Điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán tối ưu đa mục tiêu dưới ngôn ngữ đạo hàm parabolic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————————————————

TRẦN QUANG MẠNH

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI
CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU
DƯỚI NGÔN NGỮ ĐẠO HÀM PARABOLIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên – 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————————————————

TRẦN QUANG MẠNH

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI
CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU
DƯỚI NGÔN NGỮ ĐẠO HÀM PARABOLIC

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU

Thái Nguyên – 2016


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung
thực, không trùng lặp với các đề tài khác và các thông tin trích dẫn trong
luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016
Người viết luận văn

Trần Quang Mạnh

i


Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành trong khóa 22 đào tạo Thạc sĩ của trường Đại
học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Đỗ
Văn Lưu, Viện Toán học. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy
hướng dẫn, người đã tạo cho tôi một phương pháp nghiên cứu khoa học,
tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức hướng
dẫn tôi hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trường
Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, những người đã tận tình giảng dạy,
khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Sau đại học, Trường Đại
học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp
đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập.

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đã động viên,
ủng hộ tôi để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học và luận văn của mình.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016
Người viết luận văn

Trần Quang Mạnh

ii


Mục lục

Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

Mở đầu

1

1 Tập tiếp tuyến cấp hai và đạo hàm theo phương cấp hai

3

1.1

Tập tiếp tuyến cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Đạo hàm theo phương parabolic cấp hai . . . . . . . . . . .

6

2 Điều kiện cần tối ưu

14

2.1

Điều kiện cần cấp hai dạng hệ không tương thích . . . . . .

14

2.2

Điều kiện cần cấp hai dạng nhân tử Lagrange . . . . . . . .

18

2.3

Các hệ quả và các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3 Điều kiện đủ tối ưu
3.1

28

Điều kiện cấp hai dạng nhân tử Lagrange . . . . . . . . . .
iii

28


3.2

Các hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Kết luận

39

Tài liệu tham khảo

41

iv


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết các điều kiện tối ưu đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết
các bài toán cực trị. Các điều kiện tối ưu cấp hai cho phép ta tìm được
nghiệm tối ưu trong trong tập các điểm dừng. Nhiều kết quả nghiên cứu về
điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán tối ưu đơn và đa mục tiêu đã được
thiết lập. C. Gutiérrez, B. Jiménez, V. Novo ([10], 2010) đã chứng minh các
điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán tối ưu đa mục tiêu với các hàm khả
vi Fréchet với đạo hàm Fréchet liên tục hoặc ổn định. Lớp hàm này chứa
trong lớp hàm C 1,1 . Đây là đề tài được nhiều tác giả trong và ngoài nước
quan tâm nghiên cứu. Chính vì vậy tôi chọn đề tài: “Điều kiện tối ưu
cấp hai cho bài toán tối ưu đa mục tiêu dưới ngôn ngữ đạo hàm
parabolic”.

2. Nội dung đề tài
Luận văn trình bày các điều kiện tối ưu cấp hai dưới ngôn ngữ đạo hàm
parabolic cho bài toán tối ưu đa mục tiêu với các hàm khả vi Fréchet và
đạo hàm Fréchet của chúng là liên tục hoặc ổn định. Luận văn được viết
dựa trên bài báo của C. Gutiérrez, B. Jiménez và V. Novo, đăng trong tạp
1


chí Math. Programming 123 (2010), 199-223.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận và danh mục các
tài liệu tham khảo.
Chương 1: "Tập tiếp tuyến cấp hai và đạo hàm theo phương cấp hai"

Trình bày bài toán tối ưu đa mục tiêu (1.1) được xét trong luận văn; các
khái niệm tập tiếp tuyến cấp hai của một tập; các tính chất và mối quan
hệ của các tập tiếp tuyến cấp hai; hàm ổn định; các đạo hàm theo phương
parabolic và radial cấp hai, dưới vi phân Clarke cấp hai và mối quan hệ giữa
chúng. Các khái niệm và kết quả trong chương 1 là của Gutiérrez–Jiménez–
Novo [10].
Chương 2: "Điều kiện cần tối ưu"
Trình bày các điều kiện cần tối ưu cấp hai của Gutiérrez–Jiménez–Novo
[10] cho bài toán (1.1) đã phát biểu trong chương 1 với các hàm có đạo hàm
Fréchet liên tục hoặc ổn định, dạng hệ không tương thích và dạng nhân tử
Lagrange cùng với một số ví dụ minh họa.
Chương 3: "Điều kiện đủ tối ưu"
Trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp hai dạng nhân tử Lagrange của
Gutiérrez–Jiménez–Novo [10] cho cực tiểu địa phương chặt cấp hai của bài
toán tối ưu đa mục tiêu (3.1) cùng với các hệ quả cho bài toán với các hàm
khả vi Fréchet hai lần, bài toán với các hàm C 1,1 và các ví dụ.

