CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018

BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian
Chuyên đề 7. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN
Chủ đề 7.5. MẶT CẦU – MẶT NÓN – MẶT TRỤ

A. KIẾ
KIẾN THỨ
THỨC CƠ
CƠ BẢ
BẢN
I. MẶT NÓ N

1/ Mă ̣t nó n trò n xoay

Hıǹ h 1

Hıǹ h 2

Trong mă ̣t phẳ ng ( P ) , cho 2 đường thẳ ng d , ∆ cắ t nhau ta ̣i O và chú ng ta ̣o thà nh gó c β với
00 < β < 900 . Khi quay mp ( P ) xung quanh tru ̣c ∆ với gó c β không thay đổ i đươ ̣c go ̣i là mă ̣t nó n trò n
xoay đın̉ h O (hıǹ h 1).
Người ta thường go ̣i tắ t mă ̣t nó n trò n xoay là mă ̣t nó n.
Đường thẳ ng ∆ go ̣i là tru ̣c, đường thẳ ng d đươ ̣c go ̣i là đường sinh và gó c 2 β goị là gó c ở đın̉ h.
2/ Hın
̀ h nó n trò n xoay
Cho ∆OIM vuông taị I quay quanh canh
̣ gó c vuông OI thı̀ đường gấ p khú c OIM taọ thà nh môṭ hıǹ h,
goị là hıǹ h nó n trò n xoay (goị tắ t là hıǹ h nó n) (hıǹ h 2).
Đường thẳ ng OI goị là truc,
̣ O là đın̉ h, OI goị là đường cao và OM goị là đường sinh củ a hıǹ h

nó n.
Hıǹ h trò n tâm I , bá n kıń h r = IM là đá y củ a hıǹ h nó n.
3/ Công thức diêṇ tı́ch và thể tı́ch củ a hın
̀ h nó n
Cho hıǹ h nó n có chiề u cao là h , bá n kıń h đá y r và đường sinh là l thı̀ có :

Diêṇ tıć h xung quanh: S xq = π .r.l
Diêṇ tıć h đá y (hıǹ h trò n): Sð = π .r 2
Thể tıć h khố i nó n: Vnon =

⇒ Diêṇ tıć h toà n phầ n hıǹ h nó n: Stp = S xq + Sð .

1
1
Sð .h = π .r 2 .h .
3
3

4/ Tı́nh chấ t:
TH1: Nế u cắ t măṭ nó n trò n xoay bởi mp ( P ) đi qua đın
̉ h thı̀ có cá c trường hơp̣ sau xả y ra:
+ Nếu mp ( P ) cắ t măṭ nó n theo 2 đường sinh ⇒ Thiế t diêṇ là tam giá c cân.
+ Nếu mp ( P ) tiế p xú c với măṭ nó n theo môṭ đường sinh. Trong trường hơp̣ nà y, người ta goị đó

là măṭ phẳ ng tiế p diêṇ củ a măṭ nó n.
TH2: Nế u cắ t măṭ nó n trò n xoay bởi mp (Q ) không đi qua đın
̉ h thı̀ có cá c trường hơp̣ sau xả y ra:
+ Nế u mp (Q ) vuông gó c với truc̣ hıǹ h nó n ⇒ giao tuyế n là môṭ đường trò n.
+ Nế u mp (Q ) song song với 2 đường sinh hıǹ h nó n ⇒ giao tuyế n là 2 nhá nh củ a 1 hypebol.
+ Nế u mp (Q ) song song với 1 đường sinh hıǹ h nó n ⇒ giao tuyế n là 1 đường parabol.

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

1|THBTN


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian
II. MẶT TRỤ
1/ Mă ̣t tru ̣ trò n xoay
∆

Trong mp ( P ) cho hai đường thẳ ng ∆ và l song song nhau, cá ch nhau
môṭ khoả ng r . Khi quay mp ( P ) quanh truc̣ cố đinh
̣ ∆ thı̀ đường

r l
A
thẳ ng l sinh ra môṭ măṭ trò n xoay đươc̣ go ị là măṭ tru ̣ trò n xoay hay
goị tắ t là măṭ tru.̣
D
Đường thẳ ng ∆ đươc̣ goị là truc.
̣
Đường thẳ ng l đươc̣ goị là đường sinh.
Khoả ng cá ch r đươc̣ goị là bá n kıń h củ a măṭ tru.̣
2/ Hın
̀ h tru ̣ trò n xoay
Khi quay hıǹ h chữ nhâṭ ABCD xung quanh đường thẳ ng chứa môṭ
B
canh,

̣ chẳ ng haṇ canh
̣ AB thı̀ đường gấ p khú c ABCD taọ thà nh môṭ
r
hıǹ h, hıǹ h đó đươc̣ goị là hıǹ h tru ̣ trò n xoay hay goị tắ t là hıǹ h tru.̣
C
Đường thẳ ng AB đươc̣ goị là truc.
̣
Đoaṇ thẳ ng CD đươc̣ goị là đường sinh.
Đô ̣ dà i đoaṇ thẳ ng AB = CD = h đươc̣ goị là chiề u cao củ a hıǹ h tru.̣
Hıǹ h trò n tâm A , bá n kıń h r = AD và hıǹ h trò n tâm B , bá n kı́nh r = BC đươc̣ goị là 2 đá y củ a
hıǹ h tru.̣
Khố i tru ̣ trò n xoay, goị tắ t là khố i tru,̣ là phầ n không gian giới haṇ bởi hıǹ h tru ̣ trò n xoay kể cả
hıǹ h tru.̣
3/ Công thức tı́nh diêṇ tı́ch và thể tı́ch củ a hın
̀ h tru ̣
Cho hıǹ h tru ̣ có chiề u cao là h và bá n kıń h đá y bằ ng r , khi đó :

Diêṇ tıć h xung quanh củ a hıǹ h tru:̣ S xq = 2π rh
Diêṇ tıć h toà n phầ n củ a hıǹ h tru:̣ Stp = S xq + 2.S Ðay = 2π rh + 2π r 2
Thể tıć h khố i tru:̣

V = B.h = π r 2 h

4/ Tı́nh chấ t:

Nế u cắ t măṭ tru ̣ trò n xoay (có bá n kıń h là r ) bởi môṭ mp (α ) vuông gó c với truc̣ ∆ thı̀ ta đươc̣
đường trò n có tâm trên ∆ và có bá n kıń h bằ ng r với r cũ ng chıń h là bá n kıń h củ a măṭ tru ̣ đó .
Nế u cắ t măṭ tru ̣ trò n xoay (có bá n kıń h là r ) bởi môṭ mp (α ) không vuông gó c với truc̣ ∆ nhưng

cắ t tấ t cả cá c đường sinh, ta đươc̣ giao tuyế n là môṭ đường elıṕ có tru ̣ nhỏ bằ ng 2r và truc̣ lớn

2r
bằ ng
, trong đó ϕ là gó c giữa truc̣ ∆ và mp (α ) với 00 < ϕ < 900 .
sin ϕ
Cho mp (α ) song song với truc̣ ∆ củ a măṭ tru ̣ trò n xoay và cá ch ∆ môṭ khoả ng d .
+ Nế u d < r thı̀ mp (α ) cắ t măṭ tru ̣ theo hai đường sinh ⇒ thiế t diêṇ là hıǹ h chữ nhât.̣
+ Nế u d = r thı̀ mp (α ) tiế p xú c với măṭ tru ̣ theo môṭ đường sinh.
+ Nế u d > r thı̀ mp (α ) không cắ t măṭ tru.̣

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

2|THBTN


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian

III. MẶT CẦ U
1/ Đinh
̣ nghıã
Tâp̣ hơp̣ cá c điể m M trong không gian cá ch điể m O cố đinh
̣ môṭ khoả ng R goị là măṭ cầ u tâm O ,

bá n kıń h R , kı́ hiêụ là : S (O; R ) . Khi đó S (O; R ) = {M | OM = R}
2/ Vi trı
̣ ́ tương đố i củ a mô ̣t điể m đố i với mă ̣t cầ u

Cho măṭ cầ u S (O; R ) và môṭ điể m A bấ t kı,̀ khi đó :
Nế u OA = R ⇔ A ∈ S (O; R ) . Khi đó OA goị là bá n kıń h măṭ cầ u. Nế u OA và OB là hai bá n

kıń h sao cho OA = −OB thı̀ đoaṇ thẳ ng AB goị là một đường kıń h củ a
măṭ cầ u.
Nế u OA < R ⇔ A nằ m trong măṭ cầ u.
Nế u OA > R ⇔ A nằ m ngoà i măṭ cầ u.

