Truong dong toan hoc 2017 mien

LƯU GIANG NAM – TRẦN BÁ ĐẠT
VÕ THÀNH ĐẠT – LƯƠNG VĂN KHẢI – PHẠM THỊ HỒNG NHUNG
Đội Huấn luyện viên Trường đông Toán học miền Nam 2017

TRƯỜNG ĐÔNG TOÁN HỌC
MIỀN NAM 2017
NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ KHÓ



LƯU GIANG NAM - TRẦN BÁ ĐẠT
VÕ THÀNH ĐẠT - LƯƠNG VĂN KHẢI - PHẠM THỊ HỒNG NHUNG
Đội HLV Trường đông Toán học miền Nam 2017

TRƯỜNG ĐÔNG TOÁN HỌC
MIỀN NAM 2017
Những bài toán hay và khó

Tháng 12/ 2017



Mục lục
1 ĐỀ BÀI
1.1 Đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9
9

1.2 Hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Phương trình hàm - Dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Số học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 HƯỚNG DẪN GIẢI

25

2.1 Đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3 Phương trình hàm - Dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.4 Số học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.5 Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121



LỜI NÓI ĐẦU
Nét đăc trưng của các chương trình Gặp gỡ Toán học và Trường đông Toán
học miền Nam chính là đội Huấn luyện viên. Là các sinh viên trưởng thành từ
phong trào Toán Olympic, chúng tôi quay lại giúp đỡ các bạn học sinh chuyên
Toán với tất cả nhiệt huyết, đam mê còn nguyên vẹn từ ngày xưa, ngày mà
chúng tôi ăn ngủ cùng những bài toán, nói những câu chuyện chỉ có những bài
toán, giải những bài toán mỗi ngày và đọc những bài viết về phương pháp giải
toán mỗi đêm. Hơn ai hết, chúng tôi hiểu rõ những gì mà các học sinh chuyên
Toán trải qua, và chúng tôi muốn chia sẻ những khó khăn ấy cùng các bạn.
Tập san này ra đời không ngoài mục đích đó. Chúng tôi muốn đem những
gì có ở Trường đông Toán học miền Nam tới thật nhiều các bạn học sinh, để các
bạn, đặc biệt là những bạn chưa có điều kiện tham gia chương trình, đúng như
tinh thần Bring Math to Everyone của thầy Trần Nam Dũng, đúng với những
giá trị cốt lõi mà Gặp gỡ Toán học và Trường đông Toán học miền Nam. Trong
tập san này, các bài toán được chia theo lĩnh vực, đề bài được đưa ra trước để
các bạn học sinh suy nghĩ, sau đó là phần hướng dẫn giải. Có những bài sẽ có

lời giải đầy đủ, có những bài chỉ có phần hướng dẫn sơ lược, và có những bài
sẽ có thêm phần nhận xét và mở rộng. Xuất hiện ở đây không chỉ có những bài
toán được dùng trong các bài giảng của các thầy mà còn là những bài toán được
thảo luận sau giờ học, trong giờ giải lao của các bạn học sinh.
Các biên tập viên của tập san này chính là các Huấn luyện viên của Trường
đông Toán học miền Nam năm nay:
• Bạn Lưu Giang Nam (sinh viên khoa Toán - Tin học trường ĐH Khoa học
Tự nhiên, ĐHQG Tp. HCM) biên tập phần Phương trình hàm - Dãy số.
• Bạn Trần Bá Đạt (sinh viên khoa Toán - Tin học trường ĐH Sư phạm Tp.
HCM) biên tập phần Tổ hợp.
• Bạn Võ Thành Đạt (sinh viên khoa Toán - Tin học trường ĐH Khoa học Tự


8

MỤC LỤC
nhiên, ĐHQG Tp. HCM) biên tập phần Bất đẳng thức - Đa thức.
• Bạn Lương Văn Khải (sinh viên khoa Toán - Tin học trường ĐH Khoa học
Tự nhiên, ĐHQG Tp. HCM) biên tập phần Hình học.
• Bạn Phạm Thị Hồng Nhung (cựu học sinh trường THPT chuyên Lê Quý
Đôn, tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu) biên tập phần Số học.

