CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CỰC HAY

ĐT: 016653.01235

CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1. Khái niệm cực trị của hàm số:
Cho hàm số y  f ( x) xác định trên (a,b) và x0  (a, b) khi đó ta có:
a. f(x) đạt cực đại tại điểm x0 nếu tồn tại số h>0 sao cho f ( x)  f ( x0 ) với mọi giá trị

x  ( x0  h; x0  h) . f ( x0 ) gọi là giá trị cực đại của hàm số
b. f(x) đạt cực tiểu tại điểm x0 nếu tồn tại số h>0 sao cho f ( x)  f ( x0 ) với mọi giá trị

x  ( x0  h; x0  h) . f ( x0 ) gọi là giá trị cực tiểu của hàm số
2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:
Định lý 1: Giả sử hàm f có đạo hàm trên khoảng I  ( x0  h; x0  h) hoặc I \{x0 }
a. Nếu f '( x)  0 trên khoảng ( x0  h; x0 ) và f '( x)  0 trên khoảng ( x0 ; x0  h) thì x0 là điểm cực
đại của hàm số y  f ( x)
b. Nếu f '( x)  0 trên khoảng ( x0  h; x0 ) và f '( x)  0 trên khoảng ( x0 ; x0  h) thì x0 là điểm cực
tiểu của hàm số y  f ( x)
Định lý 2: Giả sử hàm f có đạo hàm cấp hai trên khoảng I  ( x0  h; x0  h) với h>0
a. Nếu f '( x)  0 và f ''( x)  0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số y  f ( x)
b. Nếu f '( x)  0 và f ''( x)  0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số y  f ( x)

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP:
DẠNG 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Phương pháp giải: Để tìm cực trị của hàm số y  f ( x) ta làm theo 2 cách
Cách 1: Sử dụng quy tắc 1:
 Tìm tập xác định của hàm số.
 Tính y’. Tìm các điểm mà tại đó y '  0 hoặc y’ không xác định.
 Lập bảng biến thiên và kết luận

Cách 2: Sử dụng quy tắc 2
 Tìm tập xác định của hàm số.
 Tính y’. Tìm các điểm mà tại đó y '  0 tìm các điểm xi
 Tính y ''( xi ) và đưa ra kết luận ( Không cần lập bảng biến thiên)


ĐT: 016653.01235


Ví dụ 1: Hàm số y 

4 x2  x  1
. Khẳng định nào sau đây là đúng:
x 1

A. Hàm đạt cực đại tại x=-2 và đạt cực tiểu tại x=0.
B. Hàm đạt cực đại tại x=-2 và x=0.
C. Hàm đạt cực tiểu tại x=-2 và x=0.
D. Hàm đạt cực tiểu tại x=-2 và đạt cực đại tại x=0.
Giải: TXĐ: D=R
Ta có : y ' 

2 x2  4 x
2 x2  4 x
y
'

 0  2 x 2  4 x  0  x  2, x  0
,
2

2
( x  1)
( x  1)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên đưa ra kết luận: Hàm đạt cực đại tại x=-2 và đạt cực tiểu tại x=0. Chọn A
Ví dụ 2: Hàm số y  x  sinx  2017 có bao nhiêu điểm cực trị:
B. 1

A. 0

C. 2

D. vô số

Giải: TXĐ: D=R
Ta có: y '  1  cos xx  R .Phương trình y '  1  cos x  0  x  k 2 , k  Z
Xét tại mỗi điểm x  k 2 , k  Z đạo hàm y '  1  cos x  0x  R nên hàm số không có cực trị
3
Ví dụ 3(Đề minh họa THPTQG 2017): Hàm số y  x  3x  2 giá trị cực đại của hàm số là:

A. yCD  4

B. yCD  1

C. yCD  0

D. yCD  1

Giải: TXĐ: D=R
Ta có: y '  3x 2  3  0  x  1 .

y ''  6x  y ''(1)  6  0, y ''(1)  6  0 Do vậy x=-1 là điểm cực đại của hàm số
yCD  y (1)  4 . Chọn đáp án A
4
2
Ví dụ 4: Hàm số y  x  4 x  1 . Khẳng định nào sau đây là đúng:

A. y đạt cực trị tại điểm x   2; x  0
B. y đạt cực tiểu x  0


ĐT: 016653.01235


C. y đạt cực đại x  0
D. y đạt cực đại tại x  0 và đạt cực tiểu tại x   2
Ví dụ 5: Hàm số y  x3  3x 2  mx .đạt cực tiểu tại x=2 khi:
A. m  0

B. m  0

C. m  0

D. m  0

Giải: TXĐ: D=R
Ta có: y '  3x 2  6 x  m; y ''  6 x  6 .

x  2 là điểm cực tiểu của hàm số khi và chỉ khi: y '(2)  0; y ''(2)  0  m  0
Chọn đáp án A
Ví dụ 6: Hàm số y  mx3  3x 2  12 x .đạt cực đai tại x=2 khi:
A. m  3

B. m  2

C. m  0

D. m  1

Giải: TXĐ: D=R
Ta có: y '  3mx 2  6 x  12; y ''  6mx  6 .

x  2 là điểm cực đại của hàm số khi và chỉ khi:
y '(2)  0; y ''(2)  00  12m  24  0,12m  6  0  m  2 .Chọn đáp án B.
Ví dụ 7: Hàm số nào sau đây chỉ có cực đại mà không có cực tiểu?
A. y   x3  3x 2  2

