12Nguyen ham giai chi tiet tai lieu cua TSHa van tien

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

Bán toàn bộ tài liệu Toán 12 với 3000 Trang rất
công phu của Tiến Sĩ Hà Văn Tiến. Tài liệu có
giải chi tiết rất hay, phân dạng đầy đủ dùng để
luyện thi THPT Quốc Gia 2018
Lớp 12+Luyện Thi THPT Quốc Gia 2018 trọn bộ
giá 200 ngàn

Tặng: 50 đề thi thử THPT Quốc
Gia + Ấn phẩm Casio 2018 của
ĐH Sƣ Phạm TPHCM
Thanh toán bằng mã thẻ cào Vietnam mobile gửi mã
thẻ cào+số seri+Mail qua số điện thoại
mình sẽ gửi toàn bộ
cho bạn. đây là một phần trích đoạn tài liệu của Tiến
Sĩ Hà Văn Tiến

Trang 1

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Chuyên đề 1

Năm học: 2017 - 2018

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT
TÍNH BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Chủ đề 1.1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Chủ đề 1.2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Chủ đề 1.3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Chủ đề 1.4. ĐƢỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Chủ đề 1.5. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Chuyên đề 2

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT
TÍNH BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

CHỦ ĐỀ 2.1. SỰ TƢƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
CHỦ ĐỀ 2.2. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Chủ đề 2.3 - ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƢỜNG CONG

Chuyên đề 3

Phƣơng trình, Bất PT mũ và logarit

Trang 2

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

Chủ đề 3.1 LŨY THỪA
Chủ đề 3.2. LOGARIT
Chủ đề 3.3 HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

Chủ đề 3.4. PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ
Chủ đề 3.5. PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT

Chuyên đề 4

Nguyên hàm Tích phân - Ứng dụng

( 410 câu giải chi tiết )

Chủ đề 4.1. NGUYÊN HÀM
Chủ đề 4.2. TÍCH PHÂN
Chủ đề 4.3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Chuyên đề 5

SỐ PHỨC

Chủ đề 5.1. DẠNG ĐẠI SỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC
Chủ đề 5.2. PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC TRÊN TẬP SỐ PHỨC

CHỦ ĐỀ 5.3 TẬP HỢP ĐIỂM

Trang 3

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Chuyên đề 6

Năm học: 2017 - 2018

BÀI TOÁN THỰC TẾ

6.1. LÃI SUẤT NGÂN HÀNG
6.2 BÀI TOÁN TỐI ƢU

Chuyên đề 7

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

CHỦ ĐỀ 7.1. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
CHỦ ĐỀ 7.2. QUAN HỆ VUÔNG GÓC. VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Chủ đề 7.3. KHOẢNG CÁCH – GÓC
CHỦ ĐỀ 7.4. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Chủ đề 7.5. MẶT CẦU – MẶT NÓN – MẶT TRỤ

Chuyên đề 8

TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

8.1 : TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
8.2 : PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU

8.3: PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
8.4: PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG
8.5: VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI
8.6: GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa
Cho f x là hàm số liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K . Giả sử F x là một nguyên hàm
của f x trên K thì hiệu số

F b

F a

được gọi là tích phân của f x từ a đến b và kí hiệu là
b

f x dx

F x

b
a

F b

F a .

a

2. Tính chất

a

 Tích phân tại một giá trị xác định của biến số thì bằng 0 , tức là

f x dx

0.

a

Trang 4

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
b

Năm học: 2017 - 2018

a

 Đổi cận thì đổi dấu, tức là

f x dx

f x dx .

a

b

 Hằng số trong tích phân có thể đưa ra ngoài dấu tích phân, tức là
b

b

kf x dx

f x dx ( k là hằng số).

k

a

a

 Tích phân một tổng bằng tổng các tích phân, tức là
b

b

b

g x dx

f x

f x dx

a

g x dx .

a

a
b

 Tách đôi tích phân, tức là

c

f x dx
a

b

f x dx
a

f x dx .
c

b

f x dx chỉ phụ thuộc vào hàm f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số

Chú ý: Tích phân
a

b

x

, tức là

b

f x dx

f t dt .

a

a

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN
Câu 1. Giả sử hàm số f x liên tục trên
c

b

f x dx

A.
a

f x dx
a

a

c

f x dx

c

f x dx
a
b

c. f x dx

a

f x dx.
b

b

f x dx. D.

b

c

f x dx

b

f x dx
a

b

f x dx. B.

a

b

C.

và các số thực a b c. Mệnh đề nào sau đây sai?

c

f x dx .

c

a

a

Lời giải. Chọn C.
Câu 2. Cho f x , g x là hai hàm số liên tục trên
b

f x dx

A.
a

f y dy.
a

b

b

g x dx

f x

B.

và các số thực a, b, c . Mệnh đề nào sau đây sai?

b

b

f x dx

a

g x dx .

a

a

a

f x dx

C.

0.

a
b

b

f x . g x dx

D.

b

f x dx.

a

a

g x dx.
a

Lời giải. Chọn D.
Câu 3. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
1

dx

A.

1.

1
b

b

f 1 x . f 2 x dx

B.
a

b

f 1 x dx.
a

f 2 x dx .
a

b

C. Nếu f x liên tục và không âm trên đoạn a; b thì

f x dx

0.

a
b

k.dx

D.

k a

b , k

.

a

Trang 5

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
1

Lời giải. Ta có

dx

x

1

Năm học: 2017 - 2018

2. Do đó A sai.
1

1

Theo tính chất tích phân thì B sai (vì không có tính chất này).
Xét đáp án C. Giả sử F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên đoạn a; b .
Suy ra F / x f x 0, x a; b .
b

● F/ x

a; b , suy ra F x là hàm hằng nên

0, x

f x dx

b

F x

0.

a

a

● F/ x

a; b , suy ra F x đồng biến trên đoạn a; b nên F b

0, x
b

Do đó

f x dx

b

F x

F b

a

F a .

0 . Do đó C đúng. Chọn C.

F a

a
b

b

k.dx

Ta có

k. dx

a

k. x

b

k b

a

D sai.

a

a

5

Câu 4. Cho hàm số f x thỏa mãn

2

f x dx

2

10 . Tính I

32.

A. I

34.

B. I

2

Lời giải. Ta có I

2

4 f x dx

2

5

2x

2

36.

C. I

2

4 f x dx.

5

2

40.

D. I

2

dx

4

f x dx

5

5

5

4

5

f x dx

2. 2 5

34 . Chọn B.

4.10

2

3

Câu 5. Cho hàm số f x thỏa mãn

3

f x dx

2016 và

f x dx

1

2017.

4

4

f x dx .

Tính tích phân I
1

A. I

4023.

1.

B. I
4

Lời giải. Ta có I

f x dx

3

0.

D. I

4

f x dx

1

1.

C. I
3

f x dx

1

3

3

f x dx

f x dx

1

1 . Chọn C.