Chúng tôi xin gửi lời cảm ơn tới thầy Trần Nam Dũng (ĐH Khoa học Tự
nhiên, ĐHQG Tp. HCM), thầy Trần Quang Hùng (THPT chuyên Khoa học Tự
nhiên, ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội), thầy Nguyễn Song Minh (Titan
Education Hà Nội), thầy Võ Quốc Bá Cẩn (Archimedes Academy, Hà Nội), thầy
Lê Phúc Lữ (FPT Software Tp. HCM) đã cung cấp các bài giảng. Cảm ơn các bạn
Ngô Hoàng Anh, Phạm Hoàng Minh (học sinh chuyên Toán trường Phổ thông
Năng khiếu, ĐHQG Tp. HCM), bạn Nguyễn Minh Uyên (học sinh chuyên Toán
trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu, An Giang), bạn Lư Thương Thương (học

sinh chuyên Toán trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, TP Hồ Chí Minh) đã
nhiệt tình hỗ trợ ban biên tập. Những bài nằng trong đề chính thức, đề đề nghị
Trường Đông hay các đề tiêu thụ sẽ được ghi rõ nguồn, những bài còn lại là
những bài tập hay của các thầy dạy tại Trường Đông miền Nam 2017 (do các
bạn học sinh và huấn luyện viên tham dự buổi học ghi chép lại) và những bài
mở rộng, thú vị xung quanh những bài có ghi nguồn. Cảm ơn đơn vị tổ chức
chương trình là Công ty cổ phần Giáo dục Titan - Titan Education đã tạo mọi
điều kiện để chúng tôi hoàn thành được tập san này.
Chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp của bạn đọc để những ấn phẩm
sau được hoàn thiện hơn. Mọi đóng góp xin gửi qua hộp thư ở fanpage chường
trình Những ý kiến của các bạn
sẽ là những kinh nghiệm lớn cho chúng tôi trong những lần biên tập sách tiếp
theo.
Cảm ơn tất cả các bạn!


Chương 1
ĐỀ BÀI
1.1

Đại số

Bài 1. (Đề tiêu thụ ngày 1 trường đông miền Nam) Cho a, b, c là ba số thực sao
cho (a − b)(b − c)(c − a) = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca

1
1
1
+

+
.
2
2
(a − b)
(b − c)
(c − a)2

Bài 2. Cho a, b, c là các số dương thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng
√
c
b
3 2
a
√
+√
.
+√
≥
2
a+1
c+1
b+1
Bài 3. (Đề đề nghị trường đông miền Nam)
1. Cho a, b, c là ba số thực. Đặt s = a2 + bc − ab, r = b2 + ca − bc, t =
c2 + ab − ca. Chứng minh rằng sr + ts + rt = a3 b + b3 c + c3 a. Từ đó suy ra
2
(a2 + b2 + c2 ) ≥ 3 (a3 b + b3 c + c3 a).
2. Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn điều kiện xy + yz + zx = 1.
Chứng minh rằng

3−

√
x2 y 2 z 2
3+
+
+
≥ (x + y + z)2 .
y
z
x


10

ĐỀ BÀI

Bài 4. (Đề đề nghị trường đông miền Nam) Cho a, b, c là ba số thực dương. Xét
bất đẳng thức
a2 + bc
b+c

n

+

b2 + ca
c+a

n

+

c2 + ab
a+b

n

≥ an + b n + c n .

1. Chứng minh minh bất đẳng thức trên với n = 1.
2. Với n = 2 thì bất đẳng thức trên còn đúng không? Nếu có, hãy chứng
minh. Nếu không, hãy chỉ ra phản ví dụ.
Bài 5. (Đề chính thức trường đông Trung Trung Bộ) Cho a, b, c là các số thực
dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 3. Chứng minh rằng
9
≥2
abc

a c b
+ +
c b a

+ 3.

Bài 6. Tìm số thực k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức
xyz + 2 + k (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 ≥ x + y + z
đúng với mọi x, y, z không âm.
Bài 7. (Đề đề nghị trường đông miền Nam) Cho a, b, c là ba cạnh của một tam
giác, chứng minh bất đẳng thức sau:

a2 b(a − b) + b2 c(b − c) + c2 a(c − a) ≥ 0.
Bài 8. (Đề đề nghị trường đông miền Nam) Cho a, b, c là các số thực không âm
thoả mãn điều kiện a + b + c = 3. Chứng minh rằng
b3

a
b
c
1
+ 3
+ 3
≥ .
+ 16 c + 16 a + 16
6

Bài 9. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c, ta đều có
(b + c − a)2 (c + a − b)2 (a + b − c)2 ≥ (b2 + c2 − a2 )(c2 + a2 − b2 )(a2 + b2 − c2 ).
Bài 10. Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng
ab + ac + ad + bc + bd + cd
≥
6