C. y  

x4
 x2  1
2

B. y 

1 x
2 x

D. y 

x2
1 x

Giải: Loại B,D do hàm phân thức bậc nhất/ bậc nhất không có cực trị
Đáp án A: y '  3x 2  3  0 có hai nghiệm phân biệt nên có cả cực đại và cực tiểu.
Do đó đáp án cần chọn là C
Ví dụ 8: Hàm số y  2 x  cos2x-2016 có bao nhiêu điểm cực trị:
A. 0

C. 2

B. 1

D. vô số

Giải: TXĐ: D=R. Hàm số không có đạo hàm tại x=0
Ta có: y '  2  2sin 2 xx  0 và y '  2  2sin 2 xx  0
Phương trình : y '  0  x 


4

 k , k  N hoặc y '  0  x  


4

 k , k  Z , k  0

Xét tại x=0 thì y’ đổi dấu từ âm sang dương nên x=0 là 1 điểm cực tiểu của hàm số


ĐT: 016653.01235



Xét tại x0  0 .Khi đó đạo hàm y’luôn mang dấu dương khi x qua điểm x0  0 và y’ luôn mang dấu
âm khi x qua điểm x0  0 . Do đó hàm số không có điểm cực trị nào khác ngoài điểm x=0

DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG QUA 2 CỰC TRỊ
Phương pháp giải: Bài toán viết phương trình qua 2 điểm cực trị của hàm số ta xét với hàm số bậc 3
và hàm số phân thức
 Xét hàm bậc 3: y  ax3  bx 2  cx  d . Dùng phương pháp chia đa thức y:y’ ta được:

y  y '( x).q( x)  A( x)  B . Hàm y  A( x)  B chính là phương trình đường thẳng qua cực
đại cực tiểu của hàm số
Ngoài ra các em có thể dùng máy tính casio viết phương trình qua cực đại cực tiểu của hàm

y '. y ''
y '. y ''
hoặc g ( x )  9ay 
2
3 y '''
u ( x)
 Xét hàm phân thức y 
trong đó u( x) và v( x) là các đa thức bậc hai và bậc nhất. Tại
v( x)
các điểm cực trị ta có u '.v  u.v '  0 . Do đó phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị

u '( x)
của hàm số sẽ là: y 
.
v '( x)
bậc 3: g ( x)  y 

Ví dụ 1: Đường thẳng qua hai điểm cực trị của hàm số y 
A. k  1

B. k  2

2 x2  x  1
có hệ số góc là:
x 1

C. k  6

D. k  4

u ( x)
trong đó u( x) và v( x) là các đa thức bậc hai và bậc nhất. Tại
v( x)
các điểm cực trị ta có u '.v  u.v '  0 . Do đó phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của
hàm số sẽ là: y  4 x  1. Hệ số góc k  4 . Chọn D
Giải: Xét hàm phân thức y 

Ví dụ 2: Hàm số y 

P

2 x2  7 x  m  5
đạt cực trị tại các điểm x1 , x2 . Giá trị của biểu thức
x3

f ( x1 )  f ( x2 )
là:
x1  x2
A. P  2

Giải: k 

B. P  6

D. P  3

C. P  4

f ( x1 )  f ( x2 )
là hệ số góc của đường thẳng qua 2 điểm cực trị của hàm số . Đường
x1  x2

thẳng này là: y  4 x  7 do đó P=4. Chọn đáp án C
Ví dụ 1: Đường thẳng qua hai điểm cực trị của hàm số y  x  3mx  3(m  1) x  m là:
3

A. y  2x  m

B. y  2 x  m

2

C. y  2 x  m

2

3

D. y  2 x  m


ĐT: 016653.01235


Giải: Áp dụng công thức tính nhanh g ( x)  y 

y '. y ''
Sử dụng casio với m  1000, x  i .
3 y '''

DẠNG 3: TÌM THAM SỐ m ĐỂ CỰC TRỊ HÀM SỐ THỎA MÃN ĐK

Phương pháp giải: Bài toán về xét cực trị của hàm số bậc ba và bậc bốn trùng phương thỏa mãn điều
kiện cho trong bài chia làm 2 dạng:
 Điều kiện liên quan đến biểu thức đại số:
Xét hàm bậc 3: y  ax3  bx 2  cx  d . ta có y '  3ax 2  2bx  c điều kiện đưa về tính chất
nghiệm của tam thức bậc hai, Ta sử dụng định lý Vi-et
 Điều kiện liên quan đến yếu tố hình học:
Chúng ta lưu ý đến tính chất đặc biệt của các điểm cực trị của hàm trùng phương . Hàm số
luôn có điểm cực trị là x=0,điểm cực trị A(0;c) của đồ thị nằm trên trục tung.
Khi a.b<0 đồ thị có thêm 2 điểm cực trị là B( x0 ; y0 ) và c( x0 ; y0 ) đối xứng nhau qua trục

tung. ABC cân tại A . Các tính chất đặc biệt của tam giác ABC thường được chú ý đến là:
CÔNG THỨC GIẢI NHANH
Đối với hàm bậc 4 trùng phương y  ax 4  bx 2  c
 Đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình aX 2  bX  c  0 có
hai nghiệm dương phân biệt thỏa mãn X 1  9 X 2
 Nếu đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị thì đường thẳng d’ đối xứng với d qua trục Ox
cũng là tiếp tuyến của đồ thị
 Bài toán tham số đối với hàm có 3 cực trị : Tóm tắt bằng bảng sau:
STT
1

DỮ KIỆN
Tam giác
vuông cân

CÔNG THỨC

8a  b  0
3

VÍ DỤ ÁP DỤNG
m=? Hàm số y  x  (m  2015) x  5 có 3 cực trị tạo thành
tam giác vuông cân.
4

