Đề thi hsg tp Hạ Long mới nhất 2017

Đề thi HSG thành phố Hạ Long 6/12/2017
Câu 1: (5,5 điểm)
a, Cho hai số nguyên dương a,b và số c khác 0 thỏa mãn

1
a

Chứng minh rằng:

a b

=

a  c

+

1

1

b

c

+ + =0

b  c

b, Cho a là số tự nhiên, chứng minh rằng:
B= 4a(a+2017)(a+2018)(a+4035)+ 2 0 1 7 .20182 là số chính phương.

2

Câu 2: (3,0 điểm) Giải phương trình:
(x2+6x+5)

10  x

2

=

x

3

+4x2- 7x- 10

Câu 3: ( 2,5 điểm) Cho a, b là hai số nguyên thỏa mãn ( 2a+3b) 7
Chứng minh rằng ( 2a2- 48ab- 3b2) 7
Câu 4: ( 7,0 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp nửa đường tròn đường kính BC. Lấy trung điểm I
của AC. Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với BC, qua C kẻ đương thẳng vuông góc
với AC, chúng cắt nhau tại E.
a, Chứng minh rằng AE vuông góc với BI.
b, Qua C kẻ tiếp tuyến với đường tròn đường kính BC, cắt đường thẳng BI tại K.
Chứng minh rằng:

IK
BK

=

CE

2

2 .E I

2

c, Cho BC = a, khi E thuộc đường tròn đường kính BC, hãy tính độ dài đoạn thẳng
AB theo a.
Câu 5: ( 2,0 điểm) Cho hai số dương x,y thỏa mãn x+y  4
1

45

x

y

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x2+y2+ +

Thầy Đức_Cao Xanh_Hạ Long

Thầy Trung Anh_Lớp Toán BigC

01669060043

090414818

Hướng dẫn giải
Câu 1:
1

a,



a

1



b

1

ab  bc  ca

 0 

c

a b 

a  c 

b c

<=> a+b = a+b+2c+2
<=> -c=

 0    ab  bc  ca  0

abc

( a  c )( b  c )

( a  c )( b  c )

<=> c2= ab+ac+bc+c2(c <0)
<=> ab+bc+ac=0 => đpcm
b, a  N
B = 4a(a+2017)(a+2018)(a+4035)+20172.20182
= 4( a2+4035a )( a2+4035a+2017.2018 )+ 20172.20182
Đặt t= a2+4035a.
=> B= 4t( t+2017.2018 ) + 20172.20182
= 4t2+2.2t.2017.2018+20172.20182
= ( 2t+2017.2018)2 => đpcm.
Bài 2:
( x2+6x +5)
Đk:

10  x

 10  x 

2

= x +4x2-7x-10
3

10

Pt: <=> ( x+1 )( X=5 )

<=>

x 1  0

x  5  0

10  x

<=>


2
 10  x  x  2

2

= ( x+1 )( x+5 )( x-2 )



 x   1( tm )

 x   5 ( lo a i )

 x  2

2
2
 1 0  x  x  4 x  4

<=>

 x  1

x  3

Vậy S=   1; 3 
Câu 3: a,b nguyên thỏa mãn ( 2a+3b) 7
Cmr: ( 2a2-48ab-3b2 ) 7
Ta có: 2a2-48ab-3b2= 2a2+ab-3b2-49ab= (2a+3b)(a-b)-49ab
Có: (2a+3b)(a-b) 7
Thầy Đức_Cao Xanh_Hạ Long

Thầy Trung Anh_Lớp Toán BigC

01669060043

090414818


49ab 7
=> ( 2a2-48ab-3b2 ) 7 (đpcm).

Câu 4:
a/ Ta có C I  I Q . I E mà CI=AI nên A I  I Q . I E nên A IQ  E IA nên
Mặt khác  IA Q   IB Q . Xét 2 tam giác BPM và tam giác EQM có
2

2

( đối đỉnh),

QM E  BM P

CQ

b/ Ta có



CE

CI

Ta có

IK



BK

( Do

nên góc P= góc Q = 90 độ (đpcm)

 IB M   IE M

 C IQ

 E IC

 IA Q   IE A

)

EI
CQ

2

CQ



CB

CQ



C B .C Q

2



C I .C A

2

CQ
2 .C I

2

CE



2

2 .E I

2

( Đpcm)

c/ E thuộc (C) khi và chỉ khi tứ giác ACEB là hình chữ nhật. Khi đó M trùng O
AB

Ta có

2

 B P . B I  B M . B Q  B O . B Q  B O .( B O  O Q )

 AB

2

 BO

2

a

 B O .O Q 

2

 O Q .O C

4

Mà

AB

O I=

 AB

2

2



a

2

AB



4

2

 AB 

a

4

3

Câu 5: x,y dương ; thỏa mãn x+y  4
1

45

x

y

Tìm GTNN A= x2+y2+ +
HD: Điểm rơi x=1; y=3
=> A+10= x2+1+y2+9+

1



45

x

 2  30  4

=> A 

26

 2x  6y 

y

1
x



45
y

=36

Dấu “ =” xảy ra <=>

x  1

x  3

Vậy GTNN của A là 26 khi x=1; y=3

Thầy Đức_Cao Xanh_Hạ Long

Thầy Trung Anh_Lớp Toán BigC

01669060043

090414818

.