2


Chương 1

Tập tiếp tuyến cấp hai và đạo hàm
theo phương cấp hai
Chương 1 trình bày bài toán tối ưu đa mục tiêu được nghiên cứu trong
luận văn, các khái niệm tập tiếp tuyến cấp hai cùng với các tính chất và
mối quan hệ giữa chúng, hàm ổn định, các đạo hàm theo phương parabolic
và radial cấp hai, dưới vi phân Clarke cấp hai (ma trận Hessian suy rộng).
Các kết quả trong chương 1 là của Gutiérrez–Jiménez–Novo [10].

1.1

Tập tiếp tuyến cấp hai

Cho f , g và h lần lượt là các hàm từ Rn vào Rp , Rm và Rr . Xét bài toán
tối ưu đa mục tiêu sau:

D − Minf (x),

(1.1)

x ∈ M := g −1 (K) ∩ h−1 (0),
trong đó D là nón lồi đóng và nhọn (D ∩ −D = {0}) với phần trong khác
rỗng và K ⊂ Rm là tập lồi với phần trong khác rỗng. Thứ tự bộ phận trong

3


Rp được xác định bởi quan hệ

y ≤D y ⇐⇒ y − y ∈ D.
Rõ ràng bài toán (1.1) bao gồm như một trường hợp đặc biệt bài toán quy
hoạch thông thường với ràng buộc bất đẳng thức gj (x) ≤ 0, j = 1, ..., m,
khi chọn K là góc phần tư (orthant) không dương Rm
−.
Cho M là tập con của Rn . Ta kí hiệu B(¯
x, δ) là hình cầu mở tâm x¯ bán
kính δ > 0, int M là phần trong của tập M , cl M là bao đóng của tập M ,
co M là bao lồi của tập M và cone M là nón sinh bởi tập M .
Nhắc lại rằng điểm x

¯ ∈ M được gọi là cực tiểu địa phương (cực tiểu
yếu địa phương) của bài toán (1.1), kí hiệu là x
¯ ∈ LMin(f, M ) (tương ứng

x¯ ∈ LWMin(f, M ) đối với điểm cực tiểu yếu địa phương), nếu tồn tại lân
cận U của x
¯ sao cho

(f (M ∩ U − f (¯
x)) ∩ (−D) = {0}
(tương ứng (f (M ∩ U − f (¯
x)) ∩ (−intD) = ∅ đối với điểm cực tiểu yếu địa
phương).
Đặc biệt khi p = 1 và D = R+ , chúng ta trở về khái niệm cực tiểu địa
phương đã biết.
Nón cực dương của tập M ∈ Rn được định nghĩa bởi

M + = (ξ ∈ Rn : ξ, x ≥ 0, ∀x ∈ M ).
Nón tiếp tuyến của M tại x
¯ ∈ Rn là

T (M, x¯) = {v ∈ Rn : ∃tn → 0+ , ∃vn → v sao cho x¯ + tn vn ∈ M, ∀n ∈ N}.
Sau đây là khái tập tiếp tuyến cấp hai mà ta sẽ sử dụng trong luận văn.
4


Định nghĩa 1.1.1. Cho M ⊂ Rn và x
¯ , v ∈ Rn .
(a) Tập tiếp liên cấp hai của M tại (¯
x, v) là

T 2 (M, x¯, v) = {w ∈ Rn : ∃tn → 0+ , ∃wn → w sao cho
1
x¯ + tn v + t2n wn ∈ M, ∀n ∈ N}.
2
(b) Tập tiếp tuyến phần trong cấp hai của M tại (¯
x, v) là

IT 2 (M, x¯, v) = {w ∈ Rn : ∀tn → 0+ , ∀wn → w ta có
1
x¯ + tn v + t2n wn ∈ M, ∀n đủ lớn}.
2
(c) Tập liền kề cấp hai của M tại (¯
x, v) là

A2 (M, x¯, v) = {w ∈ Rn : ∀tn → 0+ , ∃wn → w sao cho
1
x¯ + tn v + t2n wn ∈ M, ∀n ∈ N}.
2
T 2 (M, x¯, v) và A2 (M, x¯, v) là các tập đóng, IT 2 (M, x¯, v) là tập mở và
nếu M là lồi thì A2 (M, x
¯, v) và IT 2 (M, x¯, v) là các tập lồi. Hơn nữa, khi

M được xác định bởi các ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức khả vi liên
tục hai lần với điều kiện chính quy Mangasarian–Fromovitz, ta có

A2 (M, x¯, v) = T 2 (M, x¯, v)
(xem [5]). Kết quả sau đây bao gồm những tính chất cơ bản của tập tiếp
tuyến cấp hai được định nghĩa ở trên (xem [19]).
Mệnh đề 1.1.2. Cho M là tập con của Rn , x