2

Ta có: 8a  b  0  8  (m  2015)  0  m  2017
3

Tam giác đều

24a  b3  0

2

3

m=? Hàm số y 

9 4
x  3(m  2017) x 2 có 3 cực trị tạo thành
8

tam giác đều.
Ta có:

24a  b3  0  27  27(m  2017)3  0  m  2016
SABC  S0

32a 3 ( S0 ) 2  b5  0

3

4

2

Ta có: 32a ( S0 )  b  0  0  32m  32  0  m  1
3

BAC  
4

m=? Hàm số y  mx  2 x  m  2 có 3 cực trị tạo thành tam
giác có diện tích bằng 1.

b3 tan 2


2

 8a  0

2

5

3

m=? Hàm số y  3x  (m  7) x có 3 cực trị tạo thành tam
giác có góc bằng 120 độ.
Ta có:
4

8a  b3 tan 2



2

2

 0  24  ( m  7)3 .3  0  m  5


ĐT: 016653.01235



RABC  R0

m=? Hàm số y  mx  x  2m  1 có 3 cực trị tạo thành tam

b3  8a
8ab

R0 

4

giác nội tiếp đường tròn có bán kính R 

5

a (1  1 

6

7

b2

r0 

BC  m0

b3
)
a

am02  2b  0

9
.
8

b3  8a 1  8m 9

  m  1 do m<0(a.b<0)
8ab
8m
8
3
4
2
m=? Hàm số y  x  mx  có 3 cực trị tạo thành tam giác
2
ngoại tiếp đường tròn có bán kính r  1 .
b2

m2

1 m  2
Ta có: r0 
b3
1  1  m3
a (1  1  )
a
2 4
2
m=? Hàm số y  m x  mx  1  m có 3 cực trị trong đó
Ta có:

rABC  r0

2

R0 

BC  2
2
2
Ta có: am0  2b  0  2m  2m  0  m  1 vì m  0

8

B, C  Ox

b2  4ac  0

m=? Hàm số y  x  mx  1 có 3 cực trị tạo thành tam giác có
4

2

B, C  Ox .Ta có: b2  4ac  0  m  2 do m>0
9

Tam giác
ABC nhọn

8a  b3  0

m=? Hàm số y   x  (m  6) x  m  2 có 3 cực trị tạo
thành tam giác nhọn.
4

2

2

Ta có: 8a  b  0  b  2  2  m  2
3

10

11

12

13

14

O là trọng
tâm của tam
giác ABC

b2  6ac  0

O là trực tâm
của tam giác
ABC

8a  b3  4ac  0

m=? Hàm số y  x  mx  m  2 có 3 cực trị tạo thành tam
giác có O là trực tâm .
3
Ta có: 8a  b  4ac  0  m  2 do m<0

O là tâm
đường tròn
ngoại tiếp
tam giác
ABC
Góc ở đỉnh
của tam giác
cân: 
Tam giác

ABC cân

b3  8a  8abc  0

m=? Hàm số y  mx  x  2m  1 có 3 cực trị tạo thành tam
giác nội tiếp đường tròn tâm O .

m=? Hàm số y  x  mx  m có 3 cực trị tạo thành tam giác
có O là trọng tâm .
4

2

Ta có: b  6ac  0  m  6 do m<0
2

4

2

4

2

Ta có: b  8a  8abc  0  m 
3

cos  

1

do m>0
4

Công thức mở rộng cho trường hợp điều kiện tam giác tạo thành
từ 3 điểm cực trị là : đều, vuông hay một góc bất kì

b3  8a
b3  8a

Phương trình qua điểm
cực trị

BC: y 

b 3

) .x  c
Và AB ; AC: y   (
4a
2a

Ví dụ 1: Hàm số y  x  mx  x  1 có 2 điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn điều kiện: 3( x1  x2 )  2 khi:
3

A. m  1

2

B. m  0

C. m  1

D. m  2

Giải: y '  3x  2mx  1,   m  3  0 nên y’=0 có 2 nghiệm phân biệt, hàm số có 2 điểm cực
2

2

trị x1 , x2 . Theo định lý Viet ta có : 3( x1  x2 )  2  x1  x2 

2m 2
  m  1 . Chọn C
3
3


ĐT: 016653.01235



2
2
Ví dụ 2: Hàm số y  x  3x  mx  1 có 2 điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn điều kiện: x1  x2  3 khi:

3

2

A. m  1

C. m 

B. m  1

3
2

D. m 

2
3

Giải: y '  3x  6 x  m,   9  3m Hàm số có 2 điểm cực trị khi và chi khi y’=0 có 2 nghiệm
2

phân biệt  9  3m  0  m  3 . Theo định lý Viet ta có :  x1  x2  2, x1.x2 

x12  x22  3  ( x1  x2 ) 2 2 x1 x2  3  4 

m
. Do đó:
3

2m
3
 3  m  . Chọn C
3
2

Ví dụ 3: Hàm số y  4 x  mx  3x có 2 điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn điều kiện: x1  4 x2  0 khi:
3

A. m  

2

9
2

B. m  

3
2

C. m  

1
2

D. m  0

Giải: y '  12 x  2mx  3,   m  36  0m Hàm số luôn có 2 điểm cực trị .Theo định lý
2

2

Viet ta có : x1.x2 

1

1
9
, x1  4 x2  x2   . Thay vào phương trình y’=0 ta có : m  
4
4
2

Ví dụ 4: Hàm số y  x  mx  9 x  m  4 Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị đối xứng nhau
3

2

qua đường thẳng: x  8 y  49  0
A. m  1

B. m  1

Giải: A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d: y 

C. m  0

D. 1  m  0

x  49
khi và chỉ khi AB vuông góc d và trung
8

điểm I của đoạn AB nằm trên d. Trung điểm I là điểm uốn của đồ thị hàm số
y ''  6x  6m  x  m ta được M(m; 2m3  8m  4 ).