3

abc + bcd + cda + dab
.
4


1.1 Đại số

11

Bài 11. Tìm tất cả các đa thức P (x) ∈ R[x] thoả mãn
P (x)P (2x2 ) = P (x3 + x).
Bài 12. Cho đa thức P (x) ∈ R[x] và P (x) ≥ 0 với mọi x ∈ R. Chứng minh rằng
đa thức P (x) có thể biểu diễn dưới dạng
P (x) = (A(x))2 + (B(x))2
trong đó A(x), B(x) cũng là các đa thức có hệ số thực.
Bài 13. Cho đa thức
f (x) = xn + an−2 xn−2 + an−3 xn−3 + . . . + a1 x + a0 ∈ R[x].
Chứng minh rằng tồn tại i ∈ {1, 2, . . . , n} sao cho |f (i)| ≥

n!
.
Cni

Bài 14. Cho số nguyên n ≥ 3 và P (x) ∈ R[x] thoả mãn
P (x) = xn + an−3 xn−3 + an−4 xn−4 + . . . + a1 x + a0 .
Biết ít nhất một số trong các số a0 , a1 , . . . , an−3 khác 0. Chứng minh rằng P (x)
không thể có toàn nghiệm thực.
Bài 15. Cho n là số nguyên dương chẵn. Một đa thức monic bậc n có n nghiệm
thực (không nhất thiết phân biệt). Giả sử y là số thực dương thoả với mọi số
thực t < y, ta có P (t) > 0. Chứng minh rằng n P (0) − n P (y) ≥ y.
Bài 16. Tìm các đa thức f (x), g(x) hệ số nguyên thoả mãn
f (g(x)) = x2017 + 2018x + 1.
Bài 17. Cho đa thức hệ số nguyên P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 (an =
ai
0). Giả sử tồn tại m sao cho m ≥ max
+ 2 và P (m) là số nguyên tố.

an
i∈0,n
Chứng minh rằng P (x) bất khả quy trên Z.
Bài 18. Cho số nguyên dương n. Tìm tất cả đa thức P thoả mãn đồng thời hai
điều kiện sau:
i. P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 trong đó {a0 , a1 , . . . , an } =
{0, 1, 2, . . . , n}.
ii. Đa thức P có n nghiệm thực phân biệt.


12

ĐỀ BÀI

Bài 19. Tìm tất cả các đa thức hệ số nguyên f sao cho n|m ⇒ f (n)|f (m) với
mọi các số nguyên dương m, n.
Bài 20. (Đề chính thức ngày 1 trường đông miền Nam) Cho đa thức monic P (x)
bậc n > 1 (tức P có hệ số của bậc lớn nhất bằng 1) có n nghiệm thực x1 , x2 , ...xn
phân biệt khác 0. Chứng minh rằng:
1
1
(−1)n+1
1
+
+ ... +
=
.
x1 P (x1 ) x2 P (x2 )
xn P (xn )
x1 x2 ...xn

1.2

Hình học

Bài 1. (Trần Quang Hùng) Cho ABC. điểm P di chuyển trên cạnh P C. Q, R
lần lượt là hai điểm đối xứng với P qua CA, AB. Lấy điểm M nằm trên đường
tròn ngoại tiếp AQR sao cho AM BC. Chứng minh đường thẳng P M đi
qua một điểm cố định khi P di chuyển trên cạnh P C.
Bài 2. (Trần Quang Hùng) Cho ABC có đường cao AH. Giả sử đường tròn
đường kính BC tiếp xúc đường tròn nội tiếp ABC. Chứng minh rằng AH +
BC = AB + AC.
Bài 3. (Trần Quang Hùng) Cho ABC có hai đường cao BE và CF . Đường
tròn bàng tiếp góc A là (Ia ). Hai tiếp tuyến chung trong của (AEF ) và (Ia ) cắt
BC tại P và Q. Chứng minh rằng BP = CQ.
Bài 4. (Trần Quang Hùng) Cho đường tròn (O1 ) và (O2 ) ngoài nhau có AB
là một tiếp tuyến cung ngoài và CD là một tiếp tuyến chung trong. Gọi P =
AB ∩ CD, Q = AD ∩ BC. Chứng minh rằng P Q ⊥ O1 O2 .
Bài 5. (Trần Quang Hùng) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O và
một điểm P thuộc cung CD không chứa A và B. Gọi E = P A ∩ BD, G =
BP ∩ AC, H = AP ∩ CD, F = BP ∩ CD, Q = EF ∩ HG. Chứng minh rằng P Q
luôn đi qua một điểm cố định khi P di chuyển.
Bài 6. (Trần Quang Hùng) CCho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O cố
định có hai điểm BC cố định, A di chuyển trên (O). Gọi AD, BE, CF là ba
đường cao của tam giác cắt nhau tại H. DE, DF lần lượt cắt HB, HC tại Q, R.
Gọi M là trung điểm QR. Chứng minh rằng HM đi qua điểm cố định.
Bài 7. (Trần Quang Hùng) Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) cố định có B, C
cố định và A di động trên (O). Gọi E, F lần lượt là điểm đồi xứng của B, C qua
CA, AB. Gọi M = CE ∩ AB, N = BF ∩ AC. Chứng minh rằng đường thẳng
qua A vuông góc với M N đi qua một điểm cố định.

