Toán 10 dành cho Hs on lại kien thuc

Chương 1: Mệnh đề- Tập hợpCù Hoàng Đạt
Chương 1: Mệnh đề- Tập hợp

CHƯƠNG I: MỆNH ĐỀ- TẬP HỢP

Bài 1: MỆNH ĐỀ
Mệnh đề
• Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai
• Mỗi mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai
Ví dụ 1: 3 là số nguyên tố
II. Mệnh đề phủ định.
Cho mệnh đề P, ta có mệnh đề phủ định của mệnh đề P là .
• đúng khi P sai
• sai khi P đúng
Đề phủ định một mệnh đề, ta thêm (hoặc bớt) từ “không” (hoặc “không phải”)
vào trước vị ngữ của mệnh đề đó.
Ví dụ 2: P : “3 là số nguyên tố”
: “3 không là số nguyên tố”
III. Mệnh đề kéo theo.
Cho 2 mệnh đề P và Q.
• Mệnh đề “Nếu P thì Q “ được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là .
• Mệnh đề chỉ sai khi P đúng và Q sai.
Chú ý: Các định lí toán học thường có dạng
Khi đó: -P là điều kiện đủ để có Q
-Q là điền kiện cần để có P
IV. Mệnh đề đảo.
Cho mệnh đề kéo theo Mệnh đề QP được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề .
V. Mệnh đề tương đương.
Cho 2 mệnh đề P và Q.
• Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề tương đương và kí
hiệu là .

• Mệnh đề đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề và QP đều đúng.
VI. Mệnh đề chứa biến.
I.

1


Chương 1: Mệnh đề- Tập hợpCù Hoàng Đạt
Chương 1: Mệnh đề- Tập hợp

VII.

Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập
X nào đó mà mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề.
Ví dụ: “ n là 1 số nguyên tố.”
Kí hiệu .
• “”
• “”
• Mệnh đề phủ đinh của mệnh đề “” là “”
• Mệnh đề phủ định của mệnh đề “” là “”

Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến ?
a, 3 + 2 = 7 ;
b, 4 + x = 3 ;
c, x + y 1 ;
d, 2 - .
Giải
a) 3+2=7 1à mệnh đề
b) 4 + x = 3 là mệnh để chứa biển
c) x + y > 1 là mệnh để chứa biển

d) 2 - là mệnh đề
2. Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của nó
a, 1794 chia hết cho 3 ;
b, là 1 số hữu tỉ ;
c, ;
d, |-125|
Giải
Mệnh đề đúng: a
Mệnh đề sai: b, c, d
1.

3. Cho các mệnh để kéo theo ...
Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c (a, b, c là những số nguyên).
Các số nguyên có tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 5. Tam giác cân có hai trung
tuyến bằng nhau. Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau.
a) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề trên.
b) Phát biểu mỗi mệnh đề trên, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện đủ”.
c) Phát biểu mỗi mệnh đề trên, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần”.
Giải
a) Phát biểu mệnh đề đảo:
2


Chương 1: Mệnh đề- Tập hợpCù Hoàng Đạt
Chương 1: Mệnh đề- Tập hợp

i/ Nếu a + b chia hết cho c (a, b, c là các số nguyên) thì a và b cùng chia hết cho c.
ii/ Nếu các số nguyên đều chia hết cho 5 thì các số nguyên đó có tận cùng bằng 0.
iii/ Nếu một tam giác có hai trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.
iv/ Nếu hai tam giác có diện tích bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau.

b)
i/ a và b cùng chia hết cho c (a, b, c là các số nguyên) là điều kiện đủ để cho a + b
chia hết cho c.
ii/ Các số nguyên có tận cùng bằng 0 là điều kiện đủ để cho số nguyên đó chia hết
cho 5.
iii/ Tam giác cân là điều kiện đủ để cho tam giác đó có hai trung tuyến bằng nhau.
iv/ Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để hai tam giác đó có diện tích bằng
nhau.
c)
i/ a + b chia hết cho c (a, b, c là các số nguyên) là điều kiện cần để cho a và b chia
hết cho c.
ii/ Các số nguyên chia hết cho 5 là điều kiện cần để chúng có tận cùng bằng 0
iii/ Hai trung tuyến của một tam giác bằng nhau là điều kiện cần để cho tam giác
ấy cân.
iv/ Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để hai tam giác đó bằng
nhau.
4. Phát biểu mỗi mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm “ điều kiện cần và đủ”
a, Một số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và ngược lại.
b, Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là một hình thoi và ngược
lại”.
c, Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó
dương.
Giải:
a) Một số có tổng các chữ số chia hết cho 9 là điều kiện cần và đủ để cho số đó chia
hết cho 9.
b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là điều kiện cần và đủ để nó là
một hình thoi.

