Tự động điều khiển thủy lực - Chương 3

Chơng 3

Động lực học của hệ truyền động thủy lực
3.1. Quy luật thay đổi của áp suất

3.1.1 Xác định lu lợng khi biết quy luật thay đổi của áp suất
Nghiên cứu mạch thủy lực ở hình 3.1, trên đó có hai yếu tố chính là lu lợng tính
đến độ đàn hồi của dầu qua C và lu lợng thực hiện chảy tầng qua RL.
P

QT

QC

QL
RL

C

Hình 3.1. Mạch thủy lực có RL - C
Phơng trình cân bằng lu lợng là :
QT = QC + QL

hay :

(3.1)

QC = C

P
dP

vµ Q L =
dt
RL

(3.2)

QT = C.

dP P
+
dt R L

(3.3)

Nh− vËy theo c«ng thøc (3.3), nÕu biết quy luật thay đổi của áp suất P thì ta xác định
đợc lu lợng QT.
Giả sử quy luật thay đổi áp suất nh ở hình 3.2a thì lu lợng QL sẽ thay đổi đồng
dp
P
và QC sẽ nh ở hình 3.2c vì Q C = C
.
dạng với áp suất P (hình 3.2b) vì Q L =
RL
dt
Lu lợng tổng cộng QT là tổng của QL và QC theo phép cộng đồ thị (hình 3.2d).

65


P(t)

P2
P1

P3

t
T1

O

T2

T3

T4

T5

a)

T6

QL(t)
P2
P1

RL

RL

P3
RL

t

b)

O
Qc(t)
C.

(P2-P1)
T3

P1
C.
T1

t

c)

O
QT(t)

C. (P3 -P2)
T5

t

d)

O
Hình 3.2. Đồ thị xác định lu lợng QT từ đặc tính áp suất
a- Đồ thị quy luật thay đổi áp suất; b- Lu lợng của dòng chảy tầng;
c- Lu lợng do biến dạng đàn hồi của dầu; d- L−u l−ỵng tỉng céng QT.
66


3.1.2. Xác định quy luật thay đổi áp suất khi biết lu lợng cung cấp QI trong
mạch RL C thủy lực
Nếu biết lu lợng cung cấp QI có thể xác định đợc quy luật thay đổi áp suất P(t).
Giả sử ta có mạch thủy lực nh ở hình 3.3a, trong đó bơm có lu lợng QI (I ký hiệu
cho bơm có lu lợng lý tởng tức là không có tổn thất lu lợng) và một van trợt 2 vị
trí điều khiển. Van có tác dụng là khi đóng thì toàn bộ dầu từ bơm sẽ về hệ thống và
khi mở thì dầu từ bơm sẽ thông vào bể dầu.
P(t)
P(t)

QI

t0

QL

QC

RL

C

Vùng chuyển biến nhanh
Vùng áp suất "dừng"

I
O

a)

t
b)

Hình 3.3. Mô hình nghiên cứu quy luật thay đổi áp suất
a- Sơ đồ mạch thủy lùc RLC; b- Quy lt chun biÕn cđa ¸p st.
Khi van mở, toàn bộ lu lợng của bơm sẽ qua van và về bể dầu. Lúc đó áp suất hệ
thống P(t) = 0; L−u l−ỵng tỉn thÊt qua RL b»ng 0 và cha có dầu tích lũy trong C.
Khi van đột ngột đóng (t 0) thì tất cả lu lợng dầu cung cấp của bơm đều vào hệ
thống. Ban đầu áp suất còn thấp cha có chất lỏng rò qua RLvà dầu tích vào C còn ít.
Sau một thời gian áp suất tăng lên, dầu tích vào C nhiều hơn và chất lỏng rò qua RL
tăng dần. Kết quả chất lỏng rò qua RL sẽ làm cho áp suất chỉ tăng đến một mức nào đó
rồi không tăng và chất lỏng không còn tích thêm vào C đợc (P "dừng" tăng), điều này
sẽ dẫn tới toàn bộ lu lợng của bơm tràn qua RL. Thời điểm áp suất không tăng nữa có
thể gọi là thời điểm bắt đầu "dừng" và đồ thị đặc tính của áp suất thể hiện nh trên hình
3.3b.
Trong quá trình nghiên cứu mạch thủy lực hÃy so sánh với mạch điện, giữa chúng có
những đặc điểm tơng tự về hoạt động cũng nh mô hình tính toán. Ví dụ sơ đồ đang
nghiên cứu trên hình 3.3 tơng đơng với mạch điện RC, trong đó RL tơng đơng với
điện trở Rvà C tơng đơng với một tụ điện C. Quan hệ giữa áp suất và lu lợng là
tuyến tính (cho trờng hợp dòng chảy tầng ) hoặc là bậc hai (cho trờng hợp chảy rối ).
Khi đóng van, phơng trình lu lợng sẽ là :

