','LineWidth',2)
plot(0:1:l,a,'-k','LineWidth',5)
plot(0:1:l,Qx,'-m','LineWidth',3)
xlabel('Do dai dam (m)');
ylabel('Luc cat (Q)')
xlim([0 11])
%}
%% Ve do thi
figure (5)
% Bieu do Chuyen vi Y(x)
ax1=subplot(2,2,1)
hold on
plot(0:1:l,a,'-k','LineWidth',1.5)
plot(0:1:l,Vx,'-r','LineWidth',3)
xlabel('Do dai dam (m)');
ylabel('Chuyen vi dam (y)')
xlim([0 10])
grid on
%grid minor
% Bieu do Phi(x)
ax2=subplot(2,2,2)
hold on
plot(0:1:l,a,'-k','LineWidth',1.5)
plot(0:1:l,Phix,'-b','LineWidth',3)
xlabel('Do dai dam (m)');
ylabel('Goc xoay (Phi))')
xlim([0 10])
grid on

%grid minor
% Bieu do mo men M(x)
ax3=subplot(2,2,3)
hold on
plot(0:1:l,a,'-k','LineWidth',1.5)
plot(0:1:l,Mx,'-g','LineWidth',3)
xlabel('Do dai dam (m)');
ylabel('Mo men (M)')
xlim([0 10])
grid on
%grid minor
% Bieu do luc cat Q(x)
ax4=subplot(2,2,4)
hold on


aa=[f-1 f-1]
Qx=[Qx; Qx(end)]
plot(0:1:l,a,'-k','LineWidth',1.5)
plot(0:1:f-1,Qx(1:f),'-m','LineWidth',3)
plot(aa,Qx(f:f+1),'-m','LineWidth',3)
plot(f-1:1:l,Qx(f+1:end),'-m','LineWidth',3)
xlabel('Do dai dam (m)');
ylabel('Luc cat (Q))')
xlim([0 10])
grid on
%grid minor

Phụ lục 2: Lập trình Matlab giải bài toán ví dụ 2:
%% VD2

%Input
%{
b=1.1; h=0.5; M=3*10^7;k0=50000; k1=k0*b;l=10;q=200;Mo=100;
F=250; m=4; f=1; n=5; k=10;
%}
b=1.1; h=0.5; E=3*10^7;k0=50000; k1=k0*b;l=11;q=200;Mo=100;
F=250; m=4; f=1; n=5; k=10;
% Calculate inputs
I=(b*h^3)/12;
EI=I*E;
alpha=(k1/(4*EI))^(1/4)
syms V0 Phi0
ML=4*(alpha^2)*ham_f(3,alpha,l,0)*V0 + 4*alpha*ham_f(4,alpha,l,0)*Phi0 +
ham_f(1,alpha,(l-m),0)*Mo - (ham_f(2,alpha,(l-f),0)/alpha)*F (q/alpha^2)*(ham_f(3,alpha,(l-n),0)-ham_f(3,alpha,(l-k),0));
QL=4*(alpha^3)*ham_f(2,alpha,l,0)*V0 +
4*(alpha^2)*ham_f(3,alpha,l,0)*Phi0 - 4*alpha*ham_f(4,alpha,(l-m),0)*Mo ham_f(1,alpha,(l-f),0)*F - (q/alpha)*(ham_f(2,alpha,(l-n),0) ham_f(2,alpha,(l-k),0));
ML=vpa(ML,4)
QL=vpa(QL,4)
[Phi0, V0]=solve(ML,QL,V0,Phi0);
V0=vpa(V0,4);
Phi0=vpa(Phi0,4);
Phi1=double(V0)
V1=double(Phi0)
j=0;
lx=[0 0.9999 1 2 3 3.9999 4 5 6 7 8 9 10 11];
for j=1:length(lx);
ll=lx(j);
Vx(j) = ff(1,alpha,ll,0,0)*Phi1 + (1/alpha)*(ff(2,alpha,ll,0,0)*V1)
- (1/alpha^2)*(ff(3,alpha,ll,m,0)*Mo) +
(1/alpha^3)*(ff(4,alpha,ll,f,0)*F) - (q/(4*alpha^4))*(ff(1,alpha,ll,n,1)ff(1,alpha,ll,k,1));

Phix(j)= -4*alpha*ff(4,alpha,ll,0,0)*Phi1 + ff(1,alpha,ll,0,0)*V1 (1/alpha)*ff(2,alpha,ll,m,0)*Mo +(1/alpha^2)*ff(3,alpha,ll,f,0)*F +
(q/alpha^3)*(ff(4,alpha,ll,n,1)-ff(4,alpha,ll,k,1));
Mx(j) = (4*alpha^2)*ff(3,alpha,ll,0,0)*Phi1 +
4*alpha*ff(4,alpha,ll,0,0)*V1 + ff(1,alpha,ll,m,0)*Mo (1/alpha)*ff(2,alpha,ll,f,0)*F - (q/alpha^2)*(ff(3,alpha,ll,n,1)ff(3,alpha,ll,k,1));