Chuyên đề tọa độ Oxyz không gian lớp 12

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
BÀI 3.1. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN
I. Tọa độ của vectơ

r
r
r
r
r
a = a1.i + a2 . j + a3 .k ⇔ a = ( a 1 ; a2 ; a3 ) .
r
r
2)Tính chất: Cho a = ( a 1 ; a2 ; a3 ) ; b = ( b 1 ; b2 ; b3 ) . Ta có:
1)Định nghĩa







 a1 = b1
r r

a = b ⇔ a2 = b2 .
a = b
 3 3
r
r
a ± b = ( a 1 ±b 1 ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ) .

r
ka = ( ka 1 ; ka2 ; ka3 ) , k ∈ ¡ .
r
r
r
r
0 = (0;0;0), i = ( 1;0;0 ) , j = ( 0;1;0 ) , k = ( 0;0;1) .
r r r
r
r
r
a cùng phương b ⇔ ∃k ∈ ¡ : a = kb b ≠ 0 .
A1
a1 a2 a3
= =
( b1, b2 , b3 ≠ 0 )
⇔
x
b1 b2 b3

(

z
A3

A
r
k
rO
i

r2 r 2 r 2
i = j = k =1
rr r r r r
i. j = j.k = k .i = 0
Ox : trục hoành
Oy : trục tung
Oz : trục cao

r
j

A2

y

)

A′

II. Tọa độ của điểm:
uuuu
r
r
r
r
1. Định nghĩa: OM = x.i + y. j + z.k ⇔ M ( x; y; z ) .
Chú ý:
 M ∈ ( Oxy ) ⇔ z = 0; M ∈ ( Oyz ) ⇔ x = 0; M ∈ ( Oxz ) ⇔ y = 0.
 M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0.

Tọa độ hình chiếu của M lên các mặt phẳng ( Oxy ) , ( Oyz ) , ( Oxz ) lần lượt là:

( x; y;0 ) , ( 0; y; z ) , ( x;0; z ) .
 Tọa độ hình chiếu của M lên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là: ( x;0;0 ) , ( 0; y;0 ) , ( 0;0; z ) .
2. Tính chất:
uuur
 AB = ( x B − x A ; yB − y A ; z B − z A ) .
 x + x y + yB z A + zB 
;
 M là trung điểm AB ⇔ M  A B ; A
÷.
2
2 
 2
 x + x + x y + y B + yC z A + z B + zC 
;
G là trọng tâm ∆ABC ⇔ G  A B C ; A
÷.
3
3
3


uuur
uuur
uuur
uuur
 A, B, C thẳng hàng ⇔ AB và AC cùng phương ⇔ AB = k . AC ( k ∈ ¡ ) .
III. Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
r

r
Cho a = ( a 1 ; a2 ; a3 ) ; b = ( b 1 ; b2 ; b3 ) . Ta có:
rr
 a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3
r
 a = a12 + a22 + a32 .
r
r
 ar ⊥ b ⇔ ar.b = 0 ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0
rr
a
.b
a1b1 + a2b2 + a3b3
r
r
 cos(a , b ) = r r =
.
2
a b
a1 + a22 + a32 b12 + b22 + b32

Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

1

ĐT: 0977802424


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
AB =

( xB − xA )

2

+ ( yB − y A ) + ( z B − z A ) .
2

2

IV. Phương trình mặt cầu
1)Dạng 1:Mặt cầu tâm I ( a; b; c ) , bán kính R cóa phương trình: ( x − a ) + ( y – b ) + ( z – c ) = R 2 .
2

2

2

Chú ý: Phương trình mặt cầu tâm O , bán kính R là: x 2 + y 2 + z 2 = R 2
2)Dạng 2: Phương trình x 2 + y 2 + z 2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 thỏa điều kiện a 2 + b 2 + c 2 – d > 0 , là
phương trình trình mặt cầu tâm I ( a; b; c ) , bán kính R = a 2 + b 2 + c 2 − d .
V. Tích có hướng của hai vectơ:
r
r
1)Định nghĩa: Cho a = ( a 1 ; a2 ; a3 ) ; b = ( b 1 ; b2 ; b3 ) . Ta có:
r r
r r a a a a aa 
 a, b  = a ∧ b =  2 3 , 3 1 , 1 2 ÷ = ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) .
 
 b2 b3 b3 b1 b1 b2 

2)Tính chất:
r r
r r r
r
r r
r r
  a, b  ⊥ a;  a, b  ⊥ b .
  a, b  = − b, a 
3)Ứng dụng:
r rr
r r r
 a, b, c đồng phẳng ⇔  a , b  .c = 0 .
r
r
r
r r
 a và b cùng phương ⇔  a , b  = 0 .
uuur uuur
SY ABCD =  AB, AD  .
Diện tích hình bình hành ABCD :
r uuur
1 uuu
 AB, AC  .
S ∆ABC =
Diện tích tam giác ABC :

2 
uuur uuur uuur
Thể tích khối hộp ABCD. A′D′C ′D′ : VABCD. A′B′C′D′ =  AB, AD  . AA′ .
r uuur uuur

1 uuu
VABCD =  AB, AC  . AD .
Thể tích khối tứ diện ABCD
6
C

B
A

D

D

B
A

B′
A′

C

D′
C

D

2

B

A

B
A

Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

C′

C

ĐT: 0977802424


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
B. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Loại 1: TÌM TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ, CỦA ĐIỂM
Kiến thức vận dụng
r
r
r
r
r
 Định nghĩa: a = a1.i + a2 . j + a3.k ⇔ a = ( a 1 ; a2 ; a3 ) ,
r
r
 Tính chất: Cho a = (a 1 ; a2 ; a3 ); b = (b 1 ; b2 ; b3 ) . Ta có:
r r
a ± b = (a 1 ±b 1 ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ) ,

uuuu
r
r
r
r
OM = x.i + y. j + z.k ⇔ M ( x; y; z )

r
k a = (ka 1 ; ka2 ; ka3 ) ,

uuur
AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A )

a1 = b1
r r

a = b ⇔ a2 = b2
a = b
 3 3

VÍ DỤ MINH HỌA
r r
r r
r
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các vectơ a = −i + j − 3k , b = ( 3;0;1) ,
r
r r
r
c = 2i + 3 j , d = ( 5;2; −3) .
r r r

r
a)Tìm tọa độ của các vectơ: a + b , 3a − 2c .
r
r r r r r
b)Tìm tọa độ các vectơ: a + b − c ; 3a − 2c + 3d
r
r r r
c)Phân tích vectơ d theo 3 vectơ a ; b ; c
Lời giải.
a)Ta có:
r
r
r r
 a = ( −1;1; −3) , b = ( 3;0;1) ⇒ a + b = ( 2;1; −2 ) .
r
r
r r
 3a = ( −3;3; −9 ) , 2c = ( 4;6;0 ) ⇒ 3a − 2c = ( −7; −3; −9 ) .
b)Ta có:
r
r
r
r r r
 a = ( −1;1; −3) , b = ( 3;0;1) , c = ( 2;3;0 ) ⇒ a + b − c = ( 0; −2; −2 ) .
r
r
r
r
r r
 3a = ( −3;3; −9 ) , 2c = ( 4;6;0 ) , 3d = ( 15;6; −9 ) ⇒ 3a − 2c + 3d = ( 8;3; −18 ) .

5 = − m + 3n + 2 p
r
r
19
24
1
r
r ⇒ 2 = m + 3 p
⇔ m = ,n = , p = .
c)Giả sử d = ma + nb + pc

11
11
11
−3 = −3m + n

r 19 r 24 r 1 r
Vậy d = a + b + c .
11
11
11
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A ( 1; −3;1) ; B ( 2;5;1) và vectơ
uuur
r
r
r
OC = −3i + 2 j + 5k .
a)Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
b)Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác OABE là hình thang có hai đáy OA ; BE và
OA = 2 BE .

uuu
r uuuu
r
uuuu
r
c)Tìm tọa độ điểm M sao cho 3 AB + 2 AM = 3CM .
Lời giải.
Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

B

3
A

C
ĐT: 0977802424
D


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
a)Gọi D ( x; y; z ) . Ta có:
uuur
uuur
 BC = ( −5; −3;4 ) , AC = ( −4;5;4 ) .
uuur uuur
−5 −3
≠
⇒ BC , AC không cùng phương.
−4 uuur5
 AD = ( x − 1; y + 3; z − 1)

 x − 1 = −5
 x = −4
uuur uuur


ABCD là hình bình hành ⇔ AD = BC ⇔  y + 3 = −3 ⇔  y = −6 . Vậy ( −4; −6;5 ) .
z −1 = 4
z = 5


b)Gọi E ( x; y; z ) . Ta có:
uuu
r
uuur
O
 OA = ( 1; −3;1) , OB = ( 2;5;1)
uuu
r uuur
1 −3
≠
E
⇒ OA, OB không cùng phương.
B
2 uuu
r5
 EB = ( 2 − x; 5 − y; 1 − z ) .