M  d  m  8(2m3  8m  4)  49  0  16m3  65m  81  0  m  1 . Chọn A
( Chú ý trong một số trường hợp ta kiểm tra điều kiện đường thẳng qua 2 cực trị vuông góc
với d)


ĐT: 016653.01235



C.NHỮNG BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Câu 1: Điểm cực đại của đồ thị hàm số y  x3  6 x 2  15 x  5 là:
A.  5; 105

B.  1;8

C.  1;3

D.

5; 100

Câu 2: Điểm cực đại của đồ thị hàm số y   x3  3x 2  5 là
A.  0;5

B.  0;0

C.  2;9

D.  2;5

Câu 3: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y  x3  2 x 2  x  1 là:
A. 1;1

B. 1;0 

 1 31 

 3 27 

C.  ;

 1 31 

 3 27 

D.   ;

Câu 4: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y  2 x3  2 x 2  2 x  5 là:
A. 1;7 

 1 125 

 3 27 

B.   ;

 1 125 

 3 27 

C.  ;

D.  1;7 

Câu 5: Giả sử hai điểm A, B lần lượt là cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y  x 3  3x  4 khi đó
độ dài đoạn thẳng AB là:
A.

5

B. 3 5

1
5

C.

D. 2 5

Câu 6: Cho hàm số y  x3  3mx  1C  . Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (C) đạt cực đại tại điểm
có hoành độ x  1 m 
A. m  1

B. m  1

C. m 

D. m  

Câu 7: Cho hàm số y  x3  mx2  x  1C  . Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (C) đạt cực tiểu tại

điểm có hoành độ x  1
A. m  1

B. m  1

C. m  2

D. m  2

Câu 8: Cho hàm số y  x3  3 m  1 x2  9x  2m2  1C  . Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (C)
có cực đại, cực tiểu tại x1 , x2 sao cho x1  x2  2
A. m  1

B. m  3

m  1
 m  3

C. 

D. m  

1 3 1 2
x  mx   m 2  3 x  C  . Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (C) có
3
2
cực đại, cực tiểu tại x1 , x2 sao cho x12  x22  6
Câu 9: Cho hàm số y 

A. m  0

B. m  1

m  0
m  1

C. 

D. m  


ĐT: 016653.01235



1 3
x   m  2  x 2   m 2  4m  3 x  6m  9  C  . Tìm giá trị của m để đồ thị
3
hàm số (C) có cực đại tại x1 , cực tiểu tại x2 sao cho x12  x2
Câu 10: Cho hàm số

A. m  1

B. m  2

Câu 11: Tìm cực trị của hàm số y 

m  1
 m  2

C. 

D. m  

1 3 1 2
x  x  2x  2
3
2

A. ycd 

19
4
; yct 
6
3

B. ycd 

16
3
; yct 
9
4

C. ycd 

19
3
; yct 

6
4

D. ycd 

19
4
; yct 
6
3

Câu 12: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số hàm số y  x3  3x 2  6 là:
A. x0  0

B. x0  4

Câu 13: Giá trị cực đại của hàm số y  

A.

2
3

B. 1

C. x0  3

D. x0  2

2 3

x  2 x  2 là:
3
C.

10
3

D. -1

3
2
Câu 14: Cho hàm số y   x  2 x  x  4 . Tổng giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số là:

A.

212
27

Câu 15: Cho hàm số y 

A.

2 10
3

Câu 16: Cho hàm số y 

A.

2 10

3

Câu 17: Cho hàm số y 
A. m  1

B.

1
3

C.

121
27

D.

212
72

1 3
x  2 x 2  3 x  1 . Khoảng cách giữa 2 điểm cực đại, cực tiểu là:
3
B.

2 13
3

C.

2 37
3

D.

2 31
3

1 3 m 2
x  x   m  1 x  6 đạt cực tiểu tại x0  1 khi
3
2
B.

2 13
3

C.

2 37
3

D.

2 31
3

x3
x2 1
 m  đạt cực tiểu tại x0  2 khi

3
2 3
B. m  2

C. m  3

D. Đáp án khác

3
2
Câu 18: Cho hàm số y  x  mx  mx . Giả sử hàm số đạt cực tiểu tại điểm x  1 . Vậy giá trị của
cực tiểu khi đó là:


ĐT: 016653.01235


A. 1

B. -1

D. Không tồn tại

C. 2

Câu 19: Cho hàm số y  4 x3  mx 2  3x  1. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có hai điểm cực
trị x1 , x2 thỏa x1  2 x2
A. m  

3 2

2

B. m 

3 2
2

C. m  

3 2
2

D. Không có giá trị của m.

Câu 20: Hàm số y   m  3 x3  2mx2  3 không có cực trị khi
A. m  3

B. m  0 hoặc m  3

C. m  0

D. m  3

Câu 21: Hàm số y  x3  3x 2  9 x  7 đạt cực đại tại :
A. x  1

B. x  3

 x  1
x  3

C. 

 x  1
x  3

D. 

