de thi thu thpt quoc gia nam 2017 mon toan so gddt phu tho lan 2 co loi giai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH PHÚ THỌ

KÌ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 2
NĂM HỌC 2016 – 2017
Môn: TOÁN.
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Họ, tên:…………………………………Số báo danh:…………………….
Câu 1:

Câu 2:

[2D3-1] Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 x + 2.
3

A.

∫ f ( x ) dx = 2 x

C.

∫ f ( x ) dx = 3x

2

2

+ 2 x + C.

− 2 x + C.

B.

∫ f ( x ) dx = 3x

D.

∫ f ( x ) dx = 2 x

3

2

+ 2 x + C.
2

− 2 x + C.

[2D1-1] Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị trên
đoạn [ −3;3] như hình vẽ. Trên khoảng ( −3;3)

hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2.
B. 1.
C. 4.
D. 3.
Câu 3:

[2D4-2] Cho số phức z = 1 − 2i. Tìm tọa độ biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ.
A. M (1; −2 ) .

B. M ( 2;1) .
C. M (1;2 ) .
D. M ( 2; −1) .

Câu 4:

[2D3-2] Tính tích phân I = ∫

1

4
dx .
0 2x +1

A. I = 2ln 3 .
Câu 5:

3
.
2

1
B. y = − .
2

3x − 1
?
2x +1
3
D. x = .

2

1
C. x = − .
2

b

B. ( 3a ) = 3a −b .

b

b

D. ( 3a ) = 3a .

b

C. ( 3a ) = 3ab .

b

[2D2-1] Cho hai số thực a , b bất kì với 0 < a ≠ 1 . Tính S = log a a b .
A. S = b a .

Câu 8:

D. 4 ln 2 .

[2D2-1] Với các số thực a , b bất kì, mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ( 3a ) = 3a +b .

Câu 7:

C. 2 ln 2 .

[2D1-1] Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cân ngang của đồ thị hàm số y =
A. y =

Câu 6:

B. 4ln 3 .

B. S = b a .

C. S = a .

D. S = b .

[2D2-1] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho các điểm M (1; − 2;3) , N ( 3;0; − 1) và điểm
I là trung điểm của MN . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 9:

A. OI = 4i − 2 j + 2k .

B. OI = 2i − j + 2k .

C. OI = 4i − 2 j + k .

D. OI = 2i − j + k .

[2D2-1] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của
mặt phẳng song song với mặt phẳng ( Oyz ) ?
A. x − y = 0 .

B. y − 2 = 0 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. x − 2 = 0 .

D. y − z = 0 .
Trang 1/25


Câu 10: [2D2-2] Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ:

x
y′

−1

−∞

+∞

+

+

2

+∞
y

2

−∞

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ \ {−1} .
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( −∞; − 1) .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( −∞; 2 ) .
D. Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ .
Câu 11: [2D4-1] Kí hiệu a , b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z = −4 − 3i . Tìm a , b .
A. a = −4 , b = −3i .
B. a = −4 , b = 3 .
C. a = −4 , b = −3 .
D. a = 4 , b = 3 .
1
Câu 12: [2D1-2] Cho hàm số y = − x 3 + 2 x 2 − 3 x + 1 . Tìm mệnh đề đúng:
3
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞;1) .
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 3; +∞ ) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3) .

Câu 13: [2D1-2] Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

x
y′
y

−1
0

−∞
+

1
−

+∞
−

||

+∞

2
−1

1

−∞

Tập hợp các giá trị thực của m để phương trình f ( x ) = m có ba nghiệm thực phận biệt là:

)

A. 1; 2 .

(

)

(

)

C. 1; 2 .

B. −1; 2 .

)

D.  −1; 2 .

Câu 14: [2H1-2] Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a 3 , AC = a . Diện tích xung quanh của
hình nón tròn xoay tạo thành khi quay tam giác quanh đường thẳng AB là:
A. S xq = 2π a 2 .

B. S xq =

π a2 3
2

.

C. S xq = 4π a 2 .

D. S xq = π a 2 3 .

Câu 15: [2D4-2] Cho số phức z thỏa mãn ( 2 − i ) z − 2 = 2 + 3i . Môđun của z là:
A. z = 5 .

B. z =

5 3
.
3

C. z =

5 5
.
3

D. z = 5 .

Câu 16: [2D2-2] Tìm tập xác định D của hàm số y = ln ( −2 x 2 + 8) .
A. D = ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ ) .

B. D = ( −∞; −2] ∪ [ 2; +∞ ) .

C. D = ( −2; 2 ) .

D. D = [ −2; 2] .

Câu 17: [2H1-2] Tính thể tích V của khố i lăng trụ đứng ABC . A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông
tại C , AB = 2a, AC = a và BC ′ = 2a.
A. V =

a3 3
.
6

B. V =

4a 3
.
3

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. V =

a3 3
.
2

D. V = 4a 3.

Trang 2/25


Câu 18: [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt

cầu tâm I (1; 2; − 4 ) và thể tích của khố i cầu tương ứng bằng 36π .
2

2

2

B. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 4 ) = 9.

2

2

2

D. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 4 ) = 3.

A. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 4 ) = 9.
C. ( x + 1) + ( y + 2 ) + ( z − 4 ) = 9.

2

2

2

2

2

2

Câu 19: [2D2-2] Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 22 x +1 − 5.2 x + 2 = 0 bằng bao nhiêu?
3
5
A. .
B. 1.
C. .
D. 0.
2
2
Câu 20: [2H1-1] Khố i mười hai mặt đều có bao nhiêu đỉnh?
A. 12.
B. 16.
C. 20.
D. 30.
Câu 21: [2D1-2] Đường cong trong hình sau đây là đồ thị của hàm số được liệt kê trong bốn phương án A,
B, C, D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
y
2x − 1
2x + 1
A. y =
.
B. y =
.
x −1
x +1
2x − 1
x −1
2

C. y =
.
D. y =
.
x−2
x +1
1
x
Câu 22: [2D2-2] Tính đạo hàm của hàm số y = 2sin x.
-1 O
A. y′ = cos x.2sinx. ln 2.
B. y′ = 2sinx. ln 2.

cos x.2sinx
.
D. y′ = − cos x.2sinx. ln 2.
ln 2
Câu 23: [2D3-2] Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = xe x .

-3

C. y′ =

∫ f ( x ) dx = ( x + 1) e + C .
C. ∫ f ( x ) dx = xe + C .

A.

x

x

∫ f ( x ) dx = ( x − 1) e + C .
D. ∫ f ( x ) dx = − xe + C .
B.

x

x

Câu 24: [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình hình
x −1 y + 2 z − 3
chiếu của đường thẳng
=
=
trên mặt phẳng ( Oxy ) ?
2
3
1
x = 1+ t
 x = 1 + 2t
x = 1+ t
x = 1+ t




A.  y = 2 − 3t .
B.  y = −2 + 3t .
C.  y = −2 + 3t .

D.  y = −2 − 3t .
z = 0
z = 0
z = 0
z = 0




3x − 1 − x + 3
Câu 25: [2D1-2] Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
.
x2 + 2x − 3
A. x = −3 .
B. x = −1 và x = 3 . C. x = 1 và x = −3 .
D. x = 3 .
1

1

Câu 26: [2D2-2] Cho các hàm số f1 ( x ) = x , f 2 ( x ) = 4 x , f3 ( x ) = x 3 , f 4 ( x ) = x 2 . Trong các hàm số

trên, hàm số nào có tập xác định là nữa khoảng [ 0; +∞ ) ?
A. f1 ( x ) và f 2 ( x ) .