2016 2017

4

4

2

Câu 6. Cho hàm số f x thỏa mãn

f x dx

1 và

f t dt

1

3.

1

4

f u du.

Tính tích phân I
2

2.

A. I

Lời giải. Ta có

f u du

f x dx

1 và

f u du

f t dt

2

3.

1

4

f u du

2

4

1

1

f u du

2.

D. I

4

1

4

4.

C. I

2

1

Suy ra I

4.

B. I

2

2

f u du

4

f u du

1

1

f u du

1 3

4.

1

Chọn B.
6

Câu 7. Cho hàm số f x thỏa mãn

6

f x dx

f x dt

4 và

3.

2

0
2

Tính tích phân I

f v

3 dv.

B. I

2.

0

A. I

1.
2

Lời giải. Ta có I

f v
0

4.

C. I
2

3 dv

f v dv
0

3v

2
0

D. I

3.

2

f v dv

6.

0

Trang 6

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
2

2

6

f v dv

Mà

6

f v dv

0

0

6

6

f v dv

6

f v dv

2

f v dv

2

Năm học: 2017 - 2018
f v dv

0

2

6

f x dx

f x dx

0

4

3

7.

2

Vậy I

7 6

1.

Chọn A.
10

6

Câu 8. Cho hàm số f x thỏa mãn

f x dx

f x dx

7 và

2

10

f x dx

Tính tích phân I

f x dx.

0

6

10.

A. I

4.

B. I
2

7.

C. I
10

Lời giải. Ta có I

6

f x dx

f x dx

6

4.

D. I

2

f x dx
0

10

3.

2

0

10

6

f x dx

0

f x dx

2

6

f x dx
2

6

f x dx

f x dx

0

4. Chọn B.

7 3

2
d

c

d

Câu 9. Cho hàm số f x thỏa mãn

f x dx

10,

a

f x dx

8 và

b

f x dx

7.

a

c

f x dx .

Tính tích phân I
b

5.

A. I

7.

B. I

d

Lời giải. Ta có I
d

f x dx
b

c

f x dx

f x dx

b

7.

D. I

a

f x dx
b

d

5.

C. I

c

f x dx

d

a

c

f x dx
a

f x dx

8 10

5. Chọn C.

7

a
3

Câu 10. Cho hàm số f x thỏa mãn

4

f x dx

2,

1

4

f x dx

3 và

1

g x dx

7.

1

Khẳng định nào sau đây là sai?
4

4

g x dx

f x

A.

10.

1

4

f x dx

5.

4f x

D.

4

2 g x dx

2.

1
4

Lời giải. Ta có

4

f x

g x dx

4

1

3 7

10 . Do đó A đúng.

1

4

f x dx

f x dx

3

3

g x dx

1

f x dx
3

4

f x dx

1

Ta có

1.

3

3

C.

f x dx

B.

1

4

f x dx
1

f x dx

2

3

5 . Do đó B sai, C đúng. Chọn B.

1
4

4

4f x

Ta có

2 g x dx

4

1

4

f x dx
1

2

g x dx

4.3 2.7

2 g x dx

1 và

2 . Do đó D đúng.

1
2

Câu 11. Cho hàm số f x thỏa

2

3f x
1

2f x

g x dx

3.

1

2

f x dx .

Tính tích phân I
1

A. I

1.

B. I

2.

C. I

5
.
7

D. I

1
.
2

Lời giải. Ta có

Trang 7

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
2

2



3f x

2 g x dx

1

2

3

1

f x dx

2

1

2

2f x

g x dx

3

f x dx

g x dx

1

2

Đặt

1.

2

2

1

g x dx
1

2



3.

1

2

f x dx

v , ta có hệ phương trình

g x dx

u và
1

1
2

Vậy I

f x dx

Năm học: 2017 - 2018

3u

2v

2u v

5
7
.
11
7

u

1
3

v

5
. Chọn C.
7

u

1

Câu 12. (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;2 và thỏa
2

mãn f 1

1, f 2

2. Tính I

x dx .

f
1

1.

A. I

1.

B. I
2

Lời giải. Ta có I

f

x dx

3.

C. I
2

f x

f 2

7
2

D. I
1. Chọn A.

f 1

1

1

x

Câu 13. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên

và thỏa mãn f 0

1. Kí hiệu I

f ' t dt. Mệnh
0

đề nào sau đây là đúng?
A. I f x 1. B. I

f x .

C. I

x

Lời giải. Ta có I

f ' t dt

f t

x

f 0

f x

1.

f x

D. I

f x

1.

1. Chọn D.

f x

0

0

1

Câu 14. Cho hàm số f x

x2

ln x

1 . Tính tích phân

f

x dx .

0

1

1

f

A.

x dx

ln 2.

B.

f

x dx

1 ln 2.

D.

0

ln 1

f

x dx

2 ln 2.

2 .

0
1

Lời giải. Ta có

f

x dx

1

f x

0

0

ln x

x dx

1

1

C.

f
0

0

x2

1

1

ln 1

12

1

02

ln 0

1

2 . Chọn B.

ln 1

0
4

Câu 15. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;4] và thỏa mãn f 1

12 ,

f ' x dx

17.

1

Tính giá trị của f 4 .
A. f 4 29.
B. f 4

5.

4

Lời giải. Ta có

C. f 4

9.

D. f 4

19.

4

f ' x dx

f 4

f x

f 1.

1

1
4

Theo giả thiết

f ' x dx

17

f 4

f 1

17

f 4

17

f 1

17 12

29.

1

Chọn A.
ln 3

Câu 16. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;ln 3 và thỏa mãn f 1

e2 ,

f ' x dx

9 e2.

1

Tính giá trị của f ln 3 .
A. f ln 3 9 2e 2 .

B. f ln 3
Trang 8

9.

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
C. f ln 3

9.
ln 3

Lời giải. Ta có

2e 2

D. f ln 3

Năm học: 2017 - 2018

9.

ln 3

f ' x dx

f ln 3

f x

f 1.

1

1
ln 3

Theo giả thiết

9 e2

f ' x dx

f ln 3

9 e2

f 1

1

9 e2

f ln 3

9 e2

f 1

9. Chọn B.

e2

Câu 17. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;3 và thỏa mãn f 1

1, f 3

m. Tìm tham

3

số thực m để

x dx

f

5.

1

B. m 5.

A. m 6.

C. m 4.

3

Lời giải. Ta có

x dx

f

3

f x

f 3

f 1.

f 1

5

4.

D. m

1

1
3

Theo giả thiết

x dx

f

5

f 3

m 1

5

6. Chọn A.

m

1

x

Câu 18. Cho hàm số g x

t dt . Tính g '

t cos x

A. g '

1.

2

Lời giải. Đặt

u

B. g '
cos x

t sin x

t dt

t

sin x

g'

du

dt

v

sin x

0.

2
t

D. g '

sin x

t dt

t sin x

x

t

cos x

x

t

0

0

sin

2

2.