Câu 22: Hàm số y   x3  5 x 2  3x  12 có điểm cực tiểu có tọa độ là:
A.  3;21

B.  3;0 

 1 311 

 3 27 

C.  ;

1
3




D.  ;0 

Câu 23: Hàm số y  x3  12 x  15 có 2 điểm cực trị là A và B. Một nửa của độ dài đoạn thẳng AB
là:
A. 4 65

B. 2 65

C. 1040

D. 520

3
2
Câu 24: Cho hàm số y  x  3mx  nx  1 . Biết đồ thị hàm số nhận điểm M  1;4  là điểm cực

trị. Giá trị của biểu thức T  m  n là :
A.

4
3

B.

4C.

16
3

D. Không tồn tại m, n.

Câu 25: Cho hàm số y  2x3  3 m  1 x2  6mx  1C  . Giả sử x1 ; x2 là hoành độ các điểm cực
trị. Biết x12  x22  2 . Giá trị của tham số m là:
A. m  1

B. m  1

C. m  1

D. m  2

Câu 26: Cho hàm số y   x3  2  m  1 x2  mx  3 . Giá trị của m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm

x

4
là:
3

A. m  0

B. m  1

C. m  2

D. Không tồn tại m.


ĐT: 016653.01235


Câu 27: Cho hàm số y 

1 3
x  mx 2   m 2  m  1 x . Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho đạt

3

cực đại tại x  1 ?
A. m  0

B. m  1

C. m  

D. Đáp án khác

Câu 28: Cho hàm số y  x3  3x 2  mx  m  2 . Với giá trị nào của m thì hàm số có 2 điểm cực trị
nằm về 2 phía của trục tung ?
A. m  0

B. m  0

C. m  0

D. m  1

Câu 29: Đồ thị hàm số y  x3  9 x 2  24 x  4 có các điểm cực tiểu và điểm cực đại lần lượt là

 x1; y1 

và  x2 ; y2  . Giá trị của biểu thức x1 y2  x2 y1 là:

A. -56

B. 56

C. 136

D. -136

Câu 30: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số y  x3  4 x 2  3x  1
A. y  

14
1
x
9
3

B. y  

14
1
x
9
3

C. y 

14
1
x
9
3

D. y 

14
1
x
9
3

Câu 31: Gọi x1 , x2 lần lượt là hai điểm cực trị của hàm số y  x3  5x 2  4x  1 . Giá trị của biểu
thức y  x1   y  x2  gần với giá trị nào sau đây nhất ?
A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

Câu 32: Cho hàm số y  x3  3mx2  3 2m 1 x  1 Cm  . Các mệnh đề dưới đây:
(a) Hàm số (Cm) có một cực đại và một cực tiểu nếu m  1
(b) Nếu m  1 thì giá trị cực tiểu là 3m  1
(c) Nếu m  1 thì giá trị cực đại là 3m  1
Mệnh đề nào đúng ?
A. Chỉ (a) đúng.

B. (a) và (b) đúng, (c) sai.

C. (a) và (c) đúng, (b) sai.

D. (a), (b), (c) đều đúng.





Câu 33: Tìm m để hàm số y  x3  3mx 2  3 m2  1 x  m đạt cực đại tại x  2
A. m  2

B. m  3

C. m  1

D. m  4

Câu 34: Toạ độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y  2 x3  3x 2  12 x  1 là:
A.  1;8

B.  2; 19

C.  1;2

D.  2; 1

Câu 35: Gọi A  x1; y1  và B  x2 ; y2  lần lượt là toạ độ các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm
3
2
số y   x  3x  9 x  1 . Giá trị của biểu thức T 

x1 x2
bằng :


y2 y1


ĐT: 016653.01235


A.

7
13

B.

7
13

C.

6
13

D.

6
13

Câu 36: Gọi A, B là toạ độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y   x3  3x  2 C  . Độ dài AB là:
A. 2 3

B. 2 5

C. 2 2

Câu 37: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau.

Khẳng định nào sau đây là đúng.
A. Hàm số đã cho có một điểm cực trị tại x  1
B. Giá trị của cực đại là yCD  4 và giá trị của cực tiểu là yCT  0
C. Giá trị của cực đại là yCD   và giá trị của cực tiểu là yCT  
D. Hàm số đã cho không đạt cực trị tại điểm x  1
Câu 38: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng.

A. Hàm số đã cho đạt cực đại tại x  4 và cực tiểu tại x  2
B. Hàm số đã cho đạt cực đại tại x  0 và cực tiểu tại x  4
C. Giá trị của cực đại là yCD  4 và giá trị của cực tiểu là yCT  2
D. Hàm số đạt cực đại tại điểm x  0 và có giá trị của cực tiểu là yCT  0

D. 5 2


ĐT: 016653.01235


ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

01. C
11. A
21. A
31. B

02. C
12. D
22. C
32. A

03. A
13. C
23. B
33. B

04. B
14. A
24. C
34. B

05. D
15. B
25. B
35. C

06. B
16. D
26. D
36. B

07. C
17. B
27. A
37. B

08. C
18. B
28. A
38. D

09. A
19. A
29. B

10. C
20. C
30. A

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: Điểm cực đại của đồ thị hàm số y  x3  6 x 2  15 x  5 là:
A.  5; 105

B.  1;8

C.  1;3

D.

