Các Chuyên Đề Toán 12 HKI và Các Công Thức Giải Nhanh

TÀI LIỆU ÔN THI TOÁN 12 - HKI
CHƯƠNG I – KHẢO SÁT HÀM SỐ
Cho hàm số y = f(x) :
Hàm số đồng biến thì f '( x )  0

Hàm số nghịch biến thì f '( x )  0

3
2
Cực trị hàm số y  f (x)  ax  bx  cx  d

Hàm số có 2 cực trị (cực đại, cực tiểu) khi y’=0 có 2 nghiệm phân biệt    0
Hàm số không có cực trị khi y’=0 vô nghiệm hoặc nghiệm kép    0
Bài toán viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu, sử dụng công
thức giải nhanh: y  f ( x ) 

f ( x ). f ( x )
18 a

4
2
Cực tri hàm số y  ax  bx  c

Hàm số có 3 cực trị khi ab < 1
Hàm số có 1 cực trị khi ab ≥ 0
3
2
Bài toán tìm m để hàm số bậc 3 y  ax  bx  cx  d đồng biến hoặc nghịch biến trên R

a  0
Đồng biến trên R  

  0

a  0
Nghịch biến trên R  
  0

Các bài toán thường gặp và công thức tính nhanh
Bài toán tìm m để phương trình ax 3  bx 2  cx  d  km có 3 nghiệm, 2 nghiệm hoặc 1
nghiệm.
Ví dụ: Phương trình x 3  2 x 2  x  4  m  1


x3 2x2  x3 m (Đưa x về một bên, m về một bên)

Có 3 nghiệm khi yCT  m  yCĐ
 m  yCĐ
Có 2 nghiệm khi 
 m  yCT

 m  yCĐ
Có 1 nghiệm khi 
 m  yCT

Bài toán tìm m để phương trình ax 4  bx 2  c  km có 4 nghiệm, 3 nghiệm, 2 nghiệm
hoặc vô nghiệm.
4
2
Ví dụ: Phương trình x  2 x  3  m  1 (Hệ số trước x4 dương, ab < 0)

Có 4 nghiệm khi yCT  m  1  yCĐ

Có 3 nghiệm khi m  1  yCĐ

 m  1  yCT
Có 2 nghiệm khi 
 m  1  yCĐ

Vô nghiệm khi m  1  yCT

4
2
Ví dụ: Phương trình  x  2 x  3  m  1 (Hệ số trước x4 âm, ab < 0)

Có 4 nghiệm khi yCT  m  1  yCĐ

Có 3 nghiệm khi m  1  yCT


 m  1  yCT
Có 2 nghiệm khi 
 m  1  yCĐ

Vô nghiệm khi m  1  y CĐ

CHƯƠNG II – HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
n

 a
an  
 a

Khi n lẻ
Khi n chẵn


Hàm số y  x

 1
Đồng biến trên D khi   1
Nghịch biến trên D khi

D   0;  

D = R khi  nguyên dương
D = R \ {0} khi  nguyên âm hoặc bằng 0

Tập xác định

D =  0;   khi  không nguyên

x
Hàm số y  log a x , D   0;   và y  a , D = R

Đồng biến trên D khi a > 1

Nghịch biến trên D khi 0 < a < 1

Đạo hàm
(u  )   u  1 .u 
u

 1 
   2
u
u
 e u   e u u 

 ln u  

u
u

 u   n

u'

n

n

u n 1

 u   2u u
 a   a
u

u

.ln a .u 

 log a u  

u
u ln a

Công thức lãi kép: Pn  P(1  r ) n (số tiền thu được sau n năm với lãi suất r %)
CHƯƠNG I – KHỐI ĐA DIỆN
Bảng tóm tắt 5 loại khối đa diện đều


Tam giác vuông

AB 2  AC 2  BC 2
AB 2  BH .BC

AC 2  CH . BC

AH .BC  AB. AC
AH 2  BH . HC
1
1
1
1


S  AB. AC
AH 2 AB 2 AC 2
2
Công thức diện tích tam giác thường

1

ab sin C
2
abc
S
4R
S

Diện tích hình thang: S 

abc
2
a
b
c


2 R
sin A sin B sin C
S  pr

p

1
 a  b  h (a , b là độ dài hai đáy và h là chiều cao)
2

1
AC .BD (AB, CD là đường chéo của hình thoi)
2
Các bài toán thường gặp và công thức tính nhanh

Bài toán: Cho hình chóp tam giác
a 3 tan 
V

Khi đó:
đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên
24
tạo với mặt phẳng đáy một góc 
Diện tích hình thoi: S 

Bài toán: Cho hình chóp tam giác
đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh
bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 

Khi đó: V 

a 3 tan 
12

Bài toán: Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi
mặt bên và mặt phẳng đáy là 

Khi đó: V 

a 3 tan 
6

CHƯƠNG II – MẶT NÓN – MẶT TRỤ - MẶT CẦU
Hình nón

Hình trụ

Hình tròn

Thể tích

1
V   R2h
3

V   R2h

4
V   R3
3

Diện tích xung quanh

S xq   Rl

S xq  2 Rl

S xq  4 R 2

Diện tích toàn phần

Stq   Rl   R 2

Stq  2 Rl  2 R 2

Các bài toán thường gặp và công thức tính nhanh


Bài toán: Cho hình chóp đều S.ABC hoặc S.ABCD, O là tâm của đáy. Bán kính đường

SA 2
tròn ngoại tiếp hình chóp là: R 
2 SO
Bài toán: Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy R. Một thiết diện đi qua đỉnh
của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là d. Tính diện
tích của thiết diện đó.
Khi đó: S 

h2d 2
h2d 2
2
R  2
. h  2
h d2
h d2
2

Đường chéo hình lập phương là a 3
Đường chéo hình chữ nhật có ba kích thước a, b, c là
Nếu ABCD là hình vuông nội tiếp trong
một hình trụ thì đường chéo của hình
vuông cũng bằng đường chéo của hình trụ:
AB 2  4 R 2  h 2

a 2  b2  c 2