A

1 = 4 − 2 x

uuu
r
uuu
r
3
13
1

Từ đề cho ta suy ra: OA = 2 EB ⇔ −3 = 10 − 2 y ⇔ x = , y = , z =
2
2
2
1 = 2 − 2 z

 3 13 1 
Vậy E  ; ; ÷ .
2 2 2
c)Gọi M ( x; y; z ) . Ta có:
uuur
uuur
 AB = ( 1;8;0 ) ⇒ 3 AB = ( 3;24;0 )
uuuu
r
uuuu
r
AM = ( x − 1; y + 3; z − 1) ⇒ 2 AM = ( 2 x − 2;2 y + 6;2 z − 2 )
uuuu
r
uuuu
r

CM = ( x + 3; y − 2; z − 5 ) ⇒ 3CM = ( 3 x + 9;3 y − 6;3 z − 15 )
3 + 2 x − 2 = 3x + 9
 x = −8
uuu
r uuuu
r
uuuu
r


 3 AB + 2 AM = 3CM ⇔ 24 + 2 y + 6 = 3 y − 6 ⇔  y = 36
0 + 2 z − 2 = 3z − 15
 z = 13


Vậy M ( −8;36;13) .
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A ( 1;0;1) ,
B ( 2;1; 2 ) , D ( 1; −1;1) , C ' ( 4;5; −5 ) . Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp
ABCD.A’B’C’D’.
Lời giải.
D′
uuur
Gọi C ( x; y; z ) . Ta có: AB = ( 1;1;1) ;
uuur
DC = ( x − 1; y + 1; z − 1) .
A′
uuur uuur
Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔ AB = DC
x −1 = 1
x = 2

D


y
+
1
=
1
⇔
y
=
0
⇒
C
2;0;2
.
(
)


z −1 = 1
z = 2
A


uuuur
uuur
Gọi D′ ( x; y; z ) . Ta có: D′C ′ = ( 4 − x;5 − y; −5 − z ) ; DC = ( 1;1;1) .

Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

4

C′
B′
C
B

ĐT: 0977802424


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
4 − x = 1
x = 3
uuuur uuur


Tứ giác DCC ′D′ là hình bình hành ⇔ D′C ′ = DC ⇔ 5 − y = 1 ⇔  y = 4 ⇒ D′ ( 3;4; −6 ) .
 −5 − z = 1  z = − 6


uuuur
uuur
Gọi A′ ( x; y; z ) . Ta có: A′D ' = ( 3 − x; 4 − y; −6 − z ) ; AD = ( 0; −1;0 ) .
3 − x = 0
x = 3
uuuur uuur


Tứ giác ADD′A′ là hình bình hành ⇔ A′D′ = AD ⇔ 4 − y = −1 ⇔  y = 5 ⇒ A′ ( 3;5; −6 ) .

 −6 − z = 0
 z = −6


uuuur
uuuur
Gọi B′ ( x; y; z ) . Ta có: A′B′ = ( x − 3; y − 5; z + 6 ) ; D′C ′ = ( 1;1;1) .

Bài 2:

x − 3 = 1
x = 4
uuuur uuuur


Tứ giác A′B′C ′D′ là hình bình hành ⇔ A′B′ = D′C ′ ⇔  y − 5 = 1 ⇔  y = 6 ⇒ B′ ( 4;6; −5 ) .
 z + 6 = 1  z = −5


BÀI TẬP TỰ LUYỆN
r r r
r
Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho các vectơ a = −3i + k , b = ( 2m + 3n; m − 3n + 1;5 ) ,
r
r
( m, n ∈ ¡ ) , c = ( 3; −1; 2 ) , d = ( −3; −1; 4 ) .
r r r
a)Tìm tọa độ của vectơ: 2c + d − 3a .
r
r

b)Tìm m, n sao cho b = h.a , ( h ∈ ¡ ) .
r
r r r r
c)Tìm tọa độ vectơ e sao cho a + 3c − 2e = d
Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho các điểm A ( 1;1;1) , B ( −1;3; 2 ) , C ( 3;5;3) ,

Câu 1.

D ( 0;2; −5 ) , E ( m;2n − 3;3 p + 1) , ( m, n, p ∈ ¡ ) .
uuu
r uuur
a)Tìm tọa độ của vectơ: 3 AB + 5CD .
AFDC
b)Tìm tọa độ điểm F sao
tứ
uuurcho u
uurgiácuuur r là hình bình hành.
m
,
n
,
p
c)Tìm
sao cho AB + 2 AD − 2 BC = 0 .
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
r r r
r
r
[2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = −i + 2 j − 3k . Tọa độ của vectơ a

Bài 1:

là
A. ( −1;2; −3) .

B. ( 2; −1; −3) .

C. ( −3;2; −1) .

D. ( 2; −3; −1) .

Lời giải.
Chọn A.

Câu 2.

r r r
r
r
Theo định nghĩa tọa độ của vectơ a = −i + 2 j − 3k ⇔ a = ( −1;2; −3)
r r
r
r
[2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = 3 j − 5k . Tọa độ của vectơ a là
A. ( 0; −5;3) .

B. ( −5;3;0 ) .

C. ( 3;0; −5 )

D. ( 0;3; −5 ) .

Lời giải.
Chọn D.

r r
r
r
Theo định nghĩa tọa độ của vectơ a = 3 j − 5k ⇔ a = ( 0;3; −5 )
Câu 3.

r
r
r
[2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = 4 j . Tọa độ của vectơ a là
A. ( 0;0;4 ) .

B. ( 0;4;0 ) .

C. ( 4;0;0 ) .

D. ( 1;4;1) .

Lời giải.
Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

5

ĐT: 0977802424

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
Chọn B.

r
r
r
Theo định nghĩa tọa độ của vectơ a = 4 j ⇔ a = ( 0;4;0 )
Câu 4.

r r r
r
r
r
r
[2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = 2i + 3 j − 4k ; b = j + 3k . Tọa
r r r
độ của vectơ u = a + b là
A. ( 3;4; −1)

B. ( 3;6; −4 )

C. ( 2;4; −1) .

D. ( 2;3; −12 ) .

Lời giải.
Chọn C.

r

r
r r r
Theo đề ta có a = ( 2;3; −4 ) , b = ( 0;1;3) ⇒ u = a + b = ( 2;4; −1)
Câu 5.

r r
r
r r
r r
[2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = i − 2 j − 3k ; b = 2i − k . Tọa độ
r
r r
của vectơ u = 2a − 3b là
A. ( −4;3; −4 ) .

B. ( 8; −4; −9 ) .

C. ( 4;4;3) .

D. ( −4; −4; −3) .

Lời giải.
Chọn D.

r
r
r
r r
Theo đề ta có a = ( 1; −2; −3) , b = ( 2;0; −1) ⇒ u = 2a − 3b = ( −4; −4; −3 )
Câu 6.

r
r
r
[2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = ( 3; 2;1) , b = ( 1;3; 2 ) , c = ( 0;1;1) .
r
r r r
Tọa độ của vectơ u = 2a − 3b + c là
A. ( 3; −4; −3) .

B. ( 3;4;3) .

C. ( 4; −3; −3) .

D. ( −4;3;3) .

Lời giải.
Chọn A.

r
 2a = ( 6;4;2 )
 r
r
r r r
Ta có: 3b = ( 3;9;6 ) ⇒ u = 2a − 3b + c = ( 3; −4; −3) .
r
c = ( 0;1;1)
Câu 7.

r

r
[2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = ( 2; −1;1) , b = ( 1; −2; 2 ) ,
r
r
c = ( 3; −2;1) . Tọa độ của vectơ ur = ar − 2b − 3cr là
A. ( 9; −9;4 ) .

B. ( −9;9; −6 ) .

C. ( 9; −4;9 ) .

D. ( −9;9;9 ) .

Lời giải.
Chọn B.

r
 a = ( 2; −1;1)
 r
r r
r r
Ta có:  2b = ( 2; −4;4 ) ⇒ u = a − 2b − 3c = ( −9;9; −6 )
 r
3c = ( 9; −6;3)
Câu 8.

[2H3-2] Trong không gian với hệ trục
r
r
r

b = ( 2m + 1;3 − 2n;1) . Tìm m , n , k để b = 2a .
1
7
A. m = , n = , k = 3 .
4
4

Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

tọa độ

Oxyz , cho

r
a = ( 3; −1; k − 1) ,

5
5
3
B. m = , n = , k = .
2
2
2
6

ĐT: 0977802424


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
5

5
5
C. m = , n = , k = .
2
2
2

7
1
D. m = , n = , k = 3 .
4
4
Lời giải.