5; 100

HD: Chọn C
Câu 2: Điểm cực đại của đồ thị hàm số y   x3  3x 2  5 là
A.  0;5

B.  0;0

C.  2;9

D.  2;5

HD: Chọn C
Câu 3: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y  x3  2 x 2  x  1 là:
A. 1;1

B. 1;0 

 1 31 

 3 27 

C.  ;

 1 31 

 3 27 

D.   ;

HD: Chọn A
Câu 4: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y  2 x3  2 x 2  2 x  5 là:
A. 1;7 

 1 125 


 3 27 

B.   ;

 1 125 

 3 27 

C.  ;

D.  1;7 

HD: Chọn D
Câu 5: Giả sử hai điểm A, B lần lượt là cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y  x 3  3x  4 khi đó
độ dài đoạn thẳng AB là:
A.

5

B. 3 5

C.

1
5

D. 2 5

HD: Chọn D
Câu 6: Cho hàm số y  x3  3mx  1C  . Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (C) đạt cực đại tại điểm

có hoành độ x  1 m 
A. m  1
HD: Chọn B

B. m  1

C. m 

D. m  


ĐT: 016653.01235



Câu 7: Cho hàm số y  x3  mx2  x  1C  . Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (C) đạt cực tiểu tại
điểm có hoành độ x  1
A. m  1

B. m  1

C. m  2

D. m  2

HD: Chọn C
Câu 8: Cho hàm số y  x3  3 m  1 x2  9x  2m2  1C  . Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (C)
có cực đại, cực tiểu tại x1 , x2 sao cho x1  x2  2
A. m  1

m  1
 m  3

B. m  3

D. m  

C. 

HD: Ta có y '  0  x2  2  m  1 x  3  0 . ĐK có 2 điểm cực trị  '   m  1  3  0
2

Khi đó

m  1
2
2
2
 x1  x2  2  m  1
  x1  x2   4   x1  x2   4 x1 x2  4  m  1  4.3  4  

 m  3
 x1 x2  3
Chọn C

1 3 1 2
x  mx   m 2  3 x  C  . Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (C) có
3
2
cực đại, cực tiểu tại x1 , x2 sao cho x12  x22  6

Câu 9: Cho hàm số y 

A. m  0

m  0
m  1

B. m  1

D. m  

C. 





HD: Ta có y '  x 2  mx  m2  3 . ĐK có 2 cực trị   m2  4 m2  3  12  3m2  0

 x1  x2  m

Khi đó 

 x1 x2  m  3
2

 x12  x22  m2  2  m2  3  6  m2  6  m  0  t / m  . Chọn A

1 3
x   m  2  x 2   m 2  4m  3 x  6m  9  C  . Tìm giá trị của m để đồ thị

3
hàm số (C) có cực đại tại x1 , cực tiểu tại x2 sao cho x12  x2
Câu 10: Cho hàm số

A. m  1

m  1
 m  2

B. m  2



D. m  

C. 



x  m  3
x  m 1

HD: Ta có y '  x 2  2  m  2  x  m2  4m  3  0 . Khi đó  '  1  

Do a 

m  1
2
1
 0  xCD  xCT  x1  m  1; x2  m  3 . Theo GT   m  1  m  3  

.
3
 m  2


ĐT: 016653.01235


Chọn C
Câu 11: Tìm cực trị của hàm số y 

1 3 1 2
x  x  2x  2
3
2

A. ycd 

19
4
; yct 
6
3

B. ycd 

16
3
; yct 
9

4

C. ycd 

19
3
; yct 
6
4

D. ycd 

19
4
; yct 
6
3

HD: Chọn A
Câu 12: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số hàm số y  x3  3x 2  6 là:
A. x0  0

B. x0  4

C. x0  3

D. x0  2

HD: Chọn D
Câu 13: Giá trị cực đại của hàm số y  

A.

2
3

B. 1

2 3
x  2 x  2 là:
3
C.

10
3

D. -1

HD: Chọn C
Câu 14: Cho hàm số y   x3  2 x 2  x  4 . Tổng giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số là:
A.

212
27

B.

1
3

C.

121
27

D.

212
72

x  1
104 212
1
 T  y 1  y    4 

HD: y '  3 x  4 x  1  0  
. Chọn A
1
x 
27
27
3
3

2

Câu 15: Cho hàm số y 

A.

2 10
3

1 3
x  2 x 2  3 x  1 . Khoảng cách giữa 2 điểm cực đại, cực tiểu là:
3
B.

2 13
3

C.

2 37
3

D.

2 31
3

1

2
x 1 y 
2 13
4
2

HD: Ta có y '  x  4 x  3  0 

. Chọn B
3  d  2   

3
3

 x  3  y  1
2

Câu 16: Cho hàm số y 

A.

2 10
3

1 3 m 2
x  x   m  1 x  6 đạt cực tiểu tại x0  1 khi
3
2
B.

2 13
3

C.

2 37
3

D.

2 31
3


ĐT: 016653.01235



x  1
. Để hàm số đạt cực tiểu tại
 x  m 1

2
HD: Ta có y '  x  mx  m  1  0  

x0  1  m  1  1  m  2 . Chọn A
Câu 17: Cho hàm số y 
A. m  1

x3
x2 1
 m  đạt cực tiểu tại x0  2 khi
3
2 3
B. m  2

C. m  3

D. Đáp án khác

HD: Ta có: y '  x 2  mx  y '  2  4  2m  0  m  2
Khi đó y " 2  2.2  2  2  0 . Do vậy với m  2 thì hàm số đạt cực tiểu tại x  2 . Chọn B
Câu 18: Cho hàm số y  x3  mx 2  mx . Giả sử hàm số đạt cực tiểu tại điểm x  1 . Vậy giá trị của
cực tiểu khi đó là:
A. 1

