Giải gần đúng phương trình vi phân thường

Lời nói đầu
Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc
thực tiễn. Cùng với thời gian, toán học ngày càng phát triển chia thành hai
lĩnh vực đó là: Toán học lý thuyết và toán học ứng dụng. Trong lĩnh vực toán
học ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán có liên quan đến việc giải phương
trình vi phân, việc nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng vai trò rất
quan trọng trong lý thuyết toán học.
Chúng ta biết rằng chỉ một số ít phương trình vi phân thường là có thể
tìm được nghiệm chính xác. Trong khi dó phần lớn các phương trình vi phân
nảy sinh từ các bài toán thực tiễn đều không tìm được nghiệm chính xác. Do
vậy chúng ta phải nhờ tới các phương pháp xấp xỉ để tìm nghiệm gần đúng.
Xuất phát từ nhu cầu đó, các nhà khoa học đã nghiên cứu tìm ra nhiều phương
pháp để giải gần đúng phương trình vi phân thường
Là một sinh viên chuyên nghành toán em may mắn có cơ hội nghiên
cứu về đề tài: “Giải gần đúng phương trình vi phân thường”. Dưới sự giúp
đỡ tận tình, sự chỉ bảo ân cần của thầy giáo: TS Nguyễn Văn Hùng. Với sự
say mê toán, sự tích cực tìm tòi nghiên cứu của mình em đã hoàn thành được
đề tài nghiên cứu này
Đề tài của em gồm 3 phần: Lời nói đầu, nội dung, kết luận
Nội dung gồm:
Chương 1: Các kiến thức bổ trợ
Chương 2: Giải gần đúng phương trình vi phân thường
Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến thầy
giáo: TS Nguyễn Văn Hùng đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành đề tài này
Em xin cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo khoa toán, các thầy cô
tổ bộ môn giải tích, các bạn sinh viên khoa toán và tập thể các bạn sinh viên

1


lớp k32 cử nhân toán, đã giúp đỡ, đóng góp ý kiến cho em trong suốt quá

trình hoàn thành bản khóa luận này
Do lần đầu tiên tiếp xúc với nghiên cứu khoa học và do thời gian có
hạn nên đề tài của em chắc chắn không thể tránh khỏi thiếu sót. Em mong
được sự thông cản của các thầy cô giáo cùng các bạn sinh viên.
Hà nội ngày 5 tháng 4 năm 2010


Chương 1: Các kiến thức bổ trợ
1.1: Sai phân
A 1,2....,

1.1.1 Dãy số

Gọi A là tập hợp m số tự nhiên khác không đầu tiên k .

Một hàm số x xác định trên tập A được gọi là một dãy số hữu hạn. Tập
giá trị của dãy số hữu hạn này là

x1; x2;...; x  k  . Người ta
thường kí

hiệu các giá trị đó là

x1x1; x  2 x2 ;...; và viết dãy số đó dưới
xk

xk

dạng x1, x2 ,..., xk
Một hàm số x xác định trên tập N



các số tự nhiên khác không được

gọi là dãy số vô hạn (hay gọi là dãy số. Tập giá trị của dãy số x gồm vô số
phần tử

x 1x1; x  2 x2 ;...; x  n xn.... Người ta thường viết
dãy số dưới

dạng x1, x2 ,..., xn,...
Dãy số x1, x2 ,..., xn
,...
dương N0 sao cho xn

c

được gọi là dãy dừng nếu tồn tại số nguyên

với mọi n N0 . Ở đây c là một hằng số nào
đó (và

gọi là hằng số dừng)
Dãy số x1, x2 ,..., xn ... được gọi là:
n 1,2,.....