QI = QL + QC =
67

P
dp
+ C.
RL
dt

(3.4)


Giả sử P(t) tăng theo quy luật hàm mũ và dạng tổng quát là :
P(t) = PS + Po.e S.t
trong đó :

(3.5)

PO - áp suất ở thời điểm ban đầu (t 0);
PS - áp suất ở trạng thái "dừng" (áp suất làm việc ổn định).

Thay (3.5) vào (3.4) ta ®−ỵc :

hay :

PS P0 .e S.t
d(PS + P0 .e S . t )
QI = (
+
) + C.

RL
RL
dt

(3.6)

PS P0 .e S . t
+ C.S.P0.e S . t
QI =
+
RL
RL

(3.7)

Theo lý thuyÕt vÒ phơng trình vi phân tuyến tính, có thể tách phơng trình (3.7)
thành hai phơng trình độc lập. Các số hạng không đổi cân bằng nhau và các số hạng
tồn tại trong thời gian ngắn cân bằng nhau.
Tức là (3.7) có thể đợc viết lại nh sau :
QI =
và

hoặc :

(3.8)

P0 .eS.t
+ C.S.P0.e S.t = 0
RL

:

do e S.t ≠ 0

PS
RL

suy ra :

(3.9)

P0
+ C.S.P0 = 0
RL
1
+ S.C = 0
RL

(3.10)

nªn : S = -

1
R L .C

(3.11)

Thay (3.8) và (3.11) vào (3.5) ta đợc :

P(t) =QI. RL + P0. e

1 .t
RL .C

(3.12)

Ta biÕt t¹i thêi điểm t = 0 van bắt đầu đóng thì P(0) = 0 nªn :
P(0) =QI. RL + P0. e −0 = 0
Vì

e 0 = 1

Vậy :

nên : P0 = - QI.RL
⎛
− 1 .t ⎞
R .C ⎟
⎜
P(t) = QI. RL ⎜ 1 e L





(3.13)
(3.14)
(3.15)

Trờng hợp khi van mở hoàn toàn (t = 0) mà áp suất P(0) 0 thì
Suy ra :

P(0) = QI.RL + P0.e 0

(3.16)

P0 = P(0) - QI. RL
68

(3.17)


−

Thay (3.17) vµo (3.12) ta cã :

P(t) =QI. RL + [ P(0) - QI. RL ]. e
−

hay :

P(t) = PS + [ P(0) - PS ]. e

trong ®ã :

τ = R L .C

1
.t

R L .C

t
τ

(3.18)
(3.19)
(3.20)

τ gäi lµ h»ng sè thêi gian của đặc tính áp suất.
3.1.3. Quá trình phóng và nạp dầu trong mạch RC thủy lực
Mạch thủy lực ví dụ ở trên gọi là mạch RC thủy lực. Mạch này có thể ứng dụng để
thực hiện thí nghiệm xác định đặc tính áp suất hoặc xác định hệ số khả năng tích luỹ
đàn hồi C.
HÃy nghiên cứu sơ đồ hình 3.4, trên đó có bơm dầu, van trợt hai vị trí, bộ tạo tổn
thất lu lợng RL và một bình chứa dầu tạo khả năng tích luỹ đàn hồi của dầu C.
Khi đóng van dầu đợc nạp vào bình chứa C, đặc tính của áp suất tăng theo quy luật
hàm mũ nh đà giới thiệu ở mục 3.2.
P(t)