2

.

x

x
0

Suy ra g ' x

C. g '

t

dv

Khi đó g x

1.

2

.

2

0

1 cos x .

0

1. Chọn B.

2

x2

Câu 19. Tính đạo hàm của hàm số F x

cos t dt với x

0.

0

x 2 cos x.

A. F ' x
C. F ' x

B. F ' x
D. F ' x

cos x.

Lời giải. Đặt y

y2

t

2 ydy

t

x

Khi đó F x

cos y.2 ydy . Đặt
0

2

0

F' x

2 sin x

u 2y
dv cos ydy

sin ydy

t
t

0
x

0

y
2

y

x

.

du 2dy
.
v sin y

x

2 y sin y

2 cos y

0

0

2 x cos x

cos x 1.

dt. Đổi cận:

x

x

2 y sin y

Suy ra F x

2 x cos x.

x

2 x sin x

2 cos x

2

0

2 x cos x. Chọn B.

2 sin x

x

Câu 20. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số F x

t2

t dt trên đoạn

1;1 .

1

A. m

1
.
6

B. m 2.
x

Lời giải. Ta có F x

t2

t dt

1
3

x
3

Xét hàm số F x
Đạo hàm F ' x

2

x2

x
2

x

t3
3

t2
2

5
trên đoạn
6

F' x

5
.
6

C. m

0

x

x3
3

1

D. m

x2
2

5
.
6

5
.
6

1;1 .

x
x

0

1;1
1

1;1

Trang 9

.

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
2
3

1

F

Năm học: 2017 - 2018

5
6

Ta có F 0
F 1

min F x

5
. Chọn C.
6

F 0

1;1

0
x

Câu 21. Tính đạo hàm của hàm số F x

1 t 2 dt .
1

x

/

A. F x

1

x

2

x

2

1

C. F / x

1

.

B. F / x

1

x2 .

.

D. F / x

x2

1 1

x2 .

Lời giải. Gọi H t là một nguyên hàm của 1 t 2 , suy ra H ' t
x

Khi đó F x

1 t 2 dt

x

H t

H 1

H x

1

1

F' x

1 t2 .

H 1

H x

/

H' x

x 2 . Chọn B.

1

x

Câu 22. Tính đạo hàm của hàm số F x

sin t 2 dt với x

0.

1

A. F ' x

sin x

sin x. B. F ' x

2 x

2 sin x

C. F ' x

.

x

.

D. F ' x

Lời giải. Gọi H t là một nguyên hàm của sin t 2 , suy ra H ' t
x

Khi đó F x

sin t 2 dt

H

Chú ý: H

H 1

x

/

x

H

sin t 2 .

H 1

x

1

1

F' x

x

H t

sin x .

H/

/

H

H/

/

x

x

sin x

2 x

2 x

. Chọn B.

x .
x

Câu 23. Tính đạo hàm của hàm số f x , biết f x thỏa mãn

te

f t

dt

f x

e

.

0

A. f ' x

x.

B. f ' x

x2

1.

1
.
x

C. f ' x

D. f ' x

Lời giải. Gọi F t là một nguyên hàm của te f t , suy ra F ' t
x

Khi đó

te

f t

dt

F t

x

F x

F 0

e

f x

te

f t

1.

.

F 0 .

F x

0

0

Đạo hàm hai vế, ta được f ' x .e f
Chọn A.

x

F' x

f ' x .e

f x

xe

f x

f' x

x.

f x

Câu 24. Cho hàm số f x thỏa mãn

t 2 dt

x . Tính f 4 .

x cos

0

A. f 4

B. f 4

2 3.
f x

Lời giải. Ta có

t 2 dt
0

t3
3

f x

0

1
f x
3

3
1
f 4
4 cos 4
3
Câu 25. Cho hàm số y f x có 1

Cho x

4,

3

ta được

định đúng?
A. 3 f 5

f 2

12.

1
.
2

C. f 4

1.

x cos

x .

f 4

3

f' x

B.

D. f 4

12.

12. Chọn D.

4 với mọi x
12

3

f 5

Trang 10

f 2

2;5 . Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng
3.

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
C. 1

f 5

f 2

4.

4

D.

f 5

Năm học: 2017 - 2018

f 2

1.

5

Lời giải. Đầu tiên ta phải nhận dạng được f 5

f 2

f ' x dx .
2

5

Do 1

f' x

4, x

2;5

5

1dx

5

f ' x dx

2

4dx .

2

2

3

Vậy 3

f 5

12

12. Chọn A.

f 2

Vấn đề 2. TÍCH PHÂN CƠ BẢN
a

Câu 26. Tìm số thực a 1 để tích phân
1

1
.
e

A. a

B. a
a

1

x

Lời giải. Ta có

x

1

1

x
x

dx có giá trị bằng e.

e
.
2

C. a

e.
a

dx

1
dx
x

1
1

x

ln x

D. a

a

ln a 1

a

e2 .

e.

1

Thử các đáp án đã cho, có a e thỏa mãn. Thật vậy e ln e 1 e . Chọn B.
a

Cách CASIO. Thiết lập hiệu

1

x
x

1

dx

e.
1
e

Thử từng đáp án, ví dụ với đáp án A ta nhập vào máy

1

x
x

1

dx

e và nhấn dấu =. Màn hình xuất hiện số

khác 0 nên không thỏa mãn. Tương tự thử với đáp án B.
5

dx
.
2x 1

Câu 27. Tính tích phân I
1

ln 3.

A. I

ln 2.
1
ln 2 x 1
2

B. I
5

Lời giải. Ta có

1

dx
2x 1

2

Câu 28. Nếu kết quả của
1

dx
3

x

5
1

C. I

ln 9.

1
ln 9
2

ln1

1
ln 9
2

được viết ở dạng ln

Lời giải. Ta có
1

Suy ra

5
4

a
b

dx

ln x

3

x

3

2

ln 5 ln 4

1

1

a b

ln 3. Chọn A.

a
với a, b là các số nguyên dương và ước chung
b

lớn nhất của a, b bằng 1 . Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. 3a b 12 . B. a 2b 13 .
C. a b 2 .
2

ln 6.

D. I

D. a2 b 2

41 .

5
ln .
4

2. Do đó C sai. Chọn C.
2016

7 x dx .

Câu 29. Tính tích phân I
0

72016 1
ln 7

A. I

B. I
x

7 dx
0

ln7.
2016

2016

Lời giải. Ta có I

72016

72016

ln 7

7x
ln 7 0

Câu 30. Kết quả của tích phân I

C. I

2

72017
2017

7.

D. I

2016.72015.

1
. Chọn A.
ln 7

cos xdx được viết ở dạng I

a

b 3 , với a và b là các số hữu tỉ.

3

Tính P
A. P

4b.

a

a

4b

9
2

B. P

a

4b

Trang 11

3.