¯ ∈ M và v ∈ Rn .
(i) IT 2 (M, x
¯, v) ⊂ A2 (M, x¯, v) ⊂ T 2 (M, x¯, v)

⊂ cl cone[cone(M − x¯) − v];
(ii) IT 2 (M, x
¯, v) = IT 2 (int M, x¯, v);
5


(iii) Nếu v ∈ T (M, x
¯), thì T 2 (M, x¯, v) = ∅;
(iv) Nếu N ⊂ Rk , y¯ ∈ N , và u ∈ Rk thì

IT 2 (M × N, (¯
x, y¯), (v, u)) = IT 2 (M, x¯, v) × IT 2 (N, y¯, u).
Hơn nữa, nếu M lồi, int M = ∅ và v ∈ T (M, x
¯) thì
(v) IT 2 (M, x
¯, v) ⊂ int A2 (M, x¯, v) ⊂ int cone[cone(M − x¯) − v];
(vi) Nếu A2 (M, x
¯, v) = ∅ thì

IT 2 (M, x¯, v) = int A2 (M, x¯, v) và
cl IT 2 (M, x
¯, v) = A2 (M, x¯, v);
(vii) Nếu v ∈ cone(M − x
¯), thì
(a) IT 2 (M, x
¯, v) = int cone[cone(M − x¯) − v] và

(b) A2 (M, x
¯, v) = cl cone[cone(M − x¯) − v].
Các tính chất trên được trình bày trong [2], [19].

1.2

Đạo hàm theo phương parabolic cấp hai

Nếu f là khả vi Fréchet tại x
¯, khi đó đạo hàm Fréchet được kí hiệu bởi

f (¯
x). Nếu f là khả vi Fréchet hai lần tại x¯, khi đó đạo hàm cấp hai Fréchet
được kí hiệu bởi f (¯
x) là ánh xạ song tuyến tính liên tục từ Rn × Rn vào
Rp .
Định nghĩa 1.2.1. Ta nói f : Rn → Rp là ổn định tại x
¯ ∈ Rn nếu tồn tại
lân cận U của x
¯ và hằng số k > 0 sao cho

f (x) − f (¯
x) ≤ k x − x¯ , ∀x ∈ U .
6


Ta nói f là Lipschitz trên U nếu tồn tại số k > 0 sao cho

f (x) − f (x ) ≤ k x − x , với mọi x, x ∈ U.
Ta nói f là Lipschitz trong một lân cận của x

¯ nếu f là Lipschitz trên U
với lân cận U nào đó của x
¯.
Rõ ràng f là Lipschitz trên U kéo theo f ổn định tại mỗi điểm x
¯ ∈ U,
nhưng điều ngược lại không đúng.
Ví dụ: f (x) = x sin x1 ổn định tại mỗi điểm thuộc lân cận U của x nhưng
không Lipschitz trên U.
Ta nói f là C 1,1 trong một lân cận của x
¯ nếu tồn tại lân cận U của x¯ sao
cho f là C 1 trên U và đạo hàm f của nó là Lipschitz trên U .
Ở đây chúng ta sẽ xét hàm f khả vi Fréchet trên lân cận của x
¯ và đạo
hàm f của nó là ổn định tại x
¯, tức là

f (x) − f (¯
x) ≤ k x − x¯
với mọi x gần x
¯ và k > 0 nào đó. Khi ta nói f là liên tục hoặc ổn định tại

x¯, thì ta giả sử f (x) tồn tại với mọi x gần x¯.
Ta có các kết quả sau đây:
(a) f C 1,1 trong một lân cận của x
¯ ⇒ f ổn định tại x¯ ⇒ f liên tục tại x¯.
(b) f liên tục tại x
¯ ⇒ f Lipschitz trong một lân cận của x¯.
(c) f khả vi Fréchet tại x
¯ ⇒ f ổn định tại x¯. (Đặc biệt, nếu f khả vi Fréchet
hai lần tại x

¯, khi đó f là ổn định tại x¯).
Ta cũng sẽ sử dụng các đạo hàm theo phương, là các ánh xạ đa trị. Ta
nhắc lại giới hạn trên theo nghĩa Painlevé–Kuratowski của ánh xạ đa trị

7


Φ : R ⇒ Rp được định nghĩa bởi
Limsupu→¯u Φ(u) = {y ∈ Rp : ∃un → u
¯, ∃yn ∈ Φ(un ) sao cho yn → y}.
Định nghĩa 1.2.2. Cho f : Rn → Rp là hàm khả vi Fréchet tại x
¯ và

u, w ∈ Rn .
(a) Đạo hàm theo phương parabolic cấp hai đa trị của f tại x
¯ theo phương