1.2 Hình học

13

Bài 8. (Đề chính thức trường đông Trung Trung Bộ) Cho tam giác ABC nhọn,
BE, CF là các đường cao. M là trung điểm của BC. N là giao điểm của AM
và EF . Gọi X là hình chiếu của N lên BC. Y, Ztheo thứ tự là hình chiếu của X
trên AB, AC .Chứng minh rằng N là trực tâm tam giác AY Z.
Bài 9. (Trần Quang Hùng) Cho ABC có đường trung tuyến AM . Đường cao
BE cắt đường trung tuyến AM tại P . Lấy Q sao cho QE ⊥ AM, CQ ⊥ AB.
Chứng minh rằng AQ ⊥ CP .
Bài 10. (Đề chính thức ngày 1 trường đông miền Nam) Cho tam giác ABC nội
tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B, C của đường tròn (O) cắt nhau tại T . Gọi
M, N lần lượt là các điểm thuộc tia BT, CT sao cho BM = BC = CN . Đường
thẳng M N cắt CA, AB theo thứ tự tại E, F ; BE giao CT tại P, CF giao BT tại
Q. Chứng minh rằng AP = AQ.
Bài 11. (Đề chính thức ngày 2 trường đông miền Nam) Cho hai đường tròn (O1 )
và (O2 ) tiếp xúc ngoài tại M . Một đường thẳng cắt (O1 ) tại A, B và tiếp xúc với
(O2 ) tại E (B nằm giữa A và E). Đường thẳng EM cắt (O1 ) tại điểm J khác
M . C là một điểm thuộc cung M J không chứa A, B của (O1 ) (C khác M và J).
Kẻ tiếp tuyến CF với đường tròn (O2 ) (F là tiếp điểm) sao cho các đoạn thẳng
CF và M J không cắt nhau. Gọi I là giao điểm của các đường thẳng CJ và EF ,
K là giao điểm khác A của đường thẳng AI và đường tròn (O1 ). Chứng minh
rằng:
1. Tứ giác M CF I là tứ giác nội tiếp và JA2 = JI 2 = JM.JE.
2. CI là phân giác ngoài tại C của tam giác ABC.
3. K là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác BCI.
Bài 12. (Đề đề nghị trường đông Trung Trung Bộ) Cho tam giác ABC. Đường

tròn (K) bất kỳ tiếp xúc đoạn thẳng AC, AB lần lượt tại E, F . (K) cắt đoạn
thẳng BC tại M, N sao cho N nằm giữa B và M . F M giao EN tại I. Đường
tròn ngoại tiếp các tam giác IF N và IEM cắt nhau tại J khác I. Chứng minh
rằng IJ đi qua A và KJ vuông góc IJ.
Bài 13. (Đề đề nghị trường đông miền Nam) Cho (I) là đường tròn nội tiếp tam
giác nhọn ABC, tiếp xúc BC, CA, AB ở D, E, F . (O) là đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC. Lấy D đối xứng với D qua EF .
1. Chứng minh rằng AD , BC, OI đồng quy.
2. Gọi H, J lần lượt là trực tâm các tam giác ABC và AEF . Gọi R là giao
HJ và ID, T là giao D J và OI. Chứng minh rằng D , R, T, I đồng viên.


14

ĐỀ BÀI

Bài 14. (Trần Quang Hùng) Cho tam giác ABC, P là điểm bất kỳ. A1 là hình
chiếu của P lên BC.A2 là trung điểm AA1 .A2 P cắt BC tại A3 .A4 đối xứng A1
qua A3 . Chứng minh rằng P A4 luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 15. (Tây Ninh 2017) Cho năm điểm A, B, C, D và E cùng nằm trên một
đường tròn. Gọi M , N , P và Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của E xuống
các đường thẳng AB, BC, CD và DA. Gọi hình chiếu vuông góc của E xuống
các đường thẳng M N , N P , P Q, QM lần lượt là R, S, T và U cùng nằm trên
một đường thẳng.

1.3

Phương trình hàm - Dãy số

Bài 1. (Đề chính thức ngày 2 trường đông miền Nam) Tìm các hàm f : R → R

thoả mãn:
f (x2 ) + f (xy) = f (x)f (y) + yf (x) + xf (x + y), ∀ xy ∈ R.
Bài 2. (Đề tiêu thụ bài giảng trường đông miền Nam) Cho hàm số :f : N → N
thoả
f (f (n)) + f (n) = 6n + 4.
1. Tính f (2017)
2. Tìm tất cả các hàm f thoả mãn.
Bài 3. (Đề tiêu thụ bài giảng trường đông miền Nam) Cho dãy số
(xn ) :

x1 = x2 = 97
xn+2 = xn+1 xn +

x2n+1 − 1 (x2n − 1)

∀n ≥ 1

.