Nạp RC

Phóng RC

P(t)
QI

Pmax
QL

QC
Pmin

RL
C

0

Đóng van

t

Mở van

a)

b)

Hình 3.4. Mô hình nghiên cứu quá trình phóng và nạp dầu (RC)
a- Mô hình mạch RC thủy lực; b- Đặc tính về phóng và nạp RC thủy lực.
Khi mở van, dầu từ bơm hoàn toàn quay về bể dầu đồng thời dầu đà tích luỹ trong
bình C đợc xả ( phóng ). Khi phóng RC áp suất cũng giảm dần theo quy luật hàm mũ
Chu kỳ phóng và nạp RC thủy lực phụ thuộc vào thời gian đóng mở van. Thời gian
càng ngắn thì Pmax giảm và Pmin tăng. Đặc tính phóng nạp đợc giới thiệu ở hình 3.4b.
3.2 . Quá trình ma sát
Ma sát là một hiện tợng tự nhiên phức tạp, có thể có lợi hoặc hại tuỳ thuộc vào
mục đích sử dụng của thiết bị. Đối với những hệ có dao động ngoài mong muốn thì
chính nhờ ma sát sẽ cản trở hoặc hạn chế đợc dao động đó.
69

Lực ma sát quan hệ đến vận tốc chuyển động tuân theo đặc tính hình 3.5a. Trong đó
giá trị F0 là lực ma sát cần thiết để vật thoát khỏi trạng thái tĩnh do hiện tợng trựơt
dính và Fv là ma sát nhớt khi vật chuyển động với vận tốc v. Giá trị Fv sẽ liên quan đến
hiện tợng tắt dần dao động trong các dao động. FR là lực ma sát có giá trị không đổi.
Fms

Fms
F0

ĐÃ tuyến tính
hóa

F0

FV

Thực tế
FR

FR

-v

-FR

-FV

0

v

0

v

-F0
-Fms

a)

b)

Hình 3.5. Đồ thị quan hệ giữa lực ma sát và vận tốc chuyển động
a- Đồ thị quan hệ Fms - v thực tế; b- Đồ thị về tuyến tính hoá quan hƯ Fms - v.
Thùc tÕ vËn tèc ®Ĩ lùc dÝnh kÕt F0 gi¶m xuèng FR rÊt nhá ( ≈ 0) nên có thể coi FV
xuất hiện tại v 0.
Các thành phần lực trên đợc xác định nh sau :

trong đó :

F 0 = à0 . F N

(3.21)

FR = àR. FN

(3.22)

FN - lực pháp tuyến trên bề mặt trợt;

à0, àR - các hệ số ma sát nhớt liên quan đến sự dính kết và trợt của các
cặp ma sát.

Nếu đờng cong ma sát nhớt Fv chia ra thành từng đoạn nhỏ tuyến tính thì ta có
công thức :
Fv = f1. v(1) + f2. v(2) + f3. v(3) +... + fn. v(n)

(3.23)

trong đó fi và v(i) là hệ số ma sát nhớt và vận tốc tơng ứng với các đoạn chia nhỏ ở trên
đờng cong.
Để đơn giản cho quá trình tính toán, thực tế có thể tuyến tính hoá đờng cong thực
Fv, tuy nhiên sai số tuyến tính nhỏ và n»m trong ph¹m vi cho phÐp øng dơng cđa kü
tht (hình 3.5b).
Lực ma sát nhớt FV viết lại là :
70


FV = fV.v
trong ®ã :

(3.24)

v - vËn tèc chun ®éng; fV - hƯ sè ma s¸t nhít.

