Đè thi HSG khối 9

Đề thi học sinh giỏi khối 9 (vòng 1) năm học 2007 2008
Môn thi Toán
Thời gian 150 phút làm bài
I/ Phần trắc nghiệm
Hãy chọn phơng án trả lời đúng?
Câu1:
Với x > 2 thì giá trị của biểu thức:
246223
+++++
xxxx
bằng:
a. 3 b. 2 c.
2
+
x
d. Một đáp số khác
Câu2:
Biểu thức:
642
2
+
xx
xác định khi:
a. Với mọi x
R

b.
1

x
hoặc

3

x
c.
31

x
d. Một đáp án
khác
Câu3:
Giá trị của biểu thức:
3232
2
+
là:
a. 2 b.
2
c. 1 d. Một đáp án khác
Câu4:
Luỹ thừa bậc 4 của
111
++
là:
a.
32
+
b.3 c.
321
+
d.

223
+
Câu5:
Cho hàm số:f(x) =
3
+
ax
(a
0

) ; g(x) =
( )
11
2
+
xa
ta có:
a. f(x) + g(x) đồng biến b. f(x) - g(x) đồng biến c. g(x) f(x) nghịch biến
Câu6:
Đơn giản biểu thức: A =
2cos2
sincos22
2
22




.Ta đợc
a. A =

2
1
b. A =
2
1

c. A=

2
sin
d. Cả a, b, c đều sai
Câu7:

ABC

có gócA = gócB + 2gócC và độ dài 3 cạnh là 3 số tự nhiên liên tiếp.
Độ dài ba cạnh của tam giác đó là:
a. 4, 5, 6 b. 5, 6, 7 c. 2, 3, 4 d. Cả a, b, c đều sai
Câu8:
Ta có các phát biểu sau:
1) Một điểm O cho trớc và một số phụ r cho trớc xác định một đơnggf tròn tâm O bán
kính r.
2) Qua 2 điểm A, B cho trớc xác định đợc một đờng tròn đờng kính AB
3) Qua 3 điểm chỉ xác định đợc một và chỉ một đờng tròn.
Các phát biểu đúng là:
a. Chỉ 1) b. Chỉ 2) c. Chỉ 3) d. Chỉ 1 và 2
II/ Phần tự luận:
Câu1:
Cho biểu thức: A =
( )

623
22
24
2
+

xx
x
a) Rút gọ A
b) Tìm giá trị lớn nhất của A
Câu2:
Cho a, b, c thoả mãn a > c , b > c > 0. Chứng minh rằng:
abcbccac
+
)()(
Câu3: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB, dây CD. Gọi H, K theo thứ tự là chân các
đờng vuông góc kẻ từ A, B đến CD.
a) Chứng minh rằng: CH = DK
b) Chứng minh rằng: S
AHKB
= S
ACB
+ S
ADB
c) Tính diện tích lớn nhất của tứ giác AHKB, biết AB = 30cm, CD = 18cm.

Đáp án và biểu diểm:
I/ Phần trắc nghiệm:(4đ)
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8
Đáp số a b c d a b c b

II/ Phần tự luận ( 6 điểm)
Câu1: (1,5đ) a. (1đ) A =
( ) ( )
( )( )
3
2
23
22
623
22
222
2
224
2
+
=
+

=
+

xxx
x
xxx
x
b. (0,5đ) A =
3
6
3
2

3
2
2
=
+
x
Dấu = xảy ra

x = 0. Vậy giá trị lớn nhất của
A =
3
6
khi x = 0.
Câu2: (1,5đ) Với a>c>0 và b>c>0 (gt) thì a c > 0 và b c > 0.áp dụng bất đẳng thức
Cosi ta có:
( )
ab
bcabca
a
ca
b
c
ab
cac +
=

+

2
1
2
1
(1)
( )
ab
acabcb
b
cb
a
c
ab
cbc
+
=







+

2

1
2
1
(2)
Cộng vế theo vế (1) và (2) Ta có:
( )
ab
cac
+
( )
ab
cbc

1

( ) ( )
abcbccac
+
(đpcm)
Câu3: (3đ)
a.(0,75đ)
Gọi I là trung điểm của CD => IC = ID (1)
=>OI vuông góc với CD => OI//AH//BK ( Vì AH , BK cùngvuông góc với CD)
Mà O là trung điểm của AB nên I là trung điểm của HK hay IH = IK (2).
Từ (1) và (2) => CH = DK.
b. (1,5đ) . Qua I kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AH và BK ở E và F. Ta có:
( )
gcgKIFHIE
=
=> S

AHKB
= S
AEFB.
Kẻ II, CC, DD vuông góc với AB.
Mà S
AEFB
= AB . II (vì AB = EF) nên S
AHKB
= AB.II (3)
S
ABC
+ S
ADB
=
'.
2
''
2
'.
2
'.
IIAB
DDCC
AB
ABDDABCC
=

+
=+
(4)
Từ (3) và (4) Ta có: S
AHKB
= S
ABC
+ S
ADB
.
c.(0,75đ) . Trong tam giác vuông ICO co: OI
2

=
)(12915
2222
cmOIOC
==
S
AHKB
= AB. II

AB. IO = 30 . 12 = 360(cm
2
) (vì IO

II )
Vậy S

AHKB
lớn nhất bằng 360cm
2
C
O
IC D
B
H
E
I
D
K
F
C