BÍ QUYẾT XỬ LÝ NHỮNG CÂU TÍCH PHÂN “LẠ”

BÍ QUYẾT XỬ LÝ NHỮ NG CÂU TÍ CH PHÂN “LẠ”
Trong các đề của Bô ̣ GD-ĐT công bố (minh ho ̣a, thử nghiê ̣m, tham khảo) có nhiề u
câu tích phân mà hàm dưới dấ u tích phân không phải là biể u thức cu ̣ thể . Với
những câu tích phân này có nhiề u ba ̣n thấ y “la ̣”.
Chúng ta sẽ cùng nhau biế n “la ̣” thành quen trong bài viế t này. Cơ sở cho cách xử
lí những tić h phân này là:
- Phép biế n đổ i tích phân
- Công thức tin
́ h tích phân từng phầ n.
- Thủ thuâ ̣t bác bỏ nhanh
1. Phép biế n đổ i tích phân
Khi câu tích phân xuấ t hiêṇ những biể u thức f  x  ; f t  x  ở giả thiế t là dấ u hiêụ
nhắ c chúng ta đổ i biế n.
Thí du ̣ 1.
Câu 44. Cho hàm số f  x  liên tu ̣c trên

và thỏa mañ

f  x   f   x   2  2cos 2 x, x  . Tính I 

3
2

 f  x  dx.
3
2



A. I  6.

C. I  2.

B. I  0.

D. I  6.
(Đề của Bộ GD – ĐT công bố )

Phân tích: Sự xuấ t hiê ̣n f   x  nhắ c chúng ta đổ i biế n t   x .
Giải
Đổ i biế n t   x , ta có:
I

3
2



3
2

3
2

3
2

 f  x  dx   f  t  dt    f  t  dt   f   x  dx  J .



3
2

3
2



3
2



3
2


Ta có:
3
2

3
2

 f  x  dx   f   x  dx  

IJ 





3
2

3
2

3
2





3
2



3
2



3
2

 f  x   f   x   dx

(*)

3
 2

2


2  2cos 2 x dx  4  cos x dx  4   cos x dx   cos x dx 

0
0


2

3
2

3



2
 4 sin x 0   sin x  2   12.

2 

Do đó: I  6 nên cho ̣n phương án D.
Chú ý: Thực ra chỉ cầ n đế n (*) là thấ y hàm dưới dấ u tích phân chỉ nhâ ̣n giá tri ̣

 3 3 
dương và chỉ triêṭ tiêu ta ̣i mô ̣t số điể m với x    ;  nên I  0. Do đó cho ̣n
 2 2
ngay phương án D mà không cầ n tính tích phân cu ̣ thể như trên.
Thí du ̣ 2.
Câu 25. Cho

4

2

0

0

 f  x  dx  16. Tính I   f  2 x  dx.

A. I  32.

C. I  16.

B. I  8.

D. I  4.
(Đề của Bộ GD – ĐT công bố )

Phân tích: Sự xuấ t hiê ̣n của f  2 x  nhắ c chúng ta đổ i biế n t  2 x.
Giải
Đổ i biế n t  2 x, ta có:

1
1
1
t
I   f  2 x  dx   f  t  d     f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx  8.
20
20
2 0 2
0
0
2

4

Do đó cho ̣n phương án B.

4

4

4


Thí du ̣ 3.
Câu 46. Biế t hàm số


  

y  f  x   là hàm số chẵn trên   ;  và

2
 2 2



2


f  x   f  x    sin x  cos x. Tính I   f  x  dx.
2

0

A. 0.

B.1.

C.