B. f1 ( x ) , f 2 ( x ) và f3 ( x ) .

C. f3 ( x ) và f 4 ( x )

D. Cả 4 hàm số trên.

3

3
dx
m
. Đặt t = 2 x + 3, ta được I = ∫ 2
dt (với
+
t
n
1 ( x + 1) 2 x + 3
2

Câu 27: [2D3-3] Cho tích phân I = ∫
2

m, n ∈ ℤ ). Tính T = 3m + n.
A. T = 7.
B. T = 2.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. T = 4.

D. T = 5.

Trang 3/25


Câu 28: [2D4-3] Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn 2 ( z + 1) = 3z + i (5 − i ). Tính a + 2b.
A. a + 2b = 1.

B. a + 2b = −3.

C. a + 2b = 3.

D. a + 2b = −1.

Câu 29: [2H2-4] Cho mặt cầu ( S ) có bán kính R = a 3. Gọi ( T ) là hình trụ có hai đường tròn đáy

nằm trên ( S ) và có thiết diện qua trục của ( T ) lớn nhất. Tính diện tích toàn phần Stp của ( T ) .
A. Stp = 9π a 2 .

B. Stp = 9π a 2 3.

C. Stp = 6π a 2 3.

D. Stp = 6π a 2 .

(

) (

)

Câu 30: [2H3-4] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A −1; 3; 0 , B 1; 3; 0 ,

(

)

C 0; 0; 3 và điểm M ∈ Oz sao cho hai mặt phẳng ( MAB ) và ( ABC ) vuông góc với nhau.
Tính góc giữa hai mặt phẳng ( MAB ) và ( OAB ) .
A. 45°.

B. 60°.

C. 15°.

D. 30°.

Câu 31: [2D1-3] Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

f ( x ) = x + 4 − x 2 . Tính M − m.
A. M − m = 2 2 .

B. M − m = 2 2 − 2 . C. M − m = 4 .

D. M − m = 2 2 + 2 .

Câu 32: [2H1-2] Cho hình chóp S . ABC có AB = 3a , AC = 4a , BC = 5a , SA = SB = SC = 6a . Tính thể
tích khố i chóp S .ABC .
A. a3 119 .

B.

a 3 119
.
3

C.

4a3 119
.
3

D. 4a 3 119 .

Câu 33: [2D2-3] Cho x, y, z là các số thực dương tùy ý khác 1 và xyz khác 1 . Đặt a = log x y ,
b = log z y . Mệnh đề nào sau đây đúng?
3ab + 2a
.
a + b +1
3ab + 2a
C. log xyz ( y 3 z 2 ) =
.
ab + a + b

3ab + 2b
.
ab + a + b
3ab + 2b
D. log xyz ( y 3 z 2 ) =
.
a + b +1

A. log xyz ( y 3 z 2 ) =

B. log xyz ( y 3 z 2 ) =

Câu 34: [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d :

x +1 y +1 z −1
=
=
và
2
3
2

x −1 y + 2 z − 3
=
=
. Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng d và d ′ .
2
1
1
4 21
22 21
8 21
10 21
.
.
.
.
A. h =
B. h =
C. h =
D. h =
21
21

21
21
d′ :

Câu 35: [2H2-4] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a , AD = 2a tam giác
SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm các

cạnh AD, DC. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .DMN .
A. R =

a 39
.
6

B. R =

a 31
.
4

C. R =

a 102
.
6

D. R =

a 39
.

13

Câu 36: [2D3-2] Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 1 và x = 4 , biết rằng
khi cắt vật thể bơi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (1 ≤ x ≤ 4 )

thì được thiết diện là một hình lục giác đều có độ dài cạnh là 2x .
A. V = 63 3π .

B. V = 126 3 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. V = 63 3 .

D. V = 126 3π .

Trang 4/25


Câu 37: [2D2-3] Ông Anh muốn mua một chiếc ô tô trị giá 700 triệu đồng nhưng ông chỉ có 500 triệu
đồng và muốn vay ngân hàng 200 triệu đồng theo phương thức trả góp (trả tiền vào cuối tháng)
vơi slaix suất 0, 75% / tháng. Hỏi hàng tháng, ông Anh phải trả số tiền là bao nhiêu (làm tròn
đến nghìn đồng) để sau đúng 2 năm thì trả hết nợ ngân hàng?
B. 9971000 .
C. 9137000 .
D. 9970000 .
A. 9236000 .
Câu 38: [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( −2; − 4;5 ) . Phương trình nào dưới
đây là phương trình của mặt cầu tâm là A và cắt trục Oz tại hai điểm B , C sao cho tam giác
ABC vuông.

2

2

2

B. ( x + 2 ) + ( y + 4 ) + ( z − 5 ) = 82 .

2

2

2

D. ( x + 2 ) + ( y + 4 ) + ( z − 5 ) = 90 .

A. ( x + 2 ) + ( y + 4 ) + ( z − 5 ) = 40 .
C. ( x + 2 ) + ( y + 4 ) + ( z − 5 ) = 58 .

2

2

2

2

2

2

Câu 39: [2D1-2] Đồ thị của hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có hai điểm cực trị là A (1; 2 ) và B ( −1; 6 ) .

Tính P = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 .
A. P = 18 .
B. P = 26 .

C. P = 15 .

D. P = 23 .

Câu 40: [2D3-3] Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = sin x , y = cos x và S1 , S 2 là diện tích của

các phần được gạch chéo như hình vẽ. Tính S 12 + S 22 ?.
2
1

y

2
2

A. S + S = 10 − 2 2 .
B. S12 + S22 = 10 + 2 2 .

S2

S1

x

C. S12 + S22 = 1 − 12 2 .
D. S12 + S22 = 11 + 2 2 .
Câu 41: [2D1-2] Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a > 0 , b < 0 , c > 0 .
B. a < 0 , b > 0 , c < 0 .
C. a < 0 , b > 0 , c > 0 .
D. a < 0 , b < 0 , c > 0 .

Câu 42: [2D2-3] Biết bất phương trình log 5 ( 5 x − 1) .log 25 ( 5 x+1 − 5) ≤ 1 có tập nghiệm là đoạn [ a; b ] .

Tính a + b .
A. a + b = −1 + log 5 156 .

B. a + b = 2 + log 5 156 .

C. a + b = −2 + log5 156 .

D. a + b = −2 + log 5 26 .

Câu 43: [2D4-2] Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z 2 − 6 z + 13 = 0 . Tìm số phức
6
w = z0 +
.
z0 + i
24 7
24 7
A. w = − + i .
B. w = − − i .

5 5
5 5
24 7
24 7
− i.
+ i.
C. w =
D. w =
5 5
5 5
Câu 44: [2H3-3] Trong không gian với hệ trục Oxyz , biết rằng tập hợp tất cả các điểm M ( x; y; z ) sao

cho x + y + z = 3 là một hình đa diện. Tính thể tích V của khố i đa diện đó.
A. V = 54 .