3

Chương 1: Mệnh đề- Tập hợpCù Hoàng Đạt
Chương 1: Mệnh đề- Tập hợp

c) Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt là điều kiện cần và đủ để cho biệt
thức của nó dương và ngược lại, một phương trình bậc hai có biệt thức dương là điều
kiện cần và đủ để cho phương trình đó có hai nghiệm phân biệt.
5.

6.

Dùng kí hiệu để viết các mệnh đề sau
a, Mọi số nhân với 1 đều bằng chính nó ;
b, Có một số cộng với chính nó bằng 0 ;
c, Mọi số cộng với số đối của nó đều bằng 0 .
Giải:
a, : x.1=x b, : x + x = 0 ; c, : x + (-x) =0
Phát biểu thành lời mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó
a, : x2
b, : n2 = n ;
c, : n 2n
d, : x < .
Giải:

a) Phát biểu: với mọi số thực x, ta có: x2 . Mệnh đề này sai (vì nếu x = 0 thì x2=0)
b) Phát biểu: có một số tự nhiên sao cho n2 = n. Mệnh đề này đúng.
c) Phát biểu: với mọi số tự nhiên n, ta có: n 2n. Mệnh đề này đúng.
d) Phát biểu: có một số thực x sao cho x < . Mệnh đề này đúng
7. Lập mệnh để phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó:
a, : n chia hết cho n

b, : x2 = 2 ;
c, : x < x + 1
d, : 3x = x2 + 1
Giải:
a) : n không chia hết cho n. Mệnh đề phủ định đúng
b) : x2 ≠ 2. Mệnh đề phủ định đúng
c) : x > x + 1. Mệnh đề phủ định sai.
d) : 3x ≠ x2 + 1. Mệnh đề phủ định sai.

4


Chương 1: Mệnh đề- Tập hợpCù Hoàng Đạt
Chương 1: Mệnh đề- Tập hợp

Bài 2: TẬP HỢP
Tập hợp
• Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa.
II. Các xác định tập hợp:
+ Liệt kê các phần tử: viết các phần tử của phần tử của tập hợp trong hai dấu
móc
+ Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.
III. Tập rỗng
• Tập hợp rỗng, kí hiệu là , tập hợp không chứa phần tử nào.
Chú ý: Nêu A không phải là tập hợp rỗng thì A chứa ít nhất một phần tử.
A.
IV. Tập hợp con.
• Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là
một tập hợp con của B và viết (đọc là A chứa trong B).
•

+,
+
+.
V. Tập hợp bằng nhau.
• Khi ta nói tập hợp A bằng tập hợp B và viết là A = B.
• A=B
I.

1.

a, Cho A =
Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A.
b, Cho tập hợp B =
Hãy xác định B bằng cách chỉ ra một tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.
c, Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp các học sinh lớp em cao dưới 1m60.
Giải:
a) Liệt kê: A = {0; 3; 63 9; 12 ; 15; 18}
b) B = {x = N /x = n(n + 1) với và 1 ≤ n ≤ 5}
c) Tự giải

5


Chương 1: Mệnh đề- Tập hợpCù Hoàng Đạt
Chương 1: Mệnh đề- Tập hợp

Trong hai tập hợp A và B dưới đây, tập hợp nào là tập con của tập hợp còn lại?
Hai tập hợp A và B có bắng nhau không ?
a, A là tập hợp các hình vuông
B là tập hợp các hình thoi

b, A =
B=.
Giải:

2.

a) A ⸦ B
b) A = { / n là một ước chung của 24 và 30} = {1, 2, 3; 6}
B' ={ / n là một ước của 6} = {1, 2, 3; 6}
Ta thấy: * A ⸦ B và B ⸦ A
*A=B
Tìm tất cả các tập con của tập hợp sau
a, A =
b, B =
Giải
a) A = {a; b} có các tập con: 2; {a};{b}; A
b) B = {0; 1; 2} có các tập con: 2; {0}; {1}; {2}; {0; 1}; {0; 2}; {1 ; 2}; B

3.

Bài 3: CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP

I.

Giao của hai tập hợp

6


Chương 1: Mệnh đề- Tập hợpCù Hoàng Đạt

Chương 1: Mệnh đề- Tập hợp

Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được gọi là giao của A và
B.
Kí hiệu C = .
•
•

Hợp của hai tập hợp.
Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của A và B
Kí hiệu C =
•
•
III. Hiệu và phần bù của hai tập hợp.
Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B gọi là hiệu của A và
B.
Kí hiệu C =
•
•
Khi thì gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu
II.

1.

2.