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

C. P

1
2

4b

a

D. P

2

Lời giải. Ta có I

cos xdx

sin x

3
2

1

2
3

1
2

4b

a

Năm học: 2017 - 2018

1
. 3
2

1

3

a

1
P

1
2

b

4b

a

Chọn B.

3.

2

Câu 31. Cho hàm số f x

A sin

B ( A, B thuộc

x

) thỏa mãn

f x dx

4 và f ' 1

2 . Tính giá

0

trị biểu thức P
A. P 4.

B.

A

0.

B. P
2

Lời giải. Ta có

f x dx

A sin

0

Suy ra 2B

4

Lại có f ' x
2

Vậy A

A

B dx

x

4.

D. P

2

cos

x

2B .

Bx
0

0

2.

B

A cos
;B

2.

C. P

2

f'1

x

2

P

A

2

A cos

2

2

A

.

0. Chọn B.

B

m

Câu 32. Biết rằng tích phân

0 với m là tham số. Khẳng định nào sau đây là đúng?

cos 2 xdx
0

A. m k 2
C. m

k

.

k
.

k

2

B. m k

m

Lời giải. Ta có 0

1
sin 2 x
2

cos 2 xdx
0

sin 2m

0

2m

k

k
2

m

0

0

0 với x là tham số. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. x

k2

k

.

B. x

C. x

k

k

.

D. x

x

Lời giải. Ta có
0

x

1
sin 2t
4
0

x

1
dt
2

sin 2 t

0

1 cos 2t

2

k

.

k

2k

1

1
dt
2

1
2

Theo giả thiết

1
dt
2

sin 2 t
0

0

sin 2 x

0

2x

k

22018 2
log 2 e.
2017
22018 1
ln 2.
2017

B. I
D. I

1

0

Lời giải. Ta có I

f x dx
1

1

2

1

2017 x

cos 2tdt
0

dx

2
0

2017 x

dx

k

22017 x

f x dx , biết rằng f x

2

1

0

x

x

1

Câu 34. Tính tích phân I

C. I

.

k

1
sin 2 x.
4
x

A. I

.

k

. Chọn C.
1
dt
2

sin 2 t

1

1
sin 2m
2

m

k

x

Câu 33. Biết rằng tích phân

2

2k

D. m

.

k

2017 x

2

k

. Chọn C.

khi x

0

khi x

0

.

22018 1
log 2 e.
2017
22017 1
.
2017 ln 2

1

f x dx
1

2 2017 x
2017 ln 2

f x dx
0

0

1

22017 x
2017 ln 2

1

0

22018 2
log 2 e. Chọn A.
2017

Trang 12

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

2

min 1, x 2 dx.

Câu 35. Tính tích phân I
0

A. I

3
.
4

Lời giải. Ta có

4.

B. I
x

0;1

min 1, x 2

x2

x

1;2

min 1, x 2

1

1

Do đó I

2

min 1, x 2 dx

1

2

x 2 dx

1

3
.
4

D. I

.

min 1, x 2 dx

0

4
.
3

C. I

x3
3

1.dx

0

1

1

2

x
0

1

1
3

1

4
.
3

Chọn C.

Vấn đề 3. ỨNG DỤNG THỰC TIỄN

Giả sử v t là vận tốc của vật M tại thời điểm t và s t là quãng đường vật đi được sau khoảng thời gian
t tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Ta có mối liên hệ giữa s t và v t như sau:
● Đạo hàm của quãng đường là vận tốc: s t v t .
● Nguyên hàm của vận tốc là quãng đường s t

v t dt.

từ đây ta cũng có quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian t

a; b là

b

v t dt

s b

s a .

a

Nếu gọi a t là gia tốc của vật M thì ta có mối liên hệ giữa v t và a t như sau:
● Đạo hàm của vận tốc là gia tốc: v t a t .
● Nguyên hàm của gia tốc là vận tốc: v t

a t dt.

Câu 36. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh;
từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t
5t 10 m/s , trong đó t là khoảng thời
gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển
bao nhiêu mét?
A. 0,2m.
B. 2m.
C. 10m.
D. 20m.
5t 10 0 t 2.
Lời giải. Lúc dừng hẳn thì v t 0
Vậy từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô đi được quãng đường là
2

5t

s

5 2
t
2

10 dt

0

10t

2

10m. Chọn C.

0

Câu 37. Một ô tô đang đi với vận tốc lớn hơn 72km/h, phía trước là đoạn đường chỉ cho phép chạy với
tốc độ tối đa là 72km/h, vì thế người lái xe đạp phanh để ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc
v t
30 2t m/s , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc
bắt đầu đạp phanh đến lúc đạt tốc độ 72km/h, ô tô đã di chuyển quãng đường là bao nhiêu mét?
A. 100m.
B. 125m.
C. 150m.
D. 175m.
Lời giải. Ta có 72km/h 20m/s .
Từ lúc bắt đầu đạp phanh đến lúc đạt tốc độ 72km/h, ta có phương trình
30 2t 20 t 5.
Vậy từ lúc đạp phanh đến khi ô tô đạt tốc độ 72km/h , ô tô đi được quãng đường là
5

30 2t dt

s

125m. Chọn B.

0

Trang 13

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

Câu 38. Một vật đang chuyển động với vận tốc 6m/s thì tăng tốc với gia tốc a t

3
t

1

m/s2 ,

trong đó t

là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây gần nhất với
kết quả nào sau đây?
A. 14 m/s .
B. 13m/s .
C. 11m/s .
D. 12 m/s .
3

Lời giải. Ta có v t

t

1

dt

3ln t

1

C.

Tại thời điểm lúc bắt đầu tăng tốc t 0 thì v 6m/s nên ta có 3ln1 C
Suy ra v t 3ln t 1 6 m/s .
Tại thời điểm t 10 s
v 10 3ln11 6 13m/s. Chọn B.

6

C

6.

Câu 39. Một vật đang chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc a t 3t t 2 m/s2 , trong đó t là
khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. Hỏi quãng đường vật đi được trong khoảng thời
gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bằng bao nhiêu mét?
A.

4000
m.
3

B.

4300
m.
3

1900
m.
3

C.

D.

2200
m.
3

3t 2 t 3
C.
2
3
Tại thời điểm lúc bắt đầu tăng tốc t 0 thì v 10m/s nên suy ra C
3t 2 t 3
Suy ra v t
10 m/s .
2
3

Lời giải. Ta có v t

t 2 dt

3t

10.

Vậy quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bằng
10

s
0

3t 2
2

t3
3

t3
2

10 dt

t4
12

10t

4300
m . Chọn B.

3

10
0

Câu 40. Một ô tô đang chuyển động với vận tốc 30m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển
20

động chậm dần đều với gia tốc a t

1 2t

2

m/s2 , trong đó t

là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc

bắt đầu đạp phanh. Hỏi quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian 2 giây kể từ lúc bắt đầu đạp
phanh là bao nhiêu mét?
A. 46m.
B. 47m.
C. 48m.
D. 49m.
20

Lời giải. Ta có v t

1 2t

2

10
1 2t

dt

Tại thời điểm lúc bắt đầu đạp phanh t
Suy ra v t

10
1 2t

C.