1
.
2

D. 1.

(Đề thi thử của BigSchool – Mã 001)



Phân tích: Mô ̣t số ba ̣n thấ y xuấ t hiêṇ f  x   nên đã đổ i biế n t  x  và bế

2
2



tắ c. Cái “bẫy” ở đây chính là điề u này. Để ý giả thiế t y  f  x   là hàm số chẵn
2




  

nên f  x    f   x   với x    ;  và ta đổ i biế n hơ ̣p lí phải là:
2
2

 2 2


t  x  .
2

Giải
Đổ i biế n t   x 


2

, ta có:






 

I   f  x  dx   f   t  d   t   
2  2  0

0
2

0

2

2







  f   t  dt  
2 
0
0

2

Ta có:

2



f  x   dx  J .
2




f   t  dt
2 



2


2


2





I  J   f  x  dx   f  x   dx    f  x  
2

0
0
0

2

 

f  x   dx
2 



2
0

   sin x  cos x  dx   sin x  cos x   2.
0

Từ đó: I  J  1 nên cho ̣n phương án B.
Thí du ̣ 4.
Cho hàm số y  f  x  liên tu ̣c trên

thỏa mañ f   x   2017 f  x   e x .

1

Tính I   f  x  dx.
1

e2  1
.
A. I 
2018e

e2  1
.
C. I 
2018e

B. I  0.

D. I  e2017 .

Phân tích: Sự xuấ t hiê ̣n f   x  nhắ c chúng ta đổ i biế n t   x.
Giải
Đổ i biế n t   x , ta có:
1

1

1

1

1

1

1

1

I   f  x  dx   f  t  d  t    f  t  dt   f   x  dx  J .
Do đó:
2018 I  J  2017 I 

1

1

1

1

 f   x  dx  2017  f  x  dx

1 e2  1
   f   x   2017 f  x   dx   e dx  e  e  
.
1
e
e
1
1
1

1

x

Suy ra I 

x1

e2  1
nên ta cho ̣n phương án A.
2018e


Thí du ̣ 5.
Biế t

F  x

rằ ng

F  2018  

là

mô ̣t

nguyên

2017

2018

1

0

 F  x  1 dx  1. Tính I  

f  x

của

thỏa

mañ

xf  x  dx.

C. I  2019.

B. I  2017.

A. I  2018.

hàm

D. I  2016.

Phân tích: Sự xuấ t hiê ̣n của F  x  1 nhắ c ta đổ i biế n t  x  1.
Giải

Đổ i biế n t  x  1, ta có:

1

2017

2018

2018

2018

1

0

0

0

 F  x  1 dx   F t  d t  1   F t  dt   F  x  dx.

u '  1
u  x
Lưu ý: F '  x   f  x  nên đă ̣t 
thì 
v '  f  x 
v  F  x 

Áp du ̣ng công thức tić h phân từng phầ n ta có:

2018

I



2018

xf  x  dx 

 u.v ' dx  uv

0

2018
2018
0

0

 xF  x  0

2018





v.u ' dx

0

2018



 F  x  dx
0

 2018F  2018   1  2018  1  2017.
Do đó ta cho ̣n phương án B.
2018

Chú ý: Khi nhìn


0

từng phầ n để tính I.

xf  x  dx 

2018


0

xF '  x  dx là ta thấ y dấ u hiêụ sử du ̣ng tić h phân

2. Tính tích phân từng phầ n
Dấ u hiê ̣u để chúng ta nghi ̃ đế n sử du ̣ng công thức tính tích phân từng phầ n là hàm
dưới dấ u tích phân xuấ t hiêṇ đa ̣o hàm của mô ̣t hàm nào đó.
Thí du ̣ 6.
Câu 23. Cho hàm số f  x  có đa ̣o hàm trên đoa ̣n 1;2 , f 1  1 và f  2   2. Tính
2

I   f '  x  dx.
1

B. I  1.

A. I  1.

7
D. I  .
2

C. I  3.

(Đề của Bộ GD – ĐT công bố )
Phân tích: Sự xuấ t hiê ̣n của f '  x  dưới dấ u tích phân nhắ c chúng ta nghi ̃ đế n công
thức tính tích phân từng phầ n và đă ̣t u  f  x  . La ̣i tiế p tu ̣c nhìn ở dưới dấ u tích
phân xem thừa số nào nhân với f '  x  thì đó chính là v.
Giải
u '  f '  x 
u  f  x 
Đă ̣t 
thì 
v '  0

v  1
2

2

2

Ta có: I   f '  x  dx   v.u ' dx  uv 1   v '.udx  f  x  1  f  2   f 1  2  1  1.
2

1

1

2

1

Do đó ta cho ̣n phương án A.
Thí du ̣ 7.
Câu 38. Cho hàm số f  x  thỏa mañ

1

  x  1 f ' x  dx  10
0

1

Tính I   f  x  dx.