B
O
A

⇒ Khố i cầ u S (O; R ) là tâp̣ hơp̣ tấ t cả cá c điể m M sao cho OM ≤ R .
3/ Vi trı
̣ ́ tương đố i củ a mă ̣t phẳ ng và mă ̣t cầ u

A

A

Cho măṭ cầ u S (O; R ) và môṭ mp ( P ) . Goị d là khoả ng cá ch từ tâm O củ a măṭ cầ u đế n mp ( P ) và
H là hıǹ h chiế u củ a O trên mp ( P ) ⇒ d = OH .

Nế u d < R ⇔ mp ( P ) cắ t măṭ cầ u S (O; R ) theo giao tuyế n là đường trò n nằ m trên mp ( P ) có
tâm là H và bá n kıń h r = HM = R 2 − d 2 = R 2 − OH 2 (hıǹ h a).
Nế u d > R ⇔ mp ( P ) không cắ t măṭ cầ u S (O; R ) (hıǹ h b).
Nế u d = R ⇔ mp ( P ) có môṭ điể m chung duy nhấ t. Ta nói măṭ cầ u S (O; R ) tiế p xú c mp ( P ) .
Do đó , điề u kiêṇ cầ n và đủ để mp ( P ) tiế p xú c với măṭ cầ u S (O; R ) là d (O, ( P ) ) = R (hıǹ h c).

d

Hıǹ h a

Hıǹ h b

d=

Hıǹ h c

4/ Vi trı
̣ ́ tương đố i củ a đường thẳ ng và mă ̣t cầ u

Cho măṭ cầ u S (O; R ) và môṭ đường thẳ ng ∆ . Goị H là hıǹ h chiế u củ a O trên đường
thẳ ng ∆ và d = OH là khoả ng cá ch từ tâm O củ a măṭ cầ u đế n đường thẳ ng ∆ . Khi đó :
d
d=
Nế u d > R ⇔ ∆ không cắ t măṭ cầ u S (O; R ) .
Nế u d < R ⇔ ∆ cắ t măṭ cầ u S (O; R ) taị hai điể m phân biêt.̣
Nế u d = R ⇔ ∆ và măṭ cầ u tiế p xú c nhau (taị môṭ điể m duy nhấ t). Do đó : điề u kiêṇ cầ n và đủ để
đường thẳ ng ∆ tiế p xú c với măṭ cầ u là d = d (O , ∆ ) = R .

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

3|THBTN


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian
Đinh
̣ lı́: Nế u điể m A nằ m ngoà i măṭ cầ u S (O; R ) thı:̀

Qua A có vô số tiế p tuyế n với măṭ cầ u S (O; R ) .

Đô ̣ dà i đoaṇ thẳ ng nố i A với cá c tiế p điể m đề u bằ ng nhau.
Tâp̣ hơp̣ cá c điể m nà y là môṭ đường trò n nằ m trên măṭ cầ u S (O; R ) .
5/ Diêṇ tı́ch và thể tı́ch mă ̣t cầ u
4
• Thể tıć h măṭ cầ u: VC = π R 3 .
3

• Diêṇ tıć h măṭ cầ u: SC = 4π R 2 .

B. KỸ NĂNG CƠ BẢ
BẢN
I. Mă ̣t cầ u ngoa ̣i tiế p khố i đa diêṇ
1/ Cá c khá i niêm
̣ cơ bả n
Tru ̣c củ a đa giá c đá y: là đường thẳ ng đi qua tâm đường trò n ngoaị tiế p củ a đa giá c đá y và vuông
gó c với măṭ phẳ ng chứa đa giá c đá y.
⇒ Bấ t kı̀ môṭ điể m nà o nằ m trên truc̣ củ a đa giá c thı̀ cá ch đề u cá c đın̉ h củ a đa giá c đó .
Đường trung trực củ a đoa ̣n thẳ ng: là đường thẳ ng đi qua trung điể m củ a đoaṇ thẳ ng và vuông
gó c với đoaṇ thẳ ng đó .
⇒ Bấ t kı̀ môṭ điể m nà o nằ m trên đường trung trực thı̀ cá ch đề u hai đầ u mú t củ a đoaṇ thẳ ng.
Mă ̣t trung trực củ a đoa ̣n thẳ ng: là măṭ phẳ ng đi qua trung điể m củ a đoaṇ thẳ ng và vuông gó c với
đoaṇ thẳ ng đó .
⇒ Bấ t kı̀ môṭ điể m nà o nằ m trên măṭ trung trực thı̀ cá ch đề u hai đầ u mú t củ a đoaṇ thẳ ng.
2/ Tâm và bá n kı́nh mă ̣t cầ u ngoa ̣i tiế p hın
̀ h chó p
Tâm mă ̣t cầ u ngoa ̣i tiế p hın
̀ h chó p: là điể m cá ch đề u cá c đın̉ h củ a hıǹ h chó p. Hay nó i cá ch khá c,
nó chıń h là giao điể m I củ a truc̣ đường trò n ngoaị tiế p mặt phẳ ng đá y và mặt phẳ ng trung trực củ a
môṭ caṇ h bên hıǹ h chó p.
Bá n kı́nh: là khoả ng cá ch từ I đế n cá c đın̉ h củ a hı̀nh chó p.

3/ Cá ch xá c đinh
̣ tâm và bá n kı́nh mă ̣t cầ u củ a mô ̣t số hın
̀ h đa diêṇ cơ bả n
a/ Hın
̀ h hô ̣p chữ nhâ ̣t, hın
̀ h lâ ̣p phương.
- Tâm: trù ng với tâm đố i xứng củ a hıǹ h hôp̣ chữ nhâṭ (hıǹ h lâp̣ phương).
⇒ Tâm là I , là trung điể m củ a AC ' .
- Bá n kı́nh: bằ ng nửa đô ̣ dà i đường ché o hıǹ h hôp̣ chữ nhâṭ (hıǹ h lâp̣ phương).
AC '
A
B
A
.
⇒ Bá n kıń h: R =
2
D
C
I
I
A’
B’
b/ Hın
̀ h lăng tru ̣ đứng có đá y nô ̣i tiế p đường trò n.
'
1

'
2

'
3

'
n

Xé t hıǹ h lăng tru ̣ đứng A1 A2 A3 ... An . A A A ... A , trong đó có 2 đá y
'
1

'
2

'
3

C’

C’

D’

An

A1
A2

'
n

A1 A2 A3 ... An và A A A ... A nô ị tiế p đường trò n (O ) và (O ' ) . Lú c đó ,

măṭ cầ u nôị tiế p hıǹ h lăng tru ̣ đứng có :
- Tâm: I với I là trung điể m củ a OO ' .
- Bá n kı́nh: R = IA1 = IA2 = ... = IAn' .

A3
I
A’n

A’1
A’2

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

O

O’
A’3
4|THBTN


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian
c/ Hın
̀ h chó p có cá c đı̉nh nhın
̀ đoa ̣n thẳ ng nố i 2 đı̉nh cò n la ̣i dưới 1 gó c vuông.

- Hıǹ h chó p S . ABC có SAC = SBC = 900 .

+ Tâm: I là trung điể m củ a SC .
SC
+ Bá n kıń h: R =
= IA = IB = IC .
2
- Hıǹ h chó p S . ABCD có

S

S

I
I

SAC = SBC = SDC = 900 .
A
+ Tâm: I là trung điể m củ a SC .
SC
+ Bá n kıń h: R =
= IA = IB = IC = ID .
2
d/ Hın
̀ h chó p đều.
Cho hıǹ h chó p đề u S . ABC ...
- Goị O là tâm củ a đá y ⇒ SO là truc̣ củ a đá y.
- Trong măṭ phẳ ng xá c đinh
̣ bởi SO và môṭ canh
̣ bên,

A

C

S
∆

M

chẳ ng haṇ như mp ( SAO ) , ta vẽ đường trung trực củ a canh
̣ SA
là ∆ cắ t SA taị M và cắ t SO taị I ⇒ I là tâm củ a măṭ cầ u.
- Bá n kıń h:
SM SI
Ta có : ∆SMI ∼ ∆SOA ⇒
=
⇒ Bá n kıń h là :
SO SA
SM .SA SA2
R = IS =
=
= IA = IB = IC = ...
SO
2 SO
e/ Hın
̀ h chó p có ca ̣nh bên vuông gó c với mă ̣t phẳ ng đá y.