0

30m/s

thì v

nên suy ra C

20.

20 m/s .

Vậy quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian 2 giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh bằng
2

2

v t dt

s
0

0

10
1 2t

20 dt

5ln 1 2t

20t

2

48m. Chọn C.

0

Câu 41. Một ô tô đang chạy thẳng đều với vận tốc v0 m/s thì người đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô
5t v0 m/s , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng
chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t
giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn ô tô di chuyển được 40m thì
vận tốc ban đầu v 0 bằng bao nhiêu?
A. v0 40m/s. B. v0 80m/s.

C. v0 20m/s.
D. v0 25m/s.
Lời giải. Lúc dừng hẳn thì v t
Theo giả thiết, ta có 40m=

0

v0
5

5t

v 0 dt

0

40m

2
0

v
10

v0

5t

v0

0

5 2
t
2

v0 t

t
v0
5
0

v0
.
5
v02
10

v02
5

v02
10

20m/s . Chọn C.

Trang 14

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

Câu 42. Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 m so với mặt đất đã
được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo
phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v t 10t t 2 m/s , trong đó t là khoảng thời gian tính
bằng giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động. Hỏi lúc vừa tiếp đất, vận tốc v của khí cầu bằng bao nhiêu?
A. v 5m/s.
B. v 7m/s.
C. v 9m/s.
D. v 3m/s.
Lời giải. Do v t 10t t 2
0 t 10.
Giả sử chiếc khí cầu chạm đất kể từ lúc bắt đầu chuyển động là t1 giây 0 t1 10 .
t1

Theo đề bài ta có phương trình 162

t 2 dt

10t

5t 2

0

t13

3

5t12

162

0 t1 10

0

9

t1

t3
3

t1

t13
3

5t12

0

9m/s. Chọn C.

v 9

Câu 43. Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường s (mét) đi được của
đoàn tàu là một hàm số của thời gian t (giây) có phương trình là s 6t 2 t 3 . Thời điểm mà tại đó vận tốc
của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là:
A. t 6s.
B. t 4 s.
C. t 2s.
D. t 1s.
2
Lời giải. Vận tốc v t s ' t 12t 3t .
Bậy giờ ta đi tìm giá trị lớn nhất của hàm số v t 12t 3t 2 .
s

6t 2

t3

Ta có v 12t 3t
t

0
2

0

0

4

t

0;4 .

t

0

v t đạt tại t
Đạo hàm và lập bảng biến thiên ta tìm được max
0;4

2s.

Chọn C.

Câu 44. (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Một vật chuyển động theo quy luật s

1 3
t
2

6t 2 với t

(giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển
được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 6 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận
tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?
A. 24m/s.
B. 108m/s.
C. 18m/s.
D. 64m/s.
Lời giải. Vận tốc v t

3 2
t
2

s' t

12t .
3 2
t
2

Ycbt là đi tìm GTLN của hàm số v t

12t với 0

v t
Đạo hàm và lập bảng biến thiên ta tìm được max
0;8

8.

t

24m/s. Chọn A.

v 4

Câu 45. Một tàu lửa đang chạy với vận tốc 200 m/s thì người lái tàu đạp phanh. Từ thời điểm đó, tàu
chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t 200 at m/s , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây,

kể từ lúc bắt đầu đạp phanh và a m/s2 là gia tốc. Biết rằng khi đi được 1500m thì tàu dừng, hỏi gia tốc
của tàu bằng bao nhiêu?
A. a

40
m/s 2 .
3

B. a

200
m/s2 .
13

Lời giải. Khi tàu dừng hẳn thì v

0

40
m/s2 .
3

C. a

200

at

0

t

200t

at 2
2

100
m/s2 .
13

D. a
200
m/s .
a

Theo đề bài ta có phương trình
200
a

1500

200

at dt

0

Suy ra a

40
m/s2 .
3

200
a
0

40000
a

40000
.
2a

Chọn C.

Trang 15

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

Câu 46. Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/h)
phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là một phần parabol với
đỉnh I

1
; 8 và trục đối xứng song song với trục tung như hình
2

bên. Tính quảng đường s người đó chạy được trong khoảng thời
gian 45 phút, kể từ khi chạy.
A. s 4 km.
B. s 2,3 km.
C. s 4,5 km.
D. s 5,3 km.
Lời giải. Hàm vận tốc v t

at 2

c có dạng là đường parabol đi qua các điểm O 0; 0 , A 1; 0

bt

c 0
1
I ; 8 nên suy ra a b c 0
2
a b
c 8
4 2
v t
32t 2 32t m/s .

và

32

a
b

32

c

0

Vậy quảng đường người đó đi được trong khoảng thời gian 45 phút là:
3
4

32t 2

s

32t dt

4,5km.

Chọn C.

0

Câu 47. Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu
tăng tốc với vận tốc tăng liên tục được biểu thị bằng đồ thị
là đường cong parabol có hình bên. Biết rằng sau 10s thì

xe đạt đến vận tốc cao nhất 50 m/s và bắt đầu giảm tốc.
Hỏi từ lúc bắt đầu tăng tốc đến lúc đạt vận tốc cao nhất thì
xe đã đi được quãng đường bao nhiêu mét?
1000
m.
3
1400
C.
m.
3

A.

1100
m.
3

B.

at 2

bt

O

0
b
10
tọa độ O 0;0 nên suy ra
2a

a.10 2 b.10

10

c có dạng là đường parabol có đỉnh I 10;50 , đồng thời đi qua gốc

c

1 2
t
2

t

D. 300m .

Lời giải. Hàm vận tốc v t

v t

v(t)
50

c
a
c

50

b

0
1
2
10

10t m/s .

Theo đồ thị thì xe bắt đầu tăng tốc lúc t 0 và đạt vận tốc cao nhất lúc t 10 s nên quãng đường đi được
của xe từ lúc bắt đầu tăng tốc đến lúc đạt vận tốc cao nhất là:
10

10

v t dt

s
0

0

1 2
t
2

10t dt

1 3
t
6

5t 2

10
0

1000
m. Chọn A.
3

Câu 48. Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v km/h phụ
thuộc thời gian t h có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh
I 2;9 và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính
quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.
A. s 26,75km.
B. s 25,25km.
C. s 24,25km.
D. s 24,75km.

Trang 16

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
Lời giải. Hàm vận tốc v t

at 2

6

b
2
2a
a.2 2 b.2

bt

c

A 0;6 nên suy ra

v t

3 2
t
4

3t

c có dạng là đường parabol đi qua có đỉnh I 2;9 và đi qua điểm
6

c

3
4

a
3

b

9

c

Năm học: 2017 - 2018

6 m/s .