1. Chứng minh 2 + 2xn là số chính phương.
√
2. Chứng minh 2 + 2 + 2xn là số chính phương,
Bài 4. (Đề tiêu thụ bài giảng trường đông miền Nam) Xét dãy số nguyên {an }∞
n=1
thoả mãn:
a2n+1
−1
1
a1 = 2; a2 = 7;
< an+2 −

≤ .
2
an
2
Chứng minh rằng với mọi n > 1,ta có an là số lẻ.


1.3 Phương trình hàm - Dãy số

15

Bài 5. Tìm f : R → R thoả mãn:
f (x3 + f (y)) = y + f 3 (x) ∀ x, y ∈ R.
Bài 6. Tìm tất cả các hàm f : R → R thoả mãn:
f (xf (x + y)) = f (yf (x)) + x2 , ∀x, y ∈ R.
Bài 7. (Đề tiêu thụ bài giảng trường đông miền Nam) Tìm tất cả hàm số f : R →
R thoả:
f (f (y) + x2 + 1) + 2x = y + (f (x + 1))2 , ∀x, y ∈ R.
Bài 8. Tìm tất cả các hàm f (x) : [1; +∞) → [1; +∞) thoả
x ≤ f (x) ≤ 2x + 2
xf (x + 1) = (f (x))2 − 1
Bài 9. Tìm tất cả các hàm f : R → R thoả mãn:
f (yf (x) − x) = f (x)f (y) + 2x, ∀x, y ∈ R.
Bài 10. Tìm f: R+ → R+ thoả mãn:
f (x + y) + f (x).f (y) = f (xy) + f (x) + f (y).
Bài 11. (Đề tiêu thụ bài giảng trường đông miền Nam) Tìm các hàm f : Q2 → Q
thoả mãn
f (x, y) + f (y, z) + f (z, x) = f (0, x + y + z).
với mọi x, y, z ∈ Q.
Bài 12. Tìm f : R ⇒ R thoả:

f (x)f (yf (x) − 1) = x2 f (y) − f (x), ∀x, y ∈ R
Bài 13. Cho f : Q2 → R+ với Q2 = {(x, y)|x, y ∈ Q}. Giả sử f thoả mãn các
điều kiện sau:
1. f (a, b, c) = f (a, c)f (b, c), ∀a, b, c ∈ Q.
2. f (c, ab) = f (c, a)f (c, b), ∀a, b, c ∈ Q.
3. f (a, 1 − a) = 1, ∀a ∈ Q.


16

ĐỀ BÀI

Chứng minh rằng f (a, a) = f (a, −a) = 1 và f (a, b)f (b, a) = 1.
Bài 14. Cho hàm số f : N × N → N (với N = N ∪ {0}) thoả mãn các điều
kiện sau:
1. f (0, x) = x + 1
2. f (x + 1, 0) = f (x, 1)
3. f (x + 1, y + 1) = f (x, f (x + 1, y))
Tính f (1, 2017), f (2, 2017), f (3, 2017), f (4, 2017).
Bài 15. Cho dãy số (xn ) được xác định bởi:
x1 = 4
xn+1 = x2n − 2, ∀ ∈ N∗
Tính

xn+1
n→+∞ x1 x2 x3 ...xn
lim

Bài 16. Cho dãy số (un ) được xác định bởi công thức truy hồi :


u1 = α ∈ R

3
u + 9un − 6
, ∀α ∈ N∗
un+1 = n2
3un − 6un + 7
Tìm α để dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn khi và tìm giới hạn của dãy số trong
các trường hợp đó.
Bài 17. Cho hai dãy số (an ), (bn ) được xác định bởi hệ thức truy hồi:
a1 = 3, b1 = 2, an+1 = a2n + 2b2n , bn+1 = 2an bn , ∀n ∈ N∗
Tìm
lim

n→+∞

2n

bn ; lim

n→+∞

√

2n

a1 a2 ...an

Bài 18. Cho dãy số (xn ) được xác định bởi hệ thức truy hồi:


x1 = a ≥ 1

x2n − 2xn 2
, ∀n ∈ N∗
xn+1 =
[xn ]2
Chứng minh dãy số (xn ) đã cho có giới hạn hữu hạn khi n → +∞.


1.4 Số học

17

Bài 19. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thoả mãn:
f (yf (x + y) + f (x)) = 4x + 2yf (x + y), ∀x, y ∈ R.
Bài 20. Đặt I = [0, 1] và G = {(x, y)|x, y ∈ I}. Tìm tất cả các hàm số f : G → I
thoả mãn với mọi x, y, z ∈ I ta có:
1. f (f (x, y), z) = f (x, f (y, z)),
2. f (x, 1) = x, f (1, y) = y,
3. f (zx, zy) = z k f (x, y).
với k là một số thực dương không liên quan đến x, y, z.

