DeThiHSG.Com Dap an va de thi hoc sinh goi mon toan lop 12 So GD

DeThiHSG.Com S

thi h c sinh gi i, chuyên

GIÁO D C VÀ ÀO T O
V NH PHÚC

Môn: TOÁN – THPT chuyên.
Th i gian: 180 phút, không k th i gian giao
Ngày thi: 02/11/2012.

ng trình

8
y
8
3y 2
z
8
3z 2
x

x 2 3x 2

5y 1

y2

5z 1

z2

Câu 2 (1,5 i m). Cho a, b, c, d là các s th c d

2.

3a
a b c

3. 3

ng HSG mi n phí c p nh t liên t c!

K THI CH N H C SINH GI I C P T NH
L P 12 THPT N M H C 2012-2013

THI CHÍNH TH C

Câu 1 (2,5 i m). Gi i h ph

b id

.

x, y , z

5x 1

ng. Ch ng minh r ng

bc

a b a b c d

4. 4

2b3d
81 a b

3

a b c d

ng sao cho 3n

Câu 3 (2,0 i m). Gi s n là m t s nguyên d
2
d c a 2 n 11n 2012 n khi chia cho 7 .

25
6

2n chia h t cho 7 . Tìm s

Câu 4 (3,0 i m). Cho hình bình hành ABCD. G i P là i m sao cho trung tr c c a o n
th ng CP chia ôi o n AD và trung tr c c a o n AP chia ôi o n CD. G i Q là trung
i m c a o n th ng BP.
a) Ch ng minh r ng
ng th ng BP vuông góc v i
ng th ng AC.
b) Ch ng minh r ng BP 4.OE , trong ó E là trung i m c a AC và O là tâm
ng tròn ngo i ti p tam giác AQC .

Câu 5 (1,0 i m). Cho m, n m

n

úng

m

ph n

t

c a

n 1 1 Cn2 Cn3 Cn4

t p

n

4 là các s nguyên d
h p

S

S sao cho các t p h p Ai

Aj

v im i j

Ch ng

c n ph n t

thì ta luôn ch n

x1 , x2 ,..., xn
Ak

1, 2,3,..., m .

ng và A là m t t p h p con có

x

y

xi x

A, y

minh

r ng

n u

ôi m t phân bi t

A , i 1, n th a mãn

k và j, k 1, n .
-----------------H t-----------------

- Thí sinh không
c s d ng máy tính c m tay.
- Giám th không gi i thích gì thêm.
H và tên thí sinh: ………………………………………………….S báo danh……………..

DeThiHSG.Com -

thi h c sinh gi i, chuyên

b id

ng HSG mi n phí c p nh t liên t c!


DeThiHSG.Com -

thi h c sinh gi i, chuyên

GIÁO D C VÀ ÀO T O
V NH PHÚC

S

b id

ng HSG mi n phí c p nh t liên t c!

K THI CH N H C SINH GI I C P T NH
L P 12 THPT N M H C 2012-2013

Môn: TOÁN – THPT chuyên
H

NG D N CH M
(G m 04 trang)

L u ý khi ch m bài:
- áp án ch trình bày m t cách gi i bao g m các ý b t bu c ph i có trong bài làm
c a h c sinh. Khi ch m n u h c sinh b qua b c nào thì không cho i m b c ó.
-N u h c sinh gi i cách khác, giám kh o c n c các ý trong áp án cho i m.
-Trong bài làm, n u m t b c nào ó b sai thì các ph n sau có s d ng k t qu sai
ó không
c i m.
-H c sinh
c s d ng k t qu ph n tr c làm ph n sau.
-Trong l i gi i câu 4 n u h c sinh không v hình ho c v sai hình không cho i m.
- i m toàn bài tính n 0,25 và không làm tròn.
Câu 1. (2,5 i m)
N i dung
1
. Xét các hàm s
5

i u ki n: x, y, z
f' t

8
t2

2t 3 0, g ' t

5
2 5t 1

1
;
5

và g t ngh ch bi n trên

5t 1 . Khi ó ta có

1
.
5

0, t
1
;
5

Mà f t , g t là các hàm s liên t c trên

8
t

t 2 3t 2, g t

f t

ng bi n trên

suy ra f t

. Không m t tính t ng quát ta gi s

x

1
;
5

min x, y, z .

Khi ó ta có:
N u x
ra y

z

Do v y x

y

g x

g y
y,t

c x2 3x 2
t h x

g y
g z

f x

f x
f y

z
x

x

c x

8
x

8
x

5x 1
8
x

x 2 3x 2

5 x 1, x

1
;
5

g z

y , vô lí vì x

ng t lí lu n nh trên ta

x 2 3x 2

DeThiHSG.Com -

f z

g x

f y

f z

suy

y.

z suy ra x

y

z . Thay tr l i h ta

5 x 1 0 (1).
. D

thi h c sinh gi i, chuyên2

th y hàm s

b id

ng bi n trên

ng HSG mi n phí c p nh t liên t c!


DeThiHSG.Com -

thi h c sinh gi i, chuyên

b id

ng HSG mi n phí c p nh t liên t c!

N i dung

1
;
5

và h 1

h ph

0

x 1 là nghi m duy nh t c a ph

ng trình ã cho là x

y

ng trình (1). V y nghi m c a

z 1.