(v, w) là tập
Dp2 f (¯
x, v, w)

f (¯
x + tv + 21 t2 u) − f (¯
x) − tf (¯
x)v
= Limsup(t,u)→(0+ ,w)
.
1 2
t
2

(b) Đạo hàm theo phương radial cấp hai đa trị của f tại x
¯ theo phương

v là tập
Dr2 f (¯
x, v) = Limsupt→0+

f (¯
x + tv) − f (¯
x) − tf (¯
x)v
.
1 2
t
2

x, v) là các tập đóng.
x, v, w) và Dr2 f (¯
Từ định nghĩa, rõ ràng Dp2 f (¯
Hơn nữa, ở Định nghĩa 1.2.2 ta thay giới hạn trên "Limsup" bởi giới hạn
"lim" ta nhận được đạo hàm theo phương parabolic cấp hai của f và đạo
hàm theo phương radial cấp hai của f . Ta kí hiệu các đạo hàm theo phương
cấp hai đơn trị đó lần lượt là d2p f (¯
x, v, w) và d2r f (¯
x, v), và ta nói rằng f là
khả vi parabolic (viết gọn là d2p −khả vi) tại x
¯ nếu d2p f (¯
x, v, w) tồn tại với
mọi v, w ∈ Rn . Tương tự, ta nói rằng f là d2r −khả vi tại x

¯ nếu d2r f (¯
x, v)
tồn tại với mọi v ∈ Rn .
Các đạo hàm theo phương cấp hai đơn trị được sử dụng để chứng minh các
điều kiện tối ưu (xem chẳng hạn [4], [5], [8], [14]). Tất nhiên, nếu d2p f (¯
x, v, w)
tồn tại khi đó Dp2 f (¯
x, v, w) = {d2p f (¯
x, v, w)}, tương tự nếu d2r f (¯
x, v) tồn tại
khi đó Dr2 f (¯
x, v) = {d2r f (¯
x, v)}.
Đạo hàm Dr2 f (¯
x, v) được sử dụng để chứng minh các điều kiện tối ưu
8


cấp hai (xem chẳng hạn [7], [16]). Cũng chú ý rằng Dp2 f (¯
x, v) được gọi là
đạo hàm tiếp liên của ánh xạ đa trị x → {f (x)} tại (¯
x, f (¯
x)) theo phương

(v, f (¯
x)v) trong Định nghĩa 2.2 [12].
Khi f Lipschitz trong một lân cận của x
¯, dễ dàng kiểm tra được

Dp2 f (¯

x, v, w)

f (¯
x + tv + 21 t2 w) − f (¯
x) − tf (¯
x)v
= Limsupt→0+
.
1 2
t
2

x, v, w). Các tính chất và các mối liên hệ giữa các đạo
và tương tự cho d2p f (¯
hàm này được cho bởi mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.2.3. Nếu f : Rn → Rp có đạo hàm Fréchet f ổn định tại x
¯ thì

x, v, w) là tập compact khác rỗng với mọi v, w ∈ Rn .
Dp2 f (¯
x, v, w) = ∅. Xét các dãy
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh rằng Dp2 f (¯
tùy ý tn → 0+ và wn → w. Định lý giá trị trung bình chỉ ra rằng với mọi

a, b gần x¯ ta có
f (b) − f (a) − f (¯
x)(b − a) ≤ b − a sup f (x) − f (¯
x) .

(1.2)

x∈[a,b]

Áp dụng bất đẳng thức này cho a = x
¯ và b = x¯ + tn v + 21 t2n wn , chú ý rằng

f là ổn định tại x¯ với hằng số k , ta có
1
1
f (¯
x + tn v + t2n wn ) − f (¯
x) − tn f (¯
x)(v + tn wn )
2
2
1
≤ tn v + tn wn supx∈[¯x,¯x+tn v+ 21 t2n wn ] f (x) − f (¯
x)
2
1
≤ kt2n θ v + tn wn 2 ,
2
ở đây ta đã đặt x = a + θ(b − a) = x
¯ + θtn (v + 21 tn wn ) với θ ∈ [0, 1]. Chia
cả hai vế cho 21 t2n và đặt

f (¯
x + tn v + 12 t2n wn ) − f (¯
x) − tn f (¯
x)v

yn :=
,
1 2
2 tn
9

(1.3)


ta thấy rằng

1
yn − f (¯
x)wn ≤ 2k v + tn wn 2 .
2

(1.4)

Vì vậy, (yn ) là bị chặn. Do đó tồn tại một dãy con hội tụ tới y ∈ Dp2 f (¯
x, v, w).