Chọn B.
5

m = 2
r
 2m + 1 = 6

 a = ( 3; −1; k − 1)
r
5
r


⇒ b = 2a ⇔ 3 − 2n = −2 ⇔ n = .
Ta có:  r
2

b = ( 2m + 1;3 − 2n;1)
1 = 2k − 2


3

k = 2

Câu 9.

r
r
[2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = ( 2;1;1) , b = ( 3; −1; 2 ) . Tìm tọa
r r
r r
r
độ vectơ c thỏa: 2c − a + 3 b = 0 .
 −7 5 
A.  ;2; ÷.
2
 2

−5 
 −1
B.  ; −2; ÷.
2 
 2

 −7 −5 
C.  ;2; ÷ .

2 
 2

 3 −1 
D.  ;2; ÷.
2 
2

Lời giải.
Chọn C.
5
r r r r
r 1r 3r  7
Ta có: 2c − a + 3b = 0 ⇒ c = a − b =  − ;2; − ÷.
2
2
2
 2
r
r
Câu 10. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = ( −1;2;3) , b = ( 2; −3;4 ) ,
ur
r
ur
r
c = ( 3;4; −5 ) , d = ( −4;5; −1) . Hãy phân tích vectơ d theo 3 vectơ ar, b , cr .
ur 97 r 59 r 17 r
ur
97 r 59 r 17 r
A. d = a − b − c .

B. d = − a + b + c .
96
48
96
96
48
96
ur
ur
59 r 97 r 17 r
97 r 17 r 59 r
C. d = − a + b − c .
D. d = − a + b + c .
48
96
96
96
96
48
Lời giải.
Chọn A.
 − m + 2 n + 3 p = −4
r
r
97
59
17
r
r ⇔ 2m − 3n + 4 p = 5
⇔ m = ,n = − , p = −

Giả sử d = ma + nb + pc .

96
48
96
3m + 4n − 5 p = −1

Câu 11. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( −1;2;3) , B ( 2; −3;4 ) ,
uuur r r r
OC = 2i − 3 j + k . Hãy tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
A. ( −1;2;2 ) .

B. ( −1;2;1) .

C. ( −1;2;0 ) .

D. ( −1;2;3) .

Lời giải.
0 = x + 1
 x = −1
uuur uuur


Gọi D ( x; y; z ) . Ta có: BC = AD ⇔ 0 = y − 2 ⇔  y = 2
 −3 = z − 3  z = 0



C

B

Chọn C.
A

D

Vậy D ( −1;2;0 )
Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

7

ĐT: 0977802424


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
uuur r r r
Câu 12. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 1;0;1) , OB = 3i − 2 j − 3k . Hãy
tìm tọa độ điểm C sao cho tứ giác ACOB là hình bình hành.
A. ( −4;2;2 ) .

B. ( 4; −2; −2 ) .

C. ( 2; −2; −4 ) .

D. ( −2;2;4 ) .

Lời giải.
Chọn D.

 x − 1 = −3  x = − 2
uuur uuur


⇔ y = 2
Gọi C ( x; y; z ) . Ta có: AC = BO ⇔  y = 2
z −1 = 3
z = 4



O

C

B

A

Vậy C ( −2;2;4 )
Câu 13. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 1;0;1) , B ( 2;1;0 ) , C ( 3; 2;1) . Hãy
uuuu
r uuuu
r uuur
tìm tọa độ điểm M sao cho: 2 AM = BM + 5 AC .
A. ( 10;9; 2 ) .

B. ( 9;10; 2 ) .

C. ( 10;9;9 ) .

D. ( 9;2;10 ) .

Lời giải.
Chọn A.
 2 ( x − 1) = x − 2 + 10
 x = 10
uuuu
r uuuu
r uuur


Gọi M ( x; y; z ) . Ta có: 2 AM = BM + 5 AC ⇔ 2 ( y − 0 ) = y − 1 + 10 ⇔  y = 9

z = 2

 2 ( z − 1) = z + 0
Vậy M ( 10;9;2 )
Câu 14. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 3;1;1) , B ( 2;1; 2 ) , C ( 2; 2; −1) .
uuuu
r uuuu
r uuuu
r r
Hãy tìm tọa độ điểm M sao cho: AM − 5 BM + 3CM = 0 .
A. ( 1;2; −12 ) .

B. ( 1; −2;12 ) .

C. ( 2; −4;10 ) .

D. ( −2;4; −10 ) .

Lời giải.
Chọn B.
 x − 3 − 5 ( x − 2) + 3( x − 2) = 0
x = 1
uuuu
r uuuu
r uuuu
r r


Gọi M ( x; y; z ) . Ta có: AM − 5 BM + 3CM = 0 ⇔  y − 1 − 5 ( y − 1) + 3 ( y − 2 ) = 0 ⇔  y = −2

 z = 12

 z − 1 − 5 ( z − 2 ) + 3 ( z + 1) = 0
Vậy M ( 1; −2;12 )
Loại 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
Kiến thức vận dụng:
r
r
Cho a = ( a 1 ; a2 ; a3 ) ; b = ( b 1 ; b2 ; b3 ) , ta có
rr
 a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3
r
 a = a12 + a22 + a32
r
r
 ar ⊥ b ⇔ ar.b = 0 ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0

Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

8

ĐT: 0977802424


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
rr
a.b
a1b1 + a2b2 + a3b3
r r
 cos(a , b ) = r r =
a b
a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32
AB =

( xB − x A )

+ ( yB − y A ) + ( zB − z A )

2

2

2

VÍ DỤ MINH HỌA

r
r
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các vectơ a = ( 1;2;1) , b = ( 3; −1;2 ) ,
r
r
r
c = ( 4; −1; −3) , d = ( 3; −3; −5 ) , u = ( 1; m; 2 ) , ( m ∈ ¡ ) .
r
rr r r
r r
a)Tính a.b , b . ( a + 2c ) , a + 2b .
r rr
rr r
b)So sánh a. b .c và a.b .c .
r r
r r r r
c)Tính các góc a , b , a + b ,3a − 2c .
r r
r
d)Tìm m để u ⊥ b + d .
r r
°
e)Tìm m để ( u , a ) = 60 .

( ) ( )
( ) (
( )

)

Lời giải.
r
r
r
r
r
r r
a)Tính a.b , b . ( a + 2c ) , a + 2b .
r
r
rr
 a = ( 1;2;1) , b = ( 3; −1;2 ) a.b = 1.3 + 2. ( −1) + 1.2 = 3.
r
r
r
r
 c = ( 4; −1; −3) ⇒ 2c = ( 8; −2; −6 ) ⇒ a + 2c = ( 9;0; −5 )
r r
r
b . ( a + 2c ) = 3.9 + ( −1) .0 + 2. ( −5 ) = 17 .
r
r
r
r
r
 2b = ( 6; −2;4 ) ⇒ a + 2b = ( 7;0;5 ) ⇒ a + 2b = 7 2 + 0 2 +52 = 74 .
r rr
rr r
b)So sánh a. b .c và a.b .c .
rr

r rr
 b .c = 3.4 + ( −1) .( −1) + 2. ( −3 ) = 7 ⇒ a. b .c = ( 7;14;7 )
rr r
rr
 a.b = 1.3 + 2. ( −1) + 1.2 = 3 a.b .c = ( 12; −3; −9 )
r rr
rr
Vậy a. b .c ≠ a.b .c
r r
r r r r
c)Tính các góc a , b , a + b ,3a − 2c .

( )

( )

( )

( )

( ) ( )
( ) (

)

r r
r
r
⇒
cos

a
,b =
a
=
1;2;1
,

(
) b = ( 3; −1;2 )

(

)

r r
⇒ a , b ; 70°54′

(

)

1.3 + 2.( −1) + 1.2
12 + 22 + 12 . 32 + ( −1) + 22
2

r r
r r r
r
r r
 a + b = ( 4;1;3) , 3a − 2c = ( −5;8;9 ) ⇒ cos a + b ,3a − 2c

(

)

=

=

3
2 21

4. ( −5 ) + 1.8 + 3.9
42 + 12 + 32 .

( −5)

2

+ 82 + 9 2

15
r r r r
⇒ a + b ,3a − 2c ; 76°57 ' .
26. 170
r r
r
d)Tìm m để u ⊥ b + d .
r r
r

 b + d = ( 6; −4; −3) , u = ( 1; m;2 ) .
r r
r
r r r
 u ⊥ b + d ⇔ u . b + d = 0 ⇔ 6 − 4m − 6 = 0 ⇔ m = 0 .

(
(

=

(

)

)

)

(

)

Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

9

ĐT: 0977802424

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
r r
°
e)Tìm m để ( u , a ) = 60 .
2m + 3
1
r r
r r 1
= ⇔ 6m 2 + 30 = 4m + 6
( u , a ) = 60° ⇒ cos ( u , a ) = ⇔
2
2
6. m + 5 2
3

4m + 6 ≥ 0
m ≥ −
−12 + 129
⇔ 2
2
.
⇔m=
2 ⇔ 
6
m
+
30
=
4
m

+
6
(
)
5

10m 2 + 48m + 6 = 0

r
r r
r
°
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a và b sao cho a , b = 120 ,

(

)

r
r
r
r r
r
a = 2, b = 3 . Tính a + b và a − 2b .

r r2
r r
 Ta có: a + b = a + b
r r
Vậy a + b = 7

(

)

(

2

r2
r
r
r
 Ta có: a − 2b = a − 2b
r
r
Vậy a − 2b = 2 13 .