0

và 2 f 1  f  0   2.


A. I  12.

C. I  12.

B. I  8.

D. I  8.
(Đề của Bộ GD – ĐT công bố )

Phân tích: Hàm dưới dấ u tích phân của giả thiế t xuấ t hiêṇ f '  x  và thừa số nhân
với f '  x  chin
́ h là  x  1 . Từ đó ta nhâ ̣n ra ngay u và v để sử du ̣ng công thức tić h
phân từng phầ n.
Giải
u '  f '  x 
u  f  x 
Đă ̣t 
thì 
v '  1
v  x  1

Ta có:
1

1

1

I   f  x  dx   u.v ' dx  uv 0   u '.vdx
1

0

0

0
1

  x  1 f  x  0    x  1 f '  x  dx
1

0

 2 f 1  f  0   10  2  10  8.
Do đó ta cho ̣n phương án D.
Thí du ̣ 8.


Câu 46. Cho hàm số

y  f  x  thỏa mañ

2

 sin x. f  x  dx  f  0   1.

Tính

0


2

I   cos x. f '  x  dx.
0

A. I  1.

B. I  1.

C. I  0.

D. I  2.

(Đề thi thử của BigSchool – Mã 003)


Phân tích: Xuấ t hiêṇ cos x. f '  x  dưới dấ u tić h phân nhắ c ta tiń h tić h phân từng
phầ n và đă ̣t u  f  x  và v  cos x.
Giải
u '  f '  x 
u  f  x 
Đă ̣t 
thì 
v '   sin x.

v  cos x

Ta có:

2


2

0

0


2
0


2

I   cos x. f '  x  dx   v.u 'dx  uv   u.v ' dx

2
0

0


2

 cos x. f  x      sin x  . f  x  dx   f  0   1  1  1  0.
0

Do đó ta cho ̣n phương án C.

2

Chú ý: Mô ̣t số chuyên gia nghi ngờ về giả thiế t:  sin x. f  x  dx  f  0   1 và có ý
0

kiế n: “Nế u không có hàm số nào thỏa mañ giả thiế t này thì cả 4 phương án đã cho
đề u sai!”.
Đây đúng là điề u mà tấ t cả những ai ra đề thi đề u phải cẩ n thâ ̣n khi tung ra các giả
thiế t về hàm số da ̣ng “ẩ n” vì nế u hàm số đó không tồ n ta ̣i thì các khẳ ng đinh
̣ về
hàm số đó đề u sai.
Kinh nghiê ̣m cá nhân khi sáng tác các đề kiể u này nên lấ y ra mô ̣t hàm số cu ̣ thể để
khỏi lo sự không tồ n ta ̣i. Với đề thi tự luâ ̣n mà chứng minh hàm số không tồ n ta ̣i
thì là điề u lí thú và bài toán vẫn tuyê ̣t vời nhưng với đề thi trắ c nghiê ̣m, khi mà
phải cho những phương án với những kế t quả cu ̣ thể thì cầ n rấ t thâ ̣n tro ̣ng bởi
không khéo đi từ giả thiế t vẫn dẫn đế n kế t quả cu ̣ thể , giả thiế t đã bao hàm giả sử
hàm số tồ n ta ̣i!


Để các ba ̣n chuyên gia đỡ “áy náy” xin chỉ ra hàm số cu ̣ thể thỏa mañ giả thiế t của
thí du ̣ 8, đó là hàm số y  f  x   1 với mo ̣i x (hàm không đổ i). Khi đó f  0   1 và

2



2

0

0

 sin x. f  x  dx   sin xdx    cos x 


2
0

 1.