Bị
chặn
trên

nếu tồn
tại số


M
sao cho

xn  M

với mọi

Bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho xn  với mọi n 1,2,...
m
Dãy bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới


1.1.2. Giới hạn của dãy số
Ta nói rằng dãy số

xncó gới hạn là a nếu với mọi số dương 

cho trước (nhỏ hơn bao nhiêu tùy ý), tồn tại một số tự nhiên N sao cho với
mọi
n  thì xn a . Ta viết
N
lim xn a

hay viết là lim xn a

n

1.1.3. Tổng n số hạng đầu tiên của dãy số:
Cho dãy số
tổng n số hạng đầu tiên của dãy số được kí hiệu là
x n 
sn x1 x2 ... nxn i xi
1.1.4. Công thức Moarvơ
Cho số phức:

x iy r cosi sin
2
2  y
2
i 1; r x

y

arctg ; thì số phức
liên hợp

x iy r cosisin

x

Ta có:

n r n cos-isinn r n
cosn-isinn

(công thức Moarvơ)

1.1.5. Sai phân
a. Khái niệm sai phân:
Giả sử
:R
là một hàm số cho trước và h là một hằng số khác 0
f

R
ta gọi 0 f
x 




x
f

là sai phân cấp 1 của hàm số y f x 


1 f x  f x 

f

x

h 
là sai phân cấp 1 của hàm số y f x

 
2

 f

x 

  f x  
1

x hf x 
f x 2h2 f f x
x h 
f

là sai phân cấp hai của hàm số y f x
 
Quy nạp:
n

 f

x n1 f x 

 n N 


là sai phân cấp n của hàm số

xi 

f
xi 

y f x 
f
3xi 
2 f
x 

xi

f

x4

f 4

x3

f 3

f4

x2

f 2

f3  4f

x1

f 1

f2  3f

x0

f0

f1  2 f

x1

f1

f0

 f

x2

f2

f1

 f

f
4xi 

f
xi5 

f
6xi 

2

2

2

2

1

2

0

2

x3

f3

f2

 f

x4

f4

f3

 f

1

2

2

3

 f
4

3

 f
3

3

 f
2

3

 f
1

3

 f
0

3

 f
1

4

 f
4

4

 f
3

4

 f
2

4

 f
1

4

 f
0

5

 f
4

5

 f
3

5

 f
2

5

 f
1

6

 f
4

6

 f
3

6

 f
2


Nhận xét:
Bắt đầu từ cột 3 mỗi phần tử bằng hiệu của 2 phần tử dòng dưới và
dòng trên của cột liền trước..
Ví dụ: f f3 f4
4


1.1.6. Tính chất sai phân
a. Sai phân là toán tử tuyến tính xác định trên không gian X
các
hàm số xác định trên R , nghĩa là với mọi ,
với mọi hàm số
  g

f , g thì:

g

 
f

R ,


f

Chứng minh:  g
Ta có:  x 
f
f

x
h f
g

g

x

f x hg  x

h  f  x g  x 
f

x h f
x  g  x h g  x 

thì c
b. Nếu c 
0
f
f
Chứng minh:

xg  x 

c c c 0 c 0
c.



n

 x n!h
n

n



m

x 
n

0


Chứng minh:

 m>n 

xn x h  n xn
n

1

n1

2 2

x 
Cn hx
1

 Cn h x

n1

Cn hx

2 2

 Cn h x

n2

n
n
...
  h x
2

...
  h

n

2

  x  x  nhx
n 2
n
x
...  h 

 2
2

n

Do đó:

n



n

x


Ta được:

m

p

 x n!h
n

n

const

m>n 

m n

n

n

là đa thức bậc n thì:

x

px p x

n

i

p

hp 

h
x 
i1

i

x 

i!

Chứng minh:
Áp dụng khai triển Taylor cho đa thức

p x  ta được:
h

h

p x hp x 
h
1
p  x 
i!

2

2!

h




n

 x 
   x 0


n  n 1



n!h

n

 Nếu

rõ ràng n

n

n 1

 2

p x ... p
h
n

n!

n

x

2


(do

p

là đa thức bậc n nên m ta có pm 0 )
n

x

Khi đó:
p

x p x hp x 
h

1

 p
h

1!

x 

2

p

 2

n

x ...

h



2!

i


i1 i!