B. V = 72 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. V = 36 .

D. V = 27 .

Trang 5/25


Câu 45: [2D4-4] Cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1 = 3 , z2 = 4 , z1 − z2 = 37 . Xét số phức

z=

z1
= a + bi . Tìm b .
z2

A. b =

3 3
.
8

B. b =

39
.
8

C. b =
Lời giải

3
.
8

D. b =

3
.
8

Câu 46: [2D3-3] Cho hình thang ABCD vuông tại A và B có AB = a , AD = 3a và BC = x với

0 < x < 3a . Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích các khố i tròn xoay tạo thành khi quay hình thang

ABCD (kể cả các điểm trong) quanh đường thẳng BC và AD . Tìm x để
A. x =

3a
.
4

B. x =

3a
.
2

C. x =

5a
.
7

V1 7
= .
V2 5

D. x = a .

Câu 47: [2D4-4] Cho hai mặt trụ có cùng bán kính bằng 4 được đặt lồng vào nhau như hình vẽ. Tính
thể tích phần chung của chúng biết hai trục của hai mặt trụ vuông góc và cắt nhau.

A. 512 .

B. 256π .

C.

256
π.
3

D.

1024
.
3

Câu 48: [2D1-4] Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
2mx + m − 2
y=
cắt đường thẳng ( d ) : y = x + 3 tại hai điểm phân biệt A , B sao cho tam giác
x +1
IAB có diện tích bằng 3 , với I ( −1; 1) . Tính tổng tất cả các phần tử của S .
A.

7
.
2

B. −10 .

Câu 49: [2D2-4] Cho phương trình 4− x −m log

C. 3 .
2

(x

2

− 2 x + 3) + 2− x

D. 5 .
2

+2 x

log 1 ( 2 x − m + 2 ) = 0 . Tìm tất cả
2

các giá trị thực của tham số m để phương trình trên có đúng hai nghiệm thực phân biệt.
3
1
A. m < .
B. m > − .
2
2
3
1
1
3

C. m < − hoặc m > − .
D. m < hoặc m > .
2
2
2
2
Câu 50: [2H1-3] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a , AD = a 3 , tam
giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách giữa AB và SC
3a
bằng
. Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD .
2
2a 3 3
A. V = a3 3 .
B. V = 2a 3 3 .
C. V =
.
D. V = 3a 3 3 .
3
----------- HẾT ---------TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 6/25


BẢNG ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
A A C A A C D D C B C B C A D C C A D C D A B C A
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
A D C A A D A C C C B C A B D C C C C A D D A D A
HƯỚNG DẪ N GIẢ I

Câu 1:

[2D3-1] Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 x + 2.
3

A.

∫ f ( x ) dx = 2 x

C.

∫ f ( x ) dx = 3x

2

2

+ 2 x + C.

− 2 x + C.

B.

∫ f ( x ) dx = 3x

D.

∫ f ( x ) dx = 2 x

3

2

+ 2 x + C.
2

− 2 x + C.

Lời giải
Chọn A.
3

∫ ( 3 x + 2 ) dx = 2 x
Câu 2:

2

+ 2 x + C.

[2D1-1] Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị trên đoạn [ −3;3] như hình vẽ. Trên khoảng ( −3;3)
hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2.

B. 1.

C. 4.
Lời giải

D. 3.

Chọn A.
Hàm số có 1 cực tiểu và 1 cực đại.
Câu 3:

[2D4-2] Cho số phức z = 1 − 2i. Tìm tọa độ biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ.
A. M (1; −2 ) .
B. M ( 2;1) .
C. M (1;2 ) .
D. M ( 2; −1) .
Lời giải
Chọn C.

z = 1 − 2i ⇒ z = 1 + 2i ⇒ M (1;2 ) .
1

Câu 4:

[2D3-2] Tính tích phân I = ∫
0

A. I = 2ln 3 .

4
dx .
2x +1

B. 4ln 3 .

C. 2 ln 2 .

Lời giải

D. 4 ln 2 .

Chọn A.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 7/25


1

Ta có: I = ∫
0

Câu 5:

4
dx = 2 ln 2 x + 1 |10 = 2 ln 3 .
2x +1

3x − 1
?
2x +1
3
D. x = .
2

[2D1-1] Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cân ngang của đồ thị hàm số y =
A. y =

3
.
2

1
B. y = − .
2

1
C. x = − .
2
Lời giải

Chọn A.

1
3−
3x − 1
x = 3 ⇒ y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
= lim
Xét lim
x →±∞ 2 x + 1
x →±∞
1 2
2
2+
x
Câu 6:

[2D2-1] Với các số thực a , b bất kì, mệnh đề nào sau đây đúng?
b

A. ( 3a ) = 3a +b .

b

b

B. ( 3a ) = 3a −b .

C. ( 3a ) = 3ab .

b

D. ( 3a ) = 3a .
b

Lời giải
Chọn D.
Câu 7:

[2D2-1] Cho hai số thực a , b bất kì với 0 < a ≠ 1 . Tính S = log a a b .
A. S = b a .

B. S = b a .

C. S = a .
Lời giải

D. S = b .

Chọn D.
S = log a a b = b log a a = b .
Câu 8:

[2D2-1] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho các điểm M (1; − 2;3) , N ( 3;0; − 1) và điểm
I là trung điểm của MN . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. OI = 4i − 2 j + 2k .

B. OI = 2i − j + 2k .

C. OI = 4i − 2 j + k .

D. OI = 2i − j + k .

Lời giải
Chọn D.
I là trung điểm của MN ⇒ I ( 2; − 1;1) ⇒ OI = ( 2; − 1;1) hay OI = 2i − j + k .

Câu 9:

[2D2-1] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của
mặt phẳng song song với mặt phẳng ( Oyz ) ?
A. x − y = 0 .

B. y − 2 = 0 .

C. x − 2 = 0 .

Lời giải

D. y − z = 0 .

Chọn C.
( Oyz ) có phương trình x = 0 ⇒ x − 2 = 0 là mặt phẳng song song với ( Oyz ) .
Câu 10: [2D2-2] Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ:

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 8/25


x
y′

−1

−∞

+∞

+

+
2

+∞
y
2

−∞

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ \ {−1} .
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( −∞; − 1) .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( −∞; 2 ) .
D. Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ .
Lời giải
Chọn B .
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên ( −∞; − 1) và ( −1; + ∞ ) .
A sai do hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
C , D sai do hàm số bị gián đoạn tại x = −1 .

Câu 11: [2D4-1] Kí hiệu a , b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z = −4 − 3i . Tìm a , b .
A. a = −4 , b = −3i .
B. a = −4 , b = 3 .
C. a = −4 , b = −3 .
D. a = 4 , b = 3 .
Lời giải
Chọn C.
1
Câu 12: [2D1-2] Cho hàm số y = − x 3 + 2 x 2 − 3 x + 1 . Tìm mệnh đề đúng:
3
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 3; +∞ ) .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞;1) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3) .

Lời giải
Chọn B.

x = 1
Ta có y ′ = − x 2 + 4 x − 3 ; y ′ = 0 ⇔ 
.
x = 3
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞;1) .
Câu 13: [2D1-2] Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

x
y′
y

−1
0

−∞
+

1

+∞

||

−

−

+∞

2
−1

1

−∞

Tập hợp các giá trị thực của m để phương trình f ( x ) = m có ba nghiệm thực phận biệt là:

)

A. 1; 2 .

(

)

(

B. −1; 2 .

)

C. 1; 2 .

)

D.  −1; 2 .

Lời giải
Chọn C.