Từ đó chúng ta còn đưa ra mô ̣t phương pháp đô ̣c đáo để có thể giải nhanh thí du ̣ 8
và nhiề u bài toán trắ c nghiê ̣m khác (sẽ triǹ h bày ở phầ n cuố i của bài viế t).
Thí du ̣ 9.
Câu 46. Cho hàm số y  f  x  với f  0   f 1  1. Biế t rằ ng:
1

e

x

 f  x   f '  x   dx  ae  b. Tính Q  a 2017  b 2017 .

0

B. Q  2.

A. Q  0.

C. Q  1.

D. Q  2.

(Đề thi thử của BigSchool – Mã 002)
Phân tích: Sự xuấ t hiêṇ f '  x  và e x . f '  x  nhắ c chúng ta dùng tích phân từng
phầ n với u  f  x  , v  e x .
Giải

u '  f '  x 
u  f  x 
Đă ̣t 
thi
̀
x
x
v '  e
v  e
Ta có:
1

1

1

0

0

 e  f  x   f ' x  dx   u.v ' v.u ' dx   uv  ' dx  u.v  0
x

0

 e x f  x   e. f 1  f  0   e  1.
1

0

Do đó a  1; b  1 dẫn đế n Q  0 nên cho ̣n phương án A.

1


Thí du ̣ 10.
Câu 48. Cho y  f  x  

sin x
. Tính I   x. f '  x  dx.
cos 2017 x  sin 2017 x
0


C. I  .
4


B. I  .

2

A. I  0.


2

2017

D. I 

3
.
4

(Đề thi thử của BigSchool – Mã 004)
Phân tích: Xuấ t hiêṇ f '  x  ; x. f '  x  nhắ c chúng ta dùng tích phân từng phầ n và
đă ̣t u  f  x  và v  x.
Giải
u '  f '  x 
u  f  x 
Đă ̣t 
thì 
v '  1.
v  x

2


2

0

0


2
0


2


2
0

I   x. f '  x  dx   v.u ' dx  uv   f  x  dx  xf  x   J 
0


2



f   J   J
2
2


(vì f    1 ).

2

Tính J bằ ng phép đổ i biế n t 


 x.
2

 
sin 2017   t 
sin x
2 
J 
dx  
 dt 
2017
2017


cos
x

sin
x




2017
2017


0
cos   t   sin   t 
2
2 
2 

2


2

0

2017

2017


2

cos t
cos 2017 x
  2017
dt   2017
dx  K .
2017
2017
sin
t


cos
t
sin
x

cos
x
0
0





2

Nhâ ̣n thấ y: J  K   dx  x 02 
0

Suy ra I 


2

J K


4

.

  
  .
2 4 4

Do đó cho ̣n phương án C.
3. Thủ thuâ ̣t bác bỏ nhanh
Ở phầ n trên khi bình luâ ̣n thêm về thí du ̣ 8, chúng ta đã mở ra mô ̣t phương pháp để
giải bài toán trắ c nghiê ̣m nhanh. Có thể go ̣i phương pháp này là “Thủ thuật bác bỏ
nhanh”. Đây cũng là cách mà người ta cũng dùng để bác bỏ mô ̣t điề u khái quát nào
đó bằ ng cách đưa ra mô ̣t phản thí du ̣. Bởi có mô ̣t chân lí là: “Muố n đúng với mo ̣i
tiǹ h huố ng thì phải đúng với bấ t cứ trường hơ ̣p riêng nào!”
Trở la ̣i thí du ̣ 8, ta lấ y y  f  x   1 với mo ̣i x thỏa mañ các giả thiế t về hàm
y  f  x  mà bài toán đă ̣t ra. Khi đó f '  x   0 với mo ̣i x nên

2


2

0

0

I   cos x. f '  x  dx   0dx  0.
Loa ̣i tấ t cả các phương án A, B, D nên tấ t nhiên cho ̣n phương án C.
Thí du ̣ 11.
Hàm số y  f  x  liên tu ̣c trên

thỏa mañ : f   x   f  2017 x   2016 x. Tính

2017

I

 f  x  dx.
1

20172  1
A. I 
.
2

B. I  2016.

C. I  2017.

D. I  2018.

Phân tích: Với giả thiế t “ít ỏi” ở trên gầ n như sẽ bế tắ c về đường lố i nế u như
chúng ta làm bình thường như mô ̣t bài tự luâ ̣n. Chính tác giả khi ra đề toán này
cũng chưa giải và cũng chưa đi tìm tấ t cả các hàm số y  f  x  thỏa mãn giả thiế t