C

B

B

I
A
D

O
B
C

Cho hıǹ h chó p S . ABC ... có canh
̣ bên SA ⊥ đá y ( ABC ... ) và đá y ABC... nô ị tiế p đươc̣ trong
đường trò n tâm O . Tâm và bá n kıń h măṭ cầ u ngoaị tiế p hıǹ h chó p S . ABC ... đươc̣ xá c đinh
̣ như sau:
- Từ tâm O ngoaị tiế p củ a đường trò n đá y, ta vẽ đường thẳ ng d vuông gó c với mp ( ABC ... ) taị O .

- Trong mp ( d , SA ) , ta dựng đường trung trực ∆ củ a canh
̣ SA , cắ t SA taị M , cắ t d taị I .
⇒ I là tâm măṭ cầ u ngoaị tiế p hıǹ h chó p
và bá n kıń h R = IA = IB = IC = IS = ...
- Tım
̀ bá n kıń h:
Ta có : MIOB là hıǹ h chữ nhât.̣
Xé t ∆MAI vuông taị M có :

S

d
M

∆

I

2

R = AI = MI 2 + MA2 =

 SA 
AO 2 +   .
 2 

f/ Hın
̀ h chó p khá c.
- Dựng truc̣ ∆ củ a đá y.

O

A

C

B

- Dựng măṭ phẳ ng trung trực (α ) củ a môṭ canh
̣ bên bấ t kı.̀
- (α ) ∩ ∆ = I ⇒ I là tâm măṭ cầ u ngoaị tiế p hıǹ h chó p.
- Bá n kıń h: khoả ng cá ch từ I đế n cá c đın̉ h củ a hıǹ h chó p.

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

5|THBTN


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian

g/ Đường trò n ngoa ̣i tiế p mô ̣t số đa giá c thường gă ̣p.
Khi xá c đinh
̣ tâm măṭ cầ u, ta cầ n xá c đinh
̣ truc̣ củ a măṭ phẳ ng đá y, đó chıń h là đường thẳ ng vuông
gó c với măṭ phẳ ng đá y taị tâm O củ a đường trò n ngoaị tiế p đá y. Do đó , viêc̣ xá c đinh
̣ tâm ngoaị O
là yế u tố rấ t quan trong
̣ củ a bà i toá n.

O

O

Hıǹ h vuông: O là giao
điể m 2 đường ché o.

O

Hıǹ h chữ nhât:̣ O là giao
điể m củ a hai đường ché o.

O

O

∆ vuông: O là trung điể m
củ a canh
̣ huyề n.

∆ đề u: O là giao điể m củ a 2
đường trung tuyế n (trong
̣

∆ thường: O là giao điể m củ a
hai đường trung trực củ a hai
canh
̣ ∆.

II. KỸ THUẬT XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP.
Cho hình chóp S . A1 A2 ... An (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:
Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng ∆ : trục đường tròn ngoại tiếp đa
S
giác đáy.
Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực (α ) của một cạnh bên.
α

I

Lúc đó : - Tâm O của mặt cầu: ∆ ∩ mp(α ) = {O}

O

- Bán kính: R = SA ( = SO ) . Tuỳ vào từng trường hợp.

D
A

C

H

Lưu ý: Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
B
1. Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và
vuông góc với mặt phẳng đáy.
Tính chất: ∀M ∈ ∆ : MA = MB = MC
∆
M
Suy ra: MA = MB = MC ⇔ M ∈ ∆
2. Các bước xác định trục:
- Bước 1: Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
- Bước 2: Qua H dựng ∆ vuông góc với mặt phẳng đáy.
A
VD: Một số trường hợp đặc biệt
C
H

B

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

6|THBTN


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian
A. Tam giác vuông

B. Tam giác đều

∆
B

C. Tam giác bất kì

∆

H

C

∆
B

B

C
H

C
H

A

A

A
S

3. Lưu ý: Kỹ năng tam giác đồng dạng
∆SMO đồng dạng với ∆SIA ⇒

M

SO SM
=
.
SA
SI

O
I

A

4. Nhận xét quan trọng:
 MA = MB = MC
∃M , S : 
⇒ SM là trục đường tròn ngoại tiếp ∆ABC .

 SA = SB = SC
5. Ví dụ: Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Dạng 1: Chóp có các điểm cùng nhìn một đoạn dưới một góc vuông.
 SA ⊥ ( ABC )
Ví dụ: Cho S . ABC : 
. Theo đề bài:
∆
ABC
⊥
B


 BC ⊥ AB ( gt )

 BC ⊥ SA ( SA ⊥ ( ABC ) )

⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB
Ta có B và A nhìn SC dưới một góc vuông
⇒ nên B và A cùng nằm trên một mặt cầu có đường kính là SC.
Gọi I là trung điểm SC ⇒ I là tâm MCNT khối chóp S. ABC và bán kính R = SI .
Dạng 2: Chóp có các cạnh bên bằng nhau.
Ví dụ: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC .

+ Vẽ SG ⊥ ( ABC ) thì G là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC .
+ Trên mặt phẳng ( SGC ) , vẽ đường trung trực của SC , đường này cắt

SG tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S. ABC và bán kính R = IS .
+ Ta có ∆SGC ∼ ∆SKI ( g − g ) ⇒

SG SC

SC .SK SC 2
=
⇒ R=
=
SK SI
SG
2 SG

Dạng 3: Chóp có một mặt bên vuông góc với đáy.
Ví dụ: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Mặt bên ( SAB ) ⊥ ( ABC ) và ∆SAB
đều. Gọi H , M lần lượt là trung điểm của AB, AC .

Ta có M là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC (do MA = MB = MC ).
Dựng d1 là trục đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ( d1 qua M và song song SH ).
Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆SAB và d 2 là trục đường tròn ngoại
tiếp ∆SAB , d 2 cắt d1 tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S. ABC
⇒ Bán kính R = SI . Xét ∆SGI → SI = GI 2 + SG 2 .

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

7|THBTN


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian

C. BÀI TẬ
TẬP TRẮ
TRẮC NGHIỆ

NGHIỆM
MẶT CẦU
Câu 1.

Cho một mặt cầu có diện tích là S , thể tích khố i cầu đó là V . Tính bán kính R của mặt cầu.
A. R =

Câu 2.

3V
.
S

B. R =

S
.
3V

C. R =

4V
.
S

D. R =

V
.
3S

Cho mặt cầu S (O; R ) và điểm A cố định với OA = d . Qua A , kẻ đường thẳng ∆ tiếp xúc với
mặt cầu S (O; R ) tại M . Công thức nào sau đây được dùng để tính độ dài đoạn thẳng AM ?
A.

Câu 3.

2R 2 − d 2 .

B.

d 2 − R2 .

R 2 − 2d 2 .

C.

D.

d 2 + R2 .

Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a , b, c . Gọi ( S ) là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình

hộp chữ nhật đó. Tính diện tích của hình cầu ( S ) theo a , b, c .

Câu 4.

A. π ( a 2 + b2 + c2 ) .

B. 2π (a 2 + b2 + c 2 ) .

C. 4π (a 2 + b2 + c 2 ) .

D.

π
2

(a 2 + b 2 + c 2 ) .

Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a , b, c . Gọi ( S ) là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình
hộp chữ nhật đó. Tâm của mặt cầu ( S ) là
A. một đỉnh bất kì của hình hộp chữ nhật.
B. tâm của một mặt bên của hình hộp chữ nhật.
C. trung điểm của một cạnh của hình hộp chữ nhật.
D. tâm của hình hộp chữ nhật.

Câu 5.

Cho mặt cầu S (O; R ) và đường thẳng ∆ . Biết khoảng cách từ O tới ∆ bằng d . Đường thẳng
∆ tiếp xúc với S (O; R ) khi thỏa mãn điều kiện nào trong các điều kiện sau ?

A. d = R .
Câu 6.

B. d > R .

C. d < R .

D. d ≠ R .

Cho đường tròn (C ) và điểm A nằm ngoài mặt phẳng chứa (C ) . Có tất cả bao nhiêu mặt cầu
chứa đường tròn (C ) và đi qua A ?
A. 2.

Câu 7.

B. 0.

C. 1.

D. vô số.

Cho hai điểm A, B phân biệt. Tập hợp tâm những mặt cầu đi qua A và B là
A. mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB . B. đường thẳng trung trực của AB .
C. mặt phẳng song song với đường thẳng AB . D. trung điểm của đoạn thẳng AB .

Câu 8.

Cho mặt cầu S (O; R ) và mặt phẳng (α ) . Biết khoảng cách từ O tới (α ) bằng d . Nếu d < R
thì giao tuyến của mặt phẳng (α ) với mặt cầu S (O; R ) là đường tròn có bán kính bằng bao
nhiêu?
A.

