DeThiHSG.Com Dap an va de thi hoc sinh gioi mon toan lop 12 So GD

thi h c sinh gi i, chuyên

DeThiHSG.Com S

GIÁO D
HÀ NAM

K THI CH N H C SINH GI I L P 12 THPT
C 2011 - 2012
Môn: TOÁN
Th i gian: 180 phút (không k th
)

v i

là tham s . Ch ng minh r ng

m)

1. Cho hàm s
luôn c
th ng
tích

ng HSG mi n phí c p nh t liên t c!

O

CHÍNH TH C
Câu 1:

b id

ng th ng
c t các tr c
.

l

2. Cho hàm s

t
tt i

m phân bi t
sao cho di n tích

th (C). Ch ng minh r ng các

n (C) hai ti p tuy n vuông góc v
tròn tâm I (1;2), bán kính R = 2.
Câu 2:
m)
1. Gi
p s th c:
2. Gi i b
Câu 3:

,

th hàm s

ng
b ng 2 l n di n
m trong m t ph ng t a
un

ng

sau trên t p s th c:
m)

1. Cho t di n

có

. Bi t góc

và góc
. Tính th tích kh i t di n theo .
2. Ch ng minh r ng n u m t t di
dài m t c nh l

dài các c nh còn

l

.

u không l

tích c a kh i t di

Câu 4:
m)
Tính các tích phân:
1.

2.

Câu 5:
m)
Cho ba s th

. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c

H
H và tên giám th s
H và tên giám th s

DeThiHSG.Com -

thi h c sinh gi i, chuyên

b id

ng HSG mi n phí c p nh t liên t c!


thi h c sinh gi i, chuyên

DeThiHSG.Com -

S

GIÁO D
HÀ NAM

O

ng d n ch m và bi

b id

ng HSG mi n phí c p nh t liên t c!

K THI CH N H C SINH GI I L P 12 THPT
C 2011-2012

m

Môn: Toán
ng d n ch m và bi
m g m có 6 trang)

u thí sinh trình bày l i gi i khác so v
m t ng ph
m.
Câu 1
N i dung
1.(2

mc a d
m)
-

Vì

ng d n ch

n cho
m

th :
0.25
(*). Ta có

và
là v trái c a (*)) nên

(

luôn c

th t

m

phân bi t

0,5

v i x1 , x2 là 2 nghi m c a (*). K

Ta có
ng cao

c a

ta có

0,25

và

0,5
i v i (*)).
M t khác ta có
Ta tìm

ý

thì

phân bi t).

0,25

hay
0,25

2.(2

m)

G iM
ng th

.
M, có h s

0,25

d ti p xúc (C ) khi h sau có nghi m x 1:

0,5
(1)

x 1

1
x 1

k(x 1) k kx 0

y 0 (3) . Thay k

(2) vào m t v


thi h c sinh gi i, chuyên

DeThiHSG.Com -

b id

ng HSG mi n phí c p nh t liên t c!

c:

.

Suy ra

.

0,25

c

N ut Mk
nghi m

0,5

(*)
n (C ) hai ti p tuy n vuông góc thì pt (*) có hai
th a mãn
Mn

Câu 2
1.(2
m)

ng tròn có tâm I(1,2), có

N i dung

m
.

Ta ph i có
Hàm s

thành
ng bi n trên

còn hàm s

nên nó ngh ch bi n trên các kho ng

.

và
0,5

V

0,25

m trên m i kho ng.

M t khác

và

0,5
m là

x

0,5

có

.

2.(2
m)

0,5

0,25

1.

B
u ki n:

và x>

(*)

V
log 2

2x 1
1 2x 2 6x 1
x 2x 1
2

log 2

2x 1
2x 4x 2
2

2x 2 6x 1

0,5


DeThiHSG.Com -

thi h c sinh gi i, chuyên

t

b id

ng HSG mi n phí c p nh t liên t c!

thì u,v>0 và

Xét hàm s

(1)
. Có
0,5

ng bi n trên D
và do u,v thu

ng bi n trên D

0,25

nên
T c là

ho c

K th pv

u ki

c t p nghi m c

Câu 3
1.(3
m)

0,5

0,25

N i dung

m

S

M

C

A
N
B
nh lý cosin trong tam giác SAB ta có

V
G
C nên

t
m SA, do hai tam giác SAB cân t i B và SAC cân t i

Ta có
Hai tam giác SAB và SAC b ng nhau (c.c.c) nên MB = MC suy ra tam
giác MBC cân t
(
m BC)

T

0,5
0,5
0,5
0,5


DeThiHSG.Com -

thi h c sinh gi i, chuyên

Suy ra

b id

ng HSG mi n phí c p nh t liên t c!

.
0,5

V y

0,5

2.(3
i m)

A

D
B
H

K

C

M

Gi s t di n ABCD có AB>1, các c nh còn l
u không l
t CD = x,
.
G
m BC, K là hình chi u c a B lên CD và H là hình
chi u c

(1)

1,0
0,25

Có

0,25
Mà

(2),

T (1), (2) và (3) suy ra

0,5

M t khác hàm s

ng bi n nên
0,75

f(x)
Nên VABCD

1
8

0,25

(D u b ng x

DeThiHSG.Com -

thi h c sinh gi i, chuyên

u có

b id

ng HSG mi n phí c p nh t liên t c!

DeThiHSG.Com -

thi h c sinh gi i, chuyên

b id

ng HSG mi n phí c p nh t liên t c!

c nh b ng 1 và H,K trùng v
Câu 4
1.(2
Ta có
m)

)
N i dung

m

0,5
-Tính

:

0,5
-Tính

: Vi t

t

ta có

và
0,5

V y
2.(2
m)

0,5

Có
=

0,5

Xét A

t

Xét B =

.V yI=B

t u = 1+ cosx thì B =

0,5

0,5

DeThiHSG.Com -

thi h c sinh gi i, chuyên

Dùng t ng ph

b id

ng HSG mi n phí c p nh t liên t c!

c B=
0,5

V y: I = 2ln2 - 1
Câu 5
m

N i dung

m

-si ta có:

1,0

và

t

. Ta có

0,5

Xét hàm s

. V b ng bi n thiên c a hàm

s này trên
T

DeThiHSG.Com -

ta có
và d

.

ng th c x y ra khi

thi h c sinh gi i, chuyên

b id

.

0,5

ng HSG mi n phí c p nh t liên t c!