Vậy quảng đường người đó đi được trong khoảng thời gian 3 giờ là:
3

3 2
t
4

s
0

3t

24,75km. Chọn D.

6 dt

Câu 49. Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc
v km/h phụ thuộc thời gian t h có đồ thị của vận tốc như
hình bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu
chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh

I 2;9 với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời
gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục
hoành. Tính quãng đuờng s mà vật chuyển động trong 4 giờ
đó.
A. s 26,5km.
B. s 28,5km.
C. s 27km.
D. s 24km.
2
Lời giải. Hàm vận tốc v t at bt c có dạng là đường parabol đi qua có đỉnh I 2;9 và đi qua điểm
c

O 0;0 nên suy ra

v t

9 2
t
4

0

b
2
2a
a.2 2 b.2

c

0

9
4

a
b

9

c

9t m/s . Suy ra v 3

9

27
m/s .
4

Vậy quảng đường người đó đi được trong khoảng thời gian 4 giờ là:
3

s
0

9 2
t
4

4

9t dt
3

27
dt
4

27km. Chọn C.

vB
Câu 50. Cho đồ thị biểu diễn vận tốc của hai xe A và
v
vA
B khởi hành cùng một lúc, bên cạnh nhau và trên
cùng một con đường. Biết đồ thị biểu diễn vận tốc của
60
xe A là một đường parabol, đồ thị biểu diễn vận tốc
của xe B là một đường thẳng ở hình bên. Hỏi sau khi
đi được 3 giây khoảng cách giữa hai xe là bao nhiêu
t
mét.
O
3 4
A. 90 m.
B. 60 m.
C. 0 m.
D. 270 m.
Lời giải. Hàm vận tốc v A t at 2 bt c có dạng là đường parabol đi qua các điểm O 0;0 , A 3;60 và
B 4;0 nên suy ra v A t
20t 2 80t m/s .

Hàm vận tốc vB t at b có dạng là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O 0;0 và điểm A 3;60 nên suy ra

vB t

20t m/s .
3

Quãng đường đi được sau 3 giây của xe A là s A

20t 2

80t dt

180m.

0
3

Quãng đường đi được sau 3 giây của xe B là s B

20t dt

90m.

0

Vậy khoảng cách giữa hai xe sau 3 giây sẽ bằng: s A sB

Trang 17

90 m. Chọn A.

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

Câu 51. Tốc độ thay đổi số dân của một thị trấn kể từ năm 1970 được mô tả bằng công thức
f

t

120
t

5

2

, với t là thời gian tính bằng năm (thời điểm t

ứng với năm 1970). Biết rằng số dân của

0

thị trấn vào năm 1970 là 2000 người. Hỏi số dân của thị trấn đó vào năm 2018 gần nhất với số nào sau
đây?
A. 22 nghìn người.

B. 23 nghìn người.
C. 24 nghìn người.
D. 25 nghìn người.
120

Lời giải. Tốc độ thay đổi số dân của thị trấn vào năm thứ t là f t
f

5

t

. Suy ra nguyên hàm của

2

t là hàm số f t mô tả số dân của thị trấn vào năm thứ t .

Ta có f t

f

120

t dt

5

t

2

120
t 5

dt

C

Số dân của thị trấn vào năm 1970 (ứng với t
f 0

120
0 5

2

.
0)

là

2

C

Vậy số dân của thị trấn vào năm 2018 (ứng với t
120
48 5

f 48

26

C
48 )

26

23,73

120
t 5

f t

26.

là
nghìn người. Chọn C.

Câu 52. Biết tốc độ phát triển của vi khuẩn HP (Helicobacter pylori) gây đau dạ dày tại ngày thứ t là
F' t

1000
2t 1

và ban đầu bệnh nhân có 2000 con vi khuẩn. Sau 15 ngày bệnh nhân phát hiện ra bị bệnh.

Hỏi khi đó có bao nhiêu con vi khuẩn trong dạ dày ?

A. 5434 con.
B. 1500 con.
C. 283 con.

D. 3717 con.
1000
.
2t 1

Lời giải. Tốc độ phát triển của vi khuẩn tại ngày thứ t là F t

Suy ra số lượng vi khuẩn vào

ngày thứ t được tính theo công thức
F t

1000
dt
2t 1

F t dt

500 ln 2t

1

C

.

Lúc ban đầu bệnh nhân có 2000 con vi khuẩn nên
F 0

2000

500 ln 2.0 1

Số vi khuẩn sau 15 ngày là: F 15

2000

C

500 ln 2.15 1

C
2000

2000

F t

500 ln 2t

1

2000.

3716,99 . Chọn D.

Câu 53. Một đám vi trùng ngày thứ t có số lượng là N t . Biết rằng N ' t

4000
và lúc đầu đám vi
1 0,5t

trùng có 250.000 con. Sau 10 ngày số lượng vi trùng là (lấy xấp xỉ hàng đơn vị):
A. 264.334 con. B. 257.167 con.
C. 258.959 con.
D. 253.584 con.
Lời giải. Ta có N t
Tại thời điểm ban đầu t
N 0

4000
dt
1 0,5t

N ' t dt

8000.ln 1 0,5t

C.

0 thì

8000.ln1 C

250000

C

250000

N t

8000.ln 1 0,5t

250000 .

Sau 10 ngày t 10 thì N 10 8000.ln 1 0,5.10 250000 264.334 con. Chọn A.
Câu 54. Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức S ' t 100r .e t (con/giờ) với r là tỷ lệ
tăng trưởng đặc trưng của vi khuẩn. Ban đầu có 100 con vi khuẩn. Hỏi sau bao lâu số lượng vi khuẩn ban
đầu sẽ tăng gấp đôi. Biết rằng số lượng vi khuẩn sau 5 giờ là 300 con.
A. 4 giờ35 phút. B. 3 giờ 9 phút.
C. 4 giờ 30 phút.
D. 4 giờ 2 phút.
Lời giải. Sự tăng trưởng của vi khuẩn tại giờ thứ t là S ' t 100r .e t . Suy ra số lượng vi khuẩn vào giờ thứ
t được tính theo công thức
S t
S ' t dt
100r .e t dt .
Số lượng vi khuẩn sau 5 giờ là 300 con nên ta có:
5

100r .e t

300

100r .e 5

100r

300

r

0,020351.

0

Trang 18

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

t

Suy ra thời gian để số vi khuẩn tăng lên 200 con là: 200

100.0,020351.e t
0

100.0,020351 e

t

1

200

4,597

t

giờ (4 giờ 35 phút). Chọn A.