x, v, w)
x, v, w) là bị chặn và do đó Dp2 f (¯
Tiếp theo, ta chứng minh Dp2 f (¯
là tập compact vì nó là tập đóng. Lấy y ∈ Dp2 f (¯
x, v, w) khi đó yn → y , với

yn được cho bởi (1.3) với mỗi dãy (tn , wn ) → (0+ , w). Lập luận tương tự ta
nhận được (1.4). Do đó

y − f (¯
x)w ≤ 2k v 2 .
Vì vậy, Dp2 f (¯
x, v, w) là một tập đóng bị chặn.
Mệnh đề 1.2.4. (i) Nếu f là hàm khả vi Fréchet hai lần tại x
¯, khi đó

d2r f (¯
x, v) = f (¯
x)(v, v), ∀v ∈ Rn .
x, v) tồn tại thì
(ii) Nếu f liên tục tại x
¯, và d2r f (¯
d2p f (¯
x, v, w) = f (¯
x)w + d2r f (¯
x, v), ∀w ∈ Rn ,
và

Dp2 f (¯
x, v, w) = f (¯
x)w + Dr2 f (¯
x, v), ∀v, w ∈ Rn .
Chứng minh. (i) Chứng minh được suy ra từ Mệnh đề 2.4 (ii) [14].
(ii) Phần đầu là Mệnh đề 3.1 trong [17], chú ý rằng

d2p f (¯
x, v, 0) = d2r f (¯
x, v).
Ở phần thứ hai ta xét y ∈ Dp2 f (¯

x, v, w). Khi đó tồn tại dãy (tn , wn ) →

(0+ , w) sao cho
f (¯
x + tn v + 21 t2n wn ) − f (¯
x) − tn f (¯
x)v
yn :=
→ y.
1 2
t
n
2
10


Áp dụng bất đẳng thức (1.2) với a = an = x
¯ + tn v và b = bn = x¯ + tn v +
1 2
2 t n wn ,

ta được

1
1
x + tn v) − f (¯
x)( t2n wn )
f (¯
x + tn v + t2n wn ) − f (¯
2

2
1 2
≤ tn wn supx∈[an ,bn ] f (x) − f (¯
x) .
2
Với f liên tục tại x
¯, ta có
limn→∞ supx∈[an ,bn ] f (x) − f (¯
x) = 0.
Chia cả hai vế cho 21 t2n ta nhận được

f (¯
x + tn v + 21 t2n wn ) − f (¯
x + tn v)
y n :=
− f (¯
x)wn → 0.
1 2
2 tn
Nếu ta đặt

y n :=

f (¯
x + tn v) − f (¯
x) − tn f (¯
x)v
,
1 2
t

n
2

(1.5)

ta có

yn = yn − y n − f (¯
x)wn → 0,
x, v).
x)w. Từ đó suy ra y − f (¯
x)w ∈ Dr2 f (¯
và vì vậy y n → y − f (¯
Để có bao hàm thức ngược lại, lấy y0 ∈ Dr2 f (¯
x, v), khi đó tồn tại tn → 0+
sao cho y n → y0 , với yn được cho bởi (1.5). Nếu chọn dãy hằng wn = w, ∀n,
theo chứng minh trên ta có

yn = yn + f (¯
x)wn + y n → f (¯
x)w + y0 ,
và do đó f (¯
x)w + y0 ∈ Dp2 f (¯
x, v, w).
Hệ quả 1.2.5. Giả sử f : Rn → Rp có đạo hàm f liên tục tại x
¯ và v ∈ Rn .
Khi đó các phát biểu sau là tương đương:
(a) d2r f (¯
x, v) tồn tại;
11

(b) d2p f (¯
x, v, w) tồn tại với mọi w ∈ Rn ;

x, v, w0 ) tồn tại với mỗi w0 ∈ Rn .
(c) d2p f (¯
Do đó, f là d2r −khả vi tại x
¯ nếu và chỉ nếu f là d2p −khả vi tại x¯.
Chứng minh. (a) ⇒ (b) theo Mệnh đề 1.2.4 (ii), và (b) ⇒ (c) là hiển nhiên.
Ta chứng minh (c) ⇒ (a). Ta chỉ cần chứng minh với mọi dãy tn → 0+ ,
ta có y n → d2p f (¯
x, v, w0 ) − f (¯
x)w0 , trong đó y n cho bởi công thức (1.5).
Thật vậy, do d2p f (¯
x, v, w0 ) tồn tại, ta có

f (¯
x + tn v + 21 t2n w0 ) − f (¯
x) − tn f (¯
x)v
yn :=
→ d2p f (¯
x, v, w0 ).
1 2
t
2 n
Chứng minh tương tự Mệnh đề 1.2.4 (ii) (với wn = w0 với mọi n và

x)w0 .

y = d2p f (¯
x, v, w0 )) ta có y n → y − f (¯
Cho f : Rn → Rp và g : Rn → Rm , hàm (f, g) : Rn → Rp × Rm xác định
bởi