B. -1

D. Không tồn tại

C. 2

HD: Ta có: y ' 1  3  2m  m  0  m  1 . Khi đó y "1  6  2  4  0 nên hàm số đạt cực tiểu
tại điểm x  1 khi m  1 . Khi đó y 1  1 . Chọn B
Câu 19: Cho hàm số y  4 x3  mx 2  3x  1. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có hai điểm cực
trị x1 , x2 thỏa x1  2 x2
A. m  

3 2
2

B. m 

3 2
2

C. m  

3 2
2

D. Không có giá trị của m.

HD: Ta có y '  12 x 2  2mx  3 . ĐK có 2 cực trị là:  '  m2  36  0

m

 x1  x2  6

1

GT   x1 x2 
. Giải
4

 x1  2 x2



1

x2 
; x1 
1


 x1 x2 
2 2

GT  
4 
1

 x1  2 x2
 x1  2 2 ; x2 

1
3
2
 m  6  x1  x2   
. Chọn A
1
2
2

Câu 20: Hàm số y   m  3 x3  2mx2  3 không có cực trị khi
A. m  3

B. m  0 hoặc m  3


ĐT: 016653.01235


C. m  0

D. m  3

HD: Ta có m  3  y  6 x 2  3 hàm số có một điểm cực trị

x  0
Với m  3  y '  3  m  3 x  4mx  0  
 x  4m
m3

2

Hàm số không có cực trị 

m
 0  m  0 . Chọn C
m3

Câu 21: Hàm số y  x3  3x 2  9 x  7 đạt cực đại tại :
A. x  1

B. x  3

 x  1
x  3

C. 

 x  1
x  3

D. 

HD: Chọn A

Câu 22: Hàm số y   x3  5 x 2  3x  12 có điểm cực tiểu có tọa độ là:
B.  3;0 

A.  3;21

 1 311 

 3 27 

C.  ;

1
3




D.  ;0 

HD: Chọn C
Câu 23: Hàm số y  x3  12 x  15 có 2 điểm cực trị là A và B. Một nửa của độ dài đoạn thẳng AB
là:
A. 4 65

B. 2 65

C. 1040

D. 520

 x  2  y  1
 A  2; 1 , B  2;31
 x  2  y  31

2
HD: y '  3x  12  0  

 AB   4;32   AB 

 4 

2

 32 2  4 65 

1
AB  2 65 . Chọn B
2

Câu 24: Cho hàm số y  x3  3mx 2  nx  1 . Biết đồ thị hàm số nhận điểm M  1;4  là điểm cực
trị. Giá trị của biểu thức T  m  n là :
A.

4
3

B.

4C.

16
3

D. Không tồn tại m, n.

HD: y '  3x 2  6mx  n , đồ thị hàm số đã cho nhận M  1;4  là điểm cực trị nên

1


3  6m  n  0
16
 y '  1  0
m  


5  m  n   . Chọn C

3
1  3m  n  1  4
 y  1  4


n  5


ĐT: 016653.01235

Câu 25: Cho hàm số y  2x3  3 m  1 x2  6mx  1C  . Giả sử x1 ; x2 là hoành độ các điểm cực
trị. Biết x12  x22  2 . Giá trị của tham số m là:
A. m  1

B. m  1

C. m  1

D. m  2

HD: y '  6x 2  6  m  1 x  6m; y '  0  x2   m  1 x  m  0 1
+) Cần có    m  1  4m  0   m  1  0  m  1
2

2

(*)

 x1  x2  m  1
 x1 x2  m

Khi đó x1 ; x2 là 2 nghiệm của 1  

+) x12  x22   x1  x2   2x1 x2   m  1  2m  m2  1  2  m  1
2

2

Kết hợp với (*) ta được m  1 thỏa mãn. Chọn B.
Câu 26: Cho hàm số y   x3  2  m  1 x2  mx  3 . Giá trị của m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm

x

4
là:
3

A. m  0

B. m  1

C. m  2

D. Không tồn tại m.

HD: y '  3x2  4  m  1 x  m; y "  6x  4m  4

 4
  4 2
4
y
'

0
19
3.    4  m  1 .  m  0





m  0
 3
 3
 0
3
YCBT  

3

 m 
m  1
 y "  4   0 6. 4  4m  4  0
4m  4  0
  3 
 3
Chọn D
Câu 27: Cho hàm số y 

1 3
x  mx 2   m 2  m  1 x . Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho đạt
3

cực đại tại x  1 ?
A. m  0

B. m  1

C. m  

D. Đáp án khác

HD: y '  x 2  2mx  m2  m  1; y "  2 x  2m

m  m  1  0
1  2m  m 2  m  1  0
 y '  1  0
YCBT  


 m  0 . Chọn A
 y "  1  0
2  2m  0
m  1
Câu 28: Cho hàm số y  x3  3x 2  mx  m  2 . Với giá trị nào của m thì hàm số có 2 điểm cực trị
nằm về 2 phía của trục tung ?
A. m  0

B. m  0

2
2
HD: y '  3x  6 x  m; y '  0  3x  6 x  m  0

C. m  0

D. m  1


ĐT: 016653.01235

m  3
 '  9  3m  0

YCBT  
 m
 m  0 . Chọn A
 x1 x2  0
 3  0
Câu 29: Đồ thị hàm số y  x3  9 x 2  24 x  4 có các điểm cực tiểu và điểm cực đại lần lượt là

 x1; y1 

và  x2 ; y2  . Giá trị của biểu thức x1 y2  x2 y1 là:

A. -56

B. 56

C. 136

D. -136

 x  4  y  20
 x  2  y  24

2
HD: y '  3x  18 x  24; y "  6 x  18; y '  0  

+) y " 4  6  0  điểm cực tiểu  4;20  x1  4; y1  20
+) y " 2  6  0  điểm cực đại  2;24  x2  2; y2  24
Do đó x1 y2  x2 y1  4.24  2.20  56 . Chọn B
Câu 30: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số y  x3  4 x 2  3x  1
A. y  

14
1
x
9
3

B. y  

14
1
x
9
3

C. y 

14
1
x
9
3

D. y 

14
1
x
9
3

HD:
Chọn A
Câu 31: Gọi x1 , x2 lần lượt là hai điểm cực trị của hàm số y  x3  5x 2  4x  1 . Giá trị của biểu
thức y  x1   y  x2  gần với giá trị nào sau đây nhất ?
A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

10

x1  x2 


3
2
HD: y '  3x  10x  4 , ta có x1 ; x2 là 2 nghiệm của y '  0  
x x  4
 1 2 3
+)

y  x1   y  x2    x13  5x12  4 x1  1   x13  5x22  4 x2  1   x13  x23   5  x12  x22   4  x1  x2   2

10
3
2
  x1  x2   3x1 x2  x1  x2   5  x1  x2   2 x1 x2   4.  2


3
3
 10 2
4 10
4  34
 10 
    3. .  5    2.    y  x1   y  x2   7,185 . Chọn B
3 3
3  3
 3
 3 

Cách 2: Tính trực tiếp từ x1 ; x2 là 2 nghiệm của y '  0  x1 

5  13
5  13
; x2 
3
2


ĐT: 016653.01235

 5  13 
 5  13 
 y  x1   y  x2   y 
  y 
  7,185 . Chọn B
2
2




Câu 32: Cho hàm số y  x3  3mx2  3 2m 1 x  1 Cm  . Các mệnh đề dưới đây:
(a) Hàm số (Cm) có một cực đại và một cực tiểu nếu m  1
(b) Nếu m  1 thì giá trị cực tiểu là 3m  1
(c) Nếu m  1 thì giá trị cực đại là 3m  1
Mệnh đề nào đúng ?
A. Chỉ (a) đúng.

B. (a) và (b) đúng, (c) sai.

C. (a) và (c) đúng, (b) sai.

D. (a), (b), (c) đều đúng.

HD: y '  3x 2  6mx  3 2m 1 ; y "  6x  6m; y '  0  x2  2mx  2m 1  0
+) Cần có  '  m2  2m  1  0   m  1  0  m  1
2

Khi đó x1  m   m 1  1; x2  m   m 1  2m 1
Như vậy, với m  1 thì hàm số đã cho luôn có một cực đại và một cực tiểu  A đúng

 y " 1  6  6m  6 1  m 
 y "  2m  1  6  2m  1  6m  6  m  1

+) 

Với m  1  y " 2m  1  0  yCT  y  2m  1   2m  1  3m  2m  1  3  2m  1  1
3

2

2

  2m  1  2m  1  3m  3  1  3m  1  B
2

Với m  1  y " 2m 1  0  yCD  y  2m 1 , như trên ta thấy yCD  3m  1  C sai. Chọn A





Câu 33: Tìm m để hàm số y  x3  3mx 2  3 m2  1 x  m đạt cực đại tại x  2
A. m  2

B. m  3

C. m  1

D. m  4

2
2
HD: y '  3x  6mx  3m  3; y "  6x  6m

m  1
 y '  2   0
12  12m  3m2  3  0  
YCBT  

   m  3  m  3 . Chọn B
m  2
 y "  2   0 12  6m  0

Câu 34: Toạ độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y  2 x3  3x 2  12 x  1 là:
A.  1;8
HD: Chọn B

B.  2; 19

C.  1;2

D.  2; 1


ĐT: 016653.01235

Câu 35: Gọi A  x1; y1  và B  x2 ; y2  lần lượt là toạ độ các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm
số y   x3  3x 2  9 x  1 . Giá trị của biểu thức T 

A.

7
13

B.

7
13

x1 x2
bằng :

y2 y1
C.

6
13

D.

6
13

HD: Chọn C

Câu 36: Gọi A, B là toạ độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y   x3  3x  2 C  . Độ dài AB là:
A. 2 3

B. 2 5

C. 2 2

HD: Chọn B
Câu 37: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau.

Khẳng định nào sau đây là đúng.
A. Hàm số đã cho có một điểm cực trị tại x  1
B. Giá trị của cực đại là yCD  4 và giá trị của cực tiểu là yCT  0
C. Giá trị của cực đại là yCD   và giá trị của cực tiểu là yCT  
D. Hàm số đã cho không đạt cực trị tại điểm x  1
HD: Từ bảng trên, ta thấy ngay
+) Hàm số đã cho đạt cực đại tại x  1  yCD  y 1  4
+) Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x  1  yCT  y  1  0 . Chọn B
Câu 38: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng.

D. 5 2




A. Hàm số đã cho đạt cực đại tại x  4 và cực tiểu tại x  2
B. Hàm số đã cho đạt cực đại tại x  0 và cực tiểu tại x  4
C. Giá trị của cực đại là yCD  4 và giá trị của cực tiểu là yCT  2
D. Hàm số đạt cực đại tại điểm x  0 và có giá trị của cực tiểu là yCT  0
HDF: Từ bảng trên, ta thấy ngay

+) Hàm số đã cho đạt cực đại tại x  0 và yCD  4
+) Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x  2 và yCT  0 .
Khi đó A sai, B sai, C sai, D đúng. Chọn D

ĐT: 016653.01235