Câu 2. (1,5 i m)
N i dung
t P

3a
a b c

2

d ng b t

2a
a b

bc
a b a b c d

33

b

2b3 d
81 a b

3

. Khi

a b c d

ó áp

33

81 a b

2 a b c
3c
.
a b 2 a b c 3 a b c d

b

.

3 a b c d

2b3 d
3

3 a b
2 a b c

2 a b c

3c
2 a b c

a b
44

44

ng th c AM-GM ta có:

3 a b
2a
.
a b 2 a b c

2

bc
a b a b c d

33

i m

4. 4

a b c d

3

b
3 a b

2d
3 a b c d

b
2d
3 a b 3 a b c d
C ng t ng v các b t ng th c trên ta
c:
2 a b 3 a b c 2 a b c d
P
a b
2 a b c 3 a b c d

D u ng th c x y ra khi và ch khi a b c d .
3.

25
6

Câu 3. (2,0 i m)
N i dung
t n

3q r ; q, r

3n

Do ó

2n

,0

26 k

+) 11n

116 k

+) 2012 n

2

3

2k
3

2 . Khi ó 3n
q

1 .3r

0 mod 7

Suy ra n có d ng n
+) 2n

r

6

6k 3 , chú ý n u a,7

6k 3

T (1), (2) và (3) ta

DeThiHSG.Com -

0 mod 7
1

q

27 q.3r 8q.2r

a6

q

1 .3r
2k 1, r

6

.113

2

2

0.

(1)

43 1 mod 7

20126 k

2r mod 7

1 mod 7 . Do ó ta có:

.8 1 mod 7

11k

2012

2r

2n

i m

6k

6

.20129

(2)
39

273

6 mod 7

(3)

c

thi h c sinh gi i, chuyên3

b id

ng HSG mi n phí c p nh t liên t c!


thi h c sinh gi i, chuyên

DeThiHSG.Com -

ng HSG mi n phí c p nh t liên t c!

b id

N i dung
2n 11n

2012 n

i m

1 1 6 1 mod 7 . V y s d c n tìm là 1 .

Câu 4. (3,0 i m)
A

B
Q

I
P

O
M

E
J

D

C

N
N i dung

i m

a) (2,0 i m)
G i M, N, I, J theo th t là trung i m c a các o n th ng AD, CD, AP, CP. Khi ó
NI

AP, MJ

CP

Do I là trung i m c a AP, Q là trung i m c a BP nên IQ AB và IQ

AB
t

2

ó suy ra

IQ CN và IQ CN . Suy ra t giác CNIQ là hình bình hành.
Suy ra CQ NI . T
Ch ng minh t

ó, do NI

ng t , c ng

AP nên CQ

c AQ

(1)

AP

(2)

CP

T (1) và (2) suy ra P là tr c tâm c a tam giác ACQ suy ra PQ

AC hay BP

AC

Do P là tr c tâm c a tam giác AQC nên OA OC OQ OP
OA OC
4OE
V y BP

1
OP OB
2

OP

2 OA OC

OP OB

4OE

BP

BP

OB OP
4.OE .

4.OE .

Câu 5. (1,0 i m)
N i dung
Xét t p h p B

x

y z t x, y , z , t
B

DeThiHSG.Com -

i m

A . Ta s ch ra b t

ng th c sau:

1 Cn2 Cn3 Cn4 (1)

thi h c sinh gi i, chuyên4

b id

ng HSG mi n phí c p nh t liên t c!


thi h c sinh gi i, chuyên

DeThiHSG.Com -

ng HSG mi n phí c p nh t liên t c!

b id

N i dung

i m

Th t v y, ta xét các tr ng h p sau:
+) N u 4 s x, y, z , t u b ng nhau thì s các s d ng x
+) N u trong 4 s

x

2
n

y z t

+) N u 4 s

úng 3 s

x, y, z , t có

x t suy ra có t i a C s

y z t b ng 1.

b ng nhau, gi

x

z thì x

+) N u 4 s x, y, z , t ôi m t khác nhau thì có t i a Cn4 s
3
n

4
n

Do ó có nhi u nh t 1 C C C s d ng x
(1).
G i x1 1 S . t C1 S \ x x1 x B suy ra

C1
A2

S

Cn

1

Khi

C1

c ngay A2

C n 2 \ x xn

2

Cn

1

ó ta ki m tra

x1 , x2 ,..., xn

n 2 B

. Ti p theo
C2

Ki m tra

B

x

t C2

B

0

, A1

z

t . Khi

A3

ó

y thì có t i a Cn3 s d ng

x2

min C1

ó suy ra b t

x2

x1 .

x3

x2 .

. C ti p t c nh v y

nb

0

x3

trên.

x y z t.

y z t.T

C1 \ x x2 x

n 3 B

A3

y

y t thì có t i a Cn2 s d ng này và ã xét

y z t
2
n

x

y z t.

x, y, z, t có úng 2 s b ng nhau. Khi ó n u x

này, còn n u x

D th y A1

s

ng th c

B suy ra
min C2

c th n , ta

t

B thì
Cn

2

c Ai

B

n n B
Aj

0

v i m i i

xn

Cn

1

xn

xn

1

j . V y luôn t n t i các ph n t

S th a mãn yêu c u bài toán.

-------------------H t-------------------

DeThiHSG.Com -

thi h c sinh gi i, chuyên5

b id

ng HSG mi n phí c p nh t liên t c!