Rd .

B.

R2 + d 2 .

C.

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

R2 − d 2 .

D.

R 2 − 2d 2 .

8|THBTN


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian
Câu 9.

Từ điểm M nằm ngoài mặt cầu S (O; R ) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với mặt cầu ?
A. Vô số.

B. 0.

C. 1.

D. 2.

Câu 10. Một đường thẳng d thay đổ i qua A và tiếp xúc với mặt cầu S (O; R ) tại M . Gọi H là hình

chiếu của M lên đường thẳng OA . M thuộc mặt phẳng nào trong những mặt phẳng sau đây?

A. Mặt phẳng qua H và vuông góc với OA .
B. Mặt phẳng trung trực của OA .
C. Mặt phẳng qua O và vuông góc với AM .

D. Mặt phẳng qua A và vuông góc với OM .

Câu 11. Một đường thẳng thay đổ i d qua A và tiếp xúc với mặt cầu S (O; R ) tại M . Gọi H là hình

chiếu của M lên đường thẳng OA . Độ dài đoạn thẳng MH tính theo R là:
A.

R
.
2

B.

R 3
.
3

C.

2R 3
.
3

D.

3R 3

.
4

1
22
Câu 12. Thể tích của một khối cầu là 113 cm3 thì bán kính nó là bao nhiêu ? (lấy π ≈
)
7
7
A. 6 cm .
B. 2 cm .
C. 4 cm .
D. 3cm .

Câu 13. Khinh khí cầu của nhà Mông–gôn–fie (Montgolfier) (người Pháp) phát minh ra khinh khí cầu
dùng khí nóng. Coi khinh khí cầu này là một mặt cầu có đường kính 11m thì diện tích của mặt

khinh khí cầu là bao nhiêu? (lấy π ≈
A. 379, 94 (m2 ) .

22
và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
7

B. 697,19 (m 2 ) .

C. 190,14 cm .

D. 95, 07 (m 2 ) .

Câu 14. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có độ dài mỗ i cạnh là 10 cm . Gọi O là tâm mặt cầu đi

qua 8 đỉnh của hình lập phương. Khi đó, diện tích S của mặt cầu và thể tích V của hình cầu là:
A. S = 150π (cm 2 );V = 125 3 (cm3 ) .

B. S = 100 3π (cm 2 );V = 500 (cm3 ) .

C. S = 300π (cm 2 );V = 500 3 (cm 3 ) .

D. S = 250π (cm 2 );V = 500 6 (cm3 ) .

Câu 15. Cho đường tròn (C ) ngoại tiếp một tam giác đều ABC có cạnh bằng a , chiều cao AH . Quay
đường tròn (C ) xung quanh trục AH , ta được một mặt cầu. Thể tích của khố i cầu tương ứng

là:
A.

π a3 3
54

.

B.

4π a 3
.
9

C.

4π a 3 3
.
27

D.

4π a 3
.
3

Câu 16. Cho đường tròn (C ) ngoại tiếp một tam giác đều ABC có cạnh bằng a , chiều cao AH . Quay
đường tròn (C ) xung quanh trục AH , ta được một mặt cầu. Thể tích của khố i cầu tương ứng

là:
A.

4π a 3 3
.
27

B.

4π a 3
.
9

C.

π a3 3
54

.

D.

4π a 3
.
3

Câu 17. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 2a và B = 300 . Quay tam giác vuông này quanh

trục AB , ta được một hình nón đỉnh B . Gọi S1 là diện tích toàn phần của hình nón đó và S2 là
diện tích mặt cầu có đường kính AB . Khi đó, tỉ số

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

S1
là:
S2
9|THBTN


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian
A.

S1
= 1.
S2

B.

S1 1
= .
S2 2

C.

S1 2
= .
S2 3

S1 3
= .
S2 2

D.

MẶT NÓN
Câu 18. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a , diện tích xung quanh là S1

và mặt cầu có đường kính bằng chiều cao hình nón, có diện tích S2 . Khẳng định nào sau đây là
khẳng định đúng ?
A. 2 S2 = 3S1 .

B. S1 = 4 S2 .

C. S2 = 2 S1 .

D. S1 = S2 .

Câu 19. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a , có thể tích V1 và hình cầu có
đường kính bằng chiều cao hình nón, có thể tích V2 . Khi đó, tỉ số thể tích
A.

V1 2
= .
V2 3

B.

V1
= 1.
V2

C.

V1 1
= .
V2 2

V1
bằng bao nhiêu?
V2
V1 1
= .
V2 3

D.

Câu 20. Tính diện tích xung quanh của hình trụ biết hình trụ có bán kính đáy a và đường cao là a 3 .
A. 2π a 2 .

B. 2π a 2 3 .

C. π a 2 .

D. π a 2 3 .

Câu 21. Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a .
Tính diện tích xung quanh của hình nón.
A.

π a2 2
4

B.

.

π a2 2
2

.

C. π a 2 2 .

2π a 2 2
.

3

D.

Câu 22. Thiết diện đi qua trục của hình nón đỉnh S là tam giác vuông cân SAB có cạnh cạnh huyền

bằng a 2 . Diện tích toàn phần Stp của hình nón và thể tích V của khối nón tương ứng đã cho
là
A. Stp =

π a 2 (1 + 2)
2

π a3 2

;V =

C. Stp = π a 2 (1 + 2);V =

.

12

π a3 2
6

.

B. Stp =
D. Stp =

π a2 2
2

;V =

π a 2 ( 2 − 1)
2

π a3 2
4

.

π a3

;V =

12

.

Câu 23. Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S , O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng a 2 và

góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 600 . Diện tích xung quanh S xq của hình nón và
thể tích V của khối nón tương ứng là:
A. S xq = π a 2 ;V =

π a3 6
12

C. S xq = π a 2 2;V =

π a3 6
4

B. S xq =

.
.

π a2
2

;V =

D. S xq = π a 2 ;V =

π a3 3
12

π a3 6
4

.
.

Câu 24. Một hình nón có đường kính đáy là 2a 3 , góc ở đỉnh là 1200 . Tính thể tích của khố i nón đó

theo a .

A. 3π a 3 .

B. π a 3 .

C. 2 3π a 3 .

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

D. π a 3 3 .
10 | T H B T N


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian

Câu 25. Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A , AB = a và AC = 3a . Tính độ dài đường

sinh l của hình nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB .
A. l = a .

B. l = 2a .

C. l = 3a .

D. l = 2a .

MẶT TRỤ
Câu 26. Cho một hình trụ có bán kính đáy R , chiều cao h và thể tích V1 ; một hình nón có đáy trùng

với một đáy của hình trụ, có đỉnh trùng với tâm đáy còn lại của hình trụ (hình vẽ bên dưới) và
có thể tích V2 .
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

h

R

A. V2 = 3V1 .

B. V1 = 2V2 .

C. V1 = 3V2 .

D. V2 = V1 .

Câu 27. Tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy R , chiều cao là h .
A. V = π R 2 h .

B. V = π Rh 2 .

C. V = π 2 Rh .

D. V = 2π Rh .

Câu 28. Một hình trụ có bán kính đáy a , có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính diện tích xung

quanh của hình trụ.
A. π a 2 .

B. 2π a 2 .

C. 3π a 2 .

D. 4π a 2 .

Câu 29. Tính diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đáy a và đường cao a 3 .
A. 2π a 2

(

)

3 −1 .

B. π a 2 3 .

(

)

C. π a 2 1 + 3 .

(

)

D. 2π a 2 1 + 3 .

Câu 30. Tính thể tích của khối trụ biết bán kính đáy của hình trụ đó bằng a và thiết diện đi qua trục là

một hình vuông.
A. 2π a 3 .

B.

2 3
πa .
3

C. 4π a 3 .

D. π a 3 .

Câu 31. Tính thể tích của khố i trụ biết chu vi đáy của hình trụ đó bằng 6π (cm) và thiết diện đi qua trục

là một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 10 (cm) .
A. 48π (cm3 ) .

B. 24π (cm3 ) .

C. 72π (cm 3 ) .

D. 18π 34 72π (cm 3 ) .

Câu 32. Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1 và AD = 2 . Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AD và BC . Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính

diện tích toàn phần Stp của hình trụ đó.
A. Stp = 6π .

B. Stp = 2π .

C. Stp = 4π .

D. Stp = 10π .

Câu 33. Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm x 240cm, người ta làm các thùng đựng nước
hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

11 | T H B T N


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian

- Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
- Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗ i tấm đó thành mặt xung
quanh của một thùng.
Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là tổng thể tích của hai thùng gò
được theo cách 2. Tính t ỉ số
A.