Câu 55. Người ta thay nước mới cho một bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu là 280cm. Giả sử
h t là chiều cao (tính bằng cm) của mực nước bơm được tại thời điểm t giây, biết rằng tốc độ tăng của
1 3
t
500

chiều cao mực nước tại giây thứ t là h ' t
thì nước bơm được

và lúc đầu hồ bơi không có nước. Hỏi sau bao lâu

3
độ sâu của hồ bơi?
4

A. 3 giờ 34 giây. B. 2 giờ 34 giây.
Lời giải. Ta có h t
Lúc ban đầu (tại t

3

h ' t dt
0)

C. 3 giờ 38 giây.

1 3
t
500

3
t
2000

3dt

3

D. 2 giờ 38 giây.
4
3

C.

hồ bơi không chứa nước, nghĩa là
7

h 0

3
0
2000

0

3

4
3

C

0

33
.
2000

C

7

3
t
2000

Suy ra mực nước bơm được tại thời điểm t giây là h t
Theo giả thiết, lượng nước bơm được bằng

3

4
3

33
.
2000

3
độ sâu của hồ bơi nên ta có:
4
7

h t

3
.280
4

3
t
2000

3

4
3

33

2000

210

Vậy sau khoảng thời gian 2 giờ 34 giây thì bơm được

t

3

4
3

140004,33

t

7234s .

3
độ sâu của hồ bơi. Chọn B.
4

Chủ đề 4.1. NGUYÊN HÀM
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT
1. Nguyên hàm
Định nghĩa: Cho hàm số f  x  xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F  x 
được gọi là nguyên hàm của hàm số f  x  trên K nếu F '  x   f  x  với mọi x  K .
Định lí:

1) Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số

G  x   F  x   C cũng là một nguyên hàm của f  x  trên K .
2) Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì mọi nguyên hàm của f  x  trên K đều
có dạng F  x   C , với C là một hằng số.
Do đó F  x   C, C 

là họ tất cả các nguyên hàm của f  x  trên K . Ký hiệu

 f  x  dx  F  x   C .

2. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1:

  f  x  dx   f  x  và  f '  x  dx  f  x   C

Tính chất 2:  kf  x  dx  k  f  x  dx với k là hằng số khác 0 .
Tính chất 3:   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx
Trang 19

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f  x  liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số hợp  u  u  x  

 dx  x  C

 du  u  C

x



dx 

1 1
x  C    1
 1

u

1



du 

1 1
u  C    1
 1

1

 x dx  ln x  C

 u du  ln u  C

 e dx  e

 e du  e

x

x
 a dx 

x

C

u

ax
 C  a  0, a  1
ln a

u
 a du 

 sin xdx   cos x  C
 cos xdx  sin x  C

1

 cos

2

x

1

 sin

2

x

u

C

au
 C  a  0, a  1
ln a

 sin udu   cos u  C
 cos udu  sin u  C
1

dx  tan x  C

 cos

dx   cot x  C

 sin

2

u

1
2

u

du  tan u  C
du   cot u  C

II. PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1. Phƣơng pháp đổi biến số
Định lí 1: Nếu

 f u  du  F u   C và u  u  x  là hàm số có đạo hàm liên tục thì

 f u  x  u '  x  dx  F u  x   C
Hệ quả: Nếu u  ax  b  a  0  thì ta có  f  ax  b  dx 

1
F  ax  b   C
a

2. Phƣơng pháp nguyên hàm từng phần
Định lí 2: Nếu hai hàm số u  u  x  và v  v  x  có đạo hàm liên tục trên K thì

 u  x  v '  x  dx  u  x  v  x   u '  x  v  x  dx
Hay

 udv  uv   vdu
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp biến đổi trực tiếp.
- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.

Trang 20

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.

Nguyên hàm của hàm số f  x   x3  3x  2 là hàm số nào trong các hàm số sau?
A. F  x  

x 4 3x 2


 2x  C .
4
2

B. F  x  

x4 x2
C. F  x     2 x  C .
4 2

x4
 3x 2  2 x  C .
3

D. F  x   3x 2  3x  C .

Hƣớng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm.
Câu 2.

Hàm số F  x   5x3  4 x 2  7 x  120  C là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. f  x   15x 2  8x  7 .
C. f  x  

B. f  x   5x 2  4 x  7 .

5 x 2 4 x3 7 x 2


.
4

3
2

D. f  x   5x 2  4 x  7 .

Hƣớng dẫn giải: Lấy đạo hàm của hàm số F  x  ta được kết quả.
Câu 3.

Họ nguyên hàm của hàm số: y  x 2  3x 

1
là
x

x3 3 2
 x  ln x  C .
3 2
x3 3
C. F  x    x 2  ln x  C .
3 2
Hƣớng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm.

x3 3 2
 x  ln x  C .
3 2
1
D. F  x   2 x  3  2  C .
x

A. F  x  

Câu 4.

B. F  x  

Tìm nguyên hàm của hàm số f  x    x  1 x  2 

x3 2 2
 x  2x  C .
3 3
x3 2
C. F  x   2 x  3  C .
D. F  x    x 2  2 x  C .
3 3
2
Hƣớng dẫn giải: f  x    x  1 x  2  x  3x  2 . Sử dụng bảng nguyên hàm.
A. F  x  

Câu 5.

x3 3 2
 x  2x  C .
3 2

B. F  x  

Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x  

2
2 3

  2 là hàm số nào?
5  2x x x

3
A. F  x    ln 5  2 x  2ln x   C .
x

3
B. F  x    ln 5  2 x  2ln x   C .
x

3
C. F  x   ln 5  2 x  2ln x   C .
x

3
D. F  x    ln 5  2 x  2ln x   C .
x

Hƣớng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm.
4.1.2. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC.
Câu 6.

Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  sin 2 x
1
A.  sin 2 xdx   cos 2 x  C .
2

1
B.  sin 2 xdx  cos 2 x  C .

2

Trang 21

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
C.  sin 2 xdx  cos 2 x  C .

D.  sin 2 xdx   cos 2 x  C .

Hƣớng dẫn giải  sin 2 xdx 
Câu 7.

1
1
sin 2 xd (2 x)   cos 2 x  C .

2
2



Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  cos  3x   .
6






1

A.

 f ( x)dx  3 sin  3x  6   C .

C.

 f ( x)dx   3 sin  3x  6   C .





1

Hƣớng dẫn giải:

Câu 8.

Năm học: 2017 - 2018

1

 f ( x).dx  sin  3x  6   C .

D.

 f ( x)dx  6 sin  3x  6   C .

 







B.

 1



1







 f ( x)dx  3  cos  3x  6  d  3x  6   3 sin  3x  6   C .

Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  1  tan 2

x
.

2

x

A.

 f ( x)dx  2 tan 2  C .

C.

 f ( x)dx  2 tan 2  C .

1

x

x

B.

 f ( x)dx  tan 2  C .

D.

 f ( x)dx  2 tan 2  C .

x

 x
d 

x
1
dx
x
2
Hƣớng dẫn giải: f ( x)  1  tan 2 
nên 
 2    2 tan  C .
x
x
x
2 cos 2
2
cos 2
cos 2
2
2
2

Câu 9.

Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) 

1



sin  x  
3


.