Thùc tÕ FR rÊt nhỏ, có thể bỏ qua, F0 là lực liên kết khi vật cha chuyển động. Nên
trong quá trình thiết lập các phơng trình lực thì lực ma sát đợc tính theo công thức
(3.24).
Cũng phân tích tơng tự nh trên đối với hệ chuyển động quay mômen ma sát đợc
xác định theo công thức :

M = f.
trong đó :

(3.25)

M - mômen do ma sát nhớt gây ra;
f - hệ số ma s¸t nhít (fΩ ≠ fV);
Ω - vËn tèc gãc cđa hệ ma sát chuyển động quay.

3.3. Vận tốc chuyển động của pittông khi tính đến ma sát nhớt

Q

p

v

AR

AP

(t)

v
m

Fqt
m

FL

f

Fms

p

AP

a)

FL

b)

v(t)
VS

v (t)
t
c)
Hình 3.6. Mô hình tính toán vận tốc chuyển động của pittông
a- Sơ đồ nguyên lý; b- Sơ đồ phân tích lực; c - Đồ thị vận tốc v(t).
Khi pittông của xylanh thủy lực mang khối lợng m chuyển động với vận tốc v(t)
(hình 3.6a) thì phơng trình cân bằng lực đợc xây dựng trên cơ sở của sơ đồ phân tích
dv
lực (h×nh 3.6b) nh− sau :
P.AP − Fms − FL = m
(3.26)
dt

71


Fms = f.v là lực ma sát nhớt.
Nếu vận tốc chuyển động của pittông v(t) biến đổi theo quy luật hàm mũ (hình 3.6c)
và xác định theo công thức :
v(t) = vS + v0.eS.t

(3.27)

thì (3.26) đợc viết lại bằng cách thay (3.27) vµo (3.26) :
P.AP − f.vS − f.v0.eS.t − FL = m.s.eS.t.v0

(3.28)

Tách (3.28) thành hai phơng trình độc lập theo tính chất của phơng trình vi phân
tuyến tính :
P.AP − FL − f.vS = 0

(3.29)

vµ

f.v0.eS.t = − s.m.eS.t.v0

(3.30)

Suy ra :

vS =

P.A P − FL
f

(3.31)
f
m

(3.32)

v0 = v(0) − vS

(3.33)

C«ng thøc (3.30) cã eS.t ≠ 0 nªn : f + s.m = 0 hay s =
Tại thời điểm t = 0 thì v(0) = vS + v0.s0
Lúc này :

v(t) = vS + (v(0) - vS). e
v(t) = vS + [v(0) −vs] e

hc :
víi τ =

hay

⎛ f ⎞
⎜− t⎟
⎜ m ⎟
⎠

⎝

−

t
τ

(3.34)
(3.35)

m
, gọi là hằng số thời gian của đặc tính vận tốc.
s

3.4. Đặc tính áp suất của hệ truyền động thủy lực chuyển động
tịnh tiến

3.4.1. Khi xét đến các yếu tố là khối lợng chuyển động, độ đàn hồi của dầu và
tổn thất lu lợng (bỏ qua ma sát nhớt)
Nh ®· giíi thiƯu ë mơc 3.1 vµ 3.2, RLthĨ hiƯn sức cản chống lại khả năng rò dầu
trong hệ thủy lực. Năng lợng P. QL qua RL biến thành nhiệt năng. Cùng với ma sát Fms
RL sẽ làm cản trở dao động của quá trình quá độ. Nếu ma sát lớn, tổn thất lu lợng
lớn thì thời gian đáp ứng sẽ nhanh. Nh vậy trong một số trờng hợp đây lại là yếu tố
có lợi.
Mục này nghiên cứu sơ đồ thủy lực ở hình 3.7a, trong đó các ký hiệu về phần tử và
thông số của hệ giống nh đà ký hiệu ở các phần trớc.
Phơng trình cân bằng lu l−ỵng :
QI = QL + QC + QV =

dp

P
+ C . + v.A P
RL
dt

72

(3.36)


Phơng trình cân bằng lực :
P.A P FL = ma = m
a=

hay :

dv
dt

(3.37)

dv P.A P FL
=

dt
m
m

(3.38)

P(t)
QV
T=0

QI

QL

v

Qc

RL

m

FL

C

I

AP

a)
V(t)

