Bai tap Chuong 3 Kgvt

Bài tập (Đại số tuyến tính – PGS.TS. Đinh Ngọc Thanh)
1. Hỏi các tập dưới đây có là một không gian con của ℝ 3 hay không ?
a) W1 =

{( a, 0, 0) a ∈ ℝ} .

b) W2 =

{( a,1,1) a ∈ ℝ} .

2. Cho không gian vectơ V và a là một vectơ cố đònh thuộc V . Chứng minh rằng tập
hợp W = {ka k ∈ ℝ} là một không gian vectơ con của V .
3. Trong ℝ 3 , cho các vectơ u1 = (1, −2, 3) , u 2 = ( 0,1, −3) . Xét xem vectơ u = ( 2, −3, 3) có
phải là một tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 hay không ?
4. Trong ℝ 3 , xét xem vectơ u có phải là một tổ hợp tuyến tính của u1 , u2 , u 3 không
a) u1 = (1, 0,1) , u 2 = (1,1, 0 ) , u 3 = ( 0,1,1) , u = (1, 2,1) .
b) u1 = ( −2,1, 0 ) , u 2 = ( 3, −1,1) , u 3 = ( 2, 0, −2 ) , u = ( 0, 0, 0 ) .
5. Trong không gian vectơ các ma trận vuông cấp hai M2 ( ℝ ) , cho bốn vectơ
 1 3
1 0 
1 1
 0 1
u=
 , u1 = 
 , u2 = 
 , u3 = 

 2 2
1 0 
 0 0
 1 1

Hỏi vectơ u có phải là một tổ hợp tuyến tính của u1 , u2 , u 3 không ?

6. Trong ℝ 3 , cho các vectơ u1 = (1, −2, 3) , u 2 = ( 0,1, −3) . Tìm m để vectơ u = (1, m, −3) là
một tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 .

7. Trong ℝ 3 , các hệ vectơ sau là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
a) u1 = (1,1, 0 ) , u 2 = ( 0,1,1) , u 3 = (1, 0,1) .
b) u1 = (1,1, 0 ) , u 2 = ( 0,1,1) , u 3 = ( 2, 3,1) .
c) u1 = (1,1,1) , u 2 = (1,1, 2 ) , u 3 = (1, 2, 3) .
d) u1 = (1,1, 2 ) , u 2 = (1, 2, 5 ) , u 3 = ( 0,1, 3) .

8. Chứng minh rằng hệ vectơ v1 , v2 , ..., vr phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một
vectơ v i , i ∈ {1, 2, ..., r} là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại.

9. Trong không gian vectơ các ma trận vuông cấp hai M2 ( ℝ ) , cho bốn vectơ
 1 0
1 1
1 1 
1 1 
e1 = 
 , e2 = 
 , e3 = 
 , e4 = 
.
 0 0
 0 0
1 0
1 1 
Chứng minh rằng hệ {e1 , e2 , e3 , e4 } độc lập tuyến tính.

10. Mỗi hệ vectơ sau đây có sinh ra ℝ 3 không ?
a) v1 = (1,1,1) , v2 = ( 2, 2, 0 ) , v3 = ( 3, 0, 0 ) .
b) v1 = ( 2, −1, 3) , v2 = ( 4,1, 2 ) , v 3 = ( 8, −1, 8 ) .

11. Hệ vectơ nào trong các hệ vectơ sau đây là cơ sở của ℝ 3
a) B1 = {(1, 2, 3) , ( 0, 2, 3)} .
b) B 2 = {(1, 2, 3) , ( 0, 2, 3) , ( 0, 0, 5)} .
c) B 3 = {(1,1, 2) , (1, 2, 5) , ( 0,1, 3)} .
d) B 4 = {( −1, 0,1) , ( −1,1, 0) , (1, −1,1) , ( 2, 0, 5)} .

12. Tìm hạng của các hệ vectơ sau (trong không gian vectơ ℝ 4 )
a) u1 = ( −1, 2, 0,1) , u 2 = (1, 2, 3, −1) , u 3 = ( 0, 4, 3, 0 ) .
b) v1 = ( −1, 4, 8,12 ) , v2 = ( 2,1, 3,1) , v3 = ( −2, 8,16, 24 ) , v4 = (1,1, 2, 3) .

13. Tìm số chiều và một cơ sở cho không gian vectơ con của ℝ 4 sinh bởi các vectơ
v1 = (1, 2, 0, −1) , v2 = ( 0,1, 3, −2) ,
v3 = ( −1, 0, 2, 4 ) , v4 = ( 3,1, −11, 0 ) .