V1
= 1.
V2

B.

V1
.
V2
V1
= 2.
V2

C.

V1 1
= .
V2 2

D.

V1
= 4.
V2

D.

a 2
.
4

VẬN DỤNG THẤP
Câu 34. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện đều cạnh a .
A.

a 3
.
2

B.

a 6
.
2

C.

a 6
.
4

Câu 35. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều S . ABC , biết các cạnh đáy có độ

dài bằng a , cạnh bên SA = a 3 .
A.

2a 3
.
2

B.

3a 3
.
2 2

C.

a 3
.
8

D.

3a 6
.
8

Câu 36. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng
2a .

A.

2a 14
.
7

B.

2a 7
.
2

C.

2a 7
.
3 2

D.

2a 2
.
7

Câu 37. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khố i cầu ngoại
tiếp hình chóp đã cho.
A. V =

5π
.
3

B. V =

5 15π
.
18

C. V =

4 3π
.
27

5 15π
.
54

D. V =

Câu 38. Một hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Tính bán kính mặt cầu
ngoại tiếp hình lăng trụ đó.
A.

a 39
.
6

B.

a 12
.
6

C.

2a 3
.
3

D.

4a

.
3

Câu 39. Cho hình trụ có bán kính đáy là R , thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính thể tích khố i
lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho theo R .
A. 4 R 3 .

B. 2 2 R 3 .

C. 4 2 R 3 .

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

D. 8 R 3 .

12 | T H B T N


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian

Câu 40. Cho hình trụ có bán kính đáy là 4 cm, một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt hai mặt
đáy theo hai dây cung song song AB, A ' B ' mà AB = A ' B ' = 6 cm (hình vẽ). Biết diện tích tứ

giác ABB ' A ' bằng 60 cm2. Tính chiều cao của hình trụ đã cho.
A. 6 2 cm.

B. 4 3 cm.

C. 8 2 cm.

D. 5 3 cm.

Câu 41. Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn (O; R ) và (O '; R ) . Tồn tại dây cung AB

thuộc đường tròn (O ) sao cho ∆O ' AB là tam giác đều và mặt phẳng (O ' AB) hợp với mặt
phẳng chứa đường tròn (O ) một góc 600 . Khi đó, diện tích xung quanh S xq hình trụ và thể tích
V của khối trụ tương ứng là:

A. S xq =
C. S xq =

4π R 2
2π R3 7
;V =
.
7
7
3π R 2
7

;V =

2π R3 7
.
7

B. S xq =

6π R 2 7
3π R 3 7
;V =
.
7
7

D. S xq =

3π R 2 7
π R3 7
;V =
.
7
7

Câu 42. Cho môṭ hıǹ h tru ̣ trò n xoay và hıǹ h vuông ABCD canh
̣ a có hai đın̉ h liên tiế p A, B nằ m trên
đường trò n đá y thứ nhấ t củ a hıǹ h tru,̣ hai đın̉ h cò n laị nằ m trên đường trò n đá y thứ hai củ a hıǹ h

tru.̣ Măṭ phẳ ng ( ABCD) taọ với đá y hıǹ h tru ̣ gó c 450 . Diêṇ tıć h xung quanh S xq hıǹ h tru ̣ và
thể tıć h V củ a khố i tru ̣ là:
A. S xq =
C. S xq =

π a2 3
3

π a2 3
4

;V =

3 2a 3
.
8

B. S xq =

;V =

3 3a 3
.
16

D. S xq =

π a2 2
3

π a2 3
2

;V =

3 2a 3
.
32

;V =

3 2a 3
.
16

Câu 43. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông ABCD cạnh 2 3 cm với AB là đường kính

của đường tròn đáy tâm O . Gọi M là điểm thuộc cung AB sao cho ABM = 600 . Khi đó, thể
tích V của khố i tứ diện ACDM là:
A. V = 6 3 (cm 3 ) .

B. V = 2 3 (cm3 ) .

C. V = 6 (cm3 ) .

D. V = 3(cm3 ) .

Câu 44. Một hình nón có chiều cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm. Một thiết diện đi qua đỉnh có
khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm. Tính diện tích thiết diện
đó.
A. 450 2 cm2.

B. 500 2 cm2.

C. 500 cm2.

D. 125 34 cm2.

Câu 45. Cho hình lập phương ABCD. A’B’C ’D’ có cạnh là a . Hãy tính diện tích xung quanh S xq và thể
tích V của khối nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình

vuông A’B’C’D’ .

A. S xq =
C. S xq =

π a2 5
2

π a2 3
2

;V =
;V =

π a3
12

π a3
6

π a2 5

.

B. S xq =

.

D. S xq = π a 2 5;V =

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

4

;V =

π a3

.

4

π a3
4

.

13 | T H B T N


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian

Câu 46. Thiết diện đi qua trục của hình nón đỉnh S là một tam giác vuông cân có cạnh cạnh huyền

bằng a 2 . Kẻ dây cung BC của đường tròn đáy hình nón, sao cho mp ( SBC ) tạo với mặt
phẳng chứa đáy hình nón một góc 600 . Diện tích tam giác SBC tính theo a là:
A.

a2 2
.
3

a2 2
.
6

B.

C.

a2 3
.
2

D.

a2 6
.
3

Câu 47. Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S , O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng a 2 và

góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 600 . Gọi I là một điểm trên đường cao SO của
hình nón sao cho tỉ số

SI 1
= . Khi đó, diện tích của thiết diện qua I và vuông góc với trục
OI 3

của hình nón là:
A.

π a2 2
18

B.

.

π a2
9

.

C.

π a2
18

D.

.

π a2
36

.

Câu 48. Cho hình nón đỉnh S với đáy là đường tròn tâm O bán kính R . Gọi I là một điểm nằm trên

mặt phẳng đáy sao cho OI = R 3 . Giả sử A là điểm nằm trên đường tròn (O; R ) sao cho
OA ⊥ OI . Biết rằng tam giác SAI vuông cân tại S . Khi đó, diện tích xung quanh S xq của hình

nón và thể tích V của khối nón là:
A. S xq = π R
C. S xq =

2

2;V =

π R2 2
2

π R3

;V =

3

2π R 3
B. S xq = 2π R ;V =
.
3
2

.

π R3
6

D. S xq = π R 2 ;V =

.

2π R 3
.
3

Câu 49. Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy bằng a 3 , góc ở đỉnh là 1200. Thiết diện qua đỉnh của

hình nón là một tam giác. Diện tích lớn nhất S max của thiết điện đó là bao nhiêu ?
A. S max = 2a 2 .

B. S max = a 2 2 .

C. S max = 4a 2 .

D. S max =

9a 2
.
8

VẬN DỤNG CAO
Câu 50. Bán kính r của mặt cầu nội tiếp tứ diện đều cạnh a là
A. r =

a 6
.
12

B. r =

a 6
.
8

C. r =

a 6
.
6

D. r =

a 6
.
4

Câu 51. Chiều cao của khố i trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình cầu có bán kính R là
A. R 3 .

B.

R 3
.
3

C.

4R 3
.
3

D.

2R 3
.
3

Câu 52. Cho hình nón có chiều cao h . Tính chiều cao x của khố i trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong
hình nón theo h .

A. x =

h
.
2

B. x =

h
.
3

C. x =

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

2h
.
3

D. x =

h
.
3
14 | T H B T N


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian

Câu 53. Cho hình nón đỉnh O , chiều cao là h . Một khối nón khác có đỉnh là tâm của đáy và có đáy là

là một thiết diện song song với đáy của hình nón đỉnh O đã cho (hình vẽ). Tính chiều cao x
của khố i nón này để thể tích của nó lớn nhất, biết 0 < x < h .
O

h
x

A. x =

h

.
3

B. x = h 3 .

C. x =

2h
.
3

D. x =

h 3
.
3

Câu 54. Cho một hình nón có bán kính đáy là R , chiều cao là 2R , ngoại tiếp một hình cầu S (O; r ) .

Khi đó, thể tích của khố i trụ ngoại tiếp hình cầu S (O; r ) là
A.

16π R 3

(

)

5 −1

3

.

B.

4π R 3
.
1+ 2 5

C.

16π R 3

(1 + 5 )

3

D.

.

4π R 3
.
2 5 −1

Câu 55. Trong số các hình trụ có diện tích toàn phần đều bằng S thì bán kính R và chiều cao h của
khố i trụ có thể tích lớn nhất là:
A. R =

S
1 S
;h =
.
2π
2 2π

B. R =

S
;h =
4π

C. R =

2S
2S
;h = 4
.
3π
3π

D. R =

S
S
;h = 2
.
6π
6π

S
.
4π

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ RÈN LUYỆN (CÓ HƯỚNG DẪN)
Câu 56. Thiết diện qua trục của một hình nón tròn xoay là một tam giác vuông cân có điện tích bằng

2a 2 . Khi đó thể tích của khố i nón bằng:
2 2π a 3
A.
3

B.

π a3

4 2π a 3
C.
3

3

D.

2π a 3
3

Câu 57. Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D' có cạnh bằng a . Gọi S là diện tích xung quanh của hình

trụ có hai đường tròn đáy lần lượt ngoại tiếp các hình vuông ABDC và A'B'C'D'. Khi đó S
bằng:
A. S = π a 2

B. S = π a 2 2

C. S =

π a2 2
2

D. S =

π a2 2
4

Câu 58. Một hình lập phương có diện tích mặt chéo bằng a 2 2 . Gọi V là thể tích khối cầu và S là diện

tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương nói trên. Khi đó tích S .V bằng:
A. S .V =

3 3π 2 a 5
2

B. S .V =

3π 2 a 5
2

C. S .V =

3π 2 a 5
2

D. S .V =

3 6π 2 a 5
2

Câu 59. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D' có AB = a, BC = a 3, AA ' = a 5 . Gọi V là thể tích

hình nón sinh ra khi quay tam giác AA'C quanh trục AA'. Khi đó V bằng:
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

15 | T H B T N


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian

2π a 3 5
A. V =
3

B. V =

π a3 5
3

4π a 3 5
C. V =
3

4π a 3 3
D. V =
5

Câu 60. Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4π và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Khi
đó thể tích khối trụ tương ứng bằng:
A. 2π

B. 4π

C.

π

D. π

2

Câu 61. Tỉ số thể tích của khố i lập phương và khố i cầu ngoại tiếp khố i lập phương đó bằng:
A.

6

B.

3π

2 3

C.

π

3

D.

3π

2 3
3π

Câu 62. Một hình nón có đường sinh hợp với đáy một góc α và độ dài đường sinh bằng l. Khi đó diện

tích toàn phần của hình nón bằng:
A. Stp = 2π l 2 cos α . cos2
C. Stp = π l 2 cos α . cos 2

α

B. Stp = 2π l 2 cos α . sin 2

2

α

D. Stp =

2

α
2

1 2
α
π l cos α . cos2
2
2

Câu 63. Cho lăng trụ đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi V là thể tích hình trụ ngoại tiếp khố i lăng
trụ nói trên. Khi đó V bằng:
A. V =

π a3 3
3

B. V =

π a3
3

C. V =

3π a 3 3
2

D. V =

Câu 64. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng

π a3
6

a 6
. Khẳng định
3

nào sau đây sai?
A. Không có mặt cầu ngoại tiếp S.ABC.
B. Mặt cầu ngoại tiếp khố i chóp có tâm là trọng tâm tam giác ABC.
C. Mặt cầu ngoại tiếp khố i chóp có tâm là trực tâm tam giác ABC.
D. Mặt cầu ngoại tiếp khố i chóp có bán kính R =

a 3
3

Câu 65. Một hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng a. Thiết diện qua trục của hình nón là một tam
giác có góc ở đỉnh bằng 1200. Gọi V là thể tích khối nón. Khi đó V bằng:
A. V =

π a3
6

B. V =

π a3 3

3

C. V =

π a3 3
9

D. V =

π a3
3

Câu 66. Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a . Gọi I và H lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta được một hình trụ tròn
xoay.Khi đó thể tích khố i trụ tương ứng bằng:
A.

π a3
4

B.

π a3
12

C.

4π a 3
3

D.

π a3 2
4

Câu 67. Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB = 3a, BC = 4a, SA ⊥ ( ABC ) ,

cạnh bên SC tạo với đáy góc 600. Khi đó thể tích khố i cầu ngoại tiếp S.ABC là:
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

16 | T H B T N


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian
A. V =

π a3
3

B. V =

50π a 3
3

C. V =

5π a 3
3

500π a 3
3

D. V =

Câu 68. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD. A′B′C′D′ có cạnh đáy bằng a , chiều cao 2a . Biết rằng

O′ là tâm của A′B′C′D′ và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABCD. Diện tích xung quanh của
hình nón có đỉnh O′ và đáy (C).
A. S xq =

3π a 2
2

B. S xq =

5π a 2
2

C. S xq =

π a2
2

D. S xq =

3 2π a 2
2

Câu 69. Một hình trụ có hai đáy là hai đường tròn nộ i tiếp hai mặt của một hình lập phương có cạnh
bằng 1. Thể tích của khố i trụ đó bằng:
A.

π
4

B.

π
3

C.

π

D. π

2

Câu 70. Cho tứ diện S.ABC có 3 đường thẳng SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một, SA = 3,
SB = 4, SC = 5. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABC bằng:
A. 25π

B. 50π

C. 75π

D. 100π

Câu 71. Thể tích khố i lăng trụ tứ giác đều nộ i tiếp trong hình trụ có chiều cao h và bán kính đường tròn
đáy R bằng:
A. 2R 2 h

B. R 2 h

C.

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

2R 2 h

D.

R2h
2

17 | T H B T N


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian

D. ĐÁP ÁN VÀ
VÀ HƯ
HƯỚNG DẪ
DẪN GIẢ
GIẢI BÀI TẬ
TẬP TRẮ

TRẮC NGHIỆ
NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN 7.5

1
A

2
B

3
A

4
D

5
A

6
C

7
A

8
C

9
A

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A B D A C C A A D A B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
B D D C A A C A A D A B A C D A B A C A
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
D A B A C B D A A B A
II –HƯỚNG DẪN GIẢI
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
* MẶT CẦU
Câu 1.

Cho một mặt cầu có diện tích là S , thể tích khố i cầu đó là V . Tính bán kính R của mặt cầu.
3V
S
4V
.
B. R =
.
C. R =
.
S
3V
S
Hướng dẫn giải:
Ta có công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu là:

A. R =

S = 4π r 2 ; V =

Câu 2.

D. R =

V
.
3S

4 3
3V
πr ⇒
= r.
3
S

Cho mặt cầu S (O; R ) và điểm A cố định với OA = d . Qua A , kẻ đường thẳng ∆ tiếp xúc với
mặt cầu S (O; R ) tại M . Công thức nào sau đây được dùng để tính độ dài đoạn thẳng AM ?
A.

2R 2 − d 2 .

B.

d 2 − R2 .

R 2 − 2d 2 .

C.

D.

Hướng dẫn giải:
Vì ∆ tiếp xúc với S (O; R ) tại M nên OM ⊥ ∆ tại M .

M

Xét tam giác OMA vuông tại M , ta có:

R

AM 2 = OA2 − OM 2 = d 2 − R 2 ⇒ AM = d 2 − R 2 .

Câu 3.

d 2 + R2 .

O

A

Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a , b, c . Gọi ( S ) là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình
hộp chữ nhật đó. Tính diện tích của hình cầu ( S ) theo a , b, c .
A. π ( a 2 + b2 + c2 ) .

B. 2π (a 2 + b2 + c 2 ) .

C. 4π (a 2 + b2 + c 2 ) .

D.

π
2

(a 2 + b 2 + c 2 ) .

Hướng dẫn giải:
Đường kính của mặt cầu ( S ) chính là đường chéo của hình hộp chữ nhật, nên mặt cầu ( S ) có
bán kính r =

1 2
a + b2 + c 2 . Do đó diện tích mặt cầu ( S ) là: S = 4π r 2 = π (a 2 + b 2 + c 2 ) .
2

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

18 | T H B T N


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian
Câu 4.

Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a , b, c . Gọi ( S ) là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình
hộp chữ nhật đó. Tâm của mặt cầu ( S ) là
A. một đỉnh bất kì của hình hộp chữ nhật.

B. tâm của một mặt bên của hình hộp chữ nhật.
C. trung điểm của một cạnh của hình hộp chữ nhật.
D. tâm của hình hộp chữ nhật.

Hướng dẫn giải:
Tâm của hình hộp chữ nhật cách đều 8 đỉnh của hình hộp nên tâm của mặt cầu ( S ) chính là
tâm của hình hộp chữ nhật.

Câu 5.

Cho mặt cầu S (O; R ) và đường thẳng ∆ . Biết khoảng cách từ O tới ∆ bằng d . Đường thẳng
∆ tiếp xúc với S (O; R ) khi thỏa mãn điều kiện nào trong các điều kiện sau ?

A. d = R .
Hướng dẫn giải:

B. d > R .

C. d < R .

Đường thẳng ∆ tiếp xúc với S (O; R ) khi d = R .
Δ

D. d ≠ R .

M
d=R

O

Câu 6.

Cho đường tròn (C ) và điểm A nằm ngoài mặt phẳng chứa (C ) . Có tất cả bao nhiêu mặt cầu
chứa đường tròn (C ) và đi qua A ?
A. 2.
Hướng dẫn giải:

B. 0.

C. 1.

D. vô số.

Trên đường tròn (C ) lấy điểm điểm M 0 cố định. Gọ i (α ) là mặt
phẳng trung trực của AM 0 và đường thẳng ∆ là trục của (C ) . Gọi
I giao điểm của (α ) và ∆ thì mặt cầu tâm I thỏa mãn yêu cầu đề

I

A

Δ

bài.
α
O
M
Ta sẽ chứng minh tâm I là duy nhất. Giả sử M là điểm bất kì
khác nằm trên đường tròn (C ) , gọi (α ') là mặt phẳng trung trực của AM và I ' = (α ') ∩ ∆ thì
mặt cầu tâm tâm I ' thỏa mãn yêu cầu đề bài. Ta có:

I ' A = I ' M = I ' M 0 ⇒ I ' thuộc mặt phẳng trung trực (α ) của AM 0 nên I ' = (α ) ∩ ∆ .
Từ đó suy ra I ' ≡ I . Vậy chỉ có duy nhất 1 mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 7.

Cho hai điểm A, B phân biệt. Tập hợp tâm những mặt cầu đi qua A và B là
A. mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB .

B. đường thẳng trung trực của AB .

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

19 | T H B T N


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian
C. mặt phẳng song song với đường thẳng AB . D. trung điểm của đoạn thẳng AB .

Hướng dẫn giải:
Gọi I là tâm mặt cầu đi qua hai điểm A, B cố định và phân biệt thì ta luôn có IA = IB . Do đó
I thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn AB .
Câu 8.

Cho mặt cầu S (O; R ) và mặt phẳng (α ) . Biết khoảng cách từ O tới (α ) bằng d . Nếu d < R
thì giao tuyến của mặt phẳng (α ) với mặt cầu S (O; R ) là đường tròn có bán kính bằng bao
nhiêu?
A.

Rd .

B.

R2 + d 2 .

C.

R2 − d 2 .

R 2 − 2d 2 .

D.

Hướng dẫn giải:
Gọi I là hình chiếu của O lên (α ) và M là điểm thuộc đường giao tuyến của (α ) và mặt cầu
S (O; R ) . Xét tam giác OIM vuông tại I , ta có: OM = R và OI = d nên IM = R 2 − d 2 .

O

Câu 9.

Từ điểm M nằm ngoài

α

I

M

được bao nhiêu tiếp tuyến

A. Vô số.
B. 0.
C. 1.
Hướng dẫn giải:
+ Gọi (α ) là mặt phẳng chứa đường thẳng MO thì dễ dàng

thấy rằng mp (α ) luôn cắt mặt cầu S (O; R ) theo giao tuyến
là đường tròn (C ) có tâm O , bán kính R . Trong mp (α ) , ta

mặt cầu S (O; R ) có thể kẻ
với mặt cầu ?
D. 2.

T1
(C)

α
M

O

thấy từ điểm M nằm ngoài (C ) ta luôn kẻ được 2 tiếp tuyến

T2

MT1 , MT2 với đường tròn (C ) . Hai tiếp tuyến này cũng
chính là tiếp tuyến với mặt cầu S (O; R ) .
+ Do có vô số mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng MO cắt mặt cầu S (O; R ) theo các giao tuyến
là đường tròn (C ) khác nhau nên cũng có vô số tiếp tuyến với mặt cầu được kẻ từ điểm M
nằm ngoài mặt cầu.

Câu 10. Một đường thẳng d thay đổ i qua A và tiếp xúc với mặt cầu S (O; R ) tại M . Gọi H là hình

chiếu của M lên đường thẳng OA . M thuộc mặt phẳng nào trong những mặt phẳng sau đây?
A. Mặt phẳng qua H và vuông góc với OA .
B. Mặt phẳng trung trực của OA .
C. Mặt phẳng qua O và vuông góc với AM . D. Mặt phẳng qua A và vuông góc với OM .
Hướng dẫn giải:
Trong mặt phẳng (d , O ) , xét tam giác OMA vuông tại M có MH là
d
R2 R
đường cao. Ta có: OM = OH .OA ⇒ OH =
= . Do đó H cố
2R 2
định. Vậy M thuộc mặt phẳng vuông góc với OA tại H .

M

2

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

O

H

A

20 | T H B T N

BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian

Câu 11. Một đường thẳng thay đổ i d qua A và tiếp xúc với mặt cầu S (O; R ) tại M . Gọi H là hình

chiếu của M lên đường thẳng OA . Độ dài đoạn thẳng MH tính theo R là:
A.

R
.
2
Hướng dẫn giải:

B.

R 3
.
3

C.

2R 3
.
3

D.

3R 3
.

4
d

Trong mặt phẳng (d , O ) , xét tam giác OMA vuông tại M có MH là
đường cao. Ta có: MH 2 = HO.HA ⇒ MH 2 =

M

R 3R
R 3
.
⇒ MH =
.
2 2
2

O

A

H

1
Câu 12. Thể tích của một khố i cầu là 113 cm3 thì bán kính nó là bao nhiêu ?
7

(lấy π ≈

22
)

7

A. 6 cm .

B. 2 cm .

C. 4 cm .

D. 3cm .

Hướng dẫn giải:
1
3.113
4
3
V
7 = 27 ⇒ R = 3 (cm).
Thể tích khố i cầu bán kính R là V = π R 3 ⇒ R 3 =
=
22
3
4π
4.
7
Câu 13. Khinh khí cầu của nhà Mông–gôn–fie (Montgolfier) (người Pháp) phát minh ra khinh khí cầu
dùng khí nóng. Coi khinh khí cầu này là một mặt cầu có đường kính 11m thì diện tích của mặt

khinh khí cầu là bao nhiêu? (lấy π ≈
A. 379, 94 (m2 ) .

22
và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
7

B. 697,19 (m2 ) .

D. 95, 07 (m2 ) .

C. 190,14 cm .

Hướng dẫn giải:
Diện tích của kinh khí cầu là S = π d 2 =

22 2
.11 = 379, 94 (m 2 ) .
7

Câu 14. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có độ dài mỗ i cạnh là 10 cm . Gọi O là tâm mặt cầu đi

qua 8 đỉnh của hình lập phương. Khi đó, diện tích S của mặt cầu và thể tích V của hình cầu là:
A. S = 150π (cm 2 );V = 125 3 (cm3 ) .

B. S = 100 3π (cm 2 );V = 500 (cm3 ) .

C. S = 300π (cm 2 );V = 500 3 (cm 3 ) .

D. S = 250π (cm 2 );V = 500 6 (cm3 ) .

Hướng dẫn giải:
Dễ thấy tâm O của mặt cầu chính là tâm của hình lập

phương.
Trong tam giác vuông AA ' C có: AC '2 = AA '2 + A ' C '2 .
Trong
tam
giác
vuông
có:
A' B 'C '

A

D

B

C
O

A ' C '2 = A ' B ' 2 + B ' C ' 2 .

A'

D'

2

Do đó AC = 100 + 100 + 100 = 300 ⇒ AC = 10 3 (cm).
+ Bán kính mặt cầu tâm O là R = OA =

1

AC = 5 3 (cm)
2

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

B'

C'

21 | T H B T N


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian

( )

+ Diện tích mặt cầu: S = 4π R 2 = 4π . 5 3

2

4
4
+ Thể tích khố i cầu: V = π R 3 = π 5 3
3
3

( )

= 300π (cm2 ) .
3

= 500 3 (cm 3 ) .

Câu 15. Cho đường tròn (C ) ngoại tiếp một tam giác đều ABC có cạnh bằng a , chiều cao AH . Quay
đường tròn (C ) xung quanh trục AH , ta được một mặt cầu. Thể tích của khố i cầu tương ứng

là:
A.

π a3 3

.

54
Hướng dẫn giải:

B.

4π a 3
.
9

C.