Dựa vào BBT, để phương trình f ( x ) = m có ba nghiệm thực phận biệt thì 1 < m < 2 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 9/25


Câu 14: [2H1-2] Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a 3 , AC = a . Diện tích xung quanh của
hình nón tròn xoay tạo thành khi quay tam giác quanh đường thẳng AB là:
2

A. S xq = 2π a .

π a2 3
B. S xq =
.
2

C. S xq = 4π a 2 .

D. S xq = π a 2 3 .

Lời giải
Chọn A.
Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AB ta thu được hình nón có: r = AC = a ; l = BC = 2a .

Ta có S xq = π rl = 2π a 2 .
Câu 15: [2D4-2] Cho số phức z thỏa mãn ( 2 − i ) z − 2 = 2 + 3i . Môđun của z là:
A. z = 5 .

B. z =

5 3
.
3

C. z =

5 5
.
3

D. z = 5 .

Lời giải
Chọn D.
Ta có: ( 2 − i ) z − 2 = 2 + 3i ⇔ z = 1 + 2i . Vậy z = 5 .
Câu 16: [2D2-2] Tìm tập xác định D của hàm số y = ln ( −2 x 2 + 8) .
A. D = ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ ) .

B. D = ( −∞; −2] ∪ [ 2; +∞ ) .

C. D = ( −2; 2 ) .

D. D = [ −2; 2] .
Lời giải

Chọn C.
Ta có hàm số xác định khi −2 x 2 + 8 > 0 ⇔ −2 < x < 2.
Câu 17: [2H1-2] Tính thể tích V của khố i lăng trụ đứng ABC . A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông
tại C , AB = 2a, AC = a và BC ′ = 2a.
A. V =

a3 3
.
6

B. V =

4a 3
.
3

C. V =

a3 3
.
2

D. V = 4a 3.

Lời giải
Chọn C
A'

B'

C'
2a
2a

A

B

a
C

Ta có BC = AB 2 − AC 2 = 4a 2 − a 2 = a 3.
Diện tích đáy: S ∆ABC =

1
1
a2 3
.
AC.BC = a.a 3 =
2
2
2

Đường cao khối lăng trụ : h = CC ′ = BC ′2 − BC 2 = 4a 2 − 3a 2 = a.

Thể tích khố i lăng trụ : V = S ∆ABC .h =

a2 3
a3 3
.a =

.
2
2

Câu 18: [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt

cầu tâm I (1; 2; − 4 ) và thể tích của khố i cầu tương ứng bằng 36π .
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 10/25


2

2

2

B. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 4 ) = 9.

2

2

2

D. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 4 ) = 3.

A. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 4 ) = 9.
C. ( x + 1) + ( y + 2 ) + ( z − 4 ) = 9.

2

2

2

2

2

2

Lời giải
Chọn A.
4
Ta có V = π R 3 = 36π ⇔ R = 3.
3
2
2
2
Phương trình mặt cầu tâm I (1; 2; − 4 ) và bán kính R = 3 là : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 4 ) = 9.

Câu 19: [2D2-2] Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 22 x +1 − 5.2 x + 2 = 0 bằng bao nhiêu?
3
5
A. .
B. 1.
C. .
D. 0.

2
2
Lời giải
Chọn D.
Ta có 22 x +1 − 5.2 x + 2 = 0 ⇔ 2.22 x − 5.2 x + 2 = 0.
t = 2
x
2
Đặt t = 2 ( t > 0 ) phương trình trở thành 2t − 5t + 2 = 0 ⇔  1 .
t =
 2
x
Với t = 2 ta có 2 = 2 ⇔ x = 1.
1
1
Với t = ta có 2 x = ⇔ x = −1.
2
2
Vậy tổng các nghiệm S = 0.
Câu 20: [2H1-1] Khố i mười hai mặt đều có bao nhiêu đỉnh?

A. 12.

B. 16.

C. 20.
Lời giải

D. 30.

Chọn C.
Theo sách giáo khoa Hình học 12 (trang 17), khối mười hai mặt đều có 20 đỉnh.
Câu 21: [2D1-2] Đường cong trong hình sau đây là đồ thị của hàm số được liệt kê trong bốn phương án A,
B, C, D.
y

2
1

-1

x

O

-3

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
2x − 1
2x + 1
A. y =
.
B. y =
.
x −1
x +1
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. y =

x −1
.
x−2

D. y =

2x − 1
.
x +1

Trang 11/25


Lời giải
Chọn D.
Dựa vào đồ thị ta có tiệm cận ngang y = 2 và tiệm cận đứng x = −1 và y (0) < 0 .
Câu 22: [2D2-2] Tính đạo hàm của hàm số y = 2sinx.
A. y′ = cos x.2sinx. ln 2.
C. y′ =

B. y′ = 2sinx. ln 2.

cos x.2sinx
.
ln 2

D. y′ = − cos x.2sinx. ln 2.
Lời giải

Chọn A.

y = 2sin x ⇒ y′ = 2sin x. ln 2.cos x.
Câu 23: [2D3-2] Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = xe x .

∫ f ( x ) dx = ( x + 1) e + C .
C. ∫ f ( x ) dx = xe + C .

A.

x

x

∫ f ( x ) dx = ( x − 1) e + C .
D. ∫ f ( x ) dx = − xe + C .
B.

x

x

Lời giải
Chọn B.
Ta có: ∫ xe x dx = ∫ xd ( e x ) = xe x − ∫ e x dx = xe x − e x + C = ( x − 1) e x + C.
Câu 24: [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình hình

chiếu của đường thẳng
x = 1 + t

A.  y = 2 − 3t .
z = 0



x −1 y + 2 z − 3
=
=
trên mặt phẳng ( Oxy ) ?
2
3
1
x = 1 + t
 x = 1 + 2t


B.  y = −2 + 3t .
C.  y = −2 + 3t .
z = 0
z = 0


Lời giải

x = 1 + t

D.  y = −2 − 3t .
z = 0


Chọn C.
x −1 y + 2 z − 3
=

=
qua M (1; −2;3) và N ( 3;1; 4 ) .
2
3
1
Gọi M ′ và N ′ lần lượt là hình chiếu của M và N trên ( Oxy ) ta có M ′ (1; −2; 0 ) , N ′ ( 3;1; 0 )

Đường thẳng

 x = 1 + 2t

Phương trình hình chiếu cần tìm là: M ′N ′ :  y = −2 + 3t .
 z=0


3x − 1 − x + 3
.
x2 + 2x − 3
B. x = −1 và x = 3 . C. x = 1 và x = −3 .
D. x = 3 .
Lời giải

Câu 25: [2D1-2] Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
A. x = −3 .
Chọn A.

 x =1
Ta có x 2 + 2 x − 3 = 0 ⇔ 
.
 x = −3

Xét lim+ y = lim+
x →−3

x →−3

3x − 1 − x + 3
= +∞ nên x = −3 là một tiệm cận đứng.
x2 + 2 x − 3

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 12/25


Xét
2

( 3x − 1) − ( x + 3)
3x −1 − x + 3
= lim
lim y = lim 2
x →1
x →1
x →1
x + 2x − 3
( x − 1)( x + 3) 3x − 1 + x + 3

(

( x − 1)( 9 x + 2 )

x →1
( x − 1)( x + 3) ( 3x − 1 +

= lim

x+3

)

= lim
x →1

)

( 9 x + 2)
( x + 3) ( 3x − 1 +

x+3

)

=

11
.
8

Nên x = 1 không là tiệm cận đứng.
1

1

Câu 26: [2D2-2] Cho các hàm số f1 ( x ) = x , f 2 ( x ) = 4 x , f3 ( x ) = x 3 , f 4 ( x ) = x 2 . Trong các hàm số

trên, hàm số nào có tập xác định là nữa khoảng [ 0; +∞ ) ?
A. f1 ( x ) và f 2 ( x ) .

