BTapGTKte update 2017

23. lim (1 − x) tan

BÀI TẬP GIẢI TÍCH (KHỐI KINH TẾ)

x→1

Năm học 2017 - 2018

1
x2

25. lim

1
1
−
x2
sin2 x

x→0

x→0

Bài 1. Tính giới hạn

2.

√
lim ( x2 + 2x + 5 − x)

Bài 2. Xét tính liên tục

x→+∞

√
√
lim ( x2 − 5x − 1 − x2 + 3x + 3)

sin x ln x với x > 0
a+x
với x ≤ 0

2x

với x = 0
2x
2. f (x) = e − e−x
a
với x = 0

arctan 1 với x = 0
|x|
3. f (x) =

a
với x = 0
1. f (x) =

x→−∞

√

3. lim

x→0

√
cos x − 3 cos x
sin2 x

2 x − x2
x→2 x − 2

4. lim

5. lim (1 + sin πx)cot πx
x→1

1
1
1
+
x→0 x x − 1
x+1
√
x+ x
7. lim √
x→+∞
x+1

6. lim

4. f (x) =

4 arctan(1 + x) − π
x→0
x
√
1 + 2x2 − cos x
9. lim
x→0
x2

5.

8. lim

6.

2

2

3x + 1 2x +x
3x2 + 5
√
√
5 − 4 + cos x
11. lim
x→0
x2
10. lim

x→∞

12.

2 arctan x
π
√
cos x

lim

x→+∞

13. lim+

x

sin x

24. lim

Chương 1. Giới hạn và liên tục
1.

πx
2

7.

x

8.

(x2 − 1) sin

π
x−1

a
nếu x = 1
√
 3 1 + 2x − 1
nếu x > 0
f (x) =
x

a + x2
nếu x ≤ 0

 ln(1 + x) − x
nếu x > 0
f (x) =
2x2
a
nếu x ≤ 0

√
 1 − cos x
nếu x > 0

f (x) =
x
a
nếu x ≤ 0

 1 − esin x
nếu x > π
f (x) =
x−π

2
a+x
nếu x ≤ π

x→0

sin x
x

14. lim

x→0

Chương 2. Tích phân

1/x2

Bài 1. Tích phân bất định

x

π
− arctan
15. lim x
x→+∞
4
x+1

1.

1

x + x3
dx
1 + x2 − x4

16. lim (2 − cos x) sin2 x
x→0

2.

17. lim (sin x)tan 2x
x→0+

18.

x2

x6
dx
+x−2

lim x(π − 2 arctan x)

3.

x2 + 1
dx
(x + 1)2 (x − 1)

x − sin x
1 + 2x − ex

4.

x3 + 1
.dx
x3 − 5x2 + 6x

5.

2x
dx
x4 + 3x2 + 2

x→+∞

19. lim √
x→0

3

20. lim

x→0

ex − 1 + x2
x tan x

21. lim+ x2 ln x

6.

x→0

22. lim √
5
x→0

x2
1 + 5x − (1 + x)

7.
1

nếu x = 1

x8

x
dx

−1

x
.dx
x3 − 1


8.

x.dx
x3 − 3x + 2

31.

dx
sin x. cos x

9.

x4
.dx
x4 + 5x2 + 4

32.

dx
sin x. cos3 x

10.

(x + 1)dx
√
x2 + x + 1

Bài 2. Tích phân xác định

11.

(2x − 1)dx
√
x2 + 3x + 3

1.

12.

√

xdx
2
x + 2x − 5

2.

2

ln 2

13.

14.

0

(1 − x2 )3 dx
0
a

x. arctan x
√
. dx
1 + x2
√
x ln(1 + 1 + x2 )
√
. dx
1 + x2

3.
0

dx
√
x + a 2 − x2

3

4.

dx

5

(3 + x2 ) 2

0
3

5.

16.

dx
e2x + ex − 2

6.

17.

arctan ex
dx
ex

7.

18.

dx
(1 + ex )2

8.

√

√
0
2
√
2
1
0

x
√
. dx
1 + x + 5x + 1

dx
√
x2 − 1
√
ex
√
dx
ex + e−x
x5

π
2

a2

0

19.

xearctan x
dx
(1 + x2 )3/2

5π/4

9.

20.