(f, g)(x) = (f (x), g(x)).
Rõ ràng là với mỗi v ∈ Rn ,

Dr2 (f, g)(¯
x, v) ⊂ Dr2 f (¯
x, v) × Dr2 g(¯
x, v),
và nếu f (hoặc g ) là d2r −khả vi tại x
¯ thì ta có dấu bằng.
Bây giờ ta so sánh đạo hàm parabolic đơn trị với dưới vi phân cấp hai
Clarke (Mệnh đề 1.2.6). Lấy f : Rn → Rp là C 1,1 trong một lân cận của x
¯.
Khi đó Jacobian suy rộng Clarke của f tại x
¯ được gọi là dưới vi phân cấp
hai Clarke của f tại x
¯, là tập hợp

∂ 2 f (¯
x) = cl co{limf (xn ) : xn → x, f (xn ) tồn tại}.
(xem [9]). Khi p = 1, tập ∂ 2 f (¯
x) được gọi là ma trận Hessian suy rộng. Ta
xét phần tử của ∂ 2 f (¯
x) là hàm song tuyến tính từ Rn × Rn vào Rp .
12

Mệnh đề 1.2.6. Nếu f : Rn → Rp là C 1,1 trong lân cận của x
¯, khi đó

Dp2 f (¯
x, v, w) ⊂ f (¯
x)w + ∂ 2 f (¯
x)(v, v), ∀u, v ∈ Rn .
x, v) ⊂ ∂ 2 f (¯
x)(v, v), với mọi v ∈ Rn .
Đặc biệt, ∅ = Dr2 f (¯
Chứng minh. Chọn y ∈ Dp2 f (¯
x, v, w), khi đó

yn :=

f (xn ) − f (¯
x) − tn f (¯
x)v
→y
1 2
t
2 n

cho mỗi dãy (tn , wn ) → (0+ , w) với xn := x
¯ + tn v + 12 t2n wn . Sử dụng khai
triển Taylor [9] ta có

1
1

1
1
f (xn ) = f (¯
x) + tn f (¯
x)(v + tn wn ) + t2n An (v + tn wn , v + tn wn )
2
2
2
2
với An ∈ cl co{∂ 2 f (x) : x ∈ [¯
x, xn ]}. Vì vậy,

1
1
f (xn ) − f (¯
x) − tn f (¯
x)v = t2n f (¯
x)wn + t2n An (v, v) + o(t2n ).
2
2

(1.6)

Bởi vì ánh xạ đa trị x → ∂ 2 f (x) là nửa liên tục trên lồi và có giá trị compact
(xem [19]), ta có thể coi dãy An hội tụ đến mỗi A ∈ ∂ 2 f (¯
x). Từ (1.6), suy
ra yn → f (¯
x)w + A(v, v), và do yn → y ta suy ra y = f (¯
x)w + A(v, v).
Phần hai là hệ quả của Mệnh đề 1.2.3 và Mệnh đề 1.2.4 (ii).

Dễ thấy bao hàm thức trong Mệnh đề 1.2.6 nói chung là chặt chẽ. Chẳng
hạn, cho f : R → R xác định bởi f (x) = sign(x)x2 , x
¯ = 0 và v = w = 1, ta
có

∂ 2 f (¯
x)(v, v) = [−2, 2]
và

Dr2 f (¯
x, v) = Dp2 f (¯
x, v, w) = {2}.

13


Chương 2

Điều kiện cần tối ưu
Chương 2 trình bày các điều kiện cần tối ưu cấp hai của Gutiérrez–
Jiménez–Novo [10] cho cực tiểu địa phương yếu của bài toán tối ưu đa mục
tiêu (1.1) với các hàm khả vi Fréchet và đạo hàm Fréchet liên tục hoặc ổn
định, dạng hệ không tương thích và dạng nhân tử Lagrange cùng với các
điều kiện cần tối ưu cấp hai cho bài toán (1.1) với các hàm khả vi hai lần,
bài toán (1.1) với các hàm C 1,1 , và một số ví dụ minh họa.

2.1

Điều kiện cần cấp hai dạng hệ không tương thích

Trong phần này chúng ta xét bài toán (1.1). Giả sử f , g là các hàm khả
vi Fréchet trong một lân cận của x
¯ ∈ M , đặt H = h−1 (0), G = g −1 (K) và

G0 = g −1 (int K). Như vậy, M = G ∩ H . Ta kí hiệu:
Nón pháp tuyến của K tại z0 là

N (K, z0 ) = −T (K, z0 )+ .
Nón tuyến tính hóa của M tại x
¯ ∈ M là

C(M, x¯) = {v ∈ Rn : g (¯
x)v ∈ cl cone(K − g(¯
x)), h (¯
x)v = 0}.
14


Nón các phương giảm tại x
¯ là

C(f, x¯) = {v ∈ Rn : f (¯
x)v ∈ −D}.
Nón các phương tới hạn là

C(¯
x) = C(M, x¯) ∩ C(f, x¯).
Định lý 2.1.2 cho điều kiện cần tối ưu cấp hai dạng nguyên thủy, còn
Định lý 2.2.6 là dạng đối ngẫu qua một quy tắc nhân tử Lagrange.
Kí hiệu ker2 (h, x