P(t)

P(t)

PS
v(t)

O
b)

t

Hình 3.7. Mô hình khảo sát đặc tính P(t) khi bỏ qua ma sát nhớt
a- Sơ đồ nguyên lý; b- Đặc tính P(t) và v(t).
Tích phân hai vế phơng trình (3.38) là :
t

t

AP t
dv
1 t
∫0 adt = ∫0 dt .dt = v = m ∫0 Pdt − m ∫0 FL dt

73

(3.39)


Thay (3.39) vào (3.36) ta đợc :
P
dP A 2P
QI =

+ C. +
RL
dt m

Do QI là hằng số nên

P.dt
t

0

AP
m

F dt
t

0

L

(3.40)

dQ I
=0 :
dt

dQ I
A
1 dP

d 2 P A 2P
.P − P .FL = 0
=
+ C. 2 +
dt
R L dt
dt
m
m

(3.41)

MỈt khác P(t) = PS + P0.eS.t nên :
dP
d 2P
S. t
= S.e .P0 vµ
= S2 .e S.t .P0
2
dt
dt

(3.42)

Thay (3.42) vµo (3.41) :
P0 S . t
A 2P
A 2P
A
2

S.t
S.
.e + S .C.P0 .e +
.PS +
.P0 .e S . t − P .FL = 0
RL
m
m
m

(3.43)

Theo tính chất của phơng trình vi phân tuyến tính thì (3.43) có thể tách ra thành
hai phơng trình sau :

vµ

:

A 2P
A
.PS − P .FL = 0
m
m

(3.44)

⎡ S
A 2P ⎤
2

St
S
.
C
+
+
⎥.P0 .e = 0

m
RL

(3.45)

Từ (3.44) ta rút ra đợc áp suất ở trạng thái ổn định là :
PS =

FL
AP

(3.46)

Công thức (3.45) có P0 0 và eS.t 0 nên
S
A2
+ S 2 .C + P = 0
RL
m

hay :

S2 +

1
A2
.S + P = 0
R L .C
m.C

(3.47)

Phơng trình (3.47) là phơng trình bậc hai của S nên nghiệm của nó là :
S=

4 A 2P
1
1
1
±
−
2.R L .C 2 R 2L .C 2 m.C

vµ có ba khả năng sau đây có thể xảy ra :
74

(3.48)


1. Khả năng thứ nhất : Đại lợng S có hai nghiƯm thùc kh«ng trïng nhau khi
1
4 A 2P

>
R 2L .C 2 m.C

và nếu đặt S1 =

(3.49)

1
1
và S 2 = −
lµ :
τ1
τ2
4 A 2P
1
1
1
1
=−
−
−
τ1
2.R L .C 2 R 2L .C 2 m.C

(3.50)

4 A 2P
1
1
1

1
=−
+
−
τ2
2.R L .C 2 R 2L .C 2 m.C

(3.51)

Thay S1 vµ S2 vµo P(t) = PS + P0.eS.t ta đợc

P ( t ) = PS + P01 .e − t / τ1 + P02 .e − t / 2

(3.52)

P01 và P02 xác định theo điều kiện đầu.
2. Khả năng thứ hai : S có hai nghiệm kÐp lµ :
S 1 = S2 = −

1
1
=
τ 2 R L .C

(3.53)

P( t ) = PS + (P01 + P02 ).e t /

nên :

(3.54)

Đây là trờng hợp áp suất tắt dần tới hạn, điều này không phù hợp với thực tế.
3. Khả năng thứ ba : S có hai nghiệm phức, phần thực bằng nhau, phần ảo bằng
nhau về độ lớn và ngợc nhau về dấu.
S1 = α + jβ

(3.55)

S2 = − α - jβ
víi

α=

⎛ 1
4.A 2P
1
1 4.A 2P
1
, β=
− 2 2 , ⎜⎜ 2 2 <
2 m.C R L .C
m.C
2.R L .C
⎝ R L .C

⎞
⎟⎟
⎠

(3.56)