1.4

Số học

Bài 1. (Đề chính thức ngày 2 trường đông miền Nam) Biết rằng với dãy nguyên
dương 1 < k1 < k2 < ... < kn và dãy nguyên tương ứng s1 , s2 , ..., sn , với mọi số
nguyên dương N đều tồn tại i ∈ {1, 2, ..., n} sao cho N ≡ si (mod ki ).
1. Tìm dãy {kn } và {sn } thoả mãn khi k1 = 2 và khi k1 = 3.

n

2. Chứng minh rằng
i=1

1
> 1.
ki

3. Tìm n nhỏ nhất để có các dãy TMĐK đề bài.
Bài 2. (Đề tiêu thụ bài giảng trường đông miền Nam) Tìm n ∈ N và n > 1 sao
.
cho 3n − 1 .. n3 .
Bài 3. (Đề tiêu thụ bài giảng trường đông miền Nam) Chứng minh rằng tồn tại
vô số số nguyên tố dạng 2n k + 1 với k nguyên dương và n ≥ 2017.
Bài 4. (Đề tiêu thụ bài giảng trường đông miền Nam) Tìm số nguyên dương n
.
nhỏ nhất sao cho 1n + 2n + . . . + 2016n .. 2017.
Bài 5. (Đề tiêu thụ bài giảng trường đông miền Nam) Cho 9 số nguyên dương
phân biệt d1 , d2 , . . . , d9 và đa thức P (x) = (x + d1 )(x + d2 ) . . . (x + d9 ). Chứng


18

ĐỀ BÀI

minh rằng có số N nguyên dương sao cho ∀x ≥ N thì P (x) có ước nguyên tố
lớn hơn 20.
Bài 6. (Đề tiêu thụ bài giảng trường đông miền Nam) Cho P (x) ∈ Z[x]. Biết
a1 , a2 , . . . , an là các số nguyên thoả mãn: ∀x ∈ Z, ∃i ∈ {1; 2; . . . ; n} sao cho

.
.
P (x) .. ai . Chứng minh rằng ∃j : P (x) .. aj ∀x ∈ Z.
Bài 7. (Đề tiêu thụ bài giảng trường đông miền Nam) Tìm các số nguyên dương
n sao cho với mọi số nguyên dương k, tồn tại số tự nhiên a sao cho a3 + a − k
chia hết cho n.
Bài 8. (Đề tiêu thụ bài giảng trường đông miền Nam) Tìm đa thức P (x) hệ số
nguyên biết với mọi số nguyên tố p, a, b nguyên dương thì ab ≡ 1 (mod p) ⇒
P (a).P (b) ≡ 1 (mod p).
Bài 9. (Đề tiêu thụ bài giảng trường đông miền Nam) An và Bảo cùng nhau chơi
một trò chơi: họ lần lượt viết các số tuỳ thích lên bảng thành một dòng, mỗi
người 3 số, An viết trước. Sau đó Bảo "nhường" An điền dấu + hoặc − tuỳ ý vào
giữa các số đã viết. An thắng nếu kết quả trên bảng không chia hết cho bất cứ
số tự nhiên nào từ 11 đến 18. Bảo thắng nếu xảy ra trường hợp ngược lại. An
nói rằng mình kiểm soát nhiều hơn, nên chắc chắn chiến thắng. Bạn có đồng ý
không? Tại sao?
Bài 10. (Đề đề nghị trường đông Trung Trung Bộ) Giả sử N∗ phân hoạch thành 3
dãy tăng {an }, {bn }, {cn } thoả mãn:
i. can = bn + 1
ii. an+1 > bn
iii. cn+1 cn − (n + 1)cn+1 − ncn chẵn.
Chứng minh rằng an = n2 .
Bài 11. (Nguyễn Song Minh) Tìm các đa thức thoả điều kiện: a2 − b2 ∈ Q thì
P (a) − P (b) ∈ Q.
Bài 12. (Nguyễn Song Minh) Tìm tất cả đa thức P (x) hệ số nguyên thoả mãn
2n | P (3n ) ∀n ∈ N∗ .
Bài 13. (Nguyễn Song Minh) Tìm các đa thức P (x) hệ số nguyên, a, b nguyên
dương và a > b sao cho:
P (n) | an − bn ∀n ∈ N∗ .

