DeThiHSG.Com Dap an va de thi hoc sinh gioi mon toan lop 12 So GD

www.VNMATH.com
L

12

2012-2013
MÔN THI:

: 18 - 10 - 2012
: 180
.

Bài 1. (

m)

xy x y 1

Gi i h

Bài 2. (

4 x 3 12 x 2 9 x

y3 6 y 7

m)
1
2

u1

Cho dãy s (un )

nh b i
un

3un 4
, n
2 un 1

1

N*

Ch ng minh dãy s (un ) có gi i h n h u h n và tìm gi i h
Bài 3. (

m)

Cho x, y , z là các s

th a mãn

x yz
Bài 4. (

y zx

1
x

1
y

z xy

1
1 . Ch ng minh:
z

xyz

x

y

z

m)
ng cao AH , BK n i ti

Cho tam giác nh n ABC v

M là m

ng trên cung nh BC c a

th ng AM và BK c t nhau t i E
Ch ng minh r ng khi M
c

ng tròn (O)

ng

ng th ng BM và AH c t nhau t i F .

ng trên cung nh BC c a

n EF luôn n m trên m

Bài 5. (
m)
Tìm t t c các

ng tròn (O). G i

ng th ng c

m

nh.

c P( x ) h s th c th a mãn : P( x ).P( x 3)

P( x 2 ),

x

H T

DeThiHSG.Com -

thi h c sinh gi i, chuyên

b id

ng HSG mi n phí c p nh t liên t c!


www.VNMATH.com
VÒNG 1
Bài 1. (4

m)

xy x y 1

Gi i h

4 x 3 12 x 2 9 x

y3 6 y 7

Gi i
t z

yz
y

yz

x 1H

y

z 2

3

2

3y z 4z
1

z

17

1

17

1

17

1

17

z 2

y

z

y

5

17

1

0

2z
x

4

y

2

3 y ( z 2) 4 z 3

yz

x

4

y

2

Bài 2. (

0
z

4

y

3

z 2

3

17

y

2

5

17
4

1

17
2

m)
1
2

u1
Cho dãy s (un )

nh b i
un

1

3un 4
, n
2 un 1

N*

Ch ng minh dãy s (un ) có gi i h n h u h n và tìm gi i h
Gi i
T gi thi t ta suy ra un 0, n N *
3x 4 3

5
Xét f ( x )
,v i
2 x 1 2 2(2 x 1)
1
u1
Ta có
2
un 1 f (un ), n N *
f ( x)

3
,
2

3
2

un

t

và f ( x ) 4

4, n

xn

u2 n

yn

u2 n

2

5x
0, x
2x 1

DeThiHSG.Com -

0, x

0

0

dãy (un ) b ch n

1

Do f(x) ngh ch bi n trên (0; ) nên g(x) = f(f(x))
f ( xn ) f (u2 n 1 ) u2 n yn ; f ( yn ) f (u 2n ) u 2n 1
g ( xn ) f ( f ( xn )) f ( yn ) xn 1
1
11
49
u1
; u2

; u3
y u1 u3 x1
2
4
26
g ( xk ) g ( xk 1 )
xk 1 xk
Gi s r ng xk xk 1
Suy ra ( xn )
Do xn xn 1

5
(2 x 1)2

, f '( x )

ch n trên
f ( xn ) f ( xn 1 )

ng bi n trên (0;
xn 1

x2
2

. V y xn

xn 1 , n

( xn ) có gi i h n h u h n a .

yn yn 1
dãy ( yn ) gi m và b ch

thi h c sinh gi i, chuyên

)

b id

N*
i

ng HSG mi n phí c p nh t liên t c!


www.VNMATH.com
( yn ) có gi i h n h u h n b.

f ( xn )

3
;4 , n
2
yn

f ( yn )

xn

xn , y n

Ta có

3
;4
2
f (a ) b

2

3
;4
2
f (a ) b

a, b

f (b)

1

a, b

a

f (b)

(I )

f (a )

a b (1)