¸p suÊt P(t) đợc xác định theo công thức sau :
P (t ) = PS + P01 .e − αt .e jβt + P02 e − αt .e jβt

(3.57)

Khi cã nghiÖm phøc hệ sẽ dao động tắt dần. Đây là trờng hợp thờng gặp trong
thực tế.
Theo lý thuyết của Euler thì các hàm mũ phức có thể chuyển sang hàm sin hoặc cos
nh− sau :

hay :

P (t ) = PS + A.e −αt . cos βt + B.e − αt . sin βt

(3.58)

P (t ) = PS + A 2 + B 2 .e −αt . cos(βt + Φ )

(3.59)

75


Φ = arctg

víi :

B

;
A

⎛
−1 B ⎞
⎜ Φ = tg
⎟
A⎠
⎝

H×nh 3.8 trình bày đặc tính P(t) dao động tắt dần, trên tắt dần và tắt dần tới hạn.
P(t)
Trên tắt dần

PS
Tắt dần giới hạn

Hình 3.8. Đặc tính áp suất P(t) của hệ thủy lực ở hình 4.7a
3.4.2. Khi xét đến các yếu tố là khối lợng chuyển động, độ đàn hồi của dầu, tổn
thất lu lợng và ma sát nhớt
Bài toán này đề cập đến cả hai yếu tố tắt dần là tổn thất lu lợng và ma sát nhớt.
Mô hình khảo sát của bài toán này tơng tự nh ở hình 3.7a.
Phơng trình cân bằng lu lợng và phơng trình cân b»ng lùc lµ :
QI =

P
dp
+ C. + v.A P
RL
dt

P.AP − f.v FL = m.
trong đó :

dv
dt

(3.60)
(3.61)

f.v = Fms là lực ma sát nhớt;
f là hệ số ma sát nhớt.

Lấy đạo hàm

Suy ra :

dQ I
= 0 của phơng trình (3.60) :
dt
1 dp
d2p
dv
. + C. 2 + A P . = 0
R L dt
dt
dt

(3.62)

dv
1
dp C d 2 p
=−
. −
.
dt
R L .A P dt A P dt 2

(3.63)

76


Thay (3.63) và (3.60) vào công thức (3.61) ta có :
⎛
⎛Q
P
C dp ⎞
1
dp C d 2 p ⎞
−
. ⎟⎟ − FL = m.⎜⎜ −
. −
. 2 ⎟⎟
P.AP - f ⎜⎜ I −
A
R
.
A

A
dt
R
.
A
dt
A
⎠
⎝ P
L
P
P
L
P
P dt ⎠
⎝

(3.64)

BiÕn ®ỉi (3.64) nh− sau :
m.C d 2 p ⎛ C.f
m
+
. 2 + ⎜⎜
A P dt
⎝ A P R L .A P

⎞ dp ⎛ f
⎞
f .Q I

⎟⎟. + ⎜⎜
+ A P ⎟⎟.p = FL +
AP
⎠ dt ⎝ R L .A P
⎠

d2p ⎛ f
1 ⎞ dp ⎛
f
A 2P ⎞
F .A
f .Q I
⎜
⎟⎟.p = L P +
⎟⎟. + ⎜
+
+ ⎜⎜ +
hay :
2
m.C
m.C
dt
⎝ m R L .C ⎠ dt ⎝ m.R L .C m.C ⎠

(3.65)

(3.66)

T−¬ng tù nh− mơc 3.4.1 lấy đạo hàm bậc nhất và bậc hai của P(t) = PS + P0.eS.t thay
vào (3.66), sau đó thiết lập hai phơng trình độc lập có các số hạng không đổi cân bằng

nhau và các số hạng thay đổi theo thời gian cân bằng nhau, kết quả ta có :
PS =

vµ :

f .Q I + FL .A P
f
+ A 2P
RL

(3.67)

⎛
⎛f
f
A 2P ⎞
1 ⎞
⎜
⎟⎟ = 0
⎟⎟.S + ⎜
+
S + ⎜⎜ +
m
.
R
.
C
m
.
C

m
R
.
C
⎠
⎝
L
L
⎝
⎠
2

(3.68)