1.5 Tổ hợp

19

Bài 14. (Nguyễn Song Minh) Tìm tất cả các đa thức P (x) hệ số nguyên sao cho
(P (n); P (2017n )) = 1 ∀n ∈ Z+ .
Bài 15. Cho số nguyên dương d. Gọi f (d) là số nguyên dương nhỏ nhất có đúng
.
d ước nguyên dương. Chứng minh rằng f (2k+1 ) .. f (2k ) ∀k ∈ N.

1.5

Tổ hợp

Bài 1. (Đề đề nghị trường đông miền Nam) 23 người bạn muốn cùng nhau chơi
bóng đá. Họ sẽ phải chọn ra một người làm trọng tài và 22 người còn lại chia
làm hai đội đá với nhau. Họ muốn chia sao cho tổng cân nặng của mỗi đội là
bằng nhau. Giả sử cân nặng của từng người trong số 23 người là các số nguyên
dương và với bất kì cách chọn trọng tài nào thì họ cũng có thể chia thành hai
đội mà tổng cân nặng của mỗi đội bằng nhau. Chứng minh rằng 23 người này
có cân nặng bằng nhau.
Bài 2. (Đề đề nghị trường đông miền Nam) Bạn An chơi trò chơi xếp hình với
luật chơi như sau: Cho một hình vuông 4 × 4 chia thành 16 ô, có 15 mảnh ghép
và một ô trống. Trong mỗi bước chơi, An sẽ được phép trượt các mảnh ghép vào
ô trống để thu được hình mới. Bạn An sẽ thắng nếu sau hữu hạn bước trượt, An
thu được hình như sau:

Hỏi An có thể chiến thắng nếu hình ban đầu là hình sau hay không?

20

ĐỀ BÀI

Bài 3. (Đề đề nghị trường đông miền Nam) Cho một dãy vô hạn a1 , a2 , .., an , ...
với a1 = 1. Biết rằng với mỗi n > 1 thì:
• Nếu ước lẻ lớn nhất của n đồng dư với 1 module 4 thì an = an−1 + 1.
• Nếu ước lẻ lớn nhất của n đồng dư với 3 module 4 thì an = an−1 − 1.
1. Chứng minh rằng trong dãy số đó mỗi số nguyên dương xuất hiện vô số
lần.
2. Đặt bn = mini∈N (ai = n). Tìm một công thức tính bn theo n.
Bài 4. Cho lục giác đều ABCDEF cạnh 1 được điền các số như hình vẽ.
A

0
B

F

1

2

0

1

C

E

1
D


1.5 Tổ hợp

21

Có một con ếch ở vị trí A nhảy xung quanh các đỉnh của đa giác với độ dài các
bước nhảy nguyên. Gọi m là số cách nhảy của ếch sao cho tổng các số nó nhảy
qua là 2017. Chứng minh rằng m không là số chính phương.
Bài 5. Cho hai dung dịch A và B thoả mãn:
i. Số đo khối lượng của 1 lít A bằng số đo thể tích của 1kg B.
ii. p lít dung dịch A nặng bằng q lít dung dịch B với p, q là số nguyên tố phân
biệt.
Người ta chia các dung dịch A và B vào các bình giống nhau chứa 1 lít dung
dịch và vỏ bình nặng 1kg. Chứng minh rằng có duy nhất 1 cách để ghép các
bình cùng loại A hoặc B với nhau sao cho tổng khối lượng thuộc (2017, 2018).
Bài 6. Có 2020 người đến một buổi tiệc được chia vào các phòng khác nhau sao
cho:
i. Không người nào trong một phòng quen biết tất cả các người trong phòng
đó
ii. Trong nhóm 3 người bất kì thuộc cùng một phòng, luôn tồn tại ít nhất 2
người không quen biết nhau.
iii. Với bất kì một nhóm 2 người nào trong một phòng mà không quen biết
lẫn nhau, tồn tại đúng một người trong cùng phòng đó quen biết cả hai
người này.
1. Chứng minh rằng trong mỗi phòng, mỗi người có số người quen bằng

nhau.
2. Tìm số phòng lớn nhất.
Bài 7. Cho tập hợp A = {1, 2, . . . , 2n} với n nguyên dương. Một hoán vị các
phần tử của A được gọi là đẹp nếu như có ít nhất hai phần tử hơn kém nhau n
đơn vị đứng cạnh nhau. Chứng minh rằng số hoán vị đẹp nhiều hơn số hoán vị
không đẹp
Bài 8. Cho n là một số nguyên dương và S là tập hợp các điểm (x, y) trên mặt
phẳng với x, y không âm và x + y < n. Các điểm trong S được tô màu đỏ hoặc
xanh theo qui luật, nếu (x, y) là màu đỏ thì (x , y ) được tô màu đỏ với x ≤ x và
y ≤ y . Đặt A là số cách chọn n điểm xanh mà hoành độ x của nó khác nhau và