¯, v) = {w ∈ Rn : h (¯
x)w + h (¯
x)(v, v) = 0}.
Bổ đề 2.1.1. Giả sử g liên tục tại x
¯ ∈ M và h = (h1 , ..., hr ) là hàm

x) độc lập tuyến tính. Nếu
x), ..., hr (¯
khả vi Fréchet hai lần tại x
¯ với h1 (¯
v ∈ C(M, x¯), w ∈ ker2 (h, x¯, v) và
Dp2 g(¯
x, v, w) ∩ IT 2 (K, g(¯
x), g (¯
x)v) = ∅,
thì w ∈ T 2 (G0 ∩ H, x
¯, v).

x, v, w) ∩ IT 2 (K, g(¯
x), g (¯
x)v), khi đó tồn tại
Chứng minh. Chọn z ∈ Dp2 g(¯
(tn , wn ) → (0+ , w) sao cho
1
1
(g(¯
x + tn v + t2n wn ) − g(¯
x) − tn g (¯
x)v)/( t2n ) → z.
2

2
Lấy (wn ) là một dãy hội tụ đến w. Do g là Lipschitz trong một lân cận của

x¯, dễ dàng kiểm tra được
x) − tn g (¯
x)v
g(¯
x + tn v + 21 t2n w n ) − g(¯
→ z.
z n :=
1 2
t
2 n
Bởi vì z ∈ IT 2 (K, g(¯
x), g (¯
x)v) = IT 2 (int K, g(¯
x), g (¯
x)v) theo Mệnh đề
1.1.2 (ii), với mọi (sn , zn ) → (0+ , z), với mọi n đủ lớn ta có

1
g(¯
x) + sn g (¯
x)v + s2n zn ∈ int K.
2
15


Đặc biệt, chọn zn = zn và sn = tn ta nhận được

1
1
g(¯
x) + tn g (¯
x)v + t2n zn = g(¯
x + tn v + t2n w n ) ∈ int K,
2
2
với mọi n đủ lớn. Do đó, ta đã chứng minh được

1
∃tn → 0+ , ∀wn → w ∃n0 ∈ N sao cho ∀n ≥ n0 , x¯ + tn v + t2n w n ∈ G0 .
2
(2.1)
Theo Mệnh đề 4.5 [19], ta có

ker2 (h, x¯, v) = A2 (H, x¯, v).
Với w ∈ ker2 (h, x
¯, v) theo giả thiết, ta có w ∈ A2 (H, x¯, v). Từ định nghĩa
của A2 , với dãy tn → 0+ của (2.1) tồn tại dãy w
¯n → w sao cho

1
x¯ + tn v + t2n w¯n ∈ H.
2
Do (2.1) ta có

1
x¯ + tn v + t2n w¯n ∈ G0 , ∀n đủ lớn.
2

Do đó,

1
x¯ + tn v + t2n w¯n ∈ G0 ∩ H.
2
Từ đó suy ra w ∈ T 2 (G0 ∩ H, x
¯, v).
Định lý 2.1.2. Xét bài toán (1.1). Giả sử f và g là các hàm liên tục tại

x¯ ∈ M , và h là hàm khả vi Fréchet hai lần tại x¯ với h1 (x), ..., hr (x) độc
lập tuyến tính. Nếu x
¯ ∈ LWMin(f, M ) thì với ∀v ∈ C(¯
x) và ∀(y0 , z0 ) ∈

Dr2 (f, g)(¯
x, v), hệ phương trình sau là không tương thích theo w ∈ Rn :



f (¯
x)w + y0 ∈ -int cone(D + f (¯
x)v),




(2.2)
g (¯
x)w + z0 ∈ IT 2 (K, g(¯
x), g (¯

x)v),





h (¯
x)w + h (¯
x)(v, v) = 0.
16


Chứng minh. Giả sử kết luận trên là sai. Khi đó tồn tại v ∈ C(¯
x), (y0 , z0 ) ∈

Dr2 (f, g)(¯
x, v) và w ∈ Rn thỏa mãn hệ phương trình (2.2). Phương trình
thứ ba cho ta w ∈ ker2 (h, x
¯, v). Theo Mệnh đề 1.2.4 (ii),

(y, z) := (f (¯
x)w, g (¯
x)w) + (y0 , z0 ) ∈ Dp2 (f, g)(¯
x, v, w).
Do đó các phương trình thứ nhất và thứ hai của hệ (2.2) kéo theo

(y, z) ∈ {[(-int cone(D + f (¯
x), v)) × IT 2 (K, g(¯
x), g (¯
x)v)]

∩Dp2 (f, g) (¯
x, v, w)}.
Nếu ta định nghĩa f˜(x) = f (x) − f (¯
x), thì rõ ràng f˜(¯
x) = 0, f˜ (¯
x)v =

f (¯
x)v , và theo Mệnh đề 1.1.2 (vii), bởi vì f (¯
x)v ∈ cone(−D − 0) = −D,
cho nên