(

Lời giải.
r2 r2
r r
r r
= a + b + 2 a . b .cos a; b

)

2

)

 1
= 4 + 9 + 2.2.3.  − ÷ = 7
 2

r2
r2
r r
r r
= a + 4 b − 4 a . b .cos a; b

(

)

 1
= 4 + 36 − 4.2.3.  − ÷ = 52
 2

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A ( 2; −1;1) , B ( 3;5; 2 ) ,
C ( 8; 4;3) , D ( −2;2m + 1; −3) .
a)Tính AB, BC , AC .
b)Chứng minh tam giác ABC là là tam giác vuông.
c)Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục hoành sao cho MA = MB .
d)Tìm m sao cho tam giác ABD vuông tại A .
e)Tính số đo góc A của tam giác ABC .

Lời giải.
a)Tính AB, BC , AC .

uuur
 AB = ( 1;6;1) ⇒ AB = 12 + 62 + 12 = 38
uuur
 BC = ( 5; −1;1) ⇒ BC = 52 + ( −1) 2 + 12 = 3 3
uuur
 AC = ( 6;5;2 ) ⇒ AC = 62 + ( 5 ) 2 + 22 = 65
ABC là là tam giác vuông.
b)Chứng
uuur uuur minh tam giác
uuur uuur
AB.BC = 1.5 + 6. ( −1) + 1.1 = 0 ⇒ AB ⊥ BC ⇒ ∆ABC vuông tại B .
c)Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục hoành sao cho MA = MB .
Ta có: M ∈ Ox ⇒ M ( x;0;0 )

MA = MB ⇒

( 2 − x)

2

+ ( −1) + 12 =
2

( 3 − x)

2

+ 52 + 2 2

⇔ x 2 − 4 x + 6 = x 2 − 6 x + 38 ⇔ x = 16 . Vậy M ( 16;0;0 ) .

m sao cho tam giác ABD vuông tại A .
d)Tìm
uuur
uuur
AB = ( 1;6;1) , AD = ( −4;2m + 2; −4 )
uuur uuur
1
∆ABD vuông tại A ⇒ AB. AD = 0 ⇔ −4 + 12m + 12 − 4 = 0 ⇔ m = − .
3
Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền
10

ĐT: 0977802424


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
e)Tính số đo góc A của tam giác ABC .
uuu
r uuur
uuur
uuur
AB = ( 1;6;1) , AC = ( 6;5;2 ) , cos A = cos AB, AC

(

Bài 3:

Bài 4:

)

uuu
r uuur
AB. AC 1.6 + 6.5 + 1.2
=
=
⇒ µA ; 40°8′ .
AB. AC
38. 65

Chú ý: Vì ∆ABD vuông tại B nên có thể dùng
hệ thức lượng trong tam giác vuông
BC 3 3
tan A =
=
⇒ µA ; 40°8′
AB
38
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho các vectơ
r
c = ( m − 2;1;2 ) .
r r
a)Tìm m ∈ ¡ sao cho a ⊥ b
r2
r2
b)Tìm m ∈ ¡ sao cho b + 2 c đạt giá trị nhỏ nhất.

C
B

A

r
r
a = ( 3;1; 2 ) , b = ( 3m + 1; 2;3) ,

Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho các điểm A ( 1; 2; −1) , B ( −1;1; 2 ) , C ( 0;2; −3) .
a)Tính góc giữa hai đường thẳng AB, AC .
b)Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục cao và cách đều hai điểm A , B .
uuur uuur
c)Tìm tọa độ điểm N thuộc trục hoành sao cho AN − 3BN đạt giá trị nhỏ nhất.
d)Tìm tọa độ điểm E ∈ ( Oxy ) sao cho EA + EB đạt giá trị nhỏ nhất.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

r r r r
Câu 15. [2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a , b , c ≠ 0; k ∈ ¡ . Phát biểu nào sau
đây sai?

rr
r r
r r r rr rr
rr
r r
a.b
A. a b + c = a.b + a.c . B. cos a, b = r r . C. k . b.c = k .b .c .
a.b

(

( )

)

( ) ( )

r rr
rr r
D. a. b.c = a.b .c .

( ) ( )

Lời giải.
Chọn D.
Các đáp án A, B, C đúng theo lý thuyết đã học.
r
r
r
Đáp án D sai. Chẳng hạn a = ( 1;0;0 ) , b = ( 1;1;0 ) , c = ( 1;1;1) , ta có:
r
 ar. b .cr = ar.2 = ( 2;0;0 )
r rr
rr r

⇒
a
.
b
.
c

≠
a
.b .c .
 rr r
r
a
.
b
.
c
=
1.
c
=
1;1;1
( )


( )
( )

( ) ( )

r
r
Câu 16. [2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = ( 1;2;0 ) , b = ( 2; −1;1) ,
r
c = ( 1; −1;0 ) . Phát biểu nào sau đây sai?
r
rr

r r
r r
A. a = 5 .
B. a.c = −1 .
C. a ⊥ b .
D. c ⊥ b .
Lời giải.
Chọn D.
rr
rr
Ta có: c.b = 2.1 + ( −1) . ( −1) + 1.0 = 3 ≠ 0 ⇒ c, b không vuông góc nhau.
r r
r r
r r r
Câu 17. [2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = i − j + 2 k , b = 3 j − k . Khi đó
rr
a.b bằng
A. −5 .
B. −4 .
C. −3 .
D. 0 .
Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

11

ĐT: 0977802424


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
Lời giải.

Chọn A.
r
r
rr
Ta có: a = ( 1; −1;2 ) , b = ( 0;3; −1) ⇒ a.b = −5 .
r r
r r r
r r r
Câu 18. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = i − j + 2 k , b = i + ( m + 1) j − k .
r r
Tìm m để a ⊥ b .
A. m = 2 .
B. m = −2 .
C. m = 0 .
D. m = −1 .
Lời giải.
Chọn B.
r
r
r r
rr
Ta có: a = ( 1; −1;2 ) , b = ( 1; m + 1; −1) ; a ⊥ b ⇔ a.b = 0 ⇔ 1 − m − 1 − 2 = 0 ⇔ m = −2 .
Câu 19. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 3;1;1) , B ( 2; 4;5 ) . Điểm M nằm
trên trục Ox và tam giác ABM vuông tại A . Tọa độ điểm M là
A. ( 0;1;6 ) .

B. ( 5;0;0 ) .

C. ( 0;3;1) .

D. ( −4;0;0 ) .

Lời giải.
Chọn D.

uuuu
r
uuu
r
Gọi M ( x;0;0 ) ∈ Ox. . Ta có: AM = ( x − 3; −1; −1) , AB = ( −1;3;4 )
uuuu
r uuur
Tam giác ABM vuông tại A ⇔ AM . AB = 0 ⇔ − x + 3 − 3 − 4 = 0 ⇔ x = −4 .
Vậy M ( −4;0;0 ) .
r
r
r
r
Câu 20. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = m i + 3 j + 2 k . Hãy tìm m, biết
r
a = 13 .
A. m = 2 .

B. m = 1 .

C. m = 0 .

D. m = −1 .

Lời giải.

Chọn C.
r
r
Ta có a = ( m;3;2 ) ⇒ a = 13 ⇔ m2 + 9 + 4 = 13 ⇔ m = 0 .
r r
r
r
r
Câu 21. [2H3-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = m i + 3 j + 2 k , b = ( 1;2;1) . Hãy
r r
tìm m, biết a − 3b nhỏ nhất.
A. m = 3 .

B. m = 2 .

C. m = 1 .

D. m = 0 .

Lời giải.
Chọn A.
r r
r r
Ta có a − 3b = ( m − 3; −3; −1) ; a − 3b =
r r
Vậy min a − 3b = 10 khi m = 3

( m − 3)

2

+ 10 ≥ 10

Câu 22. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 3;1;1) , B ( 1; 2; −1) . Điểm M nằm
trên trục Oy và cách đều 2 điểm A, B . Tọa độ điểm M là
−5
A. (0;1;0) .
B. (0;3;0) .
C. (0; ;0) .
2
Lời giải.
Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền
12

D. (2;0;3) .
ĐT: 0977802424


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
Chọn C.
Gọi M ( 0; y;0 ) ∈ Oy . Ta có:
2
2
2
2
MA = MB ⇒ 9 + ( 1 − y ) + 1 = 1 + ( 2 − y ) + 1 ⇔ 10 + 1 − 2 y + y = 2 + 4 − 4 y + y ⇔ y = −

5
2

5 

Vậy M  0; − ;0 ÷
2 


uuu
r
r r
r
Câu 23. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho OA = 3 i − 5 j + 5 k . Điểm M thuộc
trục tung thỏa độ dài đoạn AM nhỏ nhất. Tọa độ của điểm M là
A. (3; −5;0) .
B. (0;0;5) .
C. (0;0; −5) .

D. (0;0;8) .

Lời giải.
Chọn B.
Ta có: AM nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu của A ( 3; −5;5 ) lên trục Oz ⇒ M ( 0;0;5 )
uuu
r
r r
r
Câu 24. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho OA = 2 i + 3 j + 5 k . Điểm M thuộc
mp ( Oxy ) thỏa độ dài đoạn AM nhỏ nhất. Tọa độ của điểm M bằng
A. (2;3;5) .

B. (2;3;0) .

C. (3;5;0) .

D. (0;3;0) .

Lời giải.
Chọn B.
Ta có: AM nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu của A ( 2;3;5 ) lên mp ( Oxy ) ⇒ M ( 2;3;0 ) .
uuu
r r r
r
Câu 25. [2H3-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho OA = i + j − 3 k , B ( 2; 2;1) . Điểm M
thuộc trục tung thỏa MA2 + MB 2 nhỏ nhất. Tọa độ của điểm M là
 3 
A.  0; ;0 ÷.
B. ( 0; −2;0 ) .
C. ( 0; −3;0 ) .
 2 

D. ( 0; −4;0 ) .

Lời giải.
Chọn A.
Gọi M ( 0; y;0 ) ∈ Oy . Ta có:
2

3  31 31

MA + MB = 1 + ( 1 − y ) + 9 + 4 + ( 2 − y ) + 1 = 2 y − 6 y + 20 = 2  y − ÷ + ≥
2

2
2

2

2

2

⇒ min ( MA2 + MB 2 ) =

2

2

31
3
khi m =
2
2

 3 
Vậy M  0; ;0 ÷
 2 
Câu 26. [2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 3 điểm
đây sai?
uuu
r uuur
uuu
r uuur

AB. AC
A. cos AB, AC =
.
B. cos ·AB, AC =
AB. AC

(

)

)

(

)

uuur uuu
r
AB.CA

.
AB. AC
uuu
r uuur
AB. AC
·
D. cos AB, AC =
.
AB. AC

uuur
C. AB 2 = AB 2 .
Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

(

A, B, C . Phát biểu nào sau

Lời giải.
13

ĐT: 0977802424


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
Chọn D.

uuur uuu
r
AB.CA
°
·
·
Vì 0 ≤ AB, AC ≤ 90 nên cos AB, AC luôn có giá trị không âm cos ·AB, AC =
.
AB. AC
r
r
Câu 27. [2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = ( 1; 2;1) , b = ( 1;1; −2 ) . Khi đó
r r

cos a , b bằng

(

°

)

(

)

(

)

( )

A.

1
.
6

B.

1
.
3

C.

1
.
2

D.

3
.
2

Lời giải.
Chọn A.
1.1 + 2.1 + 1.( −2 )
1
r r
= .
Ta có: cos a , b =
6
1 + 4 + 1. 1 + 1 + 4

(

)

r
r
Câu 28. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = ( m; 2;1) , b = ( 1; 2; −2 ) . Tìm m ,
r r 1

biết cos a, b = .
3

( )

A. 0.

B.

1
.
4

C.

1
.
2

D.

3
.
4

Lời giải.
Chọn B.
m.1 + 2.2 + 1. ( −2 )
1
r r 1

=
Ta có: cos a , b = ⇒
3
m 2 + 4 + 1. 1 + 4 + 4 3

(

)

m + 2 ≥ 0
1
⇔
 2
⇔ m +5 = m+2
2 ⇔ m=
4
m + 5 = ( m + 2 )
2

Câu 29. [2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A
O của tam giác OAB bằng
A. 30° .
B. 60° .

(

C. 90° .

) (

)

2;0; − 2 , B 0; 2; 2 . Góc
D. 120° .

Lời giải.
Chọn D.
uuu
r uuu
r
Ta có: cos ·AOB = cos OA, OB =

(

−2
1
= − ⇒ ·AOB = 120°
2
4. 4

)

Câu 30. [2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A

(

) (

)

2;0; − 2 , B 0; 2; 2 . Góc

giữa hai đường thẳng OA và OB bằng
A. 30° .

B. 60° .

C. 90° .

D. 120° .

Lời giải.
Chọn B.
uuu
r uuur
· , OB = cos OA, OB
Ta có: cos OA

(

)

(

)

=

−2
4. 4

=

1
⇒ ·AOB = 60°
2

Loại 3. VẬN DỤNG CÔNG THỨC TRUNG ĐIỂM VÀ CÔNG THỨC TRỌNG TÂM
Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

14

ĐT: 0977802424


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
Kiến thức vận dụng:
 x + x y + yB z A + zB 
;
 M là trung điểm AB ⇔ M  A B ; A
÷
2
2 
 2
 x + x + x y + y B + yC z A + z B + zC 
;
G là trọng tâm ∆ABC ⇔ G  A B C ; A
÷
3
3

3


VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A ( 1;3; 2 ) , B ( 3; −5;6 ) ,
C ( 2;1;3) .
a)Tìm tọa độ của điểm M là trung điểm của cạnh AB .
b)Tìm tọa độ hình chiếu trọng tâm G của tam giác ABC lên trục Ox .
c)Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm A qua điểm C .
uuu
r uuu
r uuur
d)Tìm tọa độ điểm F trên mặt phẳng Oxz sao cho FA + FB + FC nhỏ nhất.
e)Tìm tọa độ điểm B′ đối xứng với điểm B qua trục tung.

Lời giải.
a)Tìm tọa độ của điểm M là trung điểm của cạnh AB .
 1+ 3 3 − 5 2 + 6 
;
;
Ta có điểm M là trung điểm của cạnh AB ⇒ M 
÷ hay M ( 2; −1;4 ) .
2
2 
 2
b)Tìm tọa độ hình chiếu trọng tâm G của tam giác ABC lên trục Ox .
1 11 
 1+ 3 + 2 3 − 5 +1 2 + 6 + 3 

;

;
 G là trọng của tam giác ABC ⇒ G 
÷ hay G  2; − ; ÷.
3
3
3 3
 3


 Hình chiếu của của G lên trục Ox là H ( 2;0;0 ) .
c)Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm A qua điểm C .
Gọi N ( x; y; z ) , ta có: N đối xứng với điểm A qua điểm C ⇔ C là trung điểm của AN
1+ x
3+ y
2+ z
⇔ x = 3, y = −1, z = 4 . Vậy N ( 3; − 1; 4 ) .
⇔2=
,1 =
,3 =
2
2
2
uuu
r uuu
r uuur
d)Tìm tọa độ điểm F trên mặt phẳng ( Oxz ) sao cho FA + FB + FC nhỏ nhất.
uuu
r uuu
r uuur
uuur

 FA + FB + FC = 3FG = 3FG .
uuu
r uuu
r uuur
 Do đó FA + FB + FC nhỏ nhất ⇔ FG nhỏ nhất ⇔ F là hình chiếu của G lên mp ( Oxz ) .
11 

Vậy F  2; 0; ÷ .
3

e)Tìm tọa độ điểm B′ đối xứng với điểm B qua trục tung.
 Hình chiếu của B lên trục Oy là H ( 0; −5;0 ) .

'
 B′ đối xứng với điểm B qua trục tung ⇔ H là trung điểm của đoạn BB′ ⇒ B ( −3; −5; −6 )

.
Bài 5:

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Trong không gian với hệ trục Oxyz , tam giác ABC có A ( 1;1;1) , B ( −1;5; 2 ) , C ( 2; 2;3) .
a)Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ B của tam giác ABC .
b)Tìm tọa độ điểm M sao cho A là trọng tâm tam giác MBC .
uuu
r uuur uuur
c)Tìm tọa độ điểm N trên mp ( Oxy ) sao cho NA + 2 NB − 4 NC nhỏ nhất.
d)Tìm tọa độ điểm C ′ đối xứng của điểm C qua mặt phẳng Oxz .

Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

15

ĐT: 0977802424


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 31. [2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình bình hành OADB có
uuur
uuu
r
OB = ( 1;1;0 ) ; OA = ( −1;1;0 ) , . Hãy tìm tọa độ tâm của hình bình hành OADB .
A. ( 0;1;0 ) .

B. ( 1;0;0 ) .

C. ( 0;1;1) .

D. ( 1;1;0 ) .

Lời giải.
Chọn A.
Gọi I tâm hình bình hành OADB , ta có I là trung điểm của đoạn AB .

O

Vậy I ( 0;1;0 )

B

I
D

A

Câu 32. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 1;5; 2 ) , B ( 3;7; −4 ) . Tọa độ hình
chiếu trung điểm của đoạn AB lên trục hoành là
A. ( 0;6; −1) .

B. ( 1;0;0 ) .

C. ( 2;0;0 ) .

D. ( 4;0;0 ) .

Lời giải.
Chọn C.
Trung điểm của đoạn AB là I ( 2;6; −1) .
Hình chiếu của I lên trục hoành có tọa độ là ( 2;0;0 )
Câu 33. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 1;5; 2 ) , B ( 3;7; −4 ) , C ( 2;0; −1) .
Tọa độ hình chiếu trọng tâm của tam giác ABC lên mặt phẳng ( Oyz ) là
A. ( 0;4; −1) .

B. ( 2;0;0 ) .

C. ( 0;4;1) .

D. ( 0;4;4 ) .

Lời giải.

Chọn A.
Trọng tâm của tam giác ABC là G ( 2;4; −1) .
Hình chiếu của G lên mp ( Oyz ) có tọa độ là ( 0;4; −1)
Câu 34. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 1;5; 2 ) , B ( 3;7; −4 ) . Tọa độ điểm
M đối xứng với A qua B là
A. ( 2;6; −1) .

B. ( 7;9; −10 ) .

C. ( 5;9; −3) .

D. ( 5;9; −10 ) .

Lời giải.
Chọn D.
Điểm M ( x; y; z ) đối xứng với A qua B ⇒ B là trung điểm của đoạn AM .
x +1

3 = 2
x = 5

y +5


⇒ 7 =
⇔ y = 9
⇒ M ( 5;9; −10 ) .
2

 z = −10


z+2

−
4
=

2

Câu 35. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 1;5;0 ) , B ( 3;7; −4 ) , C ( 2;0; −1) .
Tọa độ điểm E sao cho A là trọng tâm của tam giác EBC là
Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

16

ĐT: 0977802424


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
5

A.  −2;8; − ÷.
3


B. ( −2;8;5 ) .

C. ( 0;8;5 ) .

D. ( −2;1;5 ) .

Lời giải.
Chọn B.
Điểm E ( x; y; z ) sao cho A là trọng tâm của tam giác EBC .
 x +3+ 2
1 =
3
 x = −2

y+7+0


⇒ 5 =
⇔  y = 8 ⇒ E (−2;8;5) .
3

z = 5

z − 4 −1

0
=

3

Câu 36. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 1; 2;0 ) , B ( 3; −2; 2 ) , C ( 2;3;1) .
Khoảng cách từ trung điểm của đoạn AB đến trọng tâm tam giác ABC bằng
A. 1.
B. 2.
C. 3.

D. 4.
Lời giải.
Chọn A.
Trung điểm của đoạn AB là I ( 2;0;1) .
Trọng tâm của tam giác ABC là G ( 2;1;1) .
⇒ IG =

( 2 − 2)

2

+ ( 1 − 0 ) + ( 1 − 1) = 1
2

2

Câu 37. [2H3-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 1;2;5 ) , B ( 3;4;1) , C ( 2;3; −3 ) , G là
trọng tâm tam giác ABC và M là điểm thay đổi trên mp ( Oxz ) . Độ dài đoạn GM ngắn nhất
bằng
A. 4.

B. 2.

C. 3.

D. 1.

Lời giải.
Chọn C.
Trọng tâm của tam giác ABC là G ( 2;3;1) .

M ∈ mp ( Oxz ) thỏa GM ngắn nhất khi M là hình chiếu của G lên mp ( Oxz ) ⇒ M ( 2;0;1)
Khi đó GM =

( 2 − 2)

2

+ ( 0 − 3) + ( 1 − 1) = 3
2

2

Câu 38. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 3; 2;1) , B ( 3; 2;5 ) , có I là trung
điểm của AB . Khoảng cách từ I đến trục Oz bằng
A. 14 .

B. 15 .

C. 13 .

D. 4.

Lời giải.
Chọn C.
Trung điểm của đoạn AB là I ( 3;2;3) .
Hình chiếu của I lên trục Oz là H ( 0;0;3)
d ( I , Oz ) = IH =

( 0 − 3)

2

+ ( 0 − 2 ) + ( 3 − 3 ) = 13

Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

2

2

17

ĐT: 0977802424


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
Loại 4. CHỨNG MINH HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, KHÔNG CÙNG PHƯƠNG
Kiến thức vận dụng:
r r r
a1 a2 a3
r
r
r
= =
( b1, b2 , b3 ≠ 0 )
a cùng phương b ⇔ ∃k ∈ ¡ : a = kb b ≠ 0 ⇔
b1 b2 b3

(

)

VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các vectơ
r
r r
b = ( 3m + 2;3;6 − n ) . Tìm m, n để a , b cùng phương.

r
a = ( 3;2;5 ) ,

Lời giải.
r
r
Ta có: a = ( 3;2;5 ) , b = ( 3m + 2;3;6 − n )
3m + 2 3 6 − n
5
3
r r
= =
⇔ m = ,n = − .
a , b cùng phương khi
3
2
5
6
2
Ví dụ 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A ( 1; 2;3) , B ( 2;1;1) , C ( 0; 2; 4 ) .
a)Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
b)Tìm tọa độ điểm M ∈ mp ( Oyz ) sao cho 3 điểm A, B, M thẳng hàng.

Lời giải.
uuur
uuur
a)Ta có: AB = ( 1; −1; −2 ) , AC = ( −1;0;1) .
uuur uuur
1 −2
≠
⇒ AB, AC không cùng phương.
−1 1
Vậy A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
b)Tìm tọa độ điểm M ∈ mp ( Oyz ) sao cho 3 điểm A, B, M thẳng hàng.

Ta có M ∈ mp ( Oyz ) ⇒ M ( x;0; z )
uuuu
r
uuur
AM = ( x − 1; − 2; z − 3) , AB = ( 1; −1; −2 ) .
uuur uuuu
r
x − 1 −2 z − 3
A, B, M thẳng hàng ⇔ AB, AM cùng phương ⇔
⇔ x = 3, z = −1 .
=
=
1
−1 −2
Vậy M ( 3;0; −1)
Bài 6:

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho các điểm A ( 1;1;1) , B ( 2; 4;3) , C ( 3;7;5 ) , D ( −1;5; 4 ) .
a)Chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
b)Chứng minh 3 điểm A, B, D không thẳng hàng.
c)Đường thẳng AB cắt mặt phẳng ( Oxy ) tại điểm M . Tìm tọa độ điểm M .

d)Tìm tọa độ điểm N trên mp ( Oyz ) sao cho tứ giác ABDN là hình thang có AB và DN là 2
cạnh đáy.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
r
Câu 39. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a = ( 2;1;1) ,
r
b = ( m; 2n − 4; 2 ) cùng phương. Khi đó giá trị m, n là
A. m = 4, n = 3 .

B. m = 4, n = −3 .

Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

18

C. m = −4, n = 3 .

D. m = −4, n = −3 .
ĐT: 0977802424


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
Lời giải.
Chọn A.

r
m = 4
m 2n − 4 2
r
= ⇔
a = ( 2;1;1) , b = ( m; 2n − 4; 2 ) cùng phương =
2
1
1
n = 3
Câu 40. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz . Bộ 3 điểm nào sau đây thẳng hàng
A. A ( 1;2;3) , B ( −1;3;2 ) , C ( 2;1;2 ) .

B. D ( 2;3;1) , E ( 1;1;1) , F ( 3;2;3) .

C. G ( 0;1;1) , I ( 2;1;2 ) , H ( 1;1;2 ) .

D. M ( 1;1;1) , N ( 2;3; −1) , P ( 3;5; −3 ) .
Lời giải.

Chọn D.
uuuu
r
uuur
uuur
uuuu
r
MN = ( 1;2; −2 ) , MP = ( 2;4; −4 ) ⇒ MP = 2MN ⇒ M , N , P thẳng hàng.
Câu 41. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 1; 2;1) , B ( 3; −2; 2 ) , điểm M
thuộc mp ( Oxy ) sao cho 3 điểm A, B, M thẳng hàng. Tọa độ của điểm M là

A. (−1;6;0) .

B. (−1; −1;0) .

C. (0;0;4) .

D. (0;0;3) .

Lời giải.
Chọn A.

uuur
uuuu
r
Gọi M ( x; y;0 ) ∈ mp ( Oxy ) . Ta có: AB = ( 2; −4;1) , AM = ( x − 1; y − 2; −1)
uuuu
r uuur
 x = −1
x − 1 y − 2 −1
A, B, M thẳng hàng ⇔ AM , AB cùng phương ⇔
=
=
⇔
M ( −1;6;0 ) .
2
−4
1
y = 6
Loại 5. TÌM TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU
Phương pháp:

 Phương trình: ( x − a ) + ( y – b ) + ( z – c ) = R 2 là phương trình mặt cầu có tâm I ( a; b; c ) , bán
2