Kí hiệu là tập hợp các chữ các trong câu “CÓ CHÍ THÌ NÊN”, là tập hợp các
chữ cái trong câu “CÓ CÔNG MÀI SẮT CÓ NGÀY NÊN KIM”. Hãy xác định
Giải:
Ta có: A={C; O; H; I ; T; N; E}

B = {C; O; A; N; G; M ; I; S; T; Y; E; K}
Xác định: * = {C ; O; I ; T; N; E}
* = {C; O; H; I; T; N; E; G; M; A; S; Y; K}
* = {H}
* = {G; M; A; S; Y; K}
Trong số 45 số học sinh của lớp 10A có 15 bạn được xếp loại giỏi, 20 bạn được
xếp loại hạnh kiểm tốt, trong đó có 10 bạn vừa học lực giỏi, vừa hạnh kiểm tốt.
Hỏi
a, Lớp 10A có bao nhiêu bạn được khen thưởng, biết rằng muốn được khen
thưởng bạn đó phải có học lực giỏi hoặc có hạnh kiểm tốt ?
b, Lớp 10A có bao nhiêu bạn chưa được xếp loại học lực giỏi và chưa có hạnh
kiểm tốt ?
Giải:
a) Gọi A là tập hợp các học sinh giỏi. Số phần tử của A là 15
B là tập hợp các học sinh có hạnh kiểm tốt. Số phần tử của B là 20
7


Chương 1: Mệnh đề- Tập hợpCù Hoàng Đạt
Chương 1: Mệnh đề- Tập hợp

Do đó: là tập hợp các học sinh học giỏi và hạnh kiểm tốt. Số phần tử của là 10.
• là tập hợp các học sinh được thưởng, gồm học sinh chỉ học giỏi, học sinh chỉ
có hạnh kiểm tốt và học sinh học giỏi và có hạnh kiểm tốt. Suy ra, số phần tử của
là: (15 -10) + (20-10) + 10 = 25
Vậy, có 25 học sinh được khen thưởng.
b) Số học sinh chưa học giỏi và chưa có hạnh kiểm tốt bằng: 45 – 25 = 20 học
sinh
Cho tập hợp A, hãy xác định .
Giải

.

3.

Bài 4: CÁC TẬP HỢP SỐ

I.

Các tập số đã học.
• .
1. Tập hợp số tự nhiên .
.
2.

3.

Tập hợp số nguyên
gồm các số tự nhien và các số nguyên âm.
Tập hợp các số hữu tỉ
Số hữu tỉ được biểu diễn dưới dạng một phân số , trong đó
Số hữu tỉ còn biểu diễn được dưới dạng số thập phân hữ hạn hoặc vô hạn tuần
hoàn.
8


Chương 1: Mệnh đề- Tập hợpCù Hoàng Đạt
Chương 1: Mệnh đề- Tập hợp

4.

II.

Ví dụ : = 1,25.
Tập hợp các số thực
Tập hợp các số thực gồm các số thập phân hữ hạn, vô hạn tuần hoàn và vô
hạn không tuần hoàn. Các số thập phân vô hạn không tuần hoàn gọi là số vô
tỉ.
Tập hợp các số thực gồm các số hữu tỉ và số vô tỉ.
Ví dụ:
A= 0,101101110… là một số vô tỉ.

Các tập hợp con thường dùng của
• Khoảng
=
•
•

Đoan
.
Nửa khoảng
.
.

Kí hiệu + đọc là dương vô cực (hoặc dương vô cùng), kí hiệu - đọc là âm vô
cực (hoặc âm vô cùng).
Ta có thể viết và gọi là khoảng
1.
2.
3.

Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số.
a,
b, ;
c, ;
d, .
a, ;
b, ;
c, ;
d, .
a, ;
b, ;
c,
d, .

Bài 5: SỐ GẦN ĐÚNG. SAI SỐ
9


Chương 1: Mệnh đề- Tập hợpCù Hoàng Đạt
Chương 1: Mệnh đề- Tập hợp

Số gần đúng.
Trong đo đạc, tính toán ta thường chỉ nhận được các số gần đúng.
Ví dụ: Bán kính đường xích đạo của Trái Đất là 6378km.
II. Sai số tuyệt đối.
Nếu a là số gần đúng của số đúng thì được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng
a.
III. Độ chính xác của một số gần đúng.
Nếu thì Ta nói a là số gần đúng của với độ chính xác d và quy ước viết gọn là .
IV. Quy tròn số gần đúng.

• Nếu chữ số sau hang quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta thay nó và các chữ số bên
phải nó bởi chữ số 0.
• Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cũng làm như
trên, nhưng cộng thêm 1 đơn vị vào chữ số của hàng quy tròn.
Ví dụ: Số quy tròn đến hàng nghìn của 2396856 là 2397000.
I.