x 
nh

Chứng minh:
f



n

x 

h

p

i

x 

 f x 


n

n

n!
n

 f

p

i

i
C
i0

f x hf x 

x

Suy ra

f x 

f

f x 

f

h 

2h

xf x1
f x 
x h
h1 f x
h 

1  2

Quy nạp với n:

f x 
nh

f x 


2

 f x 


2

i

i
C
i0

f  x h  n 1 h


1  n
n
i
n
i0

f x 

 C  f x 
i

mọi sai phân đều biểu diễn qua các giá trị của hàm số
 f x 
n

n

 1i

n

i0

C

i

f x  n i  h 


Chứng minh:
Ta có:
n

 f

x 1  1f x 
n

  1i n 1 
i
i0
 ni
C
n

x

ni



  1i
i0

f

C

i

kn

i

n



 f x 

k




C
k
0

n

=

n


1iC

f x  n i  h 

i

i0

 Giả sử

f

x  C n

và

 a,b 

Chứng minh:

f
x  f

h

n

x, x nha,b, khi đó:

x nhvới 0,1

Ta chứng minh bằng quy nạp:
Với
f

n 1 ta có:

x 

 f' x

h
h 

là công thức số gia hữu hạn.

Vậy mệnh đề đúng với

n 1

Giả sử mệnh đề đúng với


n k

k 1

f x  đúng
kh
k

Tức là

hk
Ta chứng minh mệnh đề đúng với
Tức là ta phải chứng minh:

f
x
k 






n k 1



h

f  x
k 1



k 1





Hay


k 1





k
h

1
n

f

x



h

k 1




 do h 0
k
1
 
1

f
x





 


Thật vậy:


k 1

f

x k f x  hk f k x

'kh   (trong đó ' 0,1 ).
Áp dụng công thức tính số gia hữu hạn cho f k x 'kh 
Ta có:


k 1

k 

f x h f
k

 x 'kh

(vì là toán tử tuyến tính)

k
k
h f x

f

k

'kh h 
kh

h f
(do mệnh đề đúng với

k 1

x 'kh 

x 'kh ''h

n 1). Trong đó

',''0,1

'k ''
Đặt 
,0,1
k 1
Ta được :



k 1

Hệ quả:

x C n
Nếu f a,b

f x h


x

kí hiệu

f

k 1

 x k 1 h 

 f x 
f x 
hn
xác định trên tập số nguyên Z và coi rằng

khi
 h đủ nhỏ ta có

Nhận xét:Với hàm f
h

1

k 1


n

n

yk f x  ; k 0,1,2....



Ta có:
n

 y

i

y2 y1 y3 y2 ...

yn1  yn 


i1

yn1 y1 

Với y y
i
i1 f i 1 f f i h  f i h 1
yi 
i 
n

Vậy :  yi yn1 y1
i1


Sai phân cấp i của đa thức bậc n là:

Hằng số, khi i
n
Đa thức bậc

( theo tính chất b )

n i khi ( theo tính chất c )
i
Bằng 0 khi i
n

( theo tính chất c )

1.2: Số gần đúng và sai số
1.2.1. Sai số
1.2.1.1. Trong tính toán ta thường làm việc với các giá trị gần đúng của các
đại lượng.


Ta nói a là số gần đúng của số a . Đại
lượng sai số thực sự của a

 được gọi là

a a



Do đó a ta không biết nên cũng không biết nhưng ta có thể

tìm
được 
sao cho: a
a

0
a
Số
a
Tỉ số

a




 2.1

a

nhỏ nhất thỏa mãn (2.1) được gọi là sai số tuyệt đối của a .
a
a
 được gọi là sai số tương đối của a .

Ví dụ 1: Cho số x n;a 3,14;a n


3,14 a 3,15 ; a 0,01


3,14 a 3,142 ; a 0,002
Ví dụ 2: Cho số x e;a 2,71;a e




2,71 a 2,718 ; a 0,008


2,71 a 2,7182 ; a 0,0082
Trong phép đo nói chung sai số tuyệt đối càng nhỏ càng tốt.
Ví dụ
3:

A
500m
B
4km

a 0,09
b 10m




0,09

a

0,00018 
50000
1

9

500
10
b  
4000 400

Phép đo B chính xác hơn phép đo A
Vậy độ chính xác của phép đo phản ánh qua sai số tương đối
1.2.1.2. Số thu gọn
Xét số thập phân a được biểu diễn dưới dạng:
a  
p10

p

...