2





A.

 f ( x)dx   cot  x  3   C .

C.

 f ( x)dx  cot  x  3   C .







1



B.

 f ( x)dx   3 cot  x  3   C .

D.

 f ( x)dx  3 cot  x  3   C .

1







dx 
dx

3

 
  cot  x    C .
Hƣớng dẫn giải: 


3



sin 2  x  
sin 2  x  
3

3


Câu 10. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  sin 3 x.cos x .
A.

C.



f ( x)dx 

sin 4 x
C .
4

B.



f ( x)dx 

sin 2 x
C .
2

D.
Trang 22



f ( x)dx  

sin 4 x
C .
4



f ( x)dx  

sin 2 x
C .
2
Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

Hƣớng dẫn giải  sin 3 x.cos x.dx   sin 3 x.d (sin x) 

sin 4 x
C.
4

4.1.3. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT.
Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  e x  e x .

 f  x  dx  e
C.  f  x  dx  e
A.

x

 e x  C .

x

 e x  C .

Hƣớng dẫn giải:

 e

x

 f  x  dx  e
D.  f  x  dx  e
B.

 e x  dx  e x  e x  C .

x

 e x  C .

x

 e x  C .

Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  2x.32 x .
A.
C.

x



1
2
f  x  dx    .
C .
 9  ln 2  ln 9



1
2
f  x  dx    .
C .
 3  ln 2  ln 9

B.

x

D.
x

x



1
9
f  x  dx    .
C .
 2  ln 2  ln 9



1
2
f  x  dx    .
C .
 9  ln 2  ln 9

x

x

1
2
2
Hƣớng dẫn giải:  2 x.32 x dx     dx    .
C
9
 9  ln 2  ln 9

Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  e x (3  e x ) là
A. F ( x)  3e x  x  C .
C. F ( x)  3e x 

B. F ( x)  3e x  e x ln e x  C .

1
C .
ex

D. F ( x)  3e x  x  C .

Hƣớng dẫn giải: F( x)   e x (3  e x )dx   (3e x  1)dx  3e x  x  C

Câu 14. Hàm số F  x   7e x  tan x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?


e x 
A. f  x   e x  7 
.
cos 2 x 


B. f  x   7e x 

C. f  x   7e x  tan 2 x  1 .

1 

D. f  x   7  e x 

.
cos 2 x 


1
.
cos2 x

1
e x
x
 e (7 
)  f ( x)
Hƣớng dẫn giải: Ta có g '( x)  7e 
cos 2 x
cos 2 x
x

Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  e4 x 2 .
1

2 x 1

C .

B.

 f  x  dx  e

1

4 x2

C .

D.

 f  x  dx  2

A.

 f  x  dx  2 e

C.

 f  x  dx  2 e

2 x 1

C .

1

e2 x 1  C .

2x 1  C .

1
e4 x 2 dx   e2 x 1dx  e2 x 1  C .
2

4.1.4. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC.
1
Câu 16. Nguyên hàm của hàm số f ( x) 
là
2x 1
Hƣớng dẫn giải:



A.

 f  x  dx 

2x 1  C .

B.

 f  x  dx  2

C.

 f  x  dx 

2x 1
C .
2

D.

 f  x  dx  2

Trang 23

2x 1  C .

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

1
1 d  2 x  1
dx

 2x 1 2  2x 1  2x 1  C .
1
Câu 17. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) 
.
3 x

Hƣớng dẫn giải:

 f  x  dx  2 3  x  C .
C.  f  x  dx  2 3  x  C .

 f  x  dx   3  x  C .
D.  f  x  dx  3 3  x  C .

A.

Hƣớng dẫn giải:



B.

d 3  x 
1
dx   
 2 3  x  C .
3 x
3 x

Câu 18. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 x  1 .
1

A.

 f  x  dx  3  2 x  1

C.

 f  x  dx   3

1

2x 1  C .

2x  1  C .

2

B.

 f  x  dx  3  2 x  1

D.

 f  x  dx  2

1

2x 1  C .

2x  1  C .

Hƣớng dẫn giải: Đặt t  2 x  1  dx  tdt



t3
1
2 x  1dx= t dt   C   2 x  1 2 x  1  C .
3
3
2

Câu 19. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  5  3x .

2

A.

 f  x  dx   9  5  3x 

C.

 f  x  dx  9  5  3x 

2

5  3x  C .
5  3x .

Hƣớng dẫn giải: Đặt t  5  3x  dx  



5  3xdx  

2

B.

 f  x  dx   3  5  3x 

D.

 f  x  dx   3

2

5  3x .

5  3x  C .

2tdt
3

2
 5  3x  5  3x  C .
9

Câu 20. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  3 x  2 .
A.
C.

3

 f  x  dx  4  x  2


f  x  dx 

3

x2 C .

2

 x  2 x  2 .
3

B.
D.

3

 f  x  dx   4  x  2


x2 C .

3

2
1

 x  2 3  C .
3
3
x  2dx   x  2  3 x  2  C
4

f  x  dx 

Hƣớng dẫn giải: Đặt t  3 x  2  dx  3t 2dt . Khi đó



3

Câu 21. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  3 1  3x .
A.
C.

1

 f  x  dx   4 1  3x 


f  x  dx 

3

1  3x  C .

1
1  3x  3 1  3x  C .
4

3

B.

 f  x  dx   4 1  3x 

D.

f  x  dx   1  3x 



Hƣớng dẫn giải: Đặt t  3 1  3x  dx  t 2dt . Khi đó



3

1  3xdx  



2
3

3

1  3x  C .

C .

1
1  3x  3 1  3x  C
4

Câu 22. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   e3 x .

Trang 24

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
A.

C.



f  x  dx 

 f  x  dx 

2 e3 x
C
3

3 e
2

Hƣớng dẫn giải:

3x



B.

C

e3 x dx 

D.

Năm học: 2017 - 2018

 f  x  dx  2

3

2e

e3 x

C

3x2
2

 f  x  dx  3x  2  C

2 32x  3x  2 32x
2 e3 x
e
.
d

.
e


C

C
 
3
3
 2  3

Bán toàn bộ tài liệu Toán 12 với 3000 Trang rất
công phu của Tiến Sĩ Hà Văn Tiến. Tài liệu có
giải chi tiết rất hay, phân dạng đầy đủ dùng để
luyện thi THPT Quốc Gia 2018
Lớp 12+Luyện Thi THPT Quốc Gia 2018 trọn bộ
giá 200 ngàn

Tặng: 50 đề thi thử THPT Quốc
Gia + Ấn phẩm Casio 2018 của
ĐH Sƣ Phạm TPHCM
Thanh toán bằng mã thẻ cào Vietnam mobile gửi mã
thẻ cào+số seri+Mail qua số điện thoại
mình sẽ gửi toàn bộ
cho bạn. đây là một phần trích đoạn tài liệu của Tiến
Sĩ Hà Văn Tiến
Trang 25

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến