Đáp án đề thi HSG 9 Các cum

ĐÁP ÁN de 1
I. Trắc nghiệm ( Mỗi ý đúng cho 0,4 điểm)
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Đáp án a c d c a b d c d C
II. Tự luận
Câu 1: ( 2 điểm)
a. Ta có:
2
)17(
74
2
+
=+
( 0,25 điểm);
2
)17(
74
2
−
=−
( 0,25 điểm)
A =
2
2
1717
−
+−+
( 0,25 điểm); A =
2
2
2

−
= 0 ( 0,25 điểm)
b. B
2
= x -
)4)(4(244
2222
−+−−+−++−
xxxxxxx
( 0,5điểm)
B
2
= x + x + 2
4
22
+−
xx
(0,25 điểm)
B =
)2(2
+
x
( 0,25 điểm)
Câu 2: ( 1,5) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức
2a
3
- 12b ( a-b) + 1
≥
0 ( 0,25 điểm)
- Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức:

a
2

≥
4b( a- b) (2)
⇔
( a - 2b)
2

≥
0; (đúng) ⇒ (2) đúng (0.25đ)
từ (2) ⇒ 3a
2

≥
12b(a-b) (3) (0.25đ)
Muốn chứng minh (1) đúng ta chứng minh
2a
3
- 3a
2
+ 1
≥
0 (4) (0.25đ)
⇔
2a
3
– 2a
2
– a

2
+ 1
≥
0
⇔
2a
2
(a - 1) – (a - 1)(a + 1)
≥
0
⇔
(a - 1)(2a
2
– a - 1)
≥
0
⇔
(a - 1)(a
2
– a + a
2
- 1)
≥
0
⇔

( )
1
−
a

[ ]
0)1)(1()1(
≥+−+−
aaaa

⇔

( ) ( )
[ ]
0)12(11
≥+−−
aaa
⇔
(a - 1)
2
(2a + 1)
≥
0 đúng (vì a > 0) ⇒ (4) đúng (0.25đ)
Vì 3a
2

≥
12b (a-b) theo (3)
⇒ 2a
3
– 12b (a-b) + 1
≥
2a
3

– 3a
2
+ 1
≥
0 (theo (4)) (0.25đ)
Câu 3: (2,5đ)
Vẽ hình đúng (0.25đ)
a) (1đ)
+ Vỡ ∆ AHD = ∆ AKD (Cạnh huyền và gúc nhọn bằng nhau) (0.25đ)
+ Suy ra
21
ˆˆ
DD
=
(cặp góc tương ứng)
(0.25đ)
+
DABD
ˆ
ˆ
1
=
(so le trong) (0.25đ)
+ Suy ra
DABD
ˆ
ˆ
1
=

⇒
∆ ABD cân tại B (0.25đ)
b) (1.25đ)
+ Gọi cạnh AB là y
⇒
BD = y (theo (1)) (0.25đ)
+ Ta có:
AB
2
= y
2
= BH.BC = 25 (y-6) (vì HD = DK) (0.25đ)
Hay: y
2
= 25y – 150 (0.25đ)
⇔
y
2
= 25y + 150 = 0
⇔
(y – 10) (y – 15) = 0 (0.25đ)
⇒
AB = 10cm hoặc 15cm (0.25đ)
§¸p ¸n to¸n 9 (de 2)
I. Tr¾c nghiÖm (4®)
C©u 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Đáp án d b b d c a b b c b
II. Tự luận (6đ )
Câu 1: (1,5đ)
ĐKXĐ: x

2
4x

0

x(x-4)

0

x

4 hoặc x

0
x -
04
2

xx
x
xx 4
2

x
2


x
2
- 4x

x

4 hoặc x

0

x

4 hoặc x<0
x
0

a.
)4(
)44)(44(
)4)(4(
)4()4(
22
2222
22
2222
xxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
A

++++
=

+
+
=
=
xx
x
xxx
4
4
2.42
2
2
=

b. A<
545
2
<
xx



510)5)(1(054
2
<<<+<
xxxxx
Kết hợp với điều kiện ta có
x

4 hoặc x <0

-1<x<0
-1 < x <5 4

x

5
Vậy : Để A<
5
thì -1 <x<0 hoặc 4

x

5
Câu 2: 1. áp dụng bất đẳng thức CôSi ta có
1 +b
2


2b

a(1 + b
2
)

2ab
1 +c
2

2c

b(1 + c
2
)

2bc
1 +a
2


2a

c(1 + a
2
)

2ac


a(1+b
2
) + b(1+c
2
) + c(1+a
2
)

2ab +2bc +2ac

a(1+b
2
) + b(1+c
2
) + c(1+a
2
)

2 (ab +bc ca)
2. abcd = n
2
(n

N)
abcd = n
2


100 ab + cd = n
2

100(1 + cd ) + cd = n
2

100 + 101 cd = n
2

101 cd = n
2

100 = (n-10)(n+10)
ta có n<100 và 101 là số nguyên tố nên suy ra
101 = n+10

n= 91 A
Thử lại abcd = 91
2
= 8281
Câu 3: (2,5đ) 1.(1,5đ) E
a. Tứ giác ADHE là hình chữ nhật
( Vì tứ giác ADHE có 3 góc vuông) D


AH = DE


Ta có: AH
2
= BH.CH = 9.4 =36 B C

AH = 6 cm H
b. Xét

AHC vuông tại H có HE

AC

AH
2
= AE.AC (1)

AHB vuông tại H có DH

AB

AH
2
= AD.AB (2) Từ (1) và (2) ta có: AE.AC = AD.AB
2. (1đ) (sin

sin1)cos
2
+=+




22
cossin.cos2sin
++
= 1 +sin


1 + 2cos

sin1sin.
+=


2 cos

sinsin.
=
(1)
Chứng minh (1):
Ta có: 2.
BM
AH
BM
AH
BC
AH
BCBC
AHBC
BC
AB
BC
AB
====
.2
.22
.
.
.2.

B

2.cos
AM
AH
BM
AH
==

sin.
( Vì AM là đờng trung tuyến
ABC

) H M C


2 cos

.sin

sin
=
Vậy: (sin

sin1)cos
2
+=+
Đáp án toán 9 De 3
I. Trắc nghiệm ( 4 điểm ) Mỗi câu đúng 0.4 điểm
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Đáp án B C C D B A B C D B
II. Tự luận ( 6 điểm )
Câu 1: 2 điểm . ĐKXĐ: x > 3 0.25 điểm
a. A =
3
2 x

với x > 3 01 điểm
b. A là số nguyên khi
x
chia hết cho 3


x
= 3k ( k

N
*
)

x = 9k
2
(k

N
* )
. Vậy A nguyên khi x =
9k
2
với k là số nguyên dơng : 0.75 điểm

Câu 2: ( 2 điểm )
Từ x
2
= y
2
+ 2y + 13 ta có : x
2
= ( y + 1 )
2
+12

( x + y + 1 )(x y 1 ) = 12
Do ( x + y + 1 ) - (x y 1 ) = 2y + 2 và x, y

N
*
nên x + y + 1 > x y 1 . Vì vậy x + y + 1 và x y
1 là hai số nguyên dơng chẵn . Mà 12 = 2 . 6 nên chỉ có một trờng hợp : x + y + 1 = 6 và x y 1 = 2.
Vậy x = 4 và y = 1
Câu 3: ( 2 điểm ) Mỗi ý 01 điểm
a) Do AH

BC ( gt ) ; BAC = 90
0
( gt ) nên AH . BC = AB . AC (1 )
Mà BC = 2AE ( Tính chất đờng trung tuyến trong tam giác vuông )
AB = 2AD ( gt ) ; AC = 2AF ( gt ) nên (1 ) trở thành 2AH . AE = 4AD . AF
Vậy AH . AE = 2AD . AF
b) Xét tam giác ABC có : A = 90
0

. Đờng cao AH (gt) nên :
ACABAH
222
111
+=
( Hệ thức lợng trong tam giác vuông )
Hay
AFADAH
222
4
1
4
11
+=
( Do AB = 2AD; AC = 2AF )
Vậy
AFADAH
222
114
+=
( đfcm )
Dap an de 4
Đáp án và biểu diểm:
I/ Phần trắc nghiệm:(4đ)
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8
Đáp số a b c d a b c b
A
B
C
H

E

F
D
II/ Phần tự luận ( 6 điểm)
Câu1: (1,5đ) a. (1đ) A =
( ) ( )
( )( )
3
2
23
22
623
22
222
2
224
2
+
=
+

=
+

xxx
x
xxx
x
b. (0,5đ) A =

3
6
3
2
3
2
2
=
+
x
Dấu = xảy ra

x = 0. Vậy giá trị lớn nhất của A =
3
6
khi x =
0.
Câu2: (1,5đ) Với a>c>0 và b>c>0 (gt) thì a c > 0 và b c > 0.áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
( )
ab
bcabca
a
ca
b
c
ab
cac
+
=

+

2
1
2
1
(1)
( )
ab
acabcb
b
cb
a
c
ab
cbc
+
=

+

2
1
2
1
(2)
Cộng vế theo vế (1) và (2) Ta có:
( )
ab
cac
+
( )
ab
cbc

1

( ) ( )
abcbccac
+
(đpcm)
Câu3: (3đ)
a.(0,75đ)
Gọi I là trung điểm của CD => IC = ID (1)
=>OI vuông góc với CD => OI//AH//BK ( Vì AH , BK cùngvuông góc với CD)
Mà O là trung điểm của AB nên I là trung điểm của HK hay IH = IK (2).
Từ (1) và (2) => CH = DK.
b. (1,5đ) . Qua I kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AH và BK ở E và F. Ta có:

( )
gcgKIFHIE
=
=>
S
AHKB
= S
AEFB.
Kẻ II, CC, DD vuông góc với AB.
Mà S
AEFB
= AB . II (vì AB = EF) nên S
AHKB
= AB.II (3)
S
ABC
+ S
ADB
=
'.
2
''
2
'.
2
'.
IIAB
DDCC
AB
ABDDABCC

=






+
=+
(4)
Từ (3) và (4) Ta có: S
AHKB
= S
ABC
+ S
ADB
.
c.(0,75đ) . Trong tam giác vuông ICO co: OI
2

=
)(12915
2222
cmOIOC
==
S
AHKB
= AB. II

AB. IO = 30 . 12 = 360(cm

2
) (vì IO

II )
Vậy S
AHKB
lớn nhất bằng 360cm
2
Dap an de 6
Đáp án và biểu diểm:
I/ Phần trắc nghiệm:(4đ)
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8
Đáp số a b c d a b c b
II/ Phần tự luận ( 6 điểm)
C
O
IC D
B
H
E
I
D
K
F
Câu1: (1,5đ) a. (1đ) A =
( ) ( )
( )( )
3
2
23

22
623
22
222
2
224
2
+
=
+

=
+

xxx
x
xxx
x
c. (0,5đ) A =
3
6
3
2
3
2
2
=
+
x
Dấu = xảy ra

x = 0. Vậy giá trị lớn nhất của A =
3
6
khi x =
0.
Câu2: (1,5đ) Với a>c>0 và b>c>0 (gt) thì a c > 0 và b c > 0.áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
( )
ab
bcabca
a
ca
b
c
ab
cac
+
=







+

2
1
2

1
(1)
( )
ab
acabcb
b
cb
a
c
ab
cbc
+
=







+

2
1
2
1
(2)
Cộng vế theo vế (1) và (2) Ta có:
( )
ab

cac
+
( )
ab
cbc

1

( ) ( )
abcbccac
+
(đpcm)
Câu3: (3đ)
a.(0,75đ)
Gọi I là trung điểm của CD => IC = ID (1)
=>OI vuông góc với CD => OI//AH//BK ( Vì AH , BK cùngvuông góc với CD)
Mà O là trung điểm của AB nên I là trung điểm của HK hay IH = IK (2).
Từ (1) và (2) => CH = DK.
b. (1,5đ) . Qua I kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AH và BK ở E và F. Ta có:
( )
gcgKIFHIE
=
=>
S
AHKB
= S
AEFB.
Kẻ II, CC, DD vuông góc với AB.
Mà S
AEFB

= AB . II (vì AB = EF) nên S
AHKB
= AB.II (3)
S
ABC
+ S
ADB
=
'.
2
''
2
'.
2
'.
IIAB
DDCC
AB
ABDDABCC
=






+
=+
(4)
Từ (3) và (4) Ta có: S

AHKB
= S
ABC
+ S
ADB
.
c.(0,75đ) . Trong tam giác vuông ICO co: OI
2

=
)(12915
2222
cmOIOC
==
S
AHKB
= AB. II

AB. IO = 30 . 12 = 360(cm
2
) (vì IO

II )
Vậy S
AHKB
lớn nhất bằng 360cm
2