pq10



10p1
p

pq



Trong đó:  ; p q i p; 0  9
i
i
Nếu p q 0 thì a là số nguyên
Nếu  thì a là số thập phân có phần lẻ gồm p
p q 0  q

chữ số

Nếu p q thì a là số thập phân vô hạn
3

2

1

0

Ví dụ 4: 5218 5.10 2.10 1.10 8.10
Ta thấy

p q
0 nên

a
5218
1

là số nguyên
0

1

Ví dụ 5: 52,18 5.10 2.10 1.10 8.10

số

Ta thấy p q 
2 nên

2

a 52,18 là số thập phân có phần lẻ gồm
2 chữ

Thu gọn a là vứt bỏ một số các chữ số bên phải của a để được một số
a ngắn gọn hơn nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết
Quy tắc thu gọn (làm tròn):
Giả sử:



a 

p .10

p


p
.10

1

...

pq
.10  pq .
j1
10 j

... 
j .10

j

p






Giả sử ta muốn giữ lại đến hàng thứ j gọi phần bỏ đi là M. Khi đó ta
được một số nguyên là:

p 1

a  .10p 

 
p

Trong
đó:

.10

.10
...

p1

j



j

  j .... j


j1...j

Ví dụ 6:
2,718281828 2,71828183 2,7182818 2,718282

2,71828  2,7183
2,718 2,72 2,7
Giả sử số thu gọn của a là a ta
có:




a a
a

a a a .


 a a
 a a  aa
a a
a


hơn

Nhận xét: Khi thu gọn số a thì sai số tuyệt đối của a với a lớn


hoặc bằng sai số tuyệt đối của a và a .
1.2.1.3. Chữ số có nghĩa, chữ số chắc.
a. Chữ số có nghĩa: Là mọi chữ số khác 0 và cả chữ số 0 nếu nó
kẹp giữa 2 chữ số có nghĩa hoặc nó đại diện cho hàng được giữ lại

Giải
:

Ví dụ
7:

a 0,0006408530

4 chữ số 0 ở vị trí đầu tiên là những chữ số không có nghĩa. Toàn
bộ những chữ số còn lại là những chữ số có nghĩa.
p


b. Xét
số

p

.10 ...
   
a

Chữ số

.10pq 
  với
.10i số

được gọi là chữ số chắc
nếu

i

là tham

a

cho trước. Tham số được chọn để một chữ số vốn đã chắc sau khi
thu gọn
vẫn là chữ số chắc. Rõ
ràng  i
Ví dụ
8:

a
8,60432

i1 cũng là chữ số chắc

là chữ số chắc
thì

3

0,00110
a


2

a 8.100 6.10 1 0.10

2.10 5
Chọ
n



khi đó:
3

4.10

4

3.10

thì a có bốn chữ số chắc là: 8,6,0,4 còn lại hai chữ số


1

không chắc là: 3,2
1
Chọn  thì a có ba chữ số chắc là: 8,6,0 còn lại ba chữ số không
2
chắc là: 4,3,2 .
Ta xét việc chọn : Giả sử số a được biết:
a

p

.10 ...
   
p

Vậy

1

pq



 i là chắc

và

 vốn là chắc. Ta chọn để sao cho khi thu gọn đến
i1

i

.10

thì có

đúng bậc

i1 vẫn là chắc. Muốn vậy ta

phải có:

.10
a

i1

.10i 0,5.10i1 .10i1





10
5

9


5



Trong thực tế người ta thường chọn




1

hoặc

 
1. Nếu

1 thì

2

người ta nói chữ số là chắc theo nghĩa rộng, còn thì người ta nói chữ số
1

2
là chắc theo nghĩa hẹp
1.2.2. Sai số tính toán
Giả sử ta phải tính đại lượng y theo công thức
Gọi
x

 x 1,..., x n
 ;y







f
x



y f x1, x2 ,....,
xn .