C¸c hệ số của phơng trình (3.68) đồng thời tồn tại các yếu tố nh m, AP, C, RL và f.
Đây là bài toán tổng hợp đồng thời xét đến cả ba yếu tố là độ đàn hồi của dầu, sự rò
dầu và tổn thất năng lợng do ma sát nhớt. Tùy theo mức độ ảnh hởng của các yếu tố
trong từng bài toán cụ thể mà có thể bỏ qua yếu tố này hoặc yếu tố khác.
Lập luận để giải bài toán (3.68) tơng tự nh đà giới thiệu ở mục 3.4.1.
Nếu bỏ yếu tố ma sát (f) ở công thức (3.67) và (3.68) thì sẽ giống công thức (3.66)
và (3.67).
Công thức xác định PS ở trạng thái ổn định rút ra từ bài toán tổng quát (3.46) và
(3.67) hoàn toàn tơng tự nh khi thiết lập phơng trình cân bằng lực của pittông ở
trạng thái cân bằng tĩnh.
3.5. Đặc tính vận tốc của pittông khi xét đến các yếu tố là khối
lợng chuyển động, độ đàn hồi của dầu, ma sát nhớt và
không tính đến sự rò dầu

Nếu không tính đến sự rò dầu thì mô hình khảo sát sẽ là hình 3.9. Trong đó, bơm có
lu lợng lý tởng là QI, hệ không có tổn thất lu lợng, chỉ xét đến các yếu tố là độ

đàn hồi của dầu và ma sát nhớt của bộ phận chuyển động có khối lợng m.
Khi đóng van (t 0 ), phơng trình cân bằng lu lợng và phơng trình cân b»ng lùc
nh− sau :
77


QI = C.

dp
+ A P .v
dt

(3.69)

dv
dt

(3.70)

P.AP − f.v = m.

P(t)
v(t)

AR
QV

QI

m

t≈0

f
QC
AP

C

I

H×nh 3.9. Mô hình khảo sát đặc tính vận tốc của pittông khi không tính đến
tổn thất lu lợng
dp
từ công thức (3.69) rồi thay vào công thức (3.70) ta có :
dt

Rút

hay

:

d2v
dv
dp
.A P − f .
= m. 2
dt
dt
dt

(3.71)

d2v
dv
⎛ QI AP ⎞
−
.v ⎟ .AP − f
= m. 2
⎜
C ⎠
dt
dt
⎝C

(3.72)

A
d 2 v f dv A 2P
+ . +
.v = P .Q I
2
dt
m dt m.C
m.C

(3.73)

NghiÖm của phơng trình vi phân bậc hai (3.73) theo v(t) sẽ có dạng hàm mũ
v(t) = vS + v0.eS.t nh ®· giíi thiƯu ë mơc 3.3. Víi :

d2v
dv
= S.v 0 .e S.t và 2 = S2 .v 0 .eS.t
dt
dt

thì (3.73) có thể viết lại là :
S2.v0.eS.t + S.v0.

A2
A
f S.t A 2P
.e +
.v S + P .v 0 .e S.t = P .Q I
m
m.C
m.C
m.C

78

(3.74)


Phơng trình (3.74) có thể tách thành hai phơng trình độc lập (theo tính chất của
phơng trình vi phân tuyến tính). Các số hạng không đổi bằng nhau và các số hạng phụ
thuộc thời gian bằng nhau, nghĩa là :

và :

A
A 2P
.v S = P .Q I
m.C
m.C

(3.75)

⎛ 2 f
A2 ⎞
⎜⎜ S + .S + P ⎟⎟ .v0. eS.t = 0
m.C
m


(3.76)

Từ (3.75) rút ra đợc vận tốc ở trạng thái ổn định là :
vS =

QI
AP

(3.77)