5

sin x cos xdx
sin x cos x

22.

a2 sin2 x + b2 cos2 x

sin x. sin 2x. sin 3x. dx
0

dx

3

11.

x
dx
x+1

arcsin
1

sin4 x
dx
cos6 x
2

sin 2x
. dx
sin x + cos4 x

π/2

10.
21.

sin x cos x
dx
cos2 x + b2 sin2 x
4

π

4

1
dx
1 + ex

1

dx
x 1 − x3

15.

√

Chương 3. Hàm nhiều biến
4

23.

sin x cos xdx

24.

sin x
dx
3
sin x + cos3 x

(1) z = ln

25.

dx
5 − 4 sin x + 3 cos x

(2) z = ln tan

26.

√

27.

sin x − sin3 x
dx
cos 2x

28.

dx
(sin2 x + 2 cos2 x)2

29.

dx
√
x. 3 1 + x

30.

dx
4
sin x + cos4 x

Bài 1. Tính đạo hàm riêng

dx
√
x− 3x

1
x2 + y 2

x+
x
y

(3) f (x, y, z) = arctan

y
xz

(4) z = ln(u2 + v 2 ), u = xy, v = ex+y
(5) Cho z = ln(3x + 2y − 1), x = et , y = sin t. Tính
∂z ∂z dz
,
,
.
∂x ∂y dt

(6) Cho u = sin x + f (sin y − sin x), f là hàm khả vi. Chứng
minh rằng:
∂u
∂u
cos x +
cos y = cos x cos y.
∂y
∂x
2


(7) Cho z = f (xy + y 2 ), f là hàm khả vi. Rút gọn biểu thức
A = (x + 2y)

(8) Cho u = f

Bài 4. Dùng vi phân tính gần đúng
1, 984 + 3, 032
√
√
2. B = ln( 1, 03 + 3 0, 99 − 1)

∂z
∂z
−y
∂x
∂y

1. A =

y x
, f là hàm khả vi. Rút gọn biểu thức
,
x z
B=x

3. C = arctan

∂u
∂u
∂u
+y
+z
∂x
∂y
∂z

(9) Tính zx (0, 0), zy (0, 0) với z =

√
3

1 + 0, 023
0, 992

(1, 04)1,99 + ln(1, 02)

4. D =

Bài 5. Cực trị của hàm nhiều biến

xy

1. Tìm cực trị các hàm sau:
(a) f (x, y) = x2 + xy + y 2 − 2x − 3y

Bài 2. Đạo hàm của hàm ẩn

(b) f (x, y) = x3 + y 3 − 15xy.

(1) Tính y (x), y (x) biết y = y(x) là hàm ẩn xác định bởi
phương trình
1

ln

x2 + y 2

= arctan

(c) f (x, y) = xy + 1000

y
x

1
1
+
x y

(d) f (x, y) = 2x4 + y 4 − x2 − 2y 2
(e) f (x, y) = x + 2y với điều kiện x2 + y 2 = 5
x y
(f) f (x, y) = x2 + y 2 với điều kiện + = 1
2
3
1
1
1
1
(g) f (x, y) = + với điều kiện 2 + 2 = 1
x y
x
y

(2) Tính zx , zy và dz biết z = z(x, y) là hàm ẩn xác định bởi
(a) arctgz + z 2 = exy
(b) z − yex/z = 0
z
x
= ln + 1
(c)
z
y

(h) f (x, y) = xy với điều kiện

x2
y2
+

=1
8
2

2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

(d) x3 + y 3 + z 3 = 3xyz

(a) f (x, y) = x2 + 3y 2 + x − y, trên miền đóng D giới hạn
bởi các đường x = 1, y = 1, x + y = 1.

(3) Tính y (x), z (x) biết y = y(x), z = z(x) xác định bởi

(b) f (x, y) = x2 − y 2 trên miền D = {x2 + y 2 ≤ 9}

x + 2y + 3z = 1
x2 + y 2 + z 3 = 4

y2
x2
+
≤1
8
2
(d) z = 1 + xy − x − y, trên miền đóng D giới hạn bởi
y = x2 và y = 1
(c) f (x, y) = xy trên miền D =

(4) Tính ux , uy biết u = x2 + y 2 + xyz và z = z(x, y) xác định
bởi

zez = yex + xey .

Chương 4. Phương trình vi phân
Bài 3. Đạo hàm và vi phân cấp cao
(1) Cho u =

Bài 1. Giải phương trình vi phân cấp 1

x2 + y 2 + z 2 . Chứng minh rằng:
ux2 + uy2 + uz2 =

1. (x + y)dx + (x − y)dy = 0; y(0) = 0.