2

2

kính R
Phương trình x 2 + y 2 + z 2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 thỏa điều kiện a 2 + b 2 + c 2 – d > 0 , là
phương trình trình mặt cầu tâm I ( a; b; c ) , bán kính R = a 2 + b 2 + c 2 − d
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình nào sau đây là phương trình mặt
cầu, nếu là phương trình mặt cầu hãy tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó.
2
2
a) ( x − 2 ) + ( y + 3) + z 2 = 5 .
b) x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z + 1 = 0 .
c) 3 x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 − 6 x + 3 y + 21 = 0 .
Lời giải.
a)Phương trình

( x − 2)

2

+ ( y + 3) + z 2 = 5 có dạng
2

( x – a)

2

+ ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 nên là
2

2

phương trình mặt cầu có tâm I ( 2; −3;0 ) và bán kính R = 5
b)Phương trình x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z + 1 = 0 có dạng x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d với
a = 1, b = −2, c = 3, d = 1 ⇒ a 2 + b2 + c 2 − d = 13 > 0 .
Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

19

ĐT: 0977802424


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
Vậy phương trình cho là phương trình mặt cầu có tâm I ( 1; −2;3) và bán kính R = 13 .
c)Phương trình 3 x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 − 6 x + 3 y + 21 = 0 ⇔ x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + y + 7 = 0 có dạng
1
23
x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d với a = 1, b = − , c = 0, d = 7 ⇒ a 2 + b 2 + c 2 − d = − < 0 .
2
4
Vậy phương trình cho không phải là phương trình mặt cầu
Ví dụ 11: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , tìm m để mỗi phương trình sau là phương
trình mặt cầu.
2
2

2
a) x + y + z − 2mx + 2 ( m + 1) y − 4 z + 1 = 0 .
2
2
2
b) x + y + z − 2 ( m − 3) x − 4mz + 8 = 0 .

Lời giải.
2
2
2
a)Phương trình x + y + z − 2mx + 2 ( m + 1) y − 4 z + 1 = 0 có dạng

x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d với a = m, b = − ( m + 1) , c = 2, d = 1 .

ĐK: a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 ⇔ m 2 + ( m + 1) + 22 − 1 > 0 ⇔ 2m 2 + 2m + 4 > 0 ⇔ m ∈ ¡ .
2

2
2
2
b)Phương trình x + y + z − 2 ( m − 3) x − 4mz + 8 = 0 có dạng
x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d với a = m − 3, b = 0, c = 2m, d = 8 .

1

m<

5.
ĐK: a + b + c − d > 0 ⇔ ( m − 3) + ( 2m ) − 8 > 0 ⇔ 5m − 6m + 1 > 0 ⇔


m
>
1

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Oxyz
Trong không gian với hệ trục
,tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau:
2
2
2
a) x + y + z − x + 2 y − 4 z + 3 = 0
b) 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 − 4 x + 3 y − 6 z + 4 = 0
Trong không gian với hệ trục Oxyz , tìm m để phương trình sau là phương trình mặt cầu có bán
2

Bài 7:

Bài 8:

2

2

2

2

2

2
2
2
kính nhỏ nhất: x + y + z − 2mx + 2 ( m − 2 ) y + 6 z + 1 = 0 .
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 42. [2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu có phương trình

( x –1) + ( y + 2 )
A. ( −1;2;1) .
2

2

+ ( z + 1) = 4 có tọa độ của tâm là
2

B. ( 1; −2; −1) .

C. ( 1; −2;1) .

D. ( 1;2;2 ) .

Lời giải.
Chọn B.
Theo lý thuyết mặt cầu có phương trình

( x – a)

2

+ ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 có tâm I ( a; b; c ) .
2

2

Suy ra mặt cầu có phương trình ( x –1) + ( y + 2 ) + ( z + 1) = 4 có tâm I ( 1; −2; −1) .
2

2

2

Câu 43. [2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu có phương trình

( x –1)

2

+ ( y + 2 ) + ( z + 1) = 9 có đường kính bằng

A. 3 .

2

2

B. 6 .

C. 9 .

D. 81 .

Lời giải.
Chọn B.
Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

20

ĐT: 0977802424


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
Theo lý thuyết mặt cầu có phương trình ( x –1) + ( y + 2 ) + ( z + 1) = 9 có bán kính R = 3 .
2

2

2

Vậy đường kính mặt cầu là 2 R = 6 .
Câu 44. [2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu có phương trình
x 2 + y 2 + z 2 – 2 x + 6 y + 1 = 0 . Mặt cầu có tâm I , bán kính R là
 I ( 1; −3;0 )
B. 
.
 R = 11

 I ( 2; −6;0 )

A. 
.
 R = 40

 I ( −1;3;0 )
C. 
.
 R = 3

 I ( 1; −3;0 )
D. 
.
 R = 3

Lời giải.
Chọn D.
Theo lý thuyết mặt cầu có phương trình x 2 + y 2 + z 2 – 2 x + 6 y + 1 = 0 có tâm I ( 1; −3;0 ) , bán
kính R = 12 + ( −3) + 02 − 1 = 3 .
2

Câu 45. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị thực của tham số m
2
2
2
2
để phương phương trình x + y + z + 2 ( 3 – m ) x – 2 ( m + 1) z – 2m + 2m + 7 = 0 là phương

trình của một mặt cầu
A. m > 1 .

C. m <

B. m < 2 .

3
.
2

D. m = 4 .

Lời giải.
Chọn C.
Phương

trình

x 2 + y 2 + z 2 + 2 ( 3 – m ) x – 2 ( m + 1) z – 2m + 2m 2 + 7 = 0

có

dạng:

x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 với a = m − 3, b = 0, c = m + 1, d = −2m + 2m 2 + 7 .
2
2
2
2
ĐK: a + b + c − d > 0 ⇒ ( m − 3) + ( m + 1) − ( −2m + 2m + 7 ) > 0 ⇔ m <
2

2

3
.
2

Câu 46. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, có tất cả bao nhiêu số tự nhiên của tham
2
2
2
2
số m để phương phương trình x + y + z + 2 ( m − 2 ) y – 2 ( m + 3) z + 3m + 7 = 0 là phương

trình của một mặt cầu.
A. 2 .

B. 3 .

C. 4 .

D. 5 .

Lời giải.
Chọn C.
Phương

trình

cho

có

dạng:

x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0

với

a = 2 − m, b = m + 3, c = 0, d = 3m 2 + 7 .
ĐK:

2
a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 ⇒ ( 2 − m ) + ( m + 3) − ( 3m + 7 ) > 0
2

2

⇔ − m 2 + 2m + 6 > 0

⇔ 1 − 7 < m < 1 + 7 ; m ∈ ¥ ⇒ m ∈ { 0,1, 2,3} . Vậy có 4 số tự nhiên thỏa yêu cầu.
Câu 47. [2H3-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị thực của tham số m
2
2
2
2
để phương phương trình x + y + z + 2 ( m + 2 ) x – 2 ( m − 3) z + m − 1 = 0 là phương trình của

mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.
A. m ∈ ¡ .
B. m = 0 .

C. m = 2 .

D. m = 1 .

Lời giải.
Chọn D.
Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

21

ĐT: 0977802424


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
Phương

x 2 + y 2 + z 2 + 2 ( m + 2 ) x – 2 ( m − 3) z + m 2 − 1 = 0

trình

có

dạng:

2
x 2 + y 2 + z 2 − 2ax – −2by − 2cz + d = 0 với a = − ( m + 2 ) , b = 0, c = m − 3, d = m − 1 .

ĐK để pt cho là pt mặt cầu: a 2 + b 2 + c 2 − d > 0

⇒ ( m + 2 ) + ( m − 3) − ( m 2 − 1) > 0
2

2

⇔ m 2 − 2m + 14 > 0 ⇔ m ∈ ¡ .

( m − 1)

Khi đó bán kính mặt cầu là R = m 2 − 2m + 14 =

2

+ 13 ≥ 13

Do đó min R = 13 khi m = 1
Loại 6. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Phương pháp:
Cách 1:
 Tìm tâm I ( a; b; c )
 Tìm bán kính R
 Kết luận phương trình mặt cầu: ( x − a ) + ( y – b ) + ( z – c ) = R 2 .
2

2

2

Cách 2:
 Gọi phương trình mặt cầu có dạng: x 2 + y 2 + z 2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (1) ,

a 2 + b2 + c2 – d > 0
 Từ giả thiết tìm a, b, c, d .
 Thay a, b, c, d vào phương trình (1)
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu trong mỗi trường
hợp sau:
a)Có đường kính AB với A ( 4; − 3; 7 ) , B ( 2; 1; 3) .
b)Có tâm C ( 3; −3;1) và đi qua điểm A ( 5; −2;1) .

c)Có tâm thuộc mặt phẳng ( Oxy ) và đi qua 3 điểm A ( 1; 1; 1) , B ( 2; − 1; − 3 ) , C ( −1; 0; 2 ) .
d)Có tâm A ( 2; 4; − 5 ) và tiếp xúc với trục Oz .
Lời giải.
a)Có đường kính AB với A ( 4; − 3; 7 ) , B ( 2; 1; 3 ) .