B. f1 ( x ) , f 2 ( x ) và f3 ( x ) .

C. f3 ( x ) và f 4 ( x )

D. Cả 4 hàm số trên.
Lời giải

Chọn A.
Ta có: f1 ( x ) và f 2 ( x ) là hai hàm số căn bậc chẳn nên có tập xác định là [ 0; +∞ ) .
f3 ( x ) và f 4 ( x ) là hai hàm số mũ với mũ không nguyên nên có tập xác định là ( 0; +∞ ) .
3

3
dx
m
. Đặt t = 2 x + 3, ta được I = ∫ 2
dt (với
1 ( x + 1) 2 x + 3
2 t +n

Câu 27: [2D3-3] Cho tích phân I = ∫
2

m, n ∈ ℤ ). Tính T = 3m + n.
A. T = 7.
B. T = 2.

C. T = 4.
Lời giải

D. T = 5.

Chọn D.
3

dx
.
1 ( x + 1) 2 x + 3

Tính I = ∫
2

2tdt = 2dx dx = tdt


Đặt t = 2 x + 3, ta được t = 2 x + 3 ⇒ 
t2 − 3 ⇒ 
t2 −1
x
x
=
+
1

=


2
2


2

3

3

3

dx
t dt
2dt
=∫ 2
=∫ 2
t −1
t −1
1 ( x + 1) 2 x + 3
2
t 2
2
2
Vậy: m = 2, n = −1 , T = 3m + n = 3.2 − 1 = 5.
I =∫

Câu 28: [2D4-3] Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn 2 ( z + 1) = 3z + i (5 − i ). Tính a + 2b.
A. a + 2b = 1.

B. a + 2b = −3.

C. a + 2b = 3.
Lời giải

D. a + 2b = −1.

Chọn C.

2a + 2 = 3a + 1 a = 1
2 ( z + 1) = 3 z + i ( 5 − i ) ⇔ 2 ( a + bi + 1) = 3 ( a − bi ) + 1 + 5i ⇔ 
⇔
2b = −3b + 5
b = 1
Vậy: a + 2b = 3.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 13/25


Câu 29: [2H2-4] Cho mặt cầu ( S ) có bán kính R = a 3. Gọi ( T ) là hình trụ có hai đường tròn đáy

nằm trên ( S ) và có thiết diện qua trục của ( T ) lớn nhất. Tính diện tích toàn phần Stp của ( T ) .
B. Stp = 9π a 2 3.

A. Stp = 9π a 2 .

C. Stp = 6π a 2 3.

D. Stp = 6π a 2 .

Lời giải
Chọn A.
Hình vẽ thiết diện qua trục như sau:

Ta có: AC = 2 R = 2a 3.
Đặt AD = x, ta có: CD = AC 2 − AD 2 = 12a 2 − x 2
Vì thiết diện qua trục là lớn nhất nên AD.CD lớn nhất.

Xét hàm số: f ( x ) = x. 12a 2 − x 2 , x ∈  0; 2a 3  .
Ta có: f ′ ( x ) = 12a 2 − x 2 + x.

f ′( x) = 0 ⇔

(

12a 2 − 2 x 2
12a 2 − x 2

)

−2 x
2 12a 2 − x 2

12a 2 − 2 x 2
12a 2 − x 2

=0⇔ x=a 6

(

Ta có: f a 6 = a 6. 12a 2 − a 6

x

=

)

2

(

0

f ′( x)

)

= a 6.a 6 = 6a 2 ; f 2a 3 = 0 ; f ( 0 ) = 0

a 6
0

+

6a

f ( x)

2a 3
−

2

0

Vậy hình trụ có: bán kính đáy R =

Stp = 2π r (r + h) = 2π .

0

CD a 6
; chiều cao h = AD = a 6
=
2
2


a 6 a 6
. 
+ a 6  = 9π a 2 .
2  2


(

) (

)

Câu 30: [2H3-4] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A −1; 3; 0 , B 1; 3; 0 ,

(

)

C 0; 0; 3 và điểm M ∈ Oz sao cho hai mặt phẳng ( MAB ) và ( ABC ) vuông góc với nhau.
Tính góc giữa hai mặt phẳng ( MAB ) và ( OAB ) .
A. 45°.

B. 60°.

C. 15°.
Lời giải

D. 30°.

Chọn A.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 14/25


(

Ta có: AB = ( 2; 0; 0 ) , AC = 1; − 3; 3

)

(

Suy ra: n( ABC ) = AB ∧ AC = 0; − 2 3; −2 3

(

M ∈ Oz ⇒ M ( 0;0; z ) và AM = 1; − 3; z

)

)

(

Mặt khác: n( MAB ) = AB ∧ AM = 0; − 2 z; − 2 3

)

Vì: ( MAB ) ⊥ ( ABC ) nên n( ABC ) .n( MAB ) = 0 ⇔ z = − 3

(

)

Vậy: n( MAB ) = AB ∧ AM = 0; 2 3; − 2 3 .

(

)

(

)

(

Ta có: OA = −1; 3; 0 , OB 1; 3;0 ⇒ n( OAB ) = OA ∧ OB = 0; 0; − 2 3

(

n( MAB ) .n( OAB )

)

cos ( MAB ) , ( OAB ) =

n( MAB ) . n( OAB )

=

2
⇒
2

)

(( MAB ) , (OAB )) = 45° .

Câu 31: [2D1-3] Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

f ( x ) = x + 4 − x 2 . Tính M − m.
A. M − m = 2 2 .

B. M − m = 2 2 − 2 . C. M − m = 4 .
Lời giải

D. M − m = 2 2 + 2 .

Chọn D.
+Tập xác định của hàm số : D = [ −2;2]

+ f ′( x) = 1−

x

4 − x2 − x

; x ∈ ( −2;2 )
4 − x2
x ≥ 0
⇔ x = 2.
+ f ′ ( x ) = 0 ⇔ 4 − x2 = x ⇔  2
2 x = 4
4 − x2

=

+ f ( −2 ) = −2; f ( 2 ) = 2; f

( 2) = 2

2

+ Suy ra : M = 2 2; m = −2 ⇒ M − m = 2 2 + 2.
Câu 32: [2H1-2] Cho hình chóp S . ABC có AB = 3a , AC = 4a , BC = 5a , SA = SB = SC = 6a . Tính thể
tích khố i chóp S . ABC .
3

A. a 119 .

a 3 119
B.
.
3

4a3 119
C.
.
3
Lời giải

D. 4a 3 119 .

Chọn A.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 15/25


S

H

B

C

A
Vì AB = 3a , AC = 4a , BC = 5a nên tam giác ABC vuông tại A .
Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng ( ABC ) . Vì SA = SB = SC nên H là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC và chính là trung điểm của BC .
25
119a
SH = SB 2 − HB 2 = 36a 2 − a 2 =
.
4
2
Diện tích tam giác ABC là S ∆ABC = 6a 2 .
1
113
Vậy thể tích khố i chóp S . ABC là VS . ABC = .6a 2 .
a = a3 119 .
3
2

Câu 33: [2D2-3] Cho x, y, z là các số thực dương tùy ý khác 1 và xyz khác 1 . Đặt a = log x y ,

b = log z y . Mệnh đề nào sau đây đúng?
3ab + 2a
.
a + b +1
3ab + 2a
=
.
ab + a + b

3ab + 2b
.
ab + a + b
3ab + 2b
=
.
a + b +1

A. log xyz ( y 3 z 2 ) =

B. log xyz ( y 3 z 2 ) =

C. log xyz ( y 3 z 2 )

D. log xyz ( y 3 z 2 )
Lời giải

Chọn C.