1.

Biết
Viết gần đúng theo nguyên tắc làm tròn với hai, ba, bốn chữ số thập phân và ước
lượng sai số tuyệt đối.
Giải
Số gần đúng
Sai số tuyệt đối
Ước lượng
∣1,71 -1,70∣
1,71
0,01
∣1,710 -1,709∣
1,710
0,001
∣1,7100 -1,70991∣
1,7100
0,0001

2.

Chiều dài một cái cầu là
Hãy viết số quy tròn của số gần đúng 1745,25.

Giải: Số quy tròn của 1745,25 là 1745,3
a, Cho giá trị gần đúng của với độ chính xác là 10-10. Hãy viết số quy tròn của a
b, Cho và là những giá trị gần đúng của . Hãy ước lượng sai số tuyệt đối của b
và c.
Giải:
a) Bỏ chữ số 5 ngay phía sau chữ số 3, rồi cộng thêm 1 vào chữ số 3 đó, ta được
số quy tròn là: 3,141592654
b) Viết b = 3,14, ta có sai số tuyệt đối không quá 0,002.

3.

10


Chương 1: Mệnh đề- Tập hợpCù Hoàng Đạt
Chương 1: Mệnh đề- Tập hợp

Viết c = 3,1416, ta có sai số không quá 0,000
1.

2.

3.

Cho tứ giác ABCD. Xét tính đúng sai của mệnh đề với
a, P : “ABCD là một hình vuông”
Q : “ABCD là một hình bình hành”.
b, P: “ABCD là một hình thoi”
Q: “ABCD là một hình chữ nhật”.
Liệt kê các phần tử của mỗi tập hợp sau

a,
b,
c, .
Giả sử A, B là hai tập hợp và x là một số đã cho. Tìm các cặp mệnh đề tương
đương trong các mệnh đề sau

Xác định các tập hợp sau
a,
b,
c,
5. Chiều cao của một ngọn đồi là
Hãy viết số quy tròn của số gần đúng 347,13.
4.

11


Chương 1: Mệnh đề- Tập hợp

BÀI 1: HÀM SỐ

I.

Hàm số
1.
Định nghĩa.
Nếu với mỗi giá trị của x thuộc tập D có một và chỉ một giá trị tương ứng
của y thuộc tập số thực thì ta có một hàm số.
Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x.
Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số.

2.
Cách cho hàm số
• Hàm số cho bằng bảng
• Hàm số cho bằng biểu đồ
• Hàm số cho bằng công thức
Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các số thực sao cho biểu thức có
nghĩa.
Ví dụ: Tìm tập xác định của
Giải: Biểu thức có nghĩa khi tức là khi Vậy tập xác định của hàm số đã cho
là
3. Đồ thị hàm số.

12


Chương 1: Mệnh đề- Tập hợp
y

y

5

5

4

4

3

3

1

2
x

2

-5 -4 -3 -2 -1

1

1

2

3

4

5

6

-2
x

-3 -2 -1 0
-1

-1

1

2

3

-3
-4
-5

Đồ
thị của hàm số xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm trên mặt phẳng
tọa độ với mọi x thuộc D.

Đồ thị hàm số

II.

Đồ thị hàm số

Sự biến thiên của hàm số.
Hàm số gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng nếu
Hàm số gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng nếu

III.

Tính chẵn lẻ của hàm số.

Hàm số với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu
Hàm số với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu
Chú ý:

13


Chương 1: Mệnh đề- Tập hợp
•
•
1.
2.

3.

4.

Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

Tìm tập xác đinh của các hàm số
a, ;
b,
Cho hàm số

c,

Tính giá trị của hàm số đó tại
Cho hàm số . Các điểm sau có thuộc đồ thì của hàm số đó không ?
a,

b,
c,
Xét tính chẵn lẻ của các hàm số
a,
b,
c,
d, .

Bài 2 : HÀM SỐ

Hàm số bậc nhất.

I.

Tập xác định
Chiều biến thiên
Với hàm số đồng biến trên
Với hàm số nghịch biến trên
Bảng biến thiên
x
x

y
a
II.

Hàm số

y

>0 a<0
hằng

14


Chương 1: Mệnh đề- Tập hợp

Đồ thị của hàm số là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục
hoành và cắt trục tung tại điểm (0;b). Đường thẳng này gọi là đường thẳng
III.
Hàm số
1. Tập xác định.
Hàm số xác định với mọi giá trị của x, tức là tập xác định .
2. Chiều biến thiên.
Hàm số nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng .
Bảng biến thiên
x
0
y
0
3.

Đồ thị
4

y

3

2

1

x
-2

-1

1

2

3

-1

-2

-3

15