Công thức (3.77) hoàn toàn phù hợp với giả thuyết ban đầu là hệ không có tổn thất
lu lợng. Toàn bộ lu lợng của bơm QI ở trạng thái ổn định chỉ để đẩy pittông
chuyển động. Phơng trình (3.76) có các số hạng phụ thuộc theo thêi gian vµ cã
eS.t ≠ 0 ; vËn tèc ban đầu (ở thời điểm t = 0) là v0 = 0. Tuy nhiên ở đây ta quan tâm đến
A 2p

f
trờng hợp :
S2 + .S +
=0
(3.78)
m
m.C
Phơng trình (3.78) có dạng nh phơng trình (3.77) khi chỉ xét đến lu lợng mà
không tính đến ma sát nhớt. Nghiệm của (3.78) cũng đợc lý luận nh mục 3.4.
3.6. tần số dao động riêng của hệ truyền động thủy lực chuyển
động tịnh tiến

Ta thấy các phơng trình (3.47) và (3.68) và (3.78) là các phơng trình đặc trng
của khâu dao động. Chúng có thể viết dới dạng sau đây :
S2 + 2 .n .S + 2n = 0
trong đó :

(3.79)

hệ số tắt dần;
n tần số dao động riêng (rad/s).

Nếu so sánh (3.79) với (3.47), (3.68) và (3.78) thì có thể tìm đợc tần số riêng
n và hệ số tắt dần của các hệ đó.

Ví dụ với phơng trình (3.68) ta có tần số riêng n và hệ số tắt dần nh− sau :
f
A 2P
ω =
+

m.C.R L m.C
2
n

hay :

ω=

1⎛ f
A 2P ⎞
CH
⎟⎟ =
⎜⎜
+
m ⎝ C .R L
C ⎠
m

79

(3.80)

(3.81)


n
(Hz)
2

hoặc :

fn =

trong đó :

f
A 2P
CH =
+
C .R L
C

(3.82)
(3.83)

CH đợc gọi là độ cứng thủy lực.
2. .n =
=

hay :

f
1
+
m R L .C

1
f
1
.[ +

]
2.n m R L .C

(3.84)

Trong đa số các trờng hợp hệ số ma sát f nhỏ hơn nhiều so với hệ số cản rò dầu RL
2
A 2P B.A p
nên gần đúng lấy :
CH
=
(3.85)
C
V
2
1 B.A p 1
.
fn
2
V m

và :

(3.86)

Các bài toán ở các mục 3.4; 3.5 và 3.6 chỉ xét cho trờng hợp pittông chỉ làm việc
một chiều và chỉ một buồng dầu có áp suất, thực tế hầu hết các xylanh trong công
nghiệp làm việc hai chiều và hai buồng dầu đều có áp suất. Đồng thời khi pittông thay
đổi, thể tích hai buồng dầu thay ®ỉi nªn ®é cøng thđy lùc sÏ thay ®ỉi, ®iỊu đó dẫn đến
tần số riêng của hệ cũng thay đổi.

Theo (3.86), muốn fn min thì CH phải là max. Quan hệ giữa fn với vị trí di chuyển
của pittông sẽ đợc trình bày kỹ ở chơng khác.
Mục đích của thiết kế là hệ thống phải có kết cấu hợp lý. Chọn các giá trị RL và f
hợp lý là một việc rất cần thiết nhng cũng thực sự khó khăn nên cần đợc nghiên cứu
thêm. Tuy nhiên có thể đánh giá hoặc xác định chúng thông qua hệ số tắt dần .
Bằng thực nghiệm ngời ta xác định đợc thay đổi trong khoảng 0,03 ữ 0,15 và
có thể tóm tắt ứng dụng nh sau :
= 0,03 ữ 0,05 : Đối với các bạc, bộ phận dẫn hớng có độ chiụ mài mòn cao và

ma sát cực nhỏ.
= 0,05 ữ 0,08 : Đối với các bộ phận dẫn hớng đợc bôi trơn tốt và ma sát nhỏ.
= 0,08 ữ 0,11 : Đới các với các bộ phận đợc bôi trơn và ma sát ở mức trung

bình.
= 0,11 ữ 0,15 : Đối với tải lớn, ma sát lớn và bôi trơn kém.

80