Ta có: log xyz ( y 3 z 2 ) = 3log xyz y + 2 log xyz z
=

3
log y ( xyz )

+

2
log z ( xyz )

=

3
2
+
log y x + log y z + 1 log z x + log z y + 1

=

3
2
+
log y x + log y z + 1 log z y.log y x + log z y + 1

=

3
2
3ab

2a
3ab + 2a
+
=
+
=
1 1
b
+ +1
+ b + 1 ab + a + b ab + a + b ab + a + b
a b
a

Câu 34: [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d :
d′ :

x +1 y +1 z −1
=
=
và
2
3
2

x −1 y + 2 z − 3
=
=
. Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng d và d ′ .
2
1

1

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 16/25


A. h =

4 21
.
21

22 21
.
21

B. h =

8 21
.
21

C. h =

D. h =

10 21
.
21

Lời giải
Cho ̣n C.
d có vectơ chỉ phương u = ( 2;3; 2 ) , đi qua M ( −1; −1;1) .
d ′ có vectơ chỉ phương u ′ = ( 2;1;1) , đi qua M ′ (1; −2;3) .

Ta có: u , u′  = (1; 2; −4 ) , MM ′ = ( 2; −1; 2 ) ⇒ u, u ′ .MM ′ = 1.2 + 2. ( −1) + ( −4 ) .2 = −8 ≠ 0
⇒ d , d ′ chéo nhau.
u, u′  .MM ′
8
8 21


Khi đó: khoảng cách h giữa hai đường thẳng d và d ′ là: h =
.
=
=
21
21
u , u ′ 



Câu 35: [2H2-4] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a , AD = 2a tam giác
SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm các

cạnh AD , DC . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .DMN .
A. R =

a 39

.
6

B. R =

a 31
.
4

C. R =

a 102
.
6

D. R =

a 39
.
13

Lời giải
Chọn C.
Gọi I là trung điểm của MN . Suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN .
d là đường thẳng qua I và vuông góc với mặt đáy.
E là hình chiếu của I lên AB.
O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S .DMN . K là hình chiếu của O lên SH .
S

d

O

K

x

A

M

E

N

H
B

D

I

C

Đặt OI = x .

1
a 5
5a 2
. Suy ra OD = ID 2 + OI 2 =
MN =

+ x2 .
2
4
16
a 3
AM + HN 3a
− x; KO = HI ; EI =
= .
SK = SH − x =
2
2
2
2
2
9a a
a 37
HI = EI 2 + HE 2 =
+
=
.
4 16
4

Ta có DI =

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 17/25

49a 2
− a 3x + x 2 .
16
Vì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp nên:
49a 2
11a
a 102
.
SO = DO ⇒
− a 3 x + x 2 = x 2 + 5a ⇒ x =
⇒ R = OD =
16
6
4 3

Suy ra SO = SK 2 + KO 2 =

Câu 36: [2D3-2] Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 1 và x = 4 , biết rằng
khi cắt vật thể bơi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (1 ≤ x ≤ 4 )

thì được thiết diện là một hình lục giác đều có độ dài cạnh là 2x .
A. V = 63 3π .

B. V = 126 3 .

C. V = 63 3 .
Lời giải

D. V = 126 3π .

Chọn B.

Diện tích thiết diện lục giác là: S ( x )

( 2x)
= 6.

2

4

3

= 6x2 3

4

4

1

1

(

4

)

Vậy thể tích vật thể theo yêu cầu bằng: V = ∫ S ( x ) dx = ∫ 6 x 2 3 dx = 2 x3 3 = 126 3 .

1

Câu 37: [2D2-3] Ông Anh muốn mua một chiếc ô tô trị giá 700 triệu đồng nhưng ông chỉ có 500 triệu
đồng và muốn vay ngân hàng 200 triệu đồng theo phương thức trả góp (trả tiền vào cuối tháng)
vơi slaix suất 0, 75% / tháng. Hỏi hàng tháng, ông Anh phải trả số tiền là bao nhiêu (làm tròn
đến nghìn đồng) để sau đúng 2 năm thì trả hết nợ ngân hàng?
A. 9236000 .
B. 9971000 .
C. 9137000 .
Lời giải
Chọn C.
Gọi x là số tiền mà ông Anh trả mỗ i tháng trong 2 năm.
Số tiền ông Anh còn nợ sau 1 tháng: 200 (1 + r ) − x

D. 9970000 .

2

Số tiền ông Anh còn nợ sau 2 tháng: ( 200 (1 + r ) − x ) (1 + r ) − x = 200 (1 + r ) − x 1 + (1 + r ) 
3
2
Số tiền ông Anh còn nợ sau 3 tháng: 200 (1 + r ) − x 1 + (1 + r ) + (1 + r ) 


…
24
23
Số tiền ông Anh còn nợ sau 24 tháng: 200 (1 + r ) − x 1 + (1 + r ) + ... + (1 + r ) 



Sau 24 tháng ông Anh trả hết nợ nên:
24
23
200 (1 + r ) − x 1 + (1 + r ) + ... + (1 + r )  = 0



⇔ 200 (1 + r )

24

(1 + r )
− x.

24

−1

r

= 0 ⇔ x ≈ 9,137 (triệu đồng).

Câu 38: [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( −2; − 4;5 ) . Phương trình nào dưới
đây là phương trình của mặt cầu tâm là A và cắt trục Oz tại hai điểm B , C sao cho tam giác
ABC vuông.
2

2

2

B. ( x + 2 ) + ( y + 4 ) + ( z − 5 ) = 82 .

2

2

2

D. ( x + 2 ) + ( y + 4 ) + ( z − 5 ) = 90 .

A. ( x + 2 ) + ( y + 4 ) + ( z − 5 ) = 40 .
C. ( x + 2 ) + ( y + 4 ) + ( z − 5 ) = 58 .

2

2

2

2

2

2

Lời giải
Chọn A.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 18/25


A

C
H

B

Do AB = AC nên tam giác ABC vuông tại A .Do đó, trung điểm H của đoạn thẳng BC là
hình chiếu của điểm A lên trục Oz .
Ta có: R = AH 2 = d ( A, Oz ) . 2 = x A2 + y A2 . 2 = 2 10
2

2

2

Vậy mặt cầu có phương trình: ( x + 2 ) + ( y + 4 ) + ( z − 5 ) = 40
Câu 39: [2D1-2] Đồ thị của hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d có hai điểm cực trị là A (1; 2 ) và B ( −1; 6 ) .