đã cho. Nhưng vì là tác giả đề toán trắ c nghiê ̣m nên cũng đã phải “thủ sẵn” mô ̣t
hàm số cu ̣ thể để đề phòng hàm số mà mình “bia”
̣ ra cái giả thiế t kia không tồ n ta ̣i
(!).
Giải

Cho ̣n y  f  x   x với mo ̣i x thì f   x   f  2017 x    x  2017 x  2016 x thỏa
mañ giải thiế t.
2017

2017

1

1

 f  x  dx  

Khi đó I 

2017

x2
xdx 
2 1

2017 2  1

.
2

Vâ ̣y các phương án B, C, D không thể đúng nên ta cho ̣n phương án A.
Thí du ̣ 12.
Cho hàm số y  f  x  liên tu ̣c trên

thỏa mañ f  x   f  x  1   e  1 e x . Tính

1

I   f '  x  dx.
0

A. I  e  1.

C. I  e  1.

B. I  e.

D. I  0.

Phân tích: Giả thiế t quá it́ liên hê ̣ đế n I nên con đường giải theo tự luâ ̣n sẽ quá khó
khăn. Với “Thủ thuật bác bỏ nhanh” ta nhìn vào đẳ ng thức của giả thiế t để nghi ̃ ra
mô ̣t hàm số y  f  x  cu ̣ thể thỏa mañ đẳ ng thức này. Chắ c đo ̣c đế n đây các ba ̣n
cũng đã tự nghi ̃ ra.
Giải
Cho y  f  x   e x thì f  x   f  x  1  e x  e x1  e x 1  e  thỏa mañ giả thiế t.
1

1

0

0

Khi đó I   f '  x  dx   e x dx  e x 0  e  1.
1

Chứng tỏ các phương án B, C, D không thể đúng nên cho ̣n phương án A.


Thí du ̣ 13.
Cho hàm số

y  f  x  thỏa mañ

f  sin x   f  cos x   1 với mo ̣i x. Tính

2017

I

 f  x  dx.
0

20173  1
.
A. I 
3

20173
.
B. I 
3

C. I  20173.

D. I  2  2017.

Phân tích: Hê ̣ thức f  sin x   f  cos x   1 khó mà liên hê ̣ với hàm số y  f  x 
trong đề toán tự luâ ̣n. Nhưng con số 1 ở vế phải hê ̣ thức làm chúng ta nhớ đế n hê ̣
thức sin 2 x  cos 2 x  1 ? Từ đây gơ ̣i ý tới mô ̣t hàm số y  f  x  cu ̣ thể thỏa mañ hê ̣
thức này.
Giải
Cho ̣n y  f  x   x 2 thì f  sin x   f  cos x   sin 2 x  cos2 x  1 thỏa mañ giả thiế t.
2017

Khi đó: I 

2017

 f  x  dx  
0

0

2017

1
x dx  x 3
3 0
2

20173

.
3

Do vâ ̣y các phương án A, C, D không thể đúng nên ta cho ̣n phương án B.
Thí du ̣ 14.
Cho hàm số y  f  x  thỏa mañ f  2 x   2 f

2

 x   1 với mo ̣i x. Tính



I   f  x  dx.
0

A. I  1.

B. I  1.

C. I 

2
.
2

D. I  0.

Phân tích: Hê ̣ thức đã cho tương đương hê ̣ thức nào đã biế t? Chúng ta “lu ̣c tìm” và
ra đươ ̣c cos2 x  2cos 2 x  1. Từ đó có ngay mô ̣t hàm số thỏa mañ giả thiế t.
Giải
Cho ̣n y  f  x   cos x thì ta có hê ̣ thức cos2 x  2cos 2 x  1.

Ta có: f  2 x   2 f

2

 x   1 thỏa mañ . Khi đó:





0

0

I   f  x  dx   cos xdx  sin x 0  0.