5
1
1
(a b) (2a 1)(2b 1) 5
2 2b 1 2a 1
(do (2a 1)(2b 1) (3 1)(3 1) 16 5 )
(1)

a b

3
;4
2
3a 4
2a 1

b
a

2

Bài 3. (

m)

a

Cho x, y , z là các s

1
x

1
yz

1
y

Ta c n ch ng minh:

1
x
Ch

1
yz

1
x

b

2.

y zx

1
zx

1
x

b

th a mãn

x yz
(*)

a

a

V y t (I)
V y lim un

0

1
z
1
yz

1
xy
1
x

1

x

1
y

z xy

xyz

1
xy

1

x

1
yz

y

z (*)

1
(**)
zx

1
yz

1
yz

1
y
C ng ba b

1 1
1
2
1
2
x yz x
x yz yz
ta có:
1 1
1
1 1 1
1
,
zx y
z xy z
zx
xy
ng th
c (**).

Bài 4. (

m) Cho tam giác nh n ABC v

cao AH , BK n i ti

1
1 . Ch ng minh:
z

1

1
x

2
yz

1
y

ng

1
z

2
yz

A

ng tròn (O). G i M là m t

ng trên cung nh BC c a

ng tròn (O) sao

K

ng th ng AM và BK c t nhau t i E ; các
ng th ng BM và AH c t nhau t i F . Ch ng minh
r ng khi M

ng trên cung nh BC c a
mc

th ng c

ng tròn (O)

n EF luôn n m trên m

B

H

C

M

nh.

F

Gi i

DeThiHSG.Com -

ng

O
E

thi h c sinh gi i, chuyên

b id

ng HSG mi n phí c p nh t liên t c!


www.VNMATH.com
Ta ch ng minh hai tam giác EHK và FHK có di n tích b ng nhau.
Ta có MAC MBC

S EHK
S FHK
SEHK

1
KH .KE.sin BKH
2
1
HF .HK .sin FHK

2
SFHK suy ra E, F

1
1
KH .KA.tan .sin BAH
KH . AB.cos A. tan .cos B
2
2
1
1
BH .tan .HK .sin AHK
AB.cos B.tan .HK .cos A
2
2
u HK mà E,F n m v hai phía c a HK

m c a EF n

ng th ng HK.

Bài 5. (
m)
Tìm t t c các
c P( x ) h s th c th a mãn : P( x ).P( x 3) P( x 2 ), x
Gi i :
c P(x) h s th c th a P(x)P(x 3)=P(x2) x R
(1)
ng h p P(x) C ( C là h ng s th c ) :
P(x) C th a (1)

C2= C
C = 0 C = 1 P(x) 0 hay P(x) 1
ng h p degP 1
G i là m t nghi m ph c tùy ý c a P(x) . T (1) thay x b ng ta có P( 2)=0 x= 2
là nghi m c a P(x) . T
, 2, 4, 8, 16
m c a P(x) . Mà P(x) ch có
h u h n nghi m
P(x)
c không)
0
1

(I)

T (1) l i thay x b ng +3 ta có P(( +3)2)=0
x=( +3)2 là nghi m c a P(x)
2
T x = ( +3) là nghi m c a P(x)
ph n trên ta có ( +3)2, ( +3)4, ( +3)8,
( +3)16
m c a P(x) . Mà P(x) ch có h u h n nghi m
3

2

0

3

0

3

2

1

3

1

y,n u

(II)

là nghi m c a P(x) thì ta có

th a h

(I)
(II)

y

I

O

3

Bi u di n các s ph c
nghi m
Không t n t
K t lu n Cá

DeThiHSG.Com -

1

x

th a (I) và th a (II) trên m t ph ng ph c ta có h

(I)
(II)

c h s th c P(x) b c l
ho c b ng 1 th a (1)
c P(x) h s th c th a P(x)P(x 3)=P(x2) x g m P(x)

thi h c sinh gi i, chuyên

b id

không có

0 , P(x)

1

ng HSG mi n phí c p nh t liên t c!