Tính P = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 .
A. P = 18 .
B. P = 26 .

C. P = 15 .
Lời giải

D. P = 23 .

Chọn B.
 f ′ (1) = 0
3a + 2b + c = 0
a = 1

b = 0
3a − 2b + c = 0
 f ′ ( −1) = 0


Ta có: 
⇔ P = 26 .
⇔
⇔
+
+
+
=
2
=
−
3
a
b
c
d
c
 f (1) = 2



 f ( −1) = 6
 −a + b − c + d = 6
d = 4

Câu 40: [2D3-3] Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = sin x , y = cos x và S1 , S 2 là diện tích của

các phần được gạch chéo như hình vẽ. Tính S 12 + S 22 ?.
y
S1

S2
x

A. S12 + S22 = 10 − 2 2 .

B. S12 + S22 = 10 + 2 2 .

C. S12 + S22 = 1 − 12 2 .

D. S12 + S22 = 11 + 2 2 .
Lời giải

Chọn D.

Ta có: cos x = 0 ⇔ x =

π
2

+ kπ , ( k ∈ ℤ )

π
π

sin x = cos x ⇔ sin  x −  = 0 ⇔ x = + kπ , ( k ∈ ℤ )
4
4

Dựa vào hình vẽ ta có S1 , S 2 giới hạn bởi các giá trị x = −

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

π
2

, x=

π
4

, x=

5π
.
4

Trang 19/25

5π
4

π
4

Vậy S1 =

∫π ( cos x − sin x ) dx = 1 +

−

2 ; S2 =

∫ ( sin x − cos x ) dx = 2

2

π

2

4

(

Suy ra: S12 + S22 = 1 + 2

2

) + (2 2 )

2

= 11 + 2 2 .

Câu 41: [2D1-2] Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ.

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a > 0 , b < 0 , c > 0 .
C. a < 0 , b > 0 , c > 0 .

B. a < 0 , b > 0 , c < 0 .
D. a < 0 , b < 0 , c > 0 .
Lời giải

Chọn C.
Ta có, đồ thị 2 điểm cực đại, 1 điểm cực tiểu nên: a < 0 , b > 0 . Mà đồ thị cắt Oy phía trên
Ox nên c > 0 . Vậy, a < 0 , b > 0 , c > 0 .
Câu 42: [2D2-3] Biết bất phương trình log 5 ( 5 x − 1) .log 25 ( 5 x+1 − 5) ≤ 1 có tập nghiệm là đoạn [ a; b ] .

Tính a + b .
A. a + b = −1 + log 5 156 .

B. a + b = 2 + log 5 156 .

C. a + b = −2 + log5 156 .

D. a + b = −2 + log 5 26 .
Lời giải

Chọn C.

log 5 ( 5 x − 1) .log 25 ( 5 x+1 − 5) ≤ 1 . Điều kiện: 5 x > 1 ⇔ x > 0 .
PT ⇔

1
log 5 ( 5 x − 1) . log 5 ( 5x − 1) + 1 ≤ 1 ⇔ log 25 ( 5 x − 1) + log5 ( 5x − 1) − 2 ≤ 0
2

(

)

⇔ −2 ≤ log5 ( 5x − 1) ≤ 1 ⇔

1
26
≤ 5x − 1 ≤ 5 ⇔ log 5
≤ x ≤ log5 6 .
25
25

26


⇒ [ a; b ] =  log 5 ; log 5 6  . Vậy, a + b = −2 + log5 156 .
25



Câu 43: [2D4-2] Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z 2 − 6z + 13 = 0 . Tìm số phức

w = z0 +

6
.
z0 + i

A. w = −

24 7
+ i.
5 5

B. w = −

24 7
− i.
5 5

C. w =

24 7
− i.
5 5

D. w =

24 7
+ i.

5 5

Lời giải
Chọn C.

 z = 3 + 2i
6
24 7
⇒ z0 = 3 − 2i . Vậy, w = z0 +
Ta có: z 2 − 6z + 13 = 0 ⇔ 
=
− i.
z0 + i 5 5
 z = 3 − 2i

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 20/25


Câu 44: [2H3-3] Trong không gian với hệ trục Oxyz , biết rằng tập hợp tất cả các điểm M ( x; y; z ) sao

cho x + y + z = 3 là một hình đa diện. Tính thể tích V của khố i đa diện đó.
A. V = 54 .

B. V = 72 .

C. V = 36 .
Lời giải

D. V = 27 .

Chọn C.
Ta có tập hợp các điểm M ( x; y; z ) thỏa mãn x + y + z = 3 là

khố i đa diện gồ m 8 mặt đều có các đỉnh có tọa độ ( 3; 0; 0 ) ,

( −3; 0; 0 ) , ( 0;3; 0 ) , ( 0; −3; 0 ) , ( 0; 0;3) , ( 0;0; −3) .
1
Vây, thể tích khố i 8 mặt đều này là V = 2. .3.3.6 = 36 .
3

Câu 45: [2D4-4] Cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1 = 3 , z2 = 4 ,

z1
= a + bi . Tìm b .
z2

z1 − z2 = 37 . Xét số phức z =
A. b =

3 3
.
8

B. b =

39
.
8

C. b =

3
.
8

D. b =

Lời giải
Chọn A.
Đặt z1 = x + yi , z2 = c + di ( x, y , c, d ∈ ℝ ) . Ta có: z1 = 3 ⇒ x 2 + y 2 = 9 ;

3
.
8

z2 = 4 ⇒ c 2 + d 2 = 16 ;
2

2

z1 − z2 = 37 ⇒ ( x − c ) + ( y − d ) = 37 ⇔ x 2 + y 2 + c 2 + d 2 − 2 xc − 2 yd = 37 ⇔ xc + yd = −6 .
z1 x + yi ( x + yi )( c − di ) xc + yd + ( yc − xd ) i xc + yd yc − xd
=
=
=
= 2
+
i = a + bi

z2 c + di
c2 + d 2
c2 + d 2
c + d 2 c2 + d 2
3
= − + bi .
8
2
z1 3
9
9  3  27
3 3
z1
2
2
2
2
2
=
= = a +b ⇔ a +b = ⇒ b = −−  =
⇒b=±
.
Mà
16
16  8  64
8
z2
z2 4
Lại có:

Vậy: b =

3 3
.
8

Câu 46: [2D3-3] Cho hình thang ABCD vuông tại A và B có AB = a , AD = 3a và BC = x với
0 < x < 3a . Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích các khố i tròn xoay tạo thành khi quay hình thang

ABCD (kể cả các điểm trong) quanh đường thẳng BC và AD . Tìm x để
A. x =

3a
.
4

B. x =

3a
.
2

C. x =

5a
.
7

V1 7
= .

V2 5

D. x = a .

Lời giải
Chọn D.

1 
2 


V1 = π a 2  2a + x  ,
V2 = π a 2  a + x  .
3 
3 


1 
2 
V1 7


= ⇔ 5  2a + x  = 7  a + x  ⇔ x = a .
3 
3 
V2 5



TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Theo

đề

ta

có

Trang 21/25


Câu 47: [2D4-4] Cho hai mặt trụ có cùng bán kính bằng 4 được đặt lồng vào nhau như hình vẽ. Tính
thể tích phần chung của chúng biết hai trục của hai mặt trụ vuông góc và cắt nhau.