 Tâm I của mặt cầu là trung điểm của AB ⇒ I ( 3; −1;5 ) .
1
1
2
2
2
 Bán kính mặt cầu là R = AB =
( 2 − 4 ) + ( 1 + 3) + ( 3 − 7 ) = 3 .
2
2
2
2
2
Vậy phương trình mặt cầu là: ( x – 3) + ( y + 1) + ( z – 5 ) = 9 .
b)Có tâm C ( 3; −3;1) và đi qua điểm A ( 5; −2;1) .
 Tâm của mặt cầu là C ( 3; −3;1) .

( 5 − 3) + ( −2 + 3) + ( 1 − 1) = 5 .
2
2
2
Vậy phương trình mặt cầu là: ( x – 3) + ( y + 3) + ( z –1) = 5 .
c)Có tâm thuộc mặt phẳng ( Oxy ) và đi qua 3 điểm A ( 1; 1; 1) , B ( 2; − 1; − 3 ) , C ( −1;
 Bán kính mặt cầu là R = CA =

Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

2

22

2

2

0; 2 ) .

ĐT: 0977802424


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
 Gọi phương trình mặt cầu dạng: x 2 + y 2 + z 2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 , a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 .
Mặt cầu có tâm I ( a; b; c ) ∈ mp ( Oxy ) ⇒ c = 0 ( 1) .
Mặt cầu qua 3 điểm A ( 1; 1; 1) , B ( 2; − 1; − 3 ) , C ( −1; 0; 2 ) , suy ra:
3 − 2a − 2b − 2c + d = 0


14 − 4a + 2b + 6c + d = 0 ( 2 ) .
5 + 2a − 4c + d = 0

Từ ( 1) và ( 2 ) ta tìm được: a =

7
12
32
, b = − , c = 0, d = − .
10
5
5

7
24
32
= 0.
Vậy PTMC là: x 2 + y 2 + z 2 − x + z −
5
5
5
d)Có tâm A ( 2; 4; − 5 ) và tiếp xúc với trục Oz .
Tâm mặt cầu là A ( 2; 4; − 5 ) .
Gọi H là hình chiếu của A lên trục Oz ⇒ H ( 0;0; −5 )
Bán kính mặt cầu là R = AH =

( 0 − 2)

2

+ ( 0 − 4 ) + ( −5 + 5 ) = 20
2

2

Vậy PTMC là: ( x – 2 ) + ( y − 4 ) + ( z + 5 ) = 20 .
2

Bài 9:

2

2

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu trong mỗi trường hợp
sau:
a)Có tâm A ( 2; −3;1) và tiếp xúc với mặt phẳng ( Oyz ) .
b)Tiếp xúc với mp ( Oxz ) , có tâm thuộc trục tung và có bán kính bằng 5.
c)Qua 4 điểm A ( 2; 1; 3) , B ( 3; 0; 2 ) , C ( 1; 3; 2 ) , D ( 0; 4; 1) .

d)Có tâm I ( 2;5;1) và cắt mp ( Oyz ) theo một đường tròn có bán kính r = 3 .
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 48. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 1; 2;3) , B ( 3;0;1) . Phương trình
mặt cầu đường kính AB là
A. ( x + 2 ) + ( y + 1) + ( z + 2 ) = 3 .

B. ( x – 2 ) + ( y –1) + ( z – 2 ) = 3 .

C. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 3 .

D. ( x – 2 ) + ( y –1) + ( z – 2 ) = 12 .

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Lời giải.
Chọn B.
Tâm I của mặt cầu là trung điểm của AB ⇒ I ( 2;1;2 ) .

Bán kính mặt cầu là R =

1
1
AB =
2
2

( 3 − 1)

2

+ ( 0 − 2 ) + ( 1 − 3) = 3
2

2

Vậy phương trình mặt cầu là: ( x – 2 ) + ( y –1) + ( z – 2 ) = 3
2

2

2

Câu 49. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình mặt cầu tâm A ( 1;2;3) và
qua O là
Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

23

ĐT: 0977802424


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
A. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 14 .
2

2

2

C. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) =
2

2

2

B. x 2 + y 2 + z 2 = 14 .

7
.
2

2
2
2
D. x + y + z =

7

.
2

Lời giải.
Chọn A.
Tâm mặt cầu A ( 1;2;3) .
Bán kính mặt cầu là R = OA = 12 + 22 + 32 = 14
Vậy phương trình mặt cầu là: ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 14
2

2

2

Câu 50. [2H3-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 1; 2; 3) . Phương trình mặt cầu tâm
A và tiếp xúc với mp ( Oxy ) là
A. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 5 .

B. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 9 .

C. x 2 + y 2 + ( z − 3) = 9 .

D. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 5 .

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Lời giải.
Chọn B.
Tâm mặt cầu A ( 1;2;3) .
Hình chiếu của A lên mp ( Oxy ) là H ( 1;2;0 ) .
Bán kính mặt cầu là R = d ( A, ( Oxy ) ) = AH = 3 .
Vậy phương trình mặt cầu là: ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 9 .
2

2

2

Câu 51. [2H3-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho B ( 1;1; −1) . Phương trình mặt cầu tâm
B và tiếp xúc với trục hoành là
A. ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + 1) = 1 .

B. ( x − 1) + y 2 + z 2 = 2 .

C. ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + 1) = 2 .

D. ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + 1) = 3 .

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Lời giải.
Chọn C.
Tâm mặt cầu B ( 1;1; −1) .
Hình chiếu của B lên Ox là H ( 1;0;0 ) .

Bán kính mặt cầu là R = d ( B, Ox ) = BH = 2 .
Vậy phương trình mặt cầu là: ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + 1) = 2 .
2

2

2

Câu 52. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 1;1; 2 ) , B ( 1;1; −1) , C ( −1;0;1) .
Phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm nằm trên mp ( Oxz ) là
3
5
2
2
2
A. x + y + z − x − z − = 0 .
2
2
3
5
2
2
2
C. x + y + z − x + z − = 0 .
2
2
Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

24

3
1
5
2
2
2
B. x + y + z − x + z + = 0 .
4
2
2
3
5
2
2
2
D. x + y + z − y − z − = 0 .
2
2
ĐT: 0977802424


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
Lời giải.
Chọn A.
 Gọi phương trình mặt cầu dạng: x 2 + y 2 + z 2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 , a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 .
Mặt cầu có tâm I ( a; b; c ) ∈ mp ( Oxz ) ⇒ b = 0 ( 1) .
Mặt cầu qua 3 điểm A ( 1;1;2 ) , B ( 1;1; −1) , C ( −1;0;1) , suy ra:
6 − 2a − 2b − 4c + d = 0

3 − 2a − 2b + 2c + d = 0 ( 2 ) .

 2 + 2a − 2c + d = 0

3
1
5
Từ ( 1) và ( 2 ) ta tìm được: a = , b = 0, c = , d = − .
4
2
2
3
5
Vậy PTMC là: x 2 + y 2 + z 2 − x − z − = 0 .
2
2
Câu 53. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 1;1; 2 ) , B ( 1;1; −1) , C ( −1;0;1) .
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có bán kính bằng
A.

3 3
.
2

B.

3 3
.
4

C. 3 3 .

D. 3 .

Lời giải.
Chọn A.
 Gọi phương trình mặt cầu dạng: x 2 + y 2 + z 2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 , a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 .
Mặt cầu qua 4 điểm O, A ( 1;1;2 ) , B ( 1;1; −1) , C ( −1;0;1) , suy ra:
d = 0
6 − 2a − 2b − 4c + d = 0
−1
5
1

⇔ a = ,b = ,c = , d = 0 .

2
2
2
3 − 2a − 2b + 2c + d = 0
 2 + 2a − 2c + d = 0
Vậy bán kính MC là: R = a 2 + b 2 + c 2 − d =

3 3
.
2

Câu 54. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt cầu có bán kính bằng 3, có tâm trên
tia Oy′ và tiếp xúc với mp ( Oxz ) có tọa độ tâm là
A. (0;3;0) .

B. (0; −3;0) .

C. (0;0;0) .

D. (0; −3;0) ∨ (0;3;0) .

Lời giải.
Chọn B.
vì tâm mặt cầu trên tia Oy′ ⇒ I ( 0; a;0 ) , a < 0 .
Mặt cầu tâm I ( 0; a;0 ) , tiếp xúc với mp ( Oxz ) ⇒ R = d ( I , ( Oxz ) ) = a
 a = 3 (l )
Theo đề R = 3 ⇒ a = 3 ⇒ 
.
 a = −3 (n)
Vậy tâm MC là: I (0; −3;0) .
Câu 55. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu có phương trình
Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

25

ĐT: 0977802424