14. Xác đònh số chiều và tìm một cơ sở cho không gian nghiệm của các hệ sau

2x1

a)  x1



+ x2
+ 2x2
x2

+

x3

= 0
= 0
= 0

 x1

b) 2x1
3x
 1

− 3x2
− 6x 2
− 9x 2

+ x3
+ 2x3
+ 3x3

= 0
= 0
= 0

 x1
2x


c)  1
3x1
2x1

− 2x2
+ x2
− 2x2
− 5x2

+
−
−
+

3x1
6x

d)  1
9x1
3x1

+
+
+
+

+ x3
+ 3x3
+ 5x 3
+ 4x 3

2x 2
4x2
6x 2
2x 2

+ 3x3

x3
x3
x3
x3

− x4
+ 2x 4
+ x4
− 2x 4
+
+
+
+

3x4
5x4
7x4
4x4

+ x5
− 3x5
− 2x5

+ 2x5
+
+
+
+

5x5
7x5
9x5
8x5

=
=
=
=

0
0
0
0
=
=
=
=

0
0
0
0

15. Tìm tọa độ của vectơ u trong cơ sở chính tắc B và trong cơ sở B ′ = {f1 , f 2 , f 3 } , với
f1 = (1, 0, 0 ) , f 2 = (1,1, 0 ) , f 3 = (1,1,1) .

a) u = ( 3,1, −4 ) .

b) u = (1, 3,1) .

16. Trong ℝ 4 , xét tập

W = {( a1 , a 2 , a 3 , a 4 ) : a1 + a 2 + a 3 + a 4 = 0}
a) Kiểm chứng rằng W là một không gian vectơ con của ℝ 4 .
b) Kiểm chứng các vectơ sau nằm trong W
v1 = (1, 0, 0, −1) , v2 = ( 0,1, 0, −1) ,
v3 = ( 0, 0,1, −1) , v4 = (1,1, −1, −1)

c) Xác đònh số chiều và tìm một cơ sở cho W .

17. Trong ℝ 3 , cho cơ sở chính tắc

B = {e1 = (1, 0, 0) ,e2 = ( 0,1, 0) ,e3 = ( 0, 0,1)}
và cơ sở

B′ = {f1 = ( 2,1,1) ,f2 = (1, 2,1) ,f3 = (1,1, 2)} .
Tìm ma trận đổi cơ sở từ B qua B ′ và ma trận đổi cơ sở từ B ′ qua B .

18. Trong ℝ 3 , cho hai cơ sở

B = {u1 = (1,1, 0) ,u2 = ( 0,1,1) ,u3 = (1, 0,1)}
và

B′ = {v1 = ( 2,1,1) ,v2 = (1, 2,1) ,v3 = (1,1, 2)} .
Tìm ma trận đổi cơ sở từ B qua B ′ và ma trận đổi cơ sở từ B ′ qua B .

19. Trong ℝ 3 , cho hai cơ sở

B = {u1 = (1, 2, 0) ,u2 = (1, 3, 2) ,u 3 = ( 0,1, 3)}
B′ = {v1 = (1, 2,1) ,v2 = ( 0,1, 2) ,v3 = (1, 4, 6)}
và vectơ u = ( a, b, c ) ∈ ℝ3 .
a) Tìm tọa độ của vectơ u trong cơ sở B và cơ sở B ′ .
b) Tìm ma trận đổi cơ sở từ B qua B ′ và ma trận đổi cơ sở từ B ′ qua B .
c) Kiểm chứng [ u ]B = PB →B′ [ u ]B′ và [ u ]B′ = PB′→B [ u ]B .


20. Trong ℝ 3 , cho các hệ vectơ

B1 = {u1 = (1,1,1) ,u 2 = (1,1, 2) ,u 3 = (1, 2, 3)}
và

B2 = {v1 = ( 2,1, −1) ,v2 = ( 3, 2, 5) ,v3 = (1, −1, m )}
a) Chứng minh rằng B1 là cơ sở của ℝ 3 .
b) Tìm tọa độ của vectơ u = ( a, b, c ) trong cơ sở B1 .
c) Tìm m để B2 là một cơ sở của ℝ 3 .
d) Với m = 0 , tìm các ma trận đổi cơ sở PB1 →B2 và PB2 →B1 .

21. Cho hai hệ vectơ trong không gian ℝ 4

B:

a1 = ( 0,1, 0, 2 ) , a 2 = (1,1, 0,1) ,

a 3 = (1, 2, 0,1) , a 4 = ( −1, 0, 2,1) ,

B′ : b1 = (1, 0, 2, −1) , b2 = ( 0, 3, 0, 2 ) ,
b3 = ( 0,1, 3,1) , b4 = ( 0, −1, 0,1) .

a) Chứng minh chúng là hai cơ sở của ℝ 4 .
b) Tìm ma trận đổi cơ sở từ B qua B ′ .
c) Tìm tọa độ của v = ( 2, 0, 4, 0 ) đối với cơ sở B ′ .
d) Tìm tọa của v đối với cơ sở B .

22. Xác đònh số chiều và tìm một cơ sở của không gian con W sinh bởi hệ vectơ sau
a) u1 = (1, 0, 0, −1) , u 2 = ( 2,1,1, 0 ) , u 3 = (1,1,1,1) , u 4 = (1, 2, 3, 4 ) , u5 = ( 0,1, 2, 3) trong ℝ 4 .

b) u1 = (1,1,1,1, 0) , u 2 = (1,1, −1, −1, −1) , u 3 = ( 2, 2, 0, 0, −1) , u 4 = (1,1, 5, 5, 2 ) ,
u5 = (1, −1, −1, 0, 0 ) trong ℝ5