IT 2 (−D, f˜(¯
x), f˜ (¯
x)v) = IT 2 (−D, 0, f (¯
x)v) = −int cone(D + f (¯
x)v).
Từ Mệnh đề 1.1.2 (iv) ta có

IT 2 ((−D) × K, (f˜(¯
x), g(¯
x)), (f˜ (¯
x)v, g (¯
x)v))
= IT 2 (−D, f˜(¯
x), f˜ (¯
x)v) × IT 2 (K, g(¯
x), g (¯
x)v)
= (−int cone(D + f (¯

x), v)) × IT 2 (K, g(¯
x), g (¯
x)v).
x, v, w) = Dp2 (f, g)(¯
x, v, w). Để áp dụng Bổ đề 2.1.1 cho
Hơn nữa, Dp2 (f˜, g)(¯
(f˜, g) thay cho g và (−D) × K thay cho K , ta để ý rằng nón tuyến tính
hoá liên kết với các ràng buộc

(f˜, g)(x) ∈ (−D) × K, h(x) = 0
tại điểm x
¯ là

{u ∈ Rn : (f˜, g) (¯
x)u ∈ T ((−D) × K, (f˜, g)(¯
x)), h (¯
x)u = 0}
= {u ∈ Rn : f (¯
x)u ∈ −D, g (¯
x)u ∈ T (K, g(¯
x)), h (¯
x)u = 0}
= C(¯
x),
17


với giả thiết v ∈ C(¯
x).
Từ Bổ đề 2.1.1 ta suy ra

w ∈ T 2 (F0 ∩ G0 ∩ H, x¯, v),
trong đó

F0 = {x ∈ Rn : f˜(x) ∈ −in D} = {x ∈ Rn : f (x) − f (¯
x) ∈ −in D}.
Nhưng T 2 (F0 ∩ G0 ∩ H, x
¯, v) = ∅, theo Mệnh đề 1.1.2 (iii) ta suy ra

v ∈ T (F0 ∩ G0 ∩ H, x¯)
và điều này là mâu thuẫn vì x
¯ ∈ LWMin(f, M ) nghĩa là F0 ∩ M ∩ U = ∅
với lân cận U nào đó của x
¯. Vì vậy,

T (F0 ∩ G0 ∩ H, x¯) = ∅,
bởi vì

T (F0 ∩ G0 ∩ H, x¯) ⊂ T (F0 ∩ G ∩ H, x¯) = T (F0 ∩ M ∩ U, x¯) = ∅.

2.2

Điều kiện cần cấp hai dạng nhân tử Lagrange

Định nghĩa 2.2.1. [1]. Tập A ⊂ Rn được gọi là tập affine, nếu

(1 − λ)x + λy ∈ A (∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ R).
Định nghĩa 2.2.2. [1]. Tương giao của tất cả các tập affine chứa tập

A ⊂ Rn được gọi là bao affine của A, và kí hiệu là affA.

Chú ý rằng affA là tập affine nhỏ nhất chứa A.

18


Định nghĩa 2.2.3. [1]. Phần trong tương đối của tập A ⊂ Rn là phần
trong của A trong affA, và kí hiệu là ri A. Chú ý rằng
ri A = {x ∈ affA : ∃ε > 0, (x + εB) ∩ affA ⊂ A},
trong đó B là hình cầu đơn vị đóng trong Rn .
Định nghĩa 2.2.4. Tập lồi B được gọi là mở tương đối nếu ri B = B .
Bổ đề 2.2.5. Cho ϕ, Ψ, φ lần lượt là các hàm tuyến tính từ Rn vào Rp , Rm ,
Rr , (y0 , z0 , u0 ) ∈ Rp × Rm × Rr , C là nón lồi của Rp với int C = ∅ và B là
tập lồi mở tương đối của Rm . Nếu hệ



ϕ(x) + y0 ∈ −int C,




Ψ(x) + z0 ∈ B,





φ(x) + u = 0,
0

(2.3)

vô nghiệm x ∈ Rn , thì tồn tại

(λ, µ, ν) ∈ Rp × Rm × Rr , (λ, µ, ν) = 0
sao cho λ ∈ C + ,

λ◦ϕ+µ◦Ψ+ν◦φ=0

(2.4)

λ, y0 + µ, z0 + ν, u0 ≥ sup µ, b .

(2.5)

b∈cl B

Chứng minh. Ta định nghĩa γ : Rn → Rp × Rm × Rr bởi

γ(x) = (ϕ(x), Ψ(x), φ(x)), a0 = (y0 , zo , u0 ),
và tập lồi

E = (−cl C) × cl B × {0}.
Ta có
ri E = (−int C) × ri B × {0}
19