4π a 3 3
.
27

D.

a 3
.
2
Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp ∆ABC , thì O ∈ AH và

A

AH là đường cao trong tam giác đều cạnh a nên AH =

O

2
a 3
AH =
.
3
3
Bán kính mặt cầu được tạo thành khi quay đường tròn
OA =

(C ) quanh trục AH

là R = OA =

4π a 3
.
3

B

C

H

a 3
. Vậy thể tích của khố i cầu tương ứng là:
3

3

4
4 a 3
4π a 3 3
3
(đvtt).
V = πR = π 
 =
3
3  3 
27
Câu 16. Cho đường tròn (C ) ngoại tiếp một tam giác đều ABC có cạnh bằng a , chiều cao AH . Quay
đường tròn (C ) xung quanh trục AH , ta được một mặt cầu. Thể tích của khố i cầu tương ứng

là:
A.

4π a 3 3
.

27
Hướng dẫn giải:

B.

4π a 3
.
9

C.

π a3 3
54

D.

.

4π a 3
.
3
A

a 3
.
2
Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp ∆ABC , thì O ∈ AH
AH là đường cao trong tam giác đều cạnh a nên AH =

OA =

2
a 3
AH =
.
3
3

và

O

B

H

Bán kính mặt cầu được tạo thành khi quay đường tròn (C ) quanh trục AH là R = OA =

C

a 3
.
3

3

4
4 a 3
4π a 3 3
Vậy thể tích của khố i cầu tương ứng là: V = π R 3 = π 

=
(đvtt).

3
3  3 
27

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

22 | T H B T N


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian

Câu 17. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 2a và B = 300 . Quay tam giác vuông này quanh

trục AB , ta được một hình nón đỉnh B . Gọi S1 là diện tích toàn phần của hình nón đó và S2 là
diện tích mặt cầu có đường kính AB . Khi đó, tỉ số
A.

S1
= 1.
S2

S1 1
= .
S2 2

B.

C.

S1
là:
S2
S1 2
= .
S2 3

D.

Hướng dẫn giải:
Xét tam giác ABC vuông tại A , ta có:

S1 3
= .
S2 2

B

AC = BC sin 300 = a; AB = BC cos 300 = a 3 .
30 0

Diện tích toàn phần hình nón là:

A

2

2

S1 = S xq + Sday = π Rl + π R = π a.2a + π a = 3π a
.

Diện tích mặt cầu đường kính AB là:

(

S2 = π AB 2 = π a 3

Từ đó suy ra, tỉ số

)

2

C

A

B

B

O

2

= 3π a 2 .

S1
= 1.
S2
* MẶT NÓN

Câu 18. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a , diện tích xung quanh là S1

và mặt cầu có đường kính bằng chiều cao hình nón, có diện tích S2 . Khẳng định nào sau đây là
khẳng định đúng ?
A. 2 S2 = 3S1 .

B. S1 = 4 S2 .

C. S2 = 2 S1 .

D. S1 = S2 .

Hướng dẫn giải:
Bán kính đáy của hình nón là a . Đường sinh của hình nón là

2a .

Do đó, ta có S1 = π Rl = 3π a 2 (1)
Mặt

cầu

có

bán

kính

2a

là

a 3

a 3
,
2

nên

ta

có
a

a

2

a 3
2
S2 = 4π 
 = 3π a (2) .

 2 

Từ (1) và (2) suy ra S1 = S2 .
Câu 19. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a , có thể tích V1 và hình cầu có
đường kính bằng chiều cao hình nón, có thể tích V2 . Khi đó, tỉ số thể tích
A.

V1 2
= .
V2 3

B.

V1
= 1.
V2

C.

V1 1
= .
V2 2

V1
bằng bao nhiêu?
V2

D.

V1 1

= .
V2 3

Hướng dẫn giải:
Hình nón có bán kính đáy là a , chiều cao a 3 .

2a
a 3

23 | T H B T N

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn
a

a


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian

1 2
π a3 3
Do đó thể tích V1 = π a a 3 =
.
3
3
3

a 3

4  a 3  π a3 3
Hình cầu có bán kính
.
nên có thể tích V1 = π 
 =
2
3  2 
2
Từ đó suy ra

V1 2
= .
V2 3

Câu 20. Tính diện tích xung quanh của hình trụ biết hình trụ có bán kính đáy a và đường cao là a 3 .
A. 2π a 2 .

B. 2π a 2 3 .

C. π a 2 .

D. π a 2 3 .

Hướng dẫn giải:
Hình trụ có bán kính đáy a và đường cao a 3 nên S xq = 2π rh = 2π a.a 3 = 2π a 2 3 .
Câu 21. Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a .

Tính diện tích xung quanh của hình nón.
A.

π a2 2

B.

.

π a2 2

.

C. π a 2 2 .

4
2
Hướng dẫn giải:
Thiết diện qua trục là một tam giác vuông cạnh a nên đường sinh
của hình nón là
S xq = π

và bán kính đáy là

a

a 2
2

2π a 2 2
.
3

D.

a

a

nên
O

a 2
π a2 2
.a =
.
2
2

Câu 22. Thiết diện đi qua trục của hình nón đỉnh S là tam giác vuông cân SAB có cạnh cạnh huyền

bằng a 2 . Diện tích toàn phần Stp của hình nón và thể tích V của khối nón tương ứng đã cho
là
A. Stp =

π a 2 (1 + 2)
2

;V =

C. Stp = π a 2 (1 + 2);V =

π a3 2

.

12

π a3 2
6

.

B. Stp =
D. Stp =

π a2 2
2

;V =

π a 2 ( 2 − 1)
2

π a3 2
4

.

π a3

;V =

.

12

Hướng dẫn giải:
+ Do thiết diện đi qua trục là tam giác ∆SAB vuông cân tại đỉnh

S

S , có cạnh huyền AB = a 2 nên suy ra bán kính đáy hình nón

a

a

a 2

là r =

a 2
; đường sinh hình nón l = SA = SB = a ; đường cao
2

2

A

O

a 2

B

2

a 2
.
2
+ Diện tích toàn phần hình nón là:

hình nón h = SO =

2

Stp = S xq + Sday

a 2
a 2
π a 2 2 π a 2 π a 2 (1 + 2)
= π rl + π r = π
a +π 
=
+
=
(đvdt).

2
2
2
2

2


2

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

24 | T H B T N


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian

1
1 2
π a3 2
+ Thể tích khố i nón tương ứng là: V = Bh = π r h =
(đvtt).
2
3
12
Câu 23. Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S , O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng a 2 và

góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 600 . Diện tích xung quanh S xq của hình nón và
thể tích V của khối nón tương ứng là:
2

A. S xq = π a ;V =

π a3 6
12

C. S xq = π a 2 2;V =

π a3 6
4

B. S xq =

.
.

π a2
2

;V =

D. S xq = π a 2 ;V =

π a3 3
12

π a3 6
4

.
.

Hướng dẫn giải:

Gọi A là một điểm thuộc đường tròn đáy hình nón. Theo giả i

S

thiết ta có đường sinh SA = a 2 và góc giữa đường sinh và
mặt phẳng đáy là SAO = 600 . Trong tam giác vuông SAO , ta
có:
a 2
3 a 6
OA = SA cos 600 =
; SO = SA. sin 600 = a 2.
=
.
2
2
2
Diện
tích
xung
quanh
hình
nón
S xq = π rl = π .

a 2

a 2
600
O
A

a 2
.a 2 = π a 2 (đvdt).
2
2

1
1  a 2  a 6 π a3 6
(đvtt).
=
Thể tích của khối nón tròn xoay V = π r 2 h = π 
 .
3
3  2 
2
12
Câu 24. Một hình nón có đường kính đáy là 2a 3 , góc ở đỉnh là 1200 . Tính thể tích của khố i nón đó

theo a .
A. 3π a 3 .

B. π a 3 .

C. 2 3π a 3 .

D. π a 3 3 .

Hướng dẫn giải:
Gọi S là đỉnh hình nón, O là tâm đáy, A là một điểm thuộc đường tròn đáy.
Theo giả thiết dễ suy ra đường tròn đáy có bán kính

B

R = OA = a 3 (cm)

600

1200
và góc ASO =
= 600 . Xét tam giác SOA vuông tại O , ta có
2
A

OA
a 3
SO =
=
= a . Do đó chiều cao hình nón là h = a .
0
tan 60
3

a 3

1
1
Vậy thể tích khố i nón là V = π R 2 h = π .3a 2 .a = π a 3 .
3
3

Câu 25. Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A , AB = a và AC = 3a . Tính độ dài đường

sinh l của hình nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB .
A. l = a .

B. l = 2a .

C. l = 3a .

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

D. l = 2a .
25 | T H B T N

C