2
u

2. y − 2xy = 3x3 y 2
y
x
x
xy
4. 2y − = 2
y
x −1
y

3. y = e− x +

(2) Tính

∂2u
∂x2

1
,1
2

biết u(x, y) = x + (y − 1) arcsin

x
y

(3) Tính zxy biết hàm ẩn z = z(x, y) xác định bởi

5. y = (x + y + 1)2

3x + 2y + z = e−x−y−z

6. xy − y + x cos

y
=0
x

7. y + 2y = y 2 ex

(4) Tìm d2 z biết:

x

(a) z = x2 ln(x + y)
y
(b) z = arctan
x

x

8. (1 + e y )dx + e y 1 −

x
dy = 0
y

9. xy + y = y 2 ln x; y(1) = 1
3


Chương 5. Phương trình sai phân

10. ydx − (x2 y 2 + x)dy = 0
11. xy − y = (x + y) ln

12.

x+y
x

Bài 1. Phương trình sai phân tuyến tính hệ số
hằng

2x
y 2 − 3x2
dx
+
dy = 0
y3
y4

1. 5yn+2 + 6yn+1 − 11yn = 2n − 1
2. 5yn+2 − 6yn+1 + 5yn = 3n

13. y cos y + sin y = x
2

14. y =

3x − xy − y
x2

3. 5yn+2 − 6yn+1 + 5yn = n2 + 1

2

4. yn+2 + yn = 2n
5. yn+2 + 5yn = 5n2 − 2n − 1

15. (1 + y 2 sin 2x)dx − 2y cos2 xdy = 0

6. yn+2 − 3yn+1 + 2yn = 2−2n

16. (x2 + y)dx = xdy

7. yn+2 − 3yn+1 + 2yn = n + 5

17. (y + ln x)dx − xdy = 0

8. yn+2 = 5yn+1 − 6yn + n2

√
18. x 1 − y 2 dx + y 1 − x2 dy = 0

9. yn+2 = 4yn+1 − 5yn + 3n2
10. yn+2 = 3yn+1 − 4yn + 3n2 + 2

y
y
19. y = + cos
x
x
20. y = x2 + xy +

11. yn+2 + yn = n + 1
y2
−1
4

12. yn+2 + yn = 3, y0 = 0, y1 = 1
13. yn+2 − 4yn+1 + 4yn = 2n + 1, y0 = 0, y1 = 1
14. yn+2 − yn = 0, y0 = 0, y1 = 1

Bài 2. Phương trình vi phân cấp 2

15. yn+2 + yn = 2n , y0 = 0, y1 = 1

1. Giải các phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp:

16. xn+2 − 8xn+1 + 16xn = 6(n + 1)4n+2

(a) (1 + x2 )y + 1 = 0
(b) y =

17. xn+2 + xn+1 − 6xn = −4 + (5n + 7).2n + 4.3n+1

y
+ x2
x

Bài 2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp 1

(c) (1 − x2 )y − xy = 2, y(0) = 0, y (0) = 0
(d) (y )2 + 2yy = 0

1.

xn+1 = 3xn + yn
yn+1 = 2xn + 2yn

, x0 = 2, y0 = −1

2.

xn+1 = 2xn − 8yn
yn+1 = 2xn − 6yn

, x0 = −1, y0 = 2

3.

xn+1 = 3xn − yn
yn+1 = xn + yn

, x0 = −1, y0 = −5

4.

xn+1 = 2xn − 3yn
yn+1 = 3xn − 4yn

, x0 = −1, y0 = 1

5.

xn+1 = xn + yn
yn+1 = −xn + yn

6.

xn+1 = 4xn − 6yn
yn+1 = xn − yn

2. Giải các phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính:
2x

(a) y − 2y + y = 2e .
(b) y − 6y + 9y = cos 3x.
(c) 2y + 3y + y = xe−x
(d) y + 2y + 2y = x2 − 4x + 3
(e) y − 4y = 4x2 + 3x + 2; y(0) = 0, y (0) = 2
(f) y + 4y + 4y = 3e−2x , y(2) = y (2) = 0
1

(g) 4y − 4y + y = xe 2 x
(h) y + 2y + 2y = ex sin x.
(i) y + 9y = cos 3x + ex
(j) y + y = 4xex
(k) y + y = 6 sin x
(l) y − 2y + y = xex
(m) y − 4y = x2 + 2x + 3
(n) y − 2y = 2 cos2 x
4

, x0 = 0, y0 = 1