là các giá trị đúng. Giả sử ta không biết các



giá trị đúng này ta chỉ biết các giá trị gần đúng là x
x1,...,



các giá trị gần đúng của y .

y f x 
là

xn  ;

Giả sử x i
i 

i

là các sai số tuyệt đối và

1,2,...,n  ; xi 1,2,...,n 

;

tương đối tương ứng của các đối số. Khi đó sai số của hàm số
được gọi là sai số tính toán
Giả sử hàm f

x1,...xn


xi thì:
y 

y




y f x1,...,
xn 

là hàm số khả vi liên tục theo tất cả các biến

f
x1,...,
xn 

f  x 1,..., x n 




n



f ' xi x1,..., xn
i1



Với x  x1,..., xn



. x x
i

i

và x là điểm nằm giữa x và x


Vì f khả vi liên tục
x
i 
xi



khá bé nên

 xi
n

và đôi khi có thể viết:

f 'xi 



x  xi








i
1

với

y



y

i 
y

Vậy

n

i

1

xi  ln

f
x

x x1, x2 ,...,
xn 

xi

i 

(1.2.2.1 )

ln y
1.2.2.1. Sai số của một tổng
n

Nếu

y


xi

thì

yxi

1

i1

vậy ta có:

i
1,...,
n

n

n

y  f 'xi x  .xi x1 ...
i1
 xn x i
i1

1.2.2.2. Sai số của một tích

y x1x2 ....xn
y x1 . x2 .... xn
Từ (1.2.2.2) suy ra l 
n y ln
x1

... ln xn

(1.2.2.2 )


Từ (1.2.2.2) suy ra

y x1 ... xn

y  y y
Sai số tương đối của một tích bằng tổng các sai số tương đối của các số
hạng thành phần


1.2.2.3. Sai số của một thương
x
y  1
x2 1
; y'
y'x  x
1

x1


2

x2

x2 2





y

x
y

x 22

 x



x2 x1 x1 x2 ;
 

1

2

1.2.2.4. Sai số trong phép tính logarit:

y ln x

Suy ra  y x

1.2.3. Bài toán ngược của bài toán sai số.
Giả sử

y f x1, x2 ,..., xn  .
Cần tính

để y 0  cho
xi

trước

Theo công thức tổng quát của sai số tính toán ta phải có:
n
f
y  .xi 
i1 
xi



xi 
n f 'xi
Nếu các biến xi có vai trò “đều nhau” thì ta có thể lấy:
xi 



n f 'xi

khi đó:
y 
Ví dụ 9: một hình trụ có chiều cao

h,
R,

h 3m , bán kính R 2m .
đáy
Tìm

số để thể tích V được tính chính xác đến 0,1 m

3


Giải:
V 
2
Rh;
V

v 
3
0,1 m

2Rh

suy
ra

37,7
R
V

R2h suy
ra
12
r
V

R 2

12,6
h
Vậy

; h 3 R 2 m, n 3
m;
0,1

0,001
37,7
R

 0,1 0,003
r

 3,12

0,1
0,003
suy ra 
h
3.12,6


R 0,001 chính xác tới
1000
h 0,003 chính xác tới
1000

1
3

1.3: Một số kiến thức về phương trình vi phân thường
1.3.1. Một số khái niệm
Phương trình vi phân thường cấp n có dạng tổng quát:
F  x, y, y ', y '',..., y

n

0

(1.3.1.1)

Trong đó x là biến số độc lập, y là hàm phải tìm
Cấp của phương trình là đạo hàm cấp cao nhất có mặt trong phương

trình
Hàm số y 


x

được gọi là nghiệm của phương trình (1.3.1.1) nếu


thay y 

; y ' 'x,...;

 yn  nx

vào (1.3.1.1) thì ta được đồng

x

y x,c

nhất thức.
Hàm số

 cR 

có đạo hàm riêng theo biến x đến cấp n

được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình n(1.3.1.1)
Nếu:

ra đối với c;

x,

(D là miền xác định của phương trình) ta có thể giải

y  D
c 

x, y
Hàm y
thỏa mãn k(1.3.1.1)

x,c
Thì
y

x,

chạy khắp D với c R