A. 512 .

B. 256π .

256
π.
3

C.

D.

1024
.
3

Lời giải
Chọn D.
Cách 1. Ta xét

1
phần giao của hai trụ như hình
8

Ta gọi trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.

Khi đó phần giao ( H ) là một vật thể có đáy là một phần tư hình tròn tâm O bán kính 4 , thiết
diện của mặt phẳng vuông góc với trục Ox là một hình vuông có diện tích S ( x ) = 4 2 − x 2
4

Thể tích khố i ( H ) là

4

∫ S ( x ) dx = ∫ (16 − x )dx =
2

0

0

128
1024
. Vậy thể tích phần giao là
.

3
3

Cách 2. Dùng công thức tổng quát giao hai trụ V =

16 3 1024
R =
.
3
3

Câu 48: [2D1-4] Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
2mx + m − 2
y=
cắt đường thẳng ( d ) : y = x + 3 tại hai điểm phân biệt A , B sao cho tam giác
x +1
IAB có diện tích bằng 3 , với I ( −1; 1) . Tính tổng tất cả các phần tử của S .
A.

7
.
2

B. −10 .

C. 3 .

D. 5 .

Lời giải

Chọn A.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 22/25


2mx + m − 2
= x + 3 ⇔ f ( x ) = x 2 + ( 4 − 2m ) x + 5 − m = 0
x +1
2mx + m − 2
cắt đường thẳng ( d ) : y = x + 3 tại hai điể m
( x ≠ −1) . Đồ thị ( C ) của hàm số y =
x +1

Phương trình hoành độ giao điểm

/
m 2 − 3m − 1 > 0
∆ f > 0
phân biệt khi và chỉ khi 
⇔
(*) . ( C ) cắt d tại A , B suy ra x A ,
 m ≠ −2
 f ( −1) ≠ 0

 x A + xB = 2m − 4
xB là nghiệm của phương trình f ( x ) = 0 , theo định lí Vi-ét ta có 
.
 x A xB = 5 − m
A ( x A ; x A + 3) , B ( xB ; xB + 3) suy ra

1
d . AB = 3
2 (I; d )
3
3


=
−
=
−
m
m
2
2
⇔ AB = 72 ⇔ 8m − 28m − 60 = 0 ⇔ 
2 , kết hợp với ( *) suy ra 
2 thỏa suy ra


m = 5
m = 5
7
tổng các phần tử của S là .
2
2

2

AB = 2 ( x A − xB ) = 2 ( x A + xB ) − 4 x A xB = 8m 2 − 28m + 12 . Ta có S ∆IAB =

Câu 49: [2D2-4] Cho phương trình 4

− x −m

log

2

(x

2

− 2 x + 3) + 2− x

2

+2 x

log 1 ( 2 x − m + 2 ) = 0 . Tìm tất cả
2

các giá trị thực của tham số m để phương trình trên có đúng hai nghiệm thực phân biệt.
3
1
A. m < .
B. m > − .
2
2
3

1
1
3
C. m < − hoặc m > − .
D. m < hoặc m > .
2
2
2
2
Lời giải
Chọn D.
2
− x −m
4
log 2 ( x 2 − 2 x + 3) + 2− x + 2 x log 1 ( 2 x − m + 2 ) = 0
2

log 2 ( x − 2 x + 3 ) = 2

1− 2 x − m

2

⇔2

⇔

log 2 ( x 2 − 2 x + 3)

(

3− x 2 − 2 x + 3

2

)

=

− x2 + 2 x

log 2 ( 2 x − m + 2 )

log 2 ( 2 x − m + 2 )
3− 2 + 2 x − m )
2 (

log 2 u 2u log 2 u
. Xét hàm số f ( u ) = 3−u =
với u ≥ 2 . Ta
2
8

1
2u 
có f / ( u ) =  2u .log 2 u.ln 2 +
 > 0 , ∀u ≥ 2 . Suy ra hàm số f ( u ) đồng biến trên
8
u.ln 2 

[ 2; + ∞ )

nên

 x 2 − 4 x + 1 + 2m = 0 (1)
.
Phương
f ( x − 2 x + 3) = f ( 2 x − m + 2 ) ⇔ ( x − 1) = 2 x − m ⇔  2
( 2)
 x + 1 − 2m = 0
trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt.
TH1: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, phương trình ( 2 ) vô nghiệm, suy ra
2

2

3 − 2m > 0
1
1
⇔ m < . Suy ra m < thỏa (1*) .

2
2
2m − 1 < 0

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 23/25

TH2: Phương trình

(2)

có hai nghiệm phân biệt, phương trình (1) vô nghiệm, suy ra

3 − 2m < 0
3
3
⇔ m > . Suy ra m > thỏa ( 2*) .

2
2
2m − 1 > 0
3
TH3: Phương trình (1) có nghiệm kép suy ra m = , khi đó nghiệm của phương trình (1) là
2

x = 2 , nghiệm của phương trình ( 2 ) là x = ± 2 , suy ra phương trình đã cho có 3 nghiệm. Suy
ra m =

3
không thỏa ( 3*) .
2

1
TH4: Phương trình ( 2 ) có nghiệm kép suy ra m = , khi đó nghiệm của phương trình ( 2 ) là
2

x = 0 , nghiệm của phương trình (1) là x = 2 ± 2 , suy ra phương trình đã cho có 3 nghiệm.

1
không thỏa ( 4*) .
2
TH5: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, phương trình ( 2 ) có hai nghiệm phân biệt

Suy ra m =

nhưng hai phương trình này có nghiệm giố ng nhau.
3 − 2m > 0
1
3
Khi đó 
⇔ 2
2
2m − 1 > 0
a + b = 4
là hai nghiệm của phương trình (1) , theo định lí Vi-ét ta có 
a.b = 2m + 1
a + b = 0
( 3 ) . Vì a , b cũng là nghiệm của phương trình ( 2 ) nên 
( 4 ) , từ ( 3 ) và ( 4 ) ta
a.b = −2m + 1
Gọi a , b

(b ≠ a )

suy ra m ∈∅ ( 5*) .
Từ (1*) , ( 2*) , ( 3*) , ( 4*) và ( 5*) suy ra m <

1
3
hoặc m > thỏa.
2
2

Câu 50: [2H1-3] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a , AD = a 3 , tam
giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách giữa AB và SC
3a
bằng
. Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD .
2
A. V = a3 3 .

B. V = 2a 3 3 .

C. V =

2a 3 3
.
3

D. V = 3a 3 3 .

Lời giải
Chọn A.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 24/25

Gọi H , I lần lượt là trung điểm của AB , CD , kẻ HK ⊥ SI .
Vì tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy suy ra SH ⊥ ( ABCD ) .

CD ⊥ HI 
 ⇒ CD ⊥ HK ⇒ HK ⊥ ( SCD ) ,
CD ⊥ SH 

3a
. HI = AD = a 3 . Trong tam giác vuông SHI ta có SH =
2
1
1
= SH .S ABCD = 3a.a 2 3 = a 3 3 .
3
3
----------- HẾT ----------

suy ra HK =
Vậy VS . ABCD

CD //AB ⇒ d( AB , SC ) = d ( AB , ( SCD )) = d ( H , ( SCD )) = HK

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

HI 2 .HK 2
= 3a .
HI 2 − HK 2

Trang 25/25