22

ĐỀ BÀI

đặt B là số cách chọn n điểm xanh mà tung độ y của chúng khác nhau. Chứng
minh rằng A = B
Bài 9. Cho một dãy n tấm bìa đặt sấp ở trên bàn được đánh số từ 1 tới n. Mỗi
lần cho phép thay đổi trạng thái của k tấm bìa liên tiếp từ sấp thành ngửa và
ngược lại
1. Chứng minh rằng có thể chuyển hết tấm bìa từ sấp sang ngửa khi và chỉ
.
khi m .. k
2. Nếu n không chia hết cho k, tìm số bìa tối đa có thể chuyển sang ngửa.
Bài 10. Trong một bảng vuông n×n, ta đặt những chiếc đèn lên các ô của bảng,
mỗi ô một đèn. Ở mỗi lần thay đổi, ta được phép chọn một đèn làm gốc và thay
đổi trạng thái của đèn đó và tất cả các đèn khác cùng hàng cùng cột với nó từ
tắt sang bật và ngược lại. Với trạng thái ban đầu là bất kì, ta có thể đưa tất cả
đèn về trạng thái bật được hay không với

1. n = 6.
2. n = 2017.
Bài 11. Cho một bảng 5 × 5 được tô trắng đen xen kẽ, các ô ở góc được tô đen.
Trên mỗi ô đen có các đồng xu đen và trên các ô trắng có các đồng xu trắng.
Các đồng xu có thể di chuyển đến các ô bên cạnh. A và B cùng chơi một trò chơi
như sau: Đầu tiên, A khởi động trò chơi bằng cách lấy một đồng xu đen ra khỏi
bảng rồi di chuyển một đồng xu trắng vào ô trống. Sau đó, B di chuyển một
đồng xu đen vào ô trống. Các lượt sau đó, A sẽ di chuyển một đồng xu trắng
vào ô trống và B di chuyển đồng xu đen vào ô trống. Trò chơi kết thúc khi một
trong hai người không thể di chuyển được theo luật trên, và người còn lại là
người chiến thắng. Hỏi có chiến thuật thắng hay không, nếu có hãy chỉ ra ai là
người thắng?
Bài 12. Cho lưới tam giác đều như hình vẽ, trong đó mỗi cạnh có chứa n điểm
(không tính hai đầu mút của cạnh), các đoạn thẳng song song với cạnh tam
giác lớn được nối với nhau. Đếm số tam giác đều có đỉnh là các điểm trong lưới
đã cho


1.5 Tổ hợp

23
A

B

C

Bài 13. Cho 2018 bóng đèn đang ở trạng thái sáng được xếp liên tiếp nhau trên
một đường thẳng. Hai người cùng chơi trò chơi như sau: Ở mỗi lượt chơi của
mình, mỗi người sẽ chọn một bóng đèn sáng, sau đó đổi trạng thái của bóng

đèn đó cùng với 4 bóng đèn phía sau nó.
1. Chứng minh rằng trò chơi sẽ dừng lại sau hữu hạn bước.
2. Ai có thể luôn là người chiến thắng? Hãy đưa ra chiến thuật thắng ấy.
Bài 14. Cho 33 điểm khác nhau nằm bên trong một hình vuông√có cạnh là 4. Vẽ
33 đường tròn nhận các điểm này làm tâm, có cùng bán kính 2. Chứng minh
rằng tồn tại một đường tròn trong số chúng chứa ít nhất 3 điểm trong số 33
điểm nói trên.
Bài 15. Có 2010 que diêm trên bàn. A và B cùng chơi trò chơi theo lượt như
sau: Đến lượt của mình, họ sẽ lấy đi 1, 3, 4, 5 hoặc 7 que diêm. Người lấy que
diêm cuối cùng sẽ chiến thắng. Nếu A chơi trước, hỏi người nào sẽ có chiến
thuật thắng?


24

ĐỀ BÀI


Chương 2
HƯỚNG DẪN GIẢI
2.1

Đại số

Bài 1
Cho a, b, c là ba số thực sao cho (a − b)(b − c)(c − a) = 0. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
1
1
1

+
+
.
2
2
(a − b)
(b − c)
(c − a)2

P = a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca

Lời giải. Ta có
2
1
a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca = (a + b + c)2 + (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2
3
6
1
(a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2
6
1
1
1
1
(a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2
+
+
⇒P ≥
2
2

6
(a − b)
(b − c)
(c − a)2
≥

Giả sử a > b > c. Đặt x = a − b, y = b − c
P ≥

1 2
x + y 2 + (x + y)2
6

=

1 2
x + xy + y 2
3

1
1
1
+
+
x2 y 2 (x + y)2

1
1
1
+

+
x2 y 2 (x + y)2