Do đó các phương án A, B, C không thể đúng nên ta cho ̣n phương án D.
Thí du ̣ 15.

2

Cho hàm số y  f  x  thỏa mañ f  x   f    x  với mo ̣i x. Tính I   f  x  dx.
0

C. I  1.

B. I  0.

A. I  1.


D. I  .
2

Phân tích: Với ma ̣ch suy nghi ̃ trên ta nhớ đế n sin x  sin    x  với mo ̣i x nên có
thể cho ̣n ngay hàm số y  f  x   sin x, dễ dàng thỏa mañ f  x   f    x  .

2


2

0

0



Khi đó I   f  x  dx   sin xdx   cos x 02  1.
Do đó các phương án B, C, D không thể đúng nên ta cho ̣n phương án A.
Lời kế t: Với đề toán trắ c nghiê ̣m vẫn đòi hỏi các ba ̣n phải tư duy để cho ̣n phương
án đúng. Không những thế , các ba ̣n phải sẵn sàng nhiề u “vố n liế ng” để tư duy
nhanh.
Với đề toán trắ c nghiê ̣m, các phương án cho trước cũng là giả thiế t rấ t quan tro ̣ng
vì có khi chỉ cầ n thử mô ̣t chút là có những phương án đã bi loa
̣ ̣i.
Chiń h vì vâ ̣y, từ toán tự luâ ̣n bước sang toán trắ c nghiê ̣m không hề đơn giản, đă ̣c

biêṭ là ngay viê ̣c ra đề và sau nữa là cách da ̣y, cách ho ̣c.
Hy vo ̣ng bài viế t góp chút it́ vào hành trang của những ngày cuố i cùng, giúp các
ba ̣n có thể tự tin hơn để bước vào kì thi THPT Quố c Gia.
Rấ t mong nhâ ̣n đươ ̣c nhiề u trao đổ i và tranh luâ ̣n của các ba ̣n.
TS. Lê Thố ng Nhấ t.


Hiê ̣n nay, các câu trắ c nghiê ̣m da ̣ng này đang rấ t ít. Do đó, xin gửi thêm các ba ̣n
mô ̣t số bài tâ ̣p để luyê ̣n thêm.
Bài 1. Cho hàm số y  f  x  liên tu ̣c trên

e2

. Biế t rằ ng


e


3



2

f  cos x  .tan xdx  2017. Tính I  
1
2

0

A. I  2016.

f  ln x 
dx  1 và
x.ln x

f  x
dx.
x
C. I  2018.

B. I  2017.

D. I  2015.

Đáp số : Cho ̣n C.
Bài 2. Cho hàm số y  f  x  liên tu ̣c trên
f  x   2016 f  2017  x   x. Tính I 

thỏa mañ

2017

 f  x  dx.
0

A. I  2017.

B. I  1008,5.

C. I  2016.

D. I  2018.

Đáp số : Cho ̣n B.
Bài 3. Cho hàm số y  f  x  liên tu ̣c trên

thỏa mañ f  3x   f  x  . f  2 x  .

1

Tính I   f  x  dx.
0

A. I  e.

B. I  e  1.

C. I  e  1.

D. I  1.

Đáp số : Cho ̣n C.


Bài 4. Cho hàm số y  f  x  là hàm số chẵn trên  ;  . Tính I   sin x. f  x  dx.


A. I  2.

Đáp số : Cho ̣n B.

B. I  0.

C. I  1.

D. I  1.


Bài 5. Cho hàm số y  f  x  là hàm số chẵn, liên tu ̣c trên
f  x   f  x  2017   2 với mo ̣i x. Tính I 

thỏa mañ

2017

 f  x  dx.
0

B. I  0.

A. I  2.

C. I  2018.

D. I  2017.

Đáp số : Cho ̣n D.
Bài 6. Cho hàm số y  f  x  liên tu ̣c trên

e

thỏa mañ

 f ' x .ln xdx  1
1

e

f  e   e. Tính I  
1

A. I  e  1.
Đáp số : Cho ̣n B

f  x
dx.
x
B. I  e  1